Mines Maths 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Points fixes et opérateurs à noyau
Principaux outils utilisés topologie, suites de Cauchy, intégrales
Mots clefs norme, intégration, compacité, point fixe, convergence de suites, convergences de fonctions, théorème de convergence dominée, extraction diagonale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2014 MATH. Il MP

ECOLE DES PONTS PARISTECH,

SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIËRE MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI).

CONCOURS 2014

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis àla disposition des concours :
CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie:

ZVIATHÊNIATIQUES II - MR

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
dénoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Points fixes et opérateurs à noyau

On considère un espace réel E de Banach, c'est--a ' -dire un espace vectoriel
sur [R muni d'une norme notée || II et cqmplet pour cette norme. Si A est une

partie de B, on note A son adhérence, A son intérieur, ôA= A \ A sa frontière,
et d(x,A)=1nfyeAllx--yll sa distance a un point x E B. On note respectivement
B(x, r)-- -- { yEUR E; ||y-- xll < r} etB(x, r)-- -- { yEUR E; ||y-- xll< r} 
les boules ouverte
et fermée de centre x et de rayon r.

Étant données deux parties A et B de E, et une application f : A --> B, on
rappelle que x E E est un point fixe de f si c'est une solution de l'équation
x = f(x). L'application f est dite contractante si elle est k-lipschitzienne de
rapport k E [O, 1 [, c'est-à-dire si pour tous x, y EUR A, il existe un réel k 
< 1 tel que

"f(x) --f(y)ll < kllx--yll.

On rappelle qu'une application lipschitzienne est continue.
Dorénavant et dans tout le problème, A désigne une partie fermée non vide
de E .

A. Théorème du point fixe

Dans cette partie préliminaire, on établit le

Théorème (Picard). Toute application contractante f : A --> A admet un unique
pointfixe x E A.

Soit donc f : A --> A une application contractante.
1) Montrer que si f admet un point fixe x, celui-ci est unique.

Soit x0 EUR A et (xn)neN la suite d'éléments de A définie par la relation de 
récur-
rence xn+1 : f (X") pour tout entier naturel n.

2) Montrer que la suite (xn) ,OEN est de Cauchy.

3) Conclure.

B. Invariance par homotopie

Soit f : A --> E et g : A --> E deux applications contractantes. On suppose que
f et g sont homotopes, c'est-à-dire qu'il existe une application h : A >< [0,1] 
--> E
telle que pour tout x E A, on a h(x,0) : f(x) et h(x,1) : g(x), et qui vérifie 
en
outre les trois propriétés suivantes :

@ il existe k E [O, 1[ tel que pour tous x,y EUR A et tout t E [O, 1], on a
llh(x, t) -- h(y, t)ll < kllx--yll ;

@ il existe un réel [c' > O tel que pour tout x E A et tous t, u E [O, 1],
"mx, t) -- h(x, u)ll < k'lt-- ul ;

pour tous te [0,1] etxEUR (M, on ax;£ h(x, t).

On suppose en outre que f admet un point fixe dans A et on pose
T= {te [0,1] ; ElxeA, x= h(x,t)}.

4) Vérifier que T n'est pas vide.

Soit (tn)neN une suite d'éléments de T qui converge vers un réel t E [O, 1]. On
choisit une suite (xn) ,OEN d'éléments de A tels que pour tout entier naturel 
n, on
a la relation xn : h(x... tn).

5) Vérifier qu'une telle suite (xn) neN existe et que pour tous entiers 
naturels n

et m, on a
I
"x --x IIS--lt --t |.
6) Montrer alors que la suite (xn) ,OEN est de Cauchy et en déduire que T est
fermée.

Soit encore t E T et x E A tels que x : h(x, t).

7) Vérifier que d(x,ôA) > O.
(1 -- k) r

Soit r et 5 deux nombres réels strictement positifs tels que 5 < et r <
d(x,ôA), et soit u E [O, 1] tel que lt-- ul < 5.
8) Montrer que pour tout y EURË(x, r) n A, on a llx -- h(y, u)) Il < r.

9) En déduire, en utilisant le théorème de Picard ci-dessus, que l'application
y ---> h( y, u) possède un point fixe intérieur à A.

10) En déduire que T est un ouvert relatif à [O, 1]. Conclure alors que g pos-
sède un unique point fixe intérieur à A (on pourra considérer une borne
supérieure de T).

Une application. On ne suppose plus que l'application contractante f : A --> E
admet un point fixe, mais on fait les trois hypothèses suivantes :

@ le vecteur nul O est intérieur à A;
@ l'image f (A) de A par f est bornée ;
pour tout x E (M et tout t E [O, 1], on a x # tf(x).

