X Maths 1 MP 2002

Thème de l'épreuve Étude d'un opérateur intégral sur l'ensemble des fonctions continues de carré intégrable sur ]0,1[
Principaux outils utilisés intégrale sur un segment, analyse réelle, intégrales à paramètre, fonctions convexes, opérations sur les ensembles
Mots clefs opérateur intégral, fonction de carré intégrable

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP

CONCOURS D'ADMISSION 2002

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

***

On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et a la 
concision de la rédaction.

***

La première partie est indépendante des trois autres.

***

Première partie

_ 00
1. On considère une suite (wn)neN de réels strictement positifs vérifiant z wn 
: 1 et une

n=0

00
suite (an)ngN de réels telle que 2 wnaâ < +oo.

n=0

OO
Vérifier que la fonction a: »--> Da (a:) = z wn (an -- a:)2 est bien définie 
sur R et atteint son
n=0

minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est 
atteint.

2. On considère une fonction continue réelle de carré intégrable f sur 
l'intervalle ]0, 1[. Vérifier

1
2
que la fonction a: l----> D f (a:) = / ( f (t) -- a:) dt est bien définie sur R 
et atteint son minimum.
0

On déterminera ce minimum ainsi que l'ensemble des points où il est atteint.

Deuxième partie

Dans cette partie, on se donne une fonction réelle f sur l'intervalle I =]0,1[, 
continue par
morceaux et intégrable.

1
3. Vérifier que la fonction a: +--> A(oe) = / | f (t) -- æ|dt est bien définie 
sur R.
0

4.51) Montrer que la fonction A est continue et convexe.

b) Déterminer les limites de A(oe) lorsque a: tend vers +00 ou --oo.

5. Montrer que A admet un minimum, que l'on notera V, et que l'ensemble M des 
points
où A atteint ce minimum est un intervalle.

6. Eæemples. Déterminer A, V et M dans les deux cas suivants :

1sit1/2

b) W) = t.

Troisième part ie

On se donne à nouveau une fonction f ayant les propriétés indiquées dans la 
deuxième
partie; on suppose en outre que f est monotone par morceaux, c'est--à--dire 
qu'il existe des

nombres
tg=Û = îä£. ....

c) Etant donnée une suite décroissante d'intervalles (Jn)nEURN, on a

/\( nQN J") =ÉÊ1£r MJ") '

9. Soit 33 un réel et 5 un réel > 0; on pose

J1 =]--oo,oe], J2 =]æ,oe+e[, J3= [oe+e,+oo{.

&) Démontrer l'égalité suivante :

1 2

g(A(æ + e) -- A(æ)) -- À(J1) + À(J3) = À(J2) + E /01 X,, (t)(oe - f(t))dt,

où A est la fonction définie à la question 3.
b) Montrer que A admet en tout point 56 une dérivée a droite que l'on 
déterminera.
c) Même question pour la dérivée à gauche.
(1) Comparer ces deux dérivées et dire pour quelles valeurs de a: elles sont 
égales.

10. On pose
@(OE) = /\(l -- oo,oe]) ...
...... =.ÆOEJ(OE+È) ......) =sææ(æ--;Ë) @)

a) Exprimer çb(oe + O) et çb(oe -- 0) en fonction de çb(oe) et de À({oe}).

b) Montrer que l'ensemble N des réels a: vérifiant qb(oe -- 0) < 1 / 2 < @(oe), 
s'il n'est pas
vide, est un intervalle fermé borné.

c) Comparer les ensembles M (défini a la question 5.) et N et préciser le 
comportement
de (15 sur l'intérieur de N lorsque N n'est pas réduit à un point.
Quatrième partie
11. On se donne une fonction f sur I, réelle, continue, intégrable et monotone 
par morceaux;
on note M f et Vf ce qui était noté M et V.
&) Démontrer l'inclusion M f C f (I )

b) Montrer que M f est réduit à un point, que l'on notera m f.

1 1
c) Comparer Vf et / lf(t)|dt, puis mf et 2/ |f(t)|dt.
0 0

12. On considère une suite ( g,,) de fonctions sur I , réelles, continues, 
intégrables et monotones
par morceaux; on suppose que cette suite converge en moyenne vers une fonction 
9 continue par
morceaux, intégrable et monotone par morceaux. On pose mn = mg,". Montrer que 
l'ensemble
des valeurs d'adhérence de la suite (mn) est non vide et inclus dans l'ensemble 
Mg des points

1
où la fonction oe 1--> / lg(t) -- a:|dt atteint son minimum.
0

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths 1 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par
Walter Appel (professeur en CPGE) et Thomas Chomette (ENS Ulm).

Ce problème d'analyse porte principalement sur l'étude de l'application

 R - R
Z 1
:

 x 7-
|f (t) - x| dt
0

où f est une application donnée sur ] 0 ; 1 [, continue par morceaux, monotone 
par
morceaux et intégrable.
· La première partie propose une introduction au thème par l'étude de 
l'applicaZ 1
tion x 7-
(f (t) - x)2 dt, précédée de l'analogue discret.
0

· La deuxième partie établit quelques premières propriétés de l'application 
et propose ensuite l'étude de deux exemples concrets. Il s'agit essentiellement
d'analyse réelle.
· La troisième partie établit une correspondance entre  et une application 
définie sur les intervalles de R, portant le nom de mesure de probabilité ; elle
s'achève en proposant une caractérisation de l'ensemble des points où  est
minimale. Cette partie est originale et assez difficile. De plus, elle nécessite
d'être parfaitement au point sur les fonctions convexes.
· Enfin, la quatrième partie précise où se situe (en fonction de f ) le minimum
de  ; on y montre que si f est continue, ce minimum est atteint en un unique
point, et on situe ce point vis-à-vis de la norme kf k1 . Cette partie est 
légèrement
plus classique que la précédente, mais reste difficile.
Comme d'habitude à ce concours, le problème est assez déroutant. Il faut 
notamment utiliser l'inégalité triangulaire sous toutes ses formes sans la 
moindre hésitation
et savoir jongler avec les reformulations d'une même question pour arriver aux 
solutions. Hormis une utilisation non évidente du théorème de convergence 
monotone,
les outils mathématiques utilisés sont assez simples (séries numériques, 
intégration
sur un intervalle, manipulations ensemblistes).

