ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2005
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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Endomorphismes d'espaces fonctionnels
Ce problème a pour but l'étude de certains endomorphismes des espaces de
fonctions diffé--
rentiables et des espaces duaux.
Pour tout entier n > 0 on désigne par En l'espace vectoriel des fonctions à
valeurs complexes,
de classe C'", définies sur l'intervalle [--1, 1] ; pour toute f de E0 on pose
llf|l = sup{lf(fB)l » fl? EUR l--1»1l}-
Enfin, on munit En de la norme 7rn définie par
...f) = max{||fn , k = 0,1,... ,n} .
(On ne demande pas de vérifier que 7rn est effectivement une norme).
Première partie
1. Calculer 7rn(Xp) où 19 E N et Où X désigne la fonction a: +----> $.
Pour tout f de E... n > 0 et tout 9 de E... n > 1, on pose
1
(Anf)(oe) = a:f(oe) , (Bng)(oe) =/0 g'(oet)dt pour tout :L' E [--1, 1] .
2.a) Vérifier que An f appartient à E... et que Bng appartient à En_1.
b) Montrer que An est une application linéaire continue de En dans lui--même,
de norme
égale à n + 1, et que Bn est une application linéaire continue de En dans En_1,
de norme égale
à 1.
3. Calculer les produits BnAn et An_1Bn, applications de En dans En_1.
4. On se propose maintenant de démontrer que le sous--espace image de An est le
sous--
1
ensemble Fn de En formé des fonctions g telles que g(0) : 0 et que, en outre,
-- (g...) (a:) -- g... (O))
:13
admette une limite finie lorsque a: tend vers 0.
&) Traiter le cas où n = 0.
b) Supposant maintenant n > O, vérifier que Im An est inclus dans F...
c) Prenant 9 dans Fn et posant f = Bng, montrer que f est de classe C" sur
[--1,1] privé
1
de 0, puis étudier le comportement de -- ( f ("_1)(oe) -- f (n--1)(O)) lorsque
:c tend vers 0.
a:
d) Conclure.
Deuxième partie
On désigne par E l'espace vectoriel des fonctions a valeurs complexes, de
classe 000, définies
sur [--1,1]. Pour toute f E B on pose
_+OO 1 7Tn(f)
6 O, fi(n) converge uniformément vers f(n).
c) La fonction 5 définie ci--dessus est-elle la seule pour laquelle les
assertions 5.a) et 5.b)
sont vraies ?
On désigne respectivement par A et B les endomorphismes de E définis par
1
(Af)(æ)=æf(æ) , (Bg)(oe)= /Û g'(æt)dt pour tout :cEUR[--1,1].
6.a) Déterminer les produits AB et B A.
b) Déterminer les noyaux et les images de A et B.
7.a) Déterminer des fonctions = [: @.g<æt>dt.
[On pourra procéder par récurrence sur n.]
h) Calculer (B"g)(0).
c) On fixe g dans E. Déterminer des polynômes P... n = O, 1, . . . tels que
l'on ait
Va: EUR [0,1] Vn ; 1 , (A" B"g)(oe) : g(:c) -- Pn_1(æ) .
[On pourra procéder par récurrence sur n et écrire An+1 B"+1 : A" A B B".]
(1) Déduire de ce qui précède une démonstration de la formule de Taylor avec
reste intégral.
8. Déterminer l'image de A" et le noyau de B".
Troisième partie
On désigne par E' l'espace vectoriel "des formes linéaires @ sur E possédant la
propriété
suivante : si des éléments f et fi(i E N) de E sont tels que 5 ( f,; -- f) tend
vers 0 lorsque t' tend
vers --l--oo, alors 90(f,--) tend vers go(f).
9. Vérifier que, si 90 appartient a E' , il en est de même des formes linéaires
go 0 A et 90 o B.
On note A' et B' respectivement les endomorphismes de E' ainsi définis. Pour
tout i E N et
tout oz EUR [--1,1], on note go.... la forme linéaire sur E : f r--+ f(i)(oz).
10. Pour 77. entier positif, déterminer Im (A')" et Ker (B')"; montrer que les
g00;,-,
z'= O,. .. ,n -- 1, forment une base de Ker (A')".
11. Déterminer les éléments $ de E' solutions de l'équation (A')"ù : g00;0.
Étant donné un nombre complexe oz, on désigne par T & l'endomorphisme de E
défini par
(Taf)(æ) : (oe ---- &) f(æ) pour tout oe EUR [--1,1] .
On pourra admettre les résultats suivants :
(i) si
