ÉCOLE POLYTECHNIQUE FILIÈRE MP
CONCOURS D'ADMISSION 2001
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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On attachcm la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la
concision de la
rédaction.
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Première partie
On désigne par S le plan complexe C privé du sous--ensemble --N -- 1/2 =
{--1/2, --3/27 . . . }.
Pour tout s dans S on note (ES) l'équation différentielle
2æ(1 _ oe)f"(oe) + (23 + 1 _ (28 + 3)oe)f'(oe) -- sf(oe) : 0 .
On cherche une solution de (E3) sous la forme d'une série entière
fs(OE) = z an(s)oen avec ao : 1.
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1. Écrire an+1(s) en fonction de an(s).
an+1(5)
an(s)
2. Déterminer la limite de lorsque 3 n'est pas un entier négatif ou nul.
3. Montrer que le rayon de convergence de la série est égal à 1 ou à +00 et que
sa somme
f3(oe) est effectivement une solution de (ES).
4. Montrer que la fonction (5, 513) l----> fs(oe) est continue sur SX] -- 1,1[.
5. On considère maintenant l'équation différentielle
(EQ) t2(1 -- t2)F"(t) -- 2t3F'(t) + 5(1 -- 3)(1 -- t2)F(t) : 0 , t e]0,1[ .
&) Ramener sa résolution à celle de (E3) en cherchant F (t) sous la forme ts f
(752). [On
dts __1
: ts .
dt " ]
rappelle que
b) Montrer que, si 5 n'appartient pas a Z + 1/2, les fonctions Cl>3(t) :
t3f3(t2) et
1_S(t) : t1_3f1_3(t2) forment une base de l'espace des solutions de (EQ).
Deuxième partie
On désigne par H l'ensemble des nombres complexes z = a: + iy tels que y > 0;
on pose
Rez=oe, Imz=y.
6. Démontrer les résultats suivants :
zcos9--sin0
&) Pour tout z E H et tout 9 E R, le nombre complexe ------_------------- est
bien défini et
z sm 9 + cos 9
appartient à. H (on précisera sa partie imaginaire).
9 -- ' 9
b) Si l'on pose Ag(2) : M on obtient une action du groupe additif R sur H.
zsin9+cos9'
est invariante par les transformations A9,
c) La fonction réelle sur H : z +----> C(Z) =
c'est--à--dire C(A9(Z)) : c(z) VZ E H, V9 E R.
d) Si 2 est différent de i, on a A9(Z) : A9/(Z) si et seulement si 9 ---- 9'
EUR 7rZ.
7. On fixe un point 20 de H, distinct de i.
&) Vérifier que l'orbite de zo sous l'action du groupe R est incluse dans le
cercle de centre
ic(z0) et de rayon (c(z0)2 -- 1)1/2.
b) Montrer que l'orbite de zo est égale à ce cercle.
8. On définit une application indéfiniment difiérentiable U de ]O,1[XR dans H
par
U(t, @) : Ag(ü).
&) Calculer le déterminant jacobien de U , qu'on notera J (t, (9).
[On utilisera la formule J(t, @) : Im (ôU ÔU>].
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b) Démontrer les assertions suivantes :
(1) U(]O, 1[>1_3 ont été définies à la question 5.b).
15. Supposant Re 3 < 1/2, exprimer À8 sous la forme d'une intégrale sur l'intervalle ]0, 7T[. Nota : L'ensemble H est appelé demi-plan de Poincaré et est le cadre d'une géométrie non az + b cz + d analogue à celui des déplacements du plan euclidien, les transformations Ag un rôle analogue à celui des rotations. Enfin l'opérateur différentiel D est l'analogue du laplacien. euclidienne; les transformations z f--> (a,b,c,d réels et ad -- bc : l) jouent
un rôle
