X Maths 1 MP 2006

Thème de l'épreuve Étude des solutions d'une équation fonctionnelle
Principaux outils utilisés suites et séries de fonctions, séries entières, analyse générale, calcul intégral, fonctions de plusieurs variables

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
        

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2006

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Étude des solutions d'une équation fonctionnelle

Ce problème a pour but l'étude des solutions de l'équation

f'(æ) = f WL") (Cv)

Où l'inconnue ]" est une fonction réelle dérivable d'une variable réelle et Où 
fy est un nombre réel
fixé non nul. On considérera aussi le système

fI(OE) : f(7oe) 7 f(0) : Oz (C7,a)

où 05 est un nombre réel fixé.

Première partie

Dans cette première partie, la variable a: varie dans R et on suppose ... < 1.
1. Résoudre le système (CWX) dans le cas Où v = 1.

2. Même question dans le cas Où fy : --1.

n(n--l)/2 OE_n

' est absolument convergente pour tout
n.

+oo

3.a) Vérifier que la série entière OZ cy
n=0

réel au et que sa somme est solution du système (07,04)-

3.b) En serait-il de même si l'on supposait |7l > 1 ?

4. Étant donné un nombre réel A > 07 on désigne par E A l'espace vectoriel des 
fonctions réelles

continues sur l'intervalle [--A,A] et on le munit de la norme || || définie par 
HgH : sup |g(oe)|.
' læ|<æ> = a + ]: g(vt)dt .

4.3) Vérifier que l'application TA est continue.

4.b)Vérifier qu'une fonction dérivable f sur R est solution de (07,05) si et 
seulement si, pour
tout A > 0, la restriction de f a [--A, A] est un point fixe de T A--

4.c) Vérifier que, pour tout entier n > 0, tout réel A > 0, tout a: E [--A, A] 
et tous g, h EUR EA,

n n n-- oe n
|OElg)(w) -- (TA h><æ)| < ... < 1WU--Hg -- hu .
4.d) Déterminer un entier n(A) > 0 tel que l'on ait, pour tous g, h EUR EA,
n:4 A
HTA( & -- TX' 'hH < ng -- hll
avec une constante k < 1.

4.e) Démontrer l'unicité de la solution du système (Uma).

5. On pose, pour tout 32 réel,

n!

+00 1 233n
n<æ> = z »yn/ ---- .
n=0

5.a) Déterminer la limite de f7(cc) lorsque 7 tend vers 0.

5.b) Montrer que la fonction (msn) +--> F (7,33) = f7(oe), définie maintenant 
sur l'ensemble
[--1, 1] >< R, est de classe C°°.

5.0) On suppose ici 7 > 0 et on s'intéresse à la fonction f7 restreinte à 
l'intervalle [--1,+oo[.
Déterminer son signe, son sens de variation et sa limite lorsque :E --+ +oo.

Deuxième partie

Notations. Etant donné une suite de nombres réels u où n arcourt l'ensemble Z 
on dira ue
TL) 7

la série E un est absolument convergente si les deux séries Ë un et E u_n le 
sont; dans ce
nEZ n20 n>0

cas on posera
Zw=Zw+Zwm

nEZ n20 n>0

Dans cette partie, on suppose 'y > 1 et on s'intéresse au système (Uma) où a: 
parcourt l'intervalle
] ---- oo, O].

6. Étant donné un nombre réel co, trouver des nombres réels e... n EUR Z, 
possédant les pro--
priétés suivantes :
(i) }: lcnlv" < +00 , Z lc...lv" < +oo,
n>0 _ n>O

(ii) la série 2 en e'7nOE est absolument convergente pour tout a: E]---- oo, 
O], et sa somme g0(oe)

nez
est solution de (C7).

N .B. On ne demande pas de prouver l'unicité des en.

7. Déduire de la question 6 une solution de (C...) sur l'intervalle ]-- 00, O].

8. Que se passe--t--il si l'on suppose ac E [O, +oo[ au lieu de :c EUR]-- oo, 
O], et si l'on remplace la
série z cn 87% par la série 2 (:n e"'7noe, mais en conservant les conditions 
(i) ?
nEZ nEURZ

Troisième partie

Dans cette partie, on suppose fy > 1 et on note G7 l'espace vectoriel des 
solutions de (C.,)
définies sur l'intervalle ]O, +oo[. Pour tout p EUR Z, on pose [@ = [vp , 7p+1].

9. Vérifier que, si f E G,, on a
f(n) (:D) : 7kn--k(k+l)/2Jc(n--k) (7%)

pour tous entiers k et n tels que 0 { k < 77. et tout a: EUR]O, +oo[.
Pour toute fonction f définie sur ]0, +oo[, on note f(p) la restriction de f a 
I (p).
10. Vérifier que l'application 'Il : G, --> 600 (I (O)) définie par \11( f ) : 
f(0) est injective.

