X Maths 1 MP 2009

Thème de l'épreuve Exponentielles d'un endomorphisme, intégrales et séries
Principaux outils utilisés séries entières, familles sommables, critères d'intégrabilité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D'ADMISSION 2009

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Exponentielles d'endomorphisme, intégrales et séries

Première partie
On désigne par C  (R) l'espace vectoriel des fonctions réelles, de classe C  , 
d'une variable
réelle. On définit comme suit des endomorphismes de cet espace :
· pour toute f  C  (R), (Xf )(x) = xf (x), (Df )(x) = f  (x), (Af )(x) = xf  
(x),
· pour tout nombre réel t et pour toute f  C  (R), (t f )(x) = f (et x).
1. Vérifier que la valeur en t = 0 de la dérivée de la fonction t 7 (t f )(x) 
est égale à (Af )(x).
On va maintenant étudier les puissances de A et chercher le sens à donner à la 
formule
exp(tA) = t .
2. Vérifier que, si f est un polynôme, la série

X tn

n!
n>0

(An f )(x) est convergente et de somme

(t f )(x).
3. Montrer que, pour tout entier n > 0, on a D n X = XD n + nDn-1 .
4. Montrer que, pour tout entier n > 0, il existe des nombres réels positifs 
µn,k , k = 1, . . . , n,
tels que An =

n
X

µn,k X k D k , et exprimer µn,k en fonction des µn-1,p , p = 1, . . . , n - 1.

k=1

Préciser les valeurs de µn,1 et µn,n .

1

5. On désigne par f un polynôme d'une variable réelle. Démontrer la relation
Ñ

t, x  R f (et x) = f (x) +

X

X tn

n!
n>k

k>1

é

xk f (k)(x) .

µn,k

6. Étant donnéX
une suite de
Xnombres réels ak , k  N, comparer les rayons de convergence
des séries entières
ak xk et
kak xk .
k>0

k>0

7. On se donne maintenant une fonction développable en série entière f (x) =

X hk

k>0

R - |x|, et, si |h| < R - |x|, on a

X hk

k>0

k!

ak xk de

k>0

rayon de convergence R > 0. On admettra la propriété suivante :
(P) si |x| < R, la série entière en h :

X

f (k)(x) a un rayon de convergence au moins égal à

k!

f (k) (x) = f (x + h).

7.a) Vérifier que, si |x| < R, il existe un réel x > 0 tel que
|t| < x  |(et - 1)x| < R - |x| .
7.b) Démontrer l'existence de nombres réels n,k , n, k  N , indépendants de f 
et tels que
l'on ait
Ñ

x ] - R, R[ ,

f (et x) = f (x) +

t ] - x , x [ ,

X

k>1

X tn

n!
n>1

é

n,k

xk f (k) (x) .

7.c) Vérifier que
n,k =

(

si k 6 n
si k > n .

µn,k
0

[On pourra utiliser le résultat de la question 5.]
7.d) Montrer que, pour 1 6 k 6 n, on a n,k 6 2n
7.e) On pose Zn,k =

n!
.
(k - 1)!

tn
n,k xk f (k) (x). Indiquer deux réels  > 0 et  > 0 tels que
n!
Ñ

|x| <  , |t| <  

X

k>1

7.f ) Montrer que, si |x| <  et |t| < , la série
(t f )(x).
2

é
X

|Zn,k |

< + .

n>1

X tn

n!
n>0

(An f )(x) est convergente et de somme

Deuxième partie
Dans cette partie, on désigne par F l'espace vectoriel des fonctions f réelles, 
d'une variable
réelle, continues et telles que, pour tout entier k > 0, la fonction x 7 xk f 
(x) soit bornée.
8. Soit f une fonction de F. Montrer que, pour tout entier k > 0, la fonction x 
7 xk f (x)
est intégrable sur R.
On posera mk (f ) =

Z

xk f (x)dx.

R

9. Soient f et g deux fonctions de F.
9.a) Montrer que, pour tout réel x, la fonction y 7 f (x - y)g(y) est 
intégrable sur R.
On notera f  g la fonction x 7

Z

f (x - y)g(y)dy.
R

9.b) Montrer que f  g appartient à F et écrire une formule de la forme
mk (f  g) =

k
X

k,p mp (f )mk-p (g) ,

p=0

où les k,p sont des coefficients à déterminer.
On admettra la commutativité et l'associativité de l'opération (f, g) 7 f  g.
Dans la suite du problème, on désigne par F0 l'ensemble des fonctions f de F 
qui sont
positives et telles que m0 (f ) = 1 et m1 (f ) = 0.
10. Étant donné des fonctions f1 , . . . , fn de F0 , calculer m0 (f1  . . .  
fn ) et m1 (f1  . . .  fn )
puis exprimer m2 (f1  . . .  fn ) en fonction des m2 (fi ), i = 1, . . . , n.
Pour tout réel a > 0, on désigne par Ta l'endomorphisme de F défini par (Ta f 
)(x) = af (ax).
11. Calculer mk (Ta f ).
Dans la suite du problème on désigne par fi , i = 1, 2, . . . , des fonctions 
de F0 , et, pour tout
n, on pose Fn = f1  . . .  fn . On suppose que tous les m2 (fi ) sont majorés 
par une même
constante C.
12.a) Montrer que, pour tout réel  > 0, les deux intégrales

Z -

Z +

(Tn Fn )(x)dx tendent vers 0 lorsque n  +.

