X Maths 1 MP 2007

Thème de l'épreuve Régularisation de fonctions
Principaux outils utilisés séries de Fourier, suites et séries de fonctions, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs approximation, régularisation, convergence uniforme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2007

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Régularisation de fonctions

Ce problème présente un procédé d'approximation de fonctions par des fonctions 
plus régu--
lières.

Pour tout entier 16 > 0 on désigne par CËer l'espace des fonctions d'une 
variable réelle a

valeurs complexes, 27r--périodiques et de classe Ok ; on note de même C'Ëer 
l'espace des fonctions
27r--périodiques et continues par morceaux. Pour toute fonction f de Cpm on 
définit ses coefficients

pOE
de Fourier par

rn

f(n)=à/_îf(oe)e_moedoe , nEZ.

Étant donné une suite (an)nez, on dit que la série 2 an est convergente si les 
séries 2 an
nEURZ n>0
et z a_n le sont, et on pose alors
n>1

Zan=2an+Za_n.

nEURZ n20 n21
Première partie

1. Dire pour quelles valeurs du couple (15, a:) E R2 la série z e_|nltemoe est 
convergente.
nEURZ

On suppose maintenant 15 > 0 et on note P(t, a:) ou Pt(aî) le nombre 2 
e_|nltemoe.
nEURZ

2.Vérifier que P(t,a:) est réel. Calculer / P(t,oe)doe.

3.a) Montrer que la fonction P, définie sur l'ensemble Rï >< R, est 
indéfiniment différentiable,

Ôp+q
et écr1re ses dérivées part1elles WP(É, a:) sous forme de sommes de sér1es.
a:

3219 3219

3.13) CâlClllEURf % + @ .

4. Déterminer les coefficients de Fourier de la fonction Pt.

5. Dire pour quelles valeurs du couple (15, a:) E R2 on a 1 -- Ze_' cosa: + 
e_2t : 0.
On suppose maintenant 15 > O.

6. Démontrer l'égalité

1 -- e_2t

1 -- 2e_t cos a: + (3--21

P(t, a:) =

et préciser le signe de cette expression.

7. Démontrer les assertions suivantes. On suppose a: E [--7r, W] et on fait 
tendre 15 vers 0 par
valeurs supérieures; alors Pt(aî) tend vers 0 si a: # 0, vers +oo si a: = O, et 
la convergence est
uniforme sur tout ensemble de la forme [--7r, --a] U [et, W] où & EUR]0, 7r[.

Deuxième partie

Dans cette seconde partie on se donne une fonction f de CËëÊ; on suppose 
toujours 15 > O.

8. Vérifier que la série 2 f (n) e_|n|' emoe est convergente.
716%

Sa somme sera notée f(t, a:) ou f,t(oe).

9. Montrer que la fonction f, définie sur l'ensemble Rï >< R, est 
indéfiniment difiérentiable,
et écrire ses dérivées partielles sous forme de sommes de séries.

1 7T
10. Calculer f,t(oe) -- Ë /_ Pt(a: -- y) f(y) dy.

(19)

11. On suppose f E CS 16 > 0. Montrer que) lorsque t --> O, ft converge 
uniformément

vers f(p) pour tout }) < k.

EURI'7

Troisième partie

12. Étant donné un nombre réel & > 1, montrer qu'il existe un réel ,ua tel que 
l'on ait
(1 + u)" < ,ua(1 + u") pour tout u > 0.

Pour tout a > 0 on note Ea l'ensemble des fonctions f de C'Ëäf satisfaisant

Z \f(n)\2 (1 +n2)0' < +oo .

nEURZ

On pourra admettre que cet ensemble est un sous--espace vectoriel de Câä'.

13.21) Montrer que, pour tout entier 16 > 0, on a C'": C E.,.

per
13.b) A--t--on 056, = E,, ?

13.c) Montrer que E., C CÊer si [EUR > 0 et a > k + 1/2.

[On pourra traiter d'abord le cas où 16 = 0].

Dans la suite du problème, on se donne un nombre réel 7" > O, pour tout (t, a:) 
E Rï >< R, on
pose gat(aî) : a:" e_'oe.

+00
14. Exprimer le nombre C : t"+1 / g0t(oe)doe a l'aide de la fonction F et 
vérifier qu'il est
0
indépendant de t.