1 1) Montrer que f possède un unique point fixe intérieur à A.

C. Étude de certains opérateurs à noyau

Soit 61 < 19 deux réels et f : [a, b] >< [R --> [R une application continue. On 
sup-
pose qu'il existe un sous-ensemble D c [R contenant 0 et un réel Ko > 0 
vérifiant
pour tous (t, u) et (t, u) dans [a, b] >< D,

lf(tyu)_f(tyv)l SKOIM-- UI-

L'espace de Banach C ([a, b]) des fonctions continues 

[R est muni de la norme llcpll : supOEW'b] lcp(t)l. Soit K : [a, b] >< [a, 19] --> [R une fonction continue. On définit l'application F de C ([a, b]) dans lui--même par la formule : b F( C, pas nécessairement contractante, telle que le vecteur nul 0 est intérieur à A; l'ensemble f (A) est compact; pour tout x E (M et tout t E [0,1], on a x # tf(x). Onpose X={xeA; EltEUR [0,1] ; x= tf(x)}. 14) Montrer que X est non vide et fermé. En déduire que la fonction ,a : A --> [O, 1] définie par la formule _ d(x, ôA) _ d(x,ôA) + d(x, X) u(x) est bien définie et continue. Déterminer ,u(x) lorsque x E X et lorsque xeôA. On définit une fonction g: C --> C par: ,u(x)f(x) sixeA 8...={ . O s1xeC\A. 15) Montrer que g est continue sur C et que g(C) est compact. On admet le Théorème (Schauder). Si C est une partie convexe fermée de E , toute application f : C --> C continue telle que f (C) est compact possède au moins un point fixe. 16) Conclure, a l'aide du théorème de Schauder, que f admet un point fixe intérieur à A. E. Application aux intégrales de Fredholm On considère dans cette partie l'espace de Banach E = C ([O, 1]) des fonc- tions

[R continues muni de la norme || [R continues muni de la norme ||< [R --> [R, h: [0,1] --> [R et K: [0,1] >< [0,1] --> [R des fonctions continues. On pose, pour tout ça E E et t E [O, 1] : 1 F( 0, il existe ... E L2 tel que I yl < r implique lg(x, y)l < ,Ltr(x) pour tout x E [O, 1]. la fonction K,; définie pour tout t E [O, 1] par la formule K,;(x) : K (t, x) est dans L2, et l'application t ---> K,; est continue de [O, 1] dans L2. On suppose en outre qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout /1 E [O, 1] et toute solution (p de l'équation ça dans E quand n --> +oo, on a la convergence simple F( F( 0, il existe un réel 5 > 0 tel que pour tout n E N et tous t, ue [O, 1], lt-- ul < 5 implique |F( 0, il existe une famille finie t1, t2, . . ., tN E [O, 1] telle que le segment [O, 1] soit inclus dans la réunion des intervalles ] t,-- -- 5, t,-- + 5 [ pour ie {1,2,...,N}. 21) Montrer que si la suite (F (

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Simon Billouet (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Ce sujet de topologie porte sur la recherche de points fixes de certaines 
applications, notamment les opérateurs à noyau.
· La première partie, très classique, redémontre le théorème de Picard sur 
l'existence d'un unique point fixe d'une application contractante f : A - A sur 
un
ensemble A fermé non vide d'un espace de Banach E.
· La deuxième partie établit que l'existence d'un point fixe pour f : A - E
entraîne l'existence d'un point fixe pour g : A - E lorsque f et g sont deux
applications contractantes et homotopes en un sens donné par l'énoncé : il 
existe
une famille (h(·, t))t[ 0 ;1 ] d'applications contractantes de A dans E, ne 
possédant aucun point fixe à la frontière de A, qui permet de « passer 
continûment »
de f = h(·, 0) à g = h(·, 1). On utilise ce résultat pour démontrer une 
variante du théorème du Picard où l'on suppose f : A - E d'image bornée
et où l'on ajoute quelques hypothèses techniques pour assurer l'existence d'un
unique point fixe à l'intérieur de A.
· La troisième partie introduit des opérateurs dits « à noyaux » sur l'espace de
Banach des fonctions continues sur un segment [ a ; b ] muni de la norme de la
convergence uniforme. L'énoncé pose toutes les hypothèses nécessaires sur ces
opérateurs afin de leur appliquer le théorème du point fixe de la deuxième 
partie.
· La quatrième partie propose de montrer une version modifiée de ce théorème
pour une application f : A - C, pas nécessairement contractante, où C est
un convexe fermé de E contenant A, et l'image de f est d'adhérence compacte.
L'idée consiste à prolonger continûment f sur C tout entier pour se ramener
au théorème de point fixe de Schauder sur les convexes, admis par l'énoncé.
· La dernière partie applique le résultat de la quatrième partie aux intégrales
de Fredholm, c'est-à-dire à l'application définie pour toute fonction réelle 
continue sur [ 0 ; 1 ] par
Z 1
F()(t) = h(t) +
K(t, x)g(x, (x)) dx
0

