X Maths 1 MP 2005

Thème de l'épreuve Endomorphismes de certains espaces fonctionnels et de leurs duaux
Principaux outils utilisés théorèmes de régularité pour les intégrales à paramètres, théorème de Fubini, formule de Leibnitz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2005

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

Endomorphismes d'espaces fonctionnels

Ce problème a pour but l'étude de certains endomorphismes des espaces de 
fonctions diffé--
rentiables et des espaces duaux.

Pour tout entier n > 0 on désigne par En l'espace vectoriel des fonctions à 
valeurs complexes,
de classe C'", définies sur l'intervalle [--1, 1] ; pour toute f de E0 on pose

llf|l = sup{lf(fB)l » fl? EUR l--1»1l}-

Enfin, on munit En de la norme 7rn définie par
...f) = max{||fn , k = 0,1,... ,n} .

(On ne demande pas de vérifier que 7rn est effectivement une norme).

Première partie

1. Calculer 7rn(Xp) où 19 E N et Où X désigne la fonction a: +----> $.

Pour tout f de E... n > 0 et tout 9 de E... n > 1, on pose

1
(Anf)(oe) = a:f(oe) , (Bng)(oe) =/0 g'(oet)dt pour tout :L' E [--1, 1] .

2.a) Vérifier que An f appartient à E... et que Bng appartient à En_1.

b) Montrer que An est une application linéaire continue de En dans lui--même, 
de norme

égale à n + 1, et que Bn est une application linéaire continue de En dans En_1, 
de norme égale
à 1.

3. Calculer les produits BnAn et An_1Bn, applications de En dans En_1.

4. On se propose maintenant de démontrer que le sous--espace image de An est le 
sous--
1

ensemble Fn de En formé des fonctions g telles que g(0) : 0 et que, en outre, 
-- (g...) (a:) -- g... (O))
:13

admette une limite finie lorsque a: tend vers 0.
&) Traiter le cas où n = 0.
b) Supposant maintenant n > O, vérifier que Im An est inclus dans F...

c) Prenant 9 dans Fn et posant f = Bng, montrer que f est de classe C" sur 
[--1,1] privé

1
de 0, puis étudier le comportement de -- ( f ("_1)(oe) -- f (n--1)(O)) lorsque 
:c tend vers 0.
a:

d) Conclure.

Deuxième partie

On désigne par E l'espace vectoriel des fonctions a valeurs complexes, de 
classe 000, définies
sur [--1,1]. Pour toute f E B on pose

_+OO 1 7Tn(f)
6 O, fi(n) converge uniformément vers f(n).

c) La fonction 5 définie ci--dessus est-elle la seule pour laquelle les 
assertions 5.a) et 5.b)
sont vraies ?

On désigne respectivement par A et B les endomorphismes de E définis par
1

(Af)(æ)=æf(æ) , (Bg)(oe)= /Û g'(æt)dt pour tout :cEUR[--1,1].

6.a) Déterminer les produits AB et B A.

b) Déterminer les noyaux et les images de A et B.

7.a) Déterminer des fonctions  = [: @.g<æt>dt.

[On pourra procéder par récurrence sur n.]
h) Calculer (B"g)(0).

c) On fixe g dans E. Déterminer des polynômes P... n = O, 1, . . . tels que 
l'on ait
Va: EUR [0,1] Vn ; 1 , (A" B"g)(oe) : g(:c) -- Pn_1(æ) .

[On pourra procéder par récurrence sur n et écrire An+1 B"+1 : A" A B B".]
(1) Déduire de ce qui précède une démonstration de la formule de Taylor avec 
reste intégral.

8. Déterminer l'image de A" et le noyau de B".

Troisième partie

On désigne par E' l'espace vectoriel "des formes linéaires @ sur E possédant la 
propriété
suivante : si des éléments f et fi(i E N) de E sont tels que 5 ( f,; -- f) tend 
vers 0 lorsque t' tend
vers --l--oo, alors 90(f,--) tend vers go(f).

9. Vérifier que, si 90 appartient a E' , il en est de même des formes linéaires 
go 0 A et 90 o B.

On note A' et B' respectivement les endomorphismes de E' ainsi définis. Pour 
tout i E N et
tout oz EUR [--1,1], on note go.... la forme linéaire sur E : f r--+ f(i)(oz).

10. Pour 77. entier positif, déterminer Im (A')" et Ker (B')"; montrer que les 
g00;,-,
z'= O,. .. ,n -- 1, forment une base de Ker (A')".

11. Déterminer les éléments $ de E' solutions de l'équation (A')"ù : g00;0.

Étant donné un nombre complexe oz, on désigne par T & l'endomorphisme de E 
défini par
(Taf)(æ) : (oe ---- &) f(æ) pour tout oe EUR [--1,1] .