-

3

(Tn Fn )(x)dx et

Z

12.b) Étant donné une fonction h continue bornée sur R, étudier le comportement 
de
h(x)(Tn Fn )(x)dx lorsque n  +.

R

[On pourra considérer d'abord le cas où h(0) = 0.]
13.a) Établir une inégalité entre m4 (f ) et m2 (f )2 lorsque f  F0 .
13.b) Démontrer la formule, pour n > 2,
m4 (Fn ) =

X

m4 (fi ) + 6

16i6n

X

m2 (fi )m2 (fj ) .

16i 0,
X Z +

(Tn Fn )(x)dx < + .

n>1 

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 1 MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Chomette (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) et Lætitia Borel-Mathurin
(ENS Cachan).

Le titre de cette épreuve, « Exponentielles d'endomorphisme, intégrales et 
séries »,
en résume assez bien le contenu. Le sujet se compose de deux parties 
indépendantes
et de difficulté progressive, la seconde se corsant sur la fin.
· La première partie s'intéresse à l'endomorphisme A de C  (R) défini par
Af (x) = xf  (x)
On veut établir, pour toute fonction f développable en série entière, l'identité
+
P tn

n=0 n !

(An f )(x) = f (et x)

À cette fin, on commence par établir le résultat pour des fonctions polynômes,
puis on écrit l'opérateur An sous la forme d'une somme, de façon à exprimer
f (et x) comme une somme double dans laquelle on permute ensuite les deux
sommations. On montre alors que l'expression obtenue est valable, plus 
généralement, pour toute fonction développable en série entière, avant de 
conclure
en permutant à nouveau les deux sommations lorsque c'est possible.
· Dans la seconde partie, on s'intéresse au produit de convolution, d'expression
Z
f  g : x 7 f (x - y)g(y) dy
R

Dans un premier temps, on établit quelques propriétés générales. On montre
ainsi que l'espace F des fonctions f à décroissance rapide, c'est-à-dire telles
que pour tout entier naturel k la fonction x 7 xk f (x) est bornée, est stable
par convolution. On étudie également les moments de la convoluée de deux
fonctions.
Pour finir, on étudie le comportement d'une suite de fonctions de la forme
Fn = f1  · · ·  fn où les fonctions fi sont d'intégrale 1 sur R et vérifient
certaines conditions sur leurs moments d'ordre 1 et 2. On montre 
qu'asymptotiquement, les fonctions x 7 nFn (nx) se comportent comme la mesure de
Dirac. Autrement dit, l'étalement de la « masse » dû à la convolution est plus
que compensé par le passage de Fn à x 7 nFn (nx), qui tend à concentrer la
masse autour de l'origine.
La première partie, plus abordable dans l'ensemble, comporte quelques questions
élémentaires quoique techniques. Il faut être à l'aise avec la notion de 
famille sommable pour en venir à bout. La seconde présente la difficulté 
supplémentaire de faire
appel à l'initiative du candidat : certaines questions sont ouvertes, et leur 
résultat est
parfois utile pour la suite. Enfin, le sujet se termine par quelques questions 
ardues.

Indications
Première partie
2 Commencer par traiter le cas d'un polynôme de la base canonique de R[X], puis
utiliser la linéarité.
3 Fixer une fonction f  C  (R) et calculer Dn Xf grâce à la formule de Leibnitz.
5 Décomposer f sur la base canonique de R[X]. Si g est un élément de la base
canonique de R[X], montrer que la suite double
 n

t
µn,k xk g (k) (x)
n!
16k6n
vérifie les hypothèses du théorème de Fubini. À cette fin, on pourra utiliser le
résultat de la question 2.
7.c Ne pas oublier de justifier l'identification qui s'impose. Pour cela, 
utiliser à nouveau les polynômes de la base canonique de R[X].
7.e Séparer les variables x et t. Pour la série en x, utiliser la propriété (P).

Deuxième partie
9.a Borner f et majorer |g| par une fonction intégrable.
9.b Écrire xk = (x - y + y)k , puis intervertir les intégrations en x et y 
grâce au
théorème de Fubini.
12.a Pour faire apparaître un majorant en m2 (Tn Fn ), utiliser le fait que 2 6 
x2
pour tout x  [  ; + [.
12.b Découper l'intégrale en trois morceaux en exploitant la continuité de h en 
0.
13.a Penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Z +
1
13.c Majorer l'intégrale
(Tn Fn )(x) dx par 4 m4 (Tn Fn ) en utilisant une tech

nique analogue à celle de la question 12.a.