15. Montrer que 2 n'° e_m tend vers +oo lorsque t --> O.

n>1
16. Étant donné un réel 7' > O, déterminer un réel C' tel que l'on ait

2 n'° e_m < C't_'°_1 pour tout t EUR]O, T] .

n>1

On se donne maintenant une fonction f E E.,, pour un certain & E]%,1] ; on 
désigne encore par
7' un réel > O.

17 .a) Déterminer un réel C" tel que l'on ait

8
--

< C"ta_3/2 pour (15,33) E]O,T] >< R.

17.b) Déterminer un réel C'" tel que l'on ait Hf,t -- fHoo < C"'ta_1/2 pour 
tout t EUR]0, T], où
l'on a posé, pour toute fonction g bornée sur R,

ll9lloe = sup \g(æ)\ -
oeEURR

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 1 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Philippe Bouafia (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Juliette
Leloup (ENS Ulm) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

L'épreuve porte sur l'approximation de fonctions par des fonctions plus 
régulières.
Elle se décompose en trois parties.
· Dans la première partie, on examine les propriétés des fonctions Pt définies 
par
P -|n|t inx
Pt (x) =
e
e
nZ

qui sont reliées au noyau de Poisson. On montre en particulier que
Pt (x) =

1 - e -2t
1 - 2e -t cos x + e -2t

et on étudie la convergence des fonctions Pt lorsque t tend vers 0 par valeurs
supérieures.
· Dans la deuxième partie, on se donne une application f continue par morceaux
2-périodique. À partir des applications Pt , on définit des applications 
appelées
f ou f,t par
Z
1 
f (x) = f (t, x) =
Pt (x - y)f (y) dy
2 -
On montre que ces fonctions sont indéfiniment dérivables, alors que f n'est
que continue par morceaux. De plus, les fonctions f,t convergent simplement
vers f lorsque t tend vers 0 et si f est de classe C k , alors pour tout p  [[ 
0 ; k ]]
(p)
les fonctions f,t convergent uniformément vers f (p) .
· La dernière partie étudie plus en détail le mode de convergence de f,t vers f
pour une certaine catégorie de fonctions. On introduit l'espace E des fonctions 
f continues par morceaux 2-périodiques pour lesquelles la série suivante
converge :
P
(1 + n2 ) |fb(n)|2
nZ

et on considère les applications f  E où   ] 1/2 ; 1 ]. Les fonctions qui
appartiennent à E sont alors intuitivement « plus lisses » que les fonctions
qui sont seulement continues, et « moins lisses » que les fonctions de classe C 
1 .
On contrôle la convergence uniforme des f,t vers f par la formule
kf,t - f k = O(t-1/2 )

Indications
Première partie
2 Calculer P(t, x).
5 Remarquer que 1 - 2e -t cos x + e -2t = |1 - e -t e ix |2 .

6 Simplifier le produit 1 - 2e -t cos x + e -2t P(t, x).
Deuxième partie
8 Montrer que la suite (fb(n)) est bornée.
Z
1 
11 Montrer que f,t (x) =
Pt (y)f (x-y)dy puis utiliser l'uniforme continuité
2 -
de f et le résultat de la question 7.

Troisième partie
13 Attention, il y a une erreur d'énoncé dans les trois sous-questions de la 
quesk
pm
tion 13. Il faut remplacer Cper
par l'ensemble des fonctions f  Cper
telles qu'il
k
existe une fonction g 2-périodique de classe C coïncidant avec f sur [ - ;  ]
sauf sur un nombre fini de points.
P d
(k) (n) = (in)k fb(n) et que la série
13.a Remarquer que fd
|f (k) (n)|2 est convergente.
nZ

k
Cper
.

13.b Montrer que pour tout k  N, Ek 6=
Pour cela, construire par récurrence
k
une suite de fonctions (fk ) telle que fk  Ek pour tout k et fk 6 Cper
.
P b
13.c Étudier la somme de la série de Fourier
f (n)e inx .
nZ

16 Calculer les variations de la fonction t .

17.a Utiliser la question 9 pour avoir une expression de
f (t, x) comme somme,
t
puis penser à utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
17.b Il y a de nouveau une erreur d'énoncé. Il faut supposer de plus que f est 
continue,
puisque la proposition f  E (pour  > 1/2) n'implique plus forcément la
continuité de f .