11. Étant donné un élément g de C°°(I(O)), donner une condition nécessaire et 
suffisante,

portant sur les dérivées de g aux points 1 et fy, pour que g appartienne au 
sous--espace image
de \I!.

12. On se donne un élément f de G7 et on fait l'hypothèse que f (qi--P) est nul 
pour tout
entier p > 0. On se propose de démontrer que f est nulle.

12.a) Vérifier que, pour tout p > 0, on a
fÊÎ',,)(OE) = 7p(p_1'/2f(0)(vpoe) » 96 EUR Ï(--p)
et
f((ï)(fy_p) = 0 , pour tout [EUR < p .

12.b) Déterminer pour tout p > 0 un nombre réel qp tel que l'on ait, pour tout 
oe EUR I (_p) :

33

f(--p)(OE) = %] (îE -- t)p_1f(0)(Wpt) dt--

f7_P

[On pourra utiliser la formule de Taylor.]
' 1
12.c) Montrer que l'on a / (7 -- t)p_ f(0) (t) dt : 0 pour tout 19 > O.
1 ,

12.d) Oonclure.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 1 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Leloup (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Frédéric
Mazoit (Enseignant-chercheur) et David Lecomte (Professeur en CPGE).

L'épreuve se compose de trois parties indépendantes visant à résoudre l'équation
fonctionnelle proposée par l'énoncé :
f  (x) = f (x)

(C )

· Dans la première partie, il s'agit de résoudre cette équation avec données 
initiales (C, ) dans le cas où | | 6 1, sur R tout entier. On étudie d'abord 
les cas
particuliers  = 1 et  = -1, puis on cherche une solution à (C, ) sous forme
de série entière. On montre ensuite qu'elle est unique et on en étudie quelques
propriétés.
· La deuxième partie propose de résoudre (C, ) dans le cas où  > 1, sur ] - ; 0 
]
ou sur [ 0 ; + [, en cherchant des solutions sous forme de séries de fonctions.
· La troisième partie s'intéresse à certaines propriétés de l'espace vectoriel G
des solutions de (C ) définies sur ] 0 ; + [. On y démontre notamment qu'il
suffit de se donner une fonction de classe C  sur [ 1 ;  ], dont les dérivées 
aux
points 1 et  vérifient certaines conditions, pour obtenir une solution de (C )
définie sur ] 0 ; + [. On montre également qu'un élément f de G qui s'annule
aux points ( -p )p>0 est en fait nul sur ] 0 ; + [.
Les trois parties peuvent se traiter de façon totalement indépendante. La 
première
partie est la plus classique et mérite d'être travaillée en détail pour les 
méthodes de
base qu'elle utilise. Le rapport du jury souligne d'ailleurs que les meilleurs 
candidats
à cette épreuve sont ceux qui ont su résoudre rapidement et de manière concise 
les
premières questions. La troisième partie est assez calculatoire et ne nécessite 
pas un
lourd bagage mathématique avant la dernière question ; l'élève qui ne 
souhaiterait pas
travailler les séries peut l'aborder directement, sans avoir traité les deux 
premières
parties.
Sans être extrêmement difficile (le rapport du jury va même jusqu'à qualifier
l'épreuve de facile), ce problème est donc intéressant car il requiert avant 
tout une
vraie rigueur de rédaction.

Indications
Première partie
1 Il s'agit de résoudre une équation différentielle du premier ordre.
2 Transformer l'équation fonctionnelle en équation différentielle.
3.a Utiliser la règle de d'Alembert pour les séries entières afin de déterminer 
le rayon
de convergence.
4.a Monter que TA est lipschitzienne.
4.c Raisonner par récurrence et remarquer que TA n+1 (g) = TA (TA n (g)).
4.d Utiliser l'inégalité prouvée à la question 4.c.
5.a Utiliser les théorèmes de limite pour une série de fonctions qui converge 
normalement.
5.c Pour le signe de f sur [ -1 ; 0 ], penser à une série alternée.
Deuxième partie
6 Raisonner par analyse-synthèse pour trouver les conditions à imposer sur la
suite de nombres (cn )nZ .
Troisième partie
9 Raisonner par récurrence en utilisant plusieurs fois la relation vérifiée par 
f
comme solution sur ] 0 ; + [ du système (C ).
10 Remarquer que  est linéaire ; il est alors plus simple de montrer que le 
noyau
de  est réduit à {0}.
11 Commencer par appliquer l'égalité démontrée à la question 9 à tous les 
entiers
n > 1 et à k = 1. Pour la réciproque, construire la fonction f , antécédent de 
g,
pas à pas sur les I(p) en séparant le cas p > 0 du cas p < 0.
12.a Utiliser la relation démontrée à la question 9.
12.b Suivre l'indication de l'énoncé en utilisant les égalités démontrées au 
cours de
la question 12.a.
12.c Utiliser l'égalité établie à la question 12.b afin de calculer f ( -p+1 ). 
Utiliser
ensuite l'hypothèse de la question 12 pour aboutir au résultat.
12.d Appliquer le théorème de Weierstrass : toute fonction continue est limite 
uniforme d'une suite de polynômes sur un segment de R.