où g, h et K sont des applications continues. Sous certaines hypothèses,
on montre que l'application F est bien définie et qu'elle vérifie les conditions
d'application de la partie D sur l'ensemble A des fonctions de norme inférieure
à un certain réel M. La dernière question permet d'établir que l'application F
admet un point fixe de norme strictement inférieure à M.
Tel qu'il est présenté, ce problème est d'autant plus difficile au premier abord
qu'il utilise dans quatre questions (signalées dans le corrigé) des notions 
maintenant
hors programme, mais qui restent abordables une fois les définitions 
correspondantes
connues. Toutefois, à l'aide des indications situées page suivante, il permet 
de travailler et d'approfondir les chapitres de topologie du programme de MP.

Indications
Partie A
1 Supposer que l'application f admet deux points fixes et montrer qu'ils sont 
égaux.
2 Commencer par montrer que pour tout q  N
kxq+1 - xq k 6 k q kx1 - x0 k
Décomposer ensuite kxn+p -xn k en utilisant une somme télescopique et 
l'inégalité
triangulaire. Appliquer le résultat précédent pour majorer cette expression par
une quantité indépendante de p et qui tend vers 0 quand n tend vers +.
3 Utiliser le fait que dans un espace de Banach toute suite de Cauchy converge.
Montrer que la limite est un point fixe de l'application f et en déduire le 
théorème demandé.
Partie B
4 Montrer que 0 est dans T.
5 Écrire xn -xm = h(xn , tn )-h(xm , tm ) puis décomposer cette somme en 
faisant intervenir h(xn , tm ). Utiliser ensuite l'inégalité triangulaire et 
les propriétés a) et b).
6 Utiliser que la suite (tn )nN , convergente, est de Cauchy pour montrer que 
la suite
(xn )nN est de Cauchy puis utiliser le fait que dans un espace de Banach toute
suite de Cauchy converge. Enfin, considérer la limite de la suite (h(xn , tn 
))nN
pour en déduire que t  T.
7 Raisonner par l'absurde puis en déduire que x  A et aboutir à une 
contradiction
avec la propriété c).
8 Utiliser une décomposition semblable à celle de la question 5 pour x - h(y, 
u) et
utiliser les hypothèses sur  et r.
9 Commencer par démontrer que B(x, r) est inclus dans A en raisonnant par 
l'absurde : considérer un élément y dans B(x, r) et dans (E) r A puis la 
fonction
w : t  [ 0 ; 1 ] 7 (1 - t)x + ty
et l'ensemble

V = {t  [ 0 ; 1 ] | w([ 0 ; t ])  A}

Montrer que V admet une borne supérieure t , que z = w(t) est dans A puis
arriver à une contradiction. Vérifier ensuite que l'application h(·, u) de B(x, 
r)
dans B(x, r) vérifie les hypothèses du théorème de Picard et conclure.
10 Utiliser les résultats de la question 9, pour montrer que
]t- ;t+ [ [0;1]  T
et en déduire que T est l'intersection d'un ouvert de R avec l'intervalle [ 0 ; 
1 ].
Considérer ensuite la borne supérieure de T et montrer en raisonnant par 
l'absurde
qu'elle vaut 1, puis conclure.
11 Poser pour tout (x, t)  A × [ 0 ; 1 ]
h(x, t) = tf (x)
Utiliser h pour vérifier que la fonction f et l'application nulle sont 
homotopes.
Montrer ensuite que les propriétés a), b) et c) sont réalisées. Conclure à 
l'aide du
résultat de la question 10.

Partie C
13 Montrer que l'application F vérifie les conditions de la question 11 et 
appliquer
le résultat de cette question.
Partie D
14 Montrer que le vecteur nul est dans X et considérer une suite (xn )nN de X
qui converge. Revenir à la définition de cette suite en utilisant la compacité 
du
segment [ 0 ; 1 ].
Montrer que A  X =  et en déduire que la fonction µ est bien définie car A
et X sont fermés.
15 Poser H
; 1 ] × f (A) 7 tx. Montrer que H est continue. En déduire
 : (t, x)  [ 0 
que H [ 0 ; 1 ] × f (A) est compact et contient g(C). Conclure.