On pourra admettre les résultats suivants :

(i) si 

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X Maths 1 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Fabrice Mathurin (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet propose l'étude d'applications linéaires sur l'espace des fonctions de
classe C n ou C  à valeurs complexes (donc de dimension infinie). Il s'articule 
en
trois parties.
· Dans la première partie, on étudie deux applications linéaires An et Bn
très simples sur l'espace En des fonctions de classe C n et on identifie
précisément l'image de An . Seule la dernière question est difficile.
· Dans la deuxième partie, on étudie les endomorphismes A et B que An et Bn
induisent sur l'espace E des fonctions de classe C  ; on cherche notamment
à exprimer de manière simple les puissances et les produits de ces 
endomorphismes. Les résultats sont ensuite utilisés pour la recherche du noyau 
et de
l'image de ces applications.
· Enfin, dans la dernière partie, on étudie les endomorphismes induits par A et 
B
sur un sous-espace de l'ensemble E des formes linéaires sur E.
Ce sujet peut paraître simple mais comporte en fait plusieurs difficultés. Dans 
les
deux premières parties, moins difficiles, il faut faire bien attention à 
rédiger correctement les questions. Au cours de la troisième partie, il faut 
avoir une bonne habitude
de l'espace des formes linéaires. De plus, les notations de l'énoncé, sans être 
particulièrement mal choisies, font qu'il est facile de perdre de vue le type 
d'objet manipulé.
Pourtant, les réponses sont souvent plus simples que l'on pense et, parfois, 
nécessitent
uniquement de se rappeler le résultat d'une question précédente.
À ce propos, le sujet est loin d'être composé de parties indépendantes. On 
utilise
très souvent des résultats prouvés un peu auparavant, sauf pour quelques 
questions
(comme la 12). Par exemple, si l'on arrive à résoudre la question 7.a, assez 
difficile,
le reste de la partie en découle immédiatement. Mais l'énoncé de la question 
n'est
pas assez précis pour que l'on se permette d'admettre le résultat pour 
continuer.
On peut ainsi difficilement s'autoriser à sauter des étapes.
Le sujet est original et permet de manipuler des objets qui ne sont pas courants
dans les sujets de concours : l'espace des formes linéaires et les applications 
linéaires
en dimension infinie.

Indications
Première partie
2.a Utiliser le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres.
2.b Calculer (An f )(k) et (Bn f )(k) pour une fonction f donnée et tout entier 
k,
puis majorer grossièrement.
3 Pour le produit Bn An , calculer la dérivée de An f pour une fonction f donnée
puis intégrer par parties. Pour le produit An Bn , supposer dans un premier 
temps
x non nul et calculer explicitement l'intégrale Bn f .
4.a Pour montrer que Fn est incluse dans l'image de An , considérer g dans Fn .
Appeler  la limite de g(x)/x en 0 et définir f continue telle que An f = g.
4.b Calculer (An f )(n) pour f donnée.
4.c Utiliser la représentation intégrale de Bn f et un changement de variable 
pour obtenir une expression de (f (n-1) (x) - f (n-1) (0))/x sous forme d'une 
intégrale de
(g (n) (u) - g (n) (0))/u. Utiliser alors le fait que cette dernière quantité a 
une
limite finie en 0.
Deuxième partie
5.a Introduire h : x 7 x/(1 + x). Montrer que h est croissante et sous-additive
c'est-à-dire que
x, y

h(x + y) 6 h(x) + h(y)

5.b Montrer que si (f - fi ) tend vers 0 alors pour tout entier n, n (f ) tend 
vers 0.
Pour la réciproque, utiliser le faitPque la fonction h de l'indication 
précédente
est majorée par 1 et que la série 2-n est convergente.
6.a Montrer que A est injective avec pour image les fonctions nulles en 0. 
Montrer
que B est surjective avec pour noyau les fonctions constantes.
7.a Utiliser le théorème de Fubini. La fonction n solution est l'application
t 7 (1 - t)n-1 /(n - 1) !.
8 Montrer que l'image de An est l'ensemble des fonctions dont les n - 1 
premières
dérivées en 0 sont nulles. Montrer que le noyau de Bn est l'ensemble des 
fonctions
polynomiales de degré au plus n - 1.
Troisième partie
9 Montrer que si (f - fi ) tend vers 0, alors de même (Af - Afi ) et (Bf - Bfi )
tendent vers 0.
10 Utiliser le résultat de la question 6.a pour montrer que A est surjective et 
B
injective. Utiliser ensuite le résultat de la question 7.c.
11 Utiliser le résultat de la question 7.c.
12 Montrer que, pour tout élément xi de Ker Ui , on a U1 · · · Ur (xi ) = 0.
Pour l'inclusion réciproque, remarquer que si x est un élément de Ker U1 · · · 
Ur ,
alors U2 · · · Ur (x) est un élément de Ker U1 et utiliser les hypothèses.
13.a Utiliser le fait que C est algébriquement clos.
r

13.b Poser Q =

 (x - i )m
k=1

i

et utiliser le résultat de la question 12 appliqué

à la famille d'endomorphismes T(x-i )mi .

Première partie
1 Soient p et n deux entiers naturels. Notons fp la fonction x 7 xp . Si k est 
inférieur
ou égal à p, alors
fp (k) (x) = p(p - 1) · · · (p - k + 1) xp-k =

p!
xp-k
(p - k) !