Indications
Signalons d'abord quelques liens entre les questions :
· Les questions 1 et 2 sont indépendantes du reste du problème.
· Les questions de la deuxième partie sont liées les unes aux autres de façon
naturelle. En revanche, les résultats nécessaires pour répondre aux dernières
questions sont écrits dans l'énoncé.
· Les questions 7 et 8 sont indépendantes de la deuxième partie ; ce n'est pas
le cas des questions 9 et 10 ; de plus, dans ces deux questions, les résultats
demandés ne sont pas donnés par l'énoncé et sont néanmoins indispensables
pour répondre à la question 11.
· La question 12 est relativement indépendante des autres : les résultats utiles
sont énoncés dans le texte.
Première partie
1 et 2 Montrer que Da (respectivement Df ) est une fonction polynomiale 
unitaire du
second degré ; pour cela, commencer par montrer que la série de terme général
-2wn an converge absolument.
Deuxième partie
4.b Utiliser l'inégalité triangulaire : |x - f (t)| > |x| - |f (t)|.
5 Utiliser la question précédente pour prouver l'existence du minimum. Montrer
que M est un convexe.
6 Faire des dessins dans la copie donne toujours au correcteur une bonne 
impression.
Troisième partie
-1

7 Montrer que f (J) est une union finie d'intervalles et remarquer que J est
la fonction indicatrice de l'ensemble f -1 (J).
8.a Utiliser le fait que, si A1 , . . ., An sont des ensembles disjoints, alors
1[A1 ···An ] = 1A1 + · · · + 1An
8.b Appliquer le théorème de convergence monotone de manière adéquate.
10.b En utilisant la caractérisation séquentielle, montrer que  est continue à 
gauche
et que (· - 0) est continue à droite. Montrer que (x) ----- 0 et (x -
x-

0) ---- 1 .
x+

10.c On a M = N ; pour le montrer, utiliser le fait (que l'on peut justifier à 
l'aide
d'un dessin sur la copie) que l'ensemble des points où une fonction convexe
atteint son minimum est exactement l'ensemble des points où la dérivée à
gauche est négative, et la dérivée à droite positive.

Quatrième partie
11.a Montrer que si x n'est pas dans f (I) et, si l'on choisit y « strictement 
» entre
x et f (I), alors (y) < (x). Ce raisonnement est à peaufiner car f (I) n'est
pas nécessairement un intervalle fermé. La remarque dans le corrigé donne une
indication plus détaillée.
11.b Raisonner par l'absurde, avec Nf plutôt que Mf .
11.c Vf 6 (0). Prouver que Mf  [ -2kf k1 ; 2kf k1 ] en montrant que si x est tel
que |x| > 2kf k1 , alors (x) > kf k1 .
12 Montrer que gn converge uniformément vers g .

Première partie
1 Soit x  R. De l'inégalité bien connue |2ab| 6 (a2 +b2 ) (qui n'est qu'une 
réécriture
de (|a| - |b|)2 > 0) appliquée avec a = an et b = -wn , il vient :
N
P

N  N

| - 2wn an | 6

n=0

N
P

wn an 2 +

n=0

N
P

wn

n=0

Vu que les deux sommes partielles du membre de droite convergent et que pour
tout n, | - 2wn an | est positif, la série de terme général -2wn an converge 
absolument.
Donc chaque somme de l'expression
+

P

+

wn an 2 - 2x

n=0

P

wn an + x2

n=0

+
X

wn

n=0

| {z }
=1

existe. On peut de plus rassembler les sommes pour obtenir :
+

P

+

wn an 2 - 2x

n=0

P

+

wn an + x2 =

n=0

P

wn (an - x)2 = Da (x)

n=0

L'argument « on peut rassembler les sommes » utilisé ici découle de la
proposition suivante appliquée aux sommes partielles : si (an )n et (bn )n sont
deux suites convergentes, la suite (an + bn )n est également convergente, sa
limite étant la somme des limites de (an )n et (bn )n . La réciproque n'est
pas vraie : si l'on scinde en deux une série convergente, on n'obtient pas
nécessairement deux séries convergentes.
Ici, le meilleur moyen d'utiliser Da est de montrer qu'il s'agit d'une fonction 
polynomiale ; c'est pour cela qu'on a raisonné avec trois termes.

Donc

Da est bien définie sur R
+

et

x  R

Da (x) = x2 - 2x

P

+

wn an +

n=0

P

wn an 2

n=0

Da est donc une fonction polynomiale unitaire de degré 2. En particulier,
Da atteint son mimimum en un point unique sur R.
+

De plus, on a :

Da  (x) = 2x - 2

P

wn an

n=0

Le point où Da atteint son minimum est naturellement le zéro de Da  .
+

Da atteint son minimum en x0 =

P

wn an .

n=0