16 À l'aide du théorème de Schauder, montrer que l'application g admet un point
fixe x. Montrer ensuite que x appartient à A puis à X et conclure.
Partie E

17 Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer l'intégrale.
18 Considérer la deuxième inégalité obtenue à la question 17, ainsi que la 
continuité de la fonction h et de la fonction t 7 Kt pour montrer la continuité 
de la
fonction F() pour une fonction  de E.
19 En remarquant que la suite (n )nN est bornée dans E, utiliser la condition 
sur
la fonction g pour dominer la fonction x 7 K(t, x)g(x, n (x)) sur [ 0 ; 1 ]. 
Utiliser
ensuite le théorème de convergence dominée pour conclure.
20 Utiliser la condition j) et la deuxième inégalité pour majorer la suite (cn 
).
Conclure en utilisant l'uniforme continuité des fonctions h et t 7 Kt sur [ 0 ; 
1 ].
21 Utiliser l'indication de l'énoncé, l'inégalité obtenue à la question 20 
ainsi que la
convergence simple de la suite (F(n )(ti ))nN pour 1 6 i 6 N.
22 Commencer par construire une suite extraite de la suite (F(n ))nN qui 
converge
sur la partie R = {rn | n  N} formée des rationnels de [ 0 ; 1 ] qui est une 
partie
dense de [ 0 ; 1 ]. Pour cela, construire une suite (n )nN d'extractions telle 
que
pour tout 0 6 k 6 p, la suite F(0 ···p (n) )(rk ) nN converge. Poser ensuite
n  N

(n) = 0  · · ·  n (n)

Puis montrer que la suite extraite F((n) ) nN converge sur R.

Montrer ensuite que pour tout x  [ 0 ; 1 ] la suite F((n) )(x) nN est de Cauchy
en utilisant la densité de R dans [ 0 ; 1 ] et l'inégalité de la question 20. 
Conclure.

23 Vérifier que les conditions g), h) et i) sont vérifiées pour F et C = A = 
B(0, M).
Conclure avec le résultat de la question 16.

Ce sujet utilise des notions qui ne sont plus dans le nouveau programme
de MP ou de MP* : les suites de Cauchy, les espaces complets et les espaces
de Banach. On en a besoin notamment dans les questions 2, 3, 6 et 22.
Cependant, comme les définitions relatives à ces notions sont assez simples,
on peut imaginer que de futurs sujets les introduisent et les fassent intervenir
comme prolongement du nouveau programme de mathématiques.
Voici les définitions de ces notions. On se place dans un K-espace vectoriel
normé (E, k · k).
· Une suite (un )nN dans E est dite de Cauchy si et seulement si
 > 0

 N  N  (n, p)  N2

(n > N = kun+p - un k 6 )

· Un espace F est complet si et seulement si toute suite de Cauchy
d'éléments de F converge dans F.
· Un espace de Banach est un K espace vectoriel normé complet.
Il faut signaler une erreur d'énoncé dans l'ordre des quantificateurs
dans la définition d'une application k-lipschitzienne de rapport k  [ 0 ; 1 [.
La bonne définition est la suivante : « il existe un réel k  [ 0 ; 1 [ tel que 
pour
tout (x, y)  A2
kf (x) - f (y)k 6 kkx - yk »

A. Théorème du point fixe
1 Supposons que l'application f admet deux points fixes x1 et x2 , alors,
f (x1 ) = x1

et

f (x2 ) = x2

L'application f étant contractante, il vient
kf (x1 ) - f (x2 )k 6 kkx1 - x2 k

(1 - k)kx1 - x2 k 6 0

Or 1 - k > 0 et kx1 - x2 k > 0. On en déduit que kx1 - x2 k = 0 d'où x1 = x2 .
Par conséquent,
Si l'application f admet un point fixe, alors celui-ci est unique.
2 L'application f étant contractante, on considère un réel k  [ 0 ; 1 [ tel que 
l'application est k-lipschitzienne.
Commençons par montrer par récurrence que pour tout q  N,
P(q) :

kxq+1 - xq k 6 k q kx1 - x0 k

· P(0) est vraie car kx0+1 - x0 k 6 k 0 kx1 - x0 k.
· P(q) = P(q + 1) : soit q  N. Supposons
kxq+1 - xq k 6 k q kx1 - x0 k