Première partie
1 On se donne un couple (t, x)  R2 .
P
· Si
> 0, la série e -nt e inx converge absolument car la série des modules
P t-nt
une série géométrique de raison e -t  ] 0 ; 1 [. De même,
la série
Pe -nt est
P
-inx
e
e
converge absolument. On en déduit que les séries e -nt e inx et
P -nt -inx
P -|n|t inx
e
e
convergent. Ceci montre que la série
e
e
converge.
nZ

· Si t 6 0, le module de e -nt e inx P
est égal à e -nt et ne tend pas vers 0 quand
n tend vers l'infini, donc la série
e -nt e inx diverge grossièrement. Par suite,
P -nt inx
la série
e
e
ne converge pas.
nZ

Les deux points précédents montrent que
La série

P

e -|n|t e inx converge si, et seulement si, t > 0.

nZ

Il est important de remarquer que l'on manipule les séries indexées par Z de
la même manière que l'on manipule les séries traditionnelles indexées par N.
P
Par exemple, on dira qu'une série
n est absolument convergente si la série
nZ
P
|n | est convergente ; et une série absolument convergente est convergente.
nZ

Pour des raisons d'élégance, de clarté de la rédaction, il est préférable de ne
pas se ramener systématiquement lors de l'étude d'une série indexée par Z
au cas de deux séries indexées par N. C'est ce que l'on fait dans la suite.

2 Soient t > 0 et x  R. Pour montrer que P(t, x) est réel, il faut prouver 
qu'il est
égal à son conjugué.
P -nt -inx
P -nt inx
P(t, x) =
e
e
+
e
e
n>0

=

P

n>1

e

-nt -inx

e

n>1

=

P

e

-nt -inx

e

 P
+1 +
e -nt e inx

+

n>1

P(t, x) =

P

P

n>1

e

-nt inx

e

n>0

e -|n|t e -inx = P(t, x)

nZ

P(t, x) est réel pour tout (t, x)  R+ × R.
Z 
Fixons t > 0. Pour calculer l'intégrale
Pt (x)dx, il faut intervertir les symboles

donc

-

somme et intégrable, ce qui doit se justifier proprement.

Considérons les fonctions (gn )nZ définies pour tout n  Z par
(
R - C
gn :
x 7- e -|n|t e inx

P
de sorte que Pt =
gn . La norme infinie de gn sur R est e -|n|t , et par suite la série
nZ
P -|n|t
P
e
est convergente. La convergence de la série de fonctions
gn est normale
nZ

nZ

donc uniforme sur le segment [ - ;  ] et on peut intervertir les signes somme et
intégrale. Alors,
Z 
Z 
X
P -|n|t
-|n|t
e
e inx dx =
e
20n
Pt (x) dx =
-

Z

ce qui donne donc

nZ

-

nZ

Pt (x) dx = 2

-

3.a On considère pour tout n  Z la fonction hn :

(

R+ × R - C

(t, x) 7- e -|n|t e inx
Les fonctions hn sont indéfiniment dérivables sur R+ × R et pour tout (p, q)  N2
 p+q
(t, x)  R+ × R
hn (t, x) = (-1)p iq |n|p nq e -|n|t e inx
tp xq

P  p+q
h ne converge pas normalement
p
q n
nZ t x
P p+q
 p+q
|n|
sur R+ × R car la norme infinie de p q hn est |n|p+q , et la série
t x
nZ
diverge grossièrement. Il va falloir se placer sur des ouverts plus petits que
R+ × R.
Attention, la série de fonctions

Prenons a > 0. La fonction hn est bornée sur ] a ; + [ × R.
Si  : E  C est une fonction définie sur un ensemble quelconque et F est
un sous-ensemble de E, on note kk,F = Sup |(x)| .
xF

On peut même calculer la norme infinie de hn sur cet ouvert
khn k,] a ;+ [×R = |n|p+q e -|n|a
En outre, la série

P  p+q
h converge normalement sur ] a ; + [ × R car
p
q n
nZ t x
P p+q -|n|a
|n| e
< +
nZ

Ceci étant valable pour tout (p, q)  N2 , on a donc montré que
P P est de classe C
sur ] a ; + [ × R par le théorème de dérivation sous le signe . Comme la réunion
des ouverts ] a ; + [ × R lorsque a parcourt R+ est R+ × R, f est de classe C  
sur
son domaine de définition et

(t, x)  R+ × R

P
 p+q
P(t, x) =
(-1)p iq |n|p nq e -|n|t e inx
tp xq
nZ

Toutes les hypothèses du théorème de dérivation d'une limite de fonctions
doivent être vérifiées et mises en valeur dans la copie rendue, les correcteurs
étant très exigeants sur l'utilisation correcte et rigoureuse de ce théorème.