Mines Maths 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal
Principaux outils utilisés espaces euclidiens, matrices orthogonales, théorème spectral, convexité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2013 MATH. Il MP

ECOLE DES PONTS PARISTECH,

SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIËRE MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI).

CONCOURS 2013

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis àla disposition des concours :
CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie:

ZVIATHÊNIATIQUES II - MR

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
dénoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal

Notations et définitions

Soit E un espace vectoriel euclidien (préhilbertien réel de dimension finie).
On note ( , ) le produit scalaire de E et || Il la norme euclidienne associée. 
Si H
est une partie de E , on appelle enveloppe convexe de H, notée conv(H), la plus
petite partie convexe de E contenant H, c'est-à-dire l'intersection de tous les
convexes de E contenant H.

Soit n un entier naturel > 2. On désigne par /%n(R) l'espace vectoriel des
matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. On note 1 la matrice identité 
de
J%n([Râ) et si A E J%n(R), on note 'A la matrice transposée de A et tr(A) la 
trace
de A. On rappelle que le groupe orthogonal On([R) de /Æn([Râ) est l'ensemble des
matrices U de J%n(R) telles que U "U = I . On rappelle également qu'une matrice
symétrique réelle est dite positive si ses valeurs propres sont positives ou 
nulles.

On pourra identifier [R%" et l'ensemble des matrices colonnes J%n,1 (R), que
l'on suppose muni du produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique
de [R%" est orthonormée. On note || "2 la norme sur J%n([Râ) subordonnée à la
norme euclidienne de [R%" : pour tout A E /%n ([R),

llAllz= sup "AX"-
XeR",llel=l

Les parties A, B, C et D sont indépendantes.

A. Produit scalaire de matrices

On rappelle que tr(A) désigne la trace de la matrice A E J%n([Râ).

1) Montrer que pour toute base orthonormée (el, 82, . . . , en) de R", on a la
formule tr(A) : Zÿ=l(Ael--, ei}.

2) Montrer que l'application (A, B) --> tr(tA B) définit un produit scalaire sur
J%n([Râ), noté (, ).

On note || "1 la norme euclidienne associée à ce produit scalaire. L'attention 
du
candidat est attirée sur le fait que J%n([Râ) est désormais muni de deux normes
différentes || "1 et || "2.

3) Si A et B sont symétriques réelles positives, montrer que (A, B) > 0. On
pourra utiliser une base orthonormée de vecteurs propres de B.

B. Décomposition polaire

Soit f un endomorphisme de E . On note A la matrice de f dans une base
orthonormée de E, et on note f * l'adjoint de f.

4) Montrer que 'AA est une matrice symétrique réelle positive. Exprimer
Il All2 en fonction des valeurs propres de 'AA.

5) Montrer qu'il existe un endomorphisme auto-adjoint positif h de E tel que
f* 0 f = W.

6) Montrer que la restriction de h à Im h induit un automorphisme de Im h.
On notera cet automorphisme Îz.

7) Montrer que llh(x)ll : llf(x)ll pour tout x E B. En déduire que Kerh et
(Im f )i ont même dimension et qu'il existe un isomorphisme v de Ker h
sur (Im f )i qui conserve la norme.

8) À l'aide de Îz et v, construire un automorphisme orthogonal u de E tel que
f = u 0 h.

9) En déduire que toute matrice A E J%n([Râ) s'écrit sous la forme A : US, où
U E On([R) et S est une matrice symétrique positive.

On admet que si A est inversible, cette écriture est unique.

C. Projeté sur un convexe compact

Soit H une partie de E , convexe et compacte, et soit x E E . On note

d(x,H) : inf llx-- hll.
heH

10) Montrer qu'il existe un unique ho E H tel que d(x, H) : llx-- ho II. On 
pourra
utiliser pour ho, m dans H la fonction définie pour tout t E [R par la formule
...) = llx-- the -- (1 -- t)h1||2.

11) Montrer que ho est caractérisé par la condition (x -- ho, h -- ho) < 0 pour
tout h E H. On pourra utiliser la même fonction q(t) qu'à la question
précédente.

Le vecteur ho s'appelle projeté de x sur H.

D. Théorème de Carathéodory et compacité

Dans cette partie, on suppose que E est de dimension n. On dit que x E E
est une combinaison convexe des 19 éléments x1, x2, . . . , xp E E s'il existe 
des réels
/11, Àg, . . . , /1p positifs ou nuls tels que

19 19
x= 2/1ij et ZÂi=1-
i=l '

12) Montrer que l'enveloppe convexe conv(H) d'une partie H de E est consti-
tuée des combinaisons convexes d'éléments de H.

On souhaite montrer que l'enveloppe convexe conv(H ) est constituée des com-

binaisons convexes d'au plus n + 1 éléments de H.

Soit x : Z'Y_ À-x- une combinaison convexe de x1, x2, . . . , x E H avec 19 > n 
+ 2.
z-1 l 1 P

13) Montrer qu'il existe 19 réels non tous nuls ,Lt1,,Lt2, . . . , ,up tels que

P
Z,u,--x,--=O et Z,u,--=O.
i=1 '

On pourra considérer la famille (362 -- x1, x3 -- x1, . . . , xp -- xl).

14) En déduire que x s'écrit comme combinaison convexe d'au plus 19 -- 1
éléments de H et conclure que conv(H ) est constituée des combinaisons
convexes d'au plus n + 1 éléments de H.

On pourra considérer une suite de coefficients de la forme À,-- -- Hu,-- > 0,
i E {1,2, . . . , p} pour un réel 9 bien choisi.

15) Si H est une partie compacte de E, montrer que conv(H) est compacte.
On pourra introduire l'ensemble compact de là"" défini par

n+1
A= {(t1,...,tn+1), avec t,-- >Opourtoutie{1,...,n+l} et 2 t,-- = l}.
i=1

E. Enveloppe convexe de O,,(IR)

16) Montrer que l'enveloppe convexe conv(On(lR{)) est compacte.
On note 93 la boule unité fermée de (Æn(üä), Il "g).
17) Montrer que conv(On(lR{)) est contenue dans 93.

On suppose qu'il existe M EUR 93 telle que M n'appartient pas a conv(On(üä)). On
note N le projeté de M sur conv(On(lR{)) défini àla partie C pour la norme || 
|| 1,
et on pose A : t(M -- N). On écrit enfin A : US, avec U E O,,(llä) et S 
symétrique
réelle positive (question 9