Première Partie
1 Le système (C1, ) est le suivant :

f  (x) = f (x)
.
f (0) = 

Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre très classique, dont on
attend que vous donniez directement le résultat.
La solution de (C1, ) est la fonction x  R 7 e x .
2 Le système (C-1, ) est le suivant :

f  (x) = f (-x)
.
f (0) = 

Il s'agit ici d'une équation fonctionnelle que l'on va transformer en une 
équation différentielle connue par analyse-synthèse.
Si f est une fonction réelle dérivable, solution de (C-1, ), la fonction x 7 f 
(-x)
est aussi dérivable sur R et, par suite, f  également. En dérivant l'expression 
vérifiée
par f , on obtient :
f  (x) = -f  (-x) = -f (-(-x)) = -f (x)

x  R

La fonction f est donc solution de l'équation différentielle du second ordre :
y  + y = 0
Alors,

(A, B)  R2

d'où

x  R

f (x) = A cos x + B sin x

f  (x) = -A sin x + B cos x

Comme f  (x) = f (-x), on en déduit :
x  R

(B - A)(sin x + cos x) = 0

Par conséquent, A = B.
On peut aussi dire que la famille (cos, sin) est libre dans l'espace vectoriel
des fonctions réelles et identifier directement les constantes.
De plus f (0) = , donc A = .
On vient de montrer que si f est solution de (C-1, ), alors pour tout réel x,
f (x) = (cos x + sin x)
Réciproquement, une telle fonction est solution de (C-1, ).
La solution de (C-1, ) est la fonction x  R 7 (cos x + sin x).

P
3.a La série entière  n(n-1)/2 xn /n! converge absolument sur l'intervalle ] -R 
; R [,
où R est son rayon de convergence. Puisque  n'est pas nul, la suite ( n(n-1)/2 
/n!)nN
ne prend jamais la valeur 0. Déterminons alors R en appliquant la règle de
d'Alembert : étudions la valeur absolue du rapport de deux termes consécutifs de
cette suite.
n(n+1)

n!
||n
 2
=
n(n-1)
(n + 1)!  2
n+1

n  N

Comme  < 1, la limite de ce rapport existe et est nulle. On en déduit que
R = +. Par conséquent,
P n(n-1) xn
Si || 6 1, la série   2
est absolument convergente pour tout réel x.
n!

Notons g sa somme. La somme d'une série entière est dérivable sur son intervalle
ouvert de convergence et sa dérivée s'obtient en dérivant la somme terme à 
terme.
Par suite, g est dérivable sur R et pour tout réel x,
+

g  (x) = 

P

n(n-1)
2

n=1
+

=

P

k(k+1)
2

P

n(n-1)
2

k=0
+

donc

g  (x) =

n=0

xn-1
(n - 1)!

xk
k!

(k = n - 1)

(x)n
= g(x)
n!

De plus, g(0) = . On en déduit que :
La fonction g est solution du système (C, ).
3.b Supposons maintenant || > 1. Étudions comme précédemment la convergence
de la série entière en utilisant la règle de d'Alembert. La valeur absolue du 
rapport
de deux termes consécutifs de la suite étudiée est encore, pour n  N, ||n /(n + 
1).
Par croissance comparée, comme || > 1, cette suite diverge vers + et on en
déduit que R = 0. Le rayon de convergence de la série entière est maintenant 
nul.
Par conséquent,
P n(n-1) xn
Si  > 1, la série   2
n'est pas solution du système (C, ).
n!
4.a Avant de commencer à répondre à la question, on peut remarquer que TA est
bien définie de EA dans EA . En effet, comme || 6 1, si |x| 6 A, |x| 6 A. Donc 
si
g  EA , la fonction x  [ -A ; A ] 7 g(x) appartient à EA et TA g est continue 
sur
[ -A ; A ] comme intégrale d'une fonction continue sur [ -A ; A ].
Cette vérification n'est pas obligatoire mais elle fait toujours bon effet dans
une copie.
Soient (g, h)  EA et x  [ -A ; A ].
(TA g - TA h)(x) =

Z

x

(g(t) - h(t)) dt

0