Première partie
1 Soient f  C  (R) et x  R. Écrivons la fonction t 7 (t f )(x) = f (et x), 
dérivable
sur R. En dérivant, on obtient la fonction t 7 xet f  (et x), dont la valeur en 
0 est
xf  (x) = (Af )(x)
2 Commençons par étudier le cas d'un élément de la base canonique de R[X].
Soient p  N et g : x 7 xp . Si p 6= 0, on a g  : x 7 pxp-1 donc Ag : x 7 pxp , 
résultat
encore valable lorsque p = 0. Une récurrence immédiate donne alors An g : x 7 
pn xp ,
pour tout entier naturel n. Pour tous réels x et t, la série
P p n tn p
P tn n
(A f )(x) =
x
n>0 n !
n>0 n !
est donc convergente, de somme ept xp = g(et x) = (t g)(x).
Reste alors à exploiter la linéarité des endomorphismes An , pour tout entier n,
et t , pour tout réel t, afin de conclure dans le cas général. Soit f une 
fonction
polynôme, d'expression
f (x) =

p
P

ak xk

avec

a0 , . . . , ap  R

k=0

Pour tout entier naturel n, on a An f : x 7

p
P

ak k n xk . Donc, pour tous réels x et t,

k=0
p
P tn n
P P
k n tn k
(A f )(x) =
ak
x
n!
n>0 n !
n>0 k=0
p P
p
P
P
k n tn k
=
ak
ak ekt xk
x =
n!
k=0 n>0
k=0
P tn n
(A f )(x) = f (et x)
n>0 n !

Autrement dit

P tn n
(A f )(x) = (t f )(x)
n>0 n !

Dans le calcul précédent, l'interversion des deux signes sommes ne pose pas
de problème, la seconde étant une somme finie de séries convergentes. Dès lors
p P
p
P
P P
k n tn k
k n tn k
que
ak
x a un sens, la série
ak
x converge également
n!
n!
k=0 n>0
n>0 k=0
et les deux termes sont égaux.
3 Soient n un entier strictement positif et f  C  (R). Par définition, pour tout
réel x, on a (Xf )(x) = xf (x). Autrement dit, Xf est le produit de f par la 
fonction
identité, et Dn Xf est la dérivée ne de ce produit, qui se calcule grâce à la 
formule
de Leibnitz :
n
 (k)
P
n
x  R (Dn Xf )(x) =
(x)f (n-k) (x) = xf (n) (x) + nf (n-1) (x)
k id
k=0

En effet, id (k) étant identiquement nulle pour k > 2, seuls deux termes 
restent dans
la somme. On a ainsi établi la propriété
x  R
soit

(Dn Xf )(x) = (XDn f + nDn-1 f )(x)
Dn Xf = (XDn + nDn-1 )f

Cette égalité est valable pour toute application f  C  (R), si bien qu'on a 
l'identité
Dn X = XDn + nDn-1
4 L'énoncé suggère ici une récurrence, puisque sont demandées des expressions
des nombres µn,k en fonction des nombres µn-1,p . Soit, pour tout entier n  N ,
P(n) la propriété :
« Il existe des réels positifs (µn,k )16k6n tels que An =

n
P

µn,k Xk Dk . »

k=1

· P(1) est vraie car A = XD, soit l'expression voulue avec µ1,1 = 1.
· P(n - 1) = P(n) : On suppose P(n - 1) pour un entier n > 2. On a alors
An = An-1 A = An-1 XD. D'après l'hypothèse de récurrence, il existe des réels
positifs (µn-1,k )16k6n-1 tels que
An-1 =

n-1
P

µn-1,k Xk Dk

k=1

Par conséquent, en utilisant le résultat de la question précédente
An-1 X =

n-1
P

µn-1,k Xk Dk X

k=1

=

n-1
P

µn-1,k Xk (XDk + kDk-1 )

k=1

An-1 X =

n-1
P

µn-1,k Xk+1 Dk + kXk Dk-1

k=1

En composant à droite par D, il vient
An =

n-1
P

µn-1,k Xk+1 Dk+1 + kXk Dk

k=1

=

n
P

µn-1,k-1 Xk Dk +

k=2

n-1
P

k µn-1,k Xk Dk

k=1

On obtient la forme souhaitée An =

n
P

µn,k Xk Dk en posant µn,1 = µn-1,1 ,

k=1

µn,n = µn-1,n-1 et pour tout entier k  [[ 2 ; n-1 ]], µn,k = k µn-1,k +µn-1,k-1 
.
· Conclusion : Pour tout n  N , il existe des réels positifs (µn,k )16k6n tels 
que
An =

n
P

µn,k Xk Dk

k=1

On a établi au passage les relations de récurrence