Par définition de la norme, on trouve alors
fp (k)

=

p!
(p - k) !

étant donné que pour tout élément x de l'intervalle [ -1 ; 1 ], on a xp-k
avec égalité lorsque x est égal à 1. Si k est strictement supérieur à p, alors
fp (k) (x) = 0

et donc

fp (k)

6 1

=0

Par conséquent, on distingue deux cas pour la valeur de n (fp ) :
Si n 6 p, alors n (fp ) =

p!
et sinon n (fp ) = p !.
(p - n) !

2.a Soit f une fonction de classe C n . Il est clair que (An f ) est de classe 
C n comme
produit de deux fonctions de classe C n . Par ailleurs, si g est de classe C n 
avec n
supérieur à 1, la fonction g  est de classe C n-1 et la fonction de deux 
variables
h : (x, t) 7 g  (xt)
est également de classe C n-1 sur le domaine [ -1 ; 1 ] × [ 0 ; 1 ]. Sur ce 
compact,
h est bornée car continue ainsi que toutes ses n - 1 premières dérivées 
partielles par
rapport à x. Pour tout entier k compris entre 0 et n - 1, il existe un réel Mk 
tel que
(x, t)  [ -1 ; 1 ] × [ 0 ; 1 ]

k+1
kh
g
k
=
t
(x,
t)
(x, t) 6 Mk
xk
xk

En particulier, puisqu'une fonction constante est intégrable, en vertu du 
théorème
de dérivation sous le signe somme, on en déduit que Bn g est de classe C 1 et 
que sa
dérivée vaut
Z 1

(Bn g) (x) =
tg  (xt) dt
0

De la même manière, on peut alors appliquer à nouveau le théorème pour montrer 
que cette fonction est elle aussi de classe C 1 et donc que Bn g est de classe 
C 2 ,
et ainsi de suite jusqu'à montrer qu'elle est en fait de classe C n-1 . Ainsi, 
pour toutes
fonctions g de En avec n > 1 et f de En ,
(An f ) appartient à En et (Bn g) appartient à En-1 .
2.b Soient n un entier naturel et f un élément de En . Il est clair que An est 
linéaire
et le résultat de la question précédente assure que c'est un endomorphisme de 
En .
Par une récurrence immédiate (ou en appliquant la formule de Leibniz), pour tout
entier k,
(An f )(k) (x) = xf (k) (x) + kf (k-1) (x)

D'autre part, la définition de n entraîne que pour tout entier k compris entre 
0 et n,
f (k) (x) 6 n (f )

x  [ -1 ; 1 ]

On a alors pour tout réel x compris entre -1 et 1,
(An f )(k) (x) 6 (k + 1)n (f )

et donc

(An (f ))(k)

6 (k + 1)n (f )

puis en passant au maximum sur k,
n (An f ) 6 (n + 1)n (f )
Si f est un élément de la boule unité de (E, n ), alors n (f ) est inférieur à 
1 ce qui
entraîne que n (An f ) est inférieur à n + 1. Par définition, on en déduit que
|||An ||| =

sup ||n (An f )|| 6 n + 1 < 
n (f )61

ce qui assure que An est continu. On prouve que la norme est exactement n + 1 en
remarquant que l'inégalité précédente est une égalité dans le cas de la 
fonction fn de
la question 1. Finalement,
An est un endomorphisme continu de En de norme n + 1.
Considérons maintenant n un entier supérieur ou égal à 1 et g un élément de En .
L'application Bn est également linéaire et le résultat de la question 2.a 
précise que
son image est incluse dans En-1 . Pour tout entier k compris entre 0 et n - 1,
le théorème de dérivation sous le signe somme assure de plus que
Z 1
(Bn g)(k) (x) =
tk g (k+1) (xt) dt
0

et une majoration grossière donne pour tout réel x élément de [ -1 ; 1 ]
Z 1
Z 1
n (g)
(Bn g)(k) (x) 6
tk g (k+1) (xt) dt 6
tk n (g) dt =
6 n (g)
k+1
0
0
En passant à la borne supérieure sur x puis au maximum sur k, on obtient alors
n (Bn g) 6 n (g)
ce qui prouve comme précédemment la continuité de Bn . Maintenant, si l'on 
choisit
pour g l'application x 7 x, on constate que Bn g est l'application constante 
égale à 1.
Par suite, le résultat de la question 1 montre que l'inégalité précédente est 
une égalité
pour cette fonction g particulière. Ainsi,
Bn est une application linéaire continue de En dans En-1 de norme 1.
3 Soit f un élément de En . Alors
An f (x) = xf (x)

et donc

(An f ) (x) = xf  (x) + f (x)

et par conséquent,
(Bn An f )(x) =

Z

1

xtf (xt) dt +

0

Z

1

f (xt) dt

0

On effectue alors une intégration par parties dans la première intégrale en 
dérivant
la fonction t 7 t et en intégrant t 7 xf  (xt) dont une primitive est t 7 f 
(xt).
Il vient alors
Z 1
Z 1
(Bn An f )(x) = [tf (xt)]10 -
f (xt) dt +
f (xt) dt = f (x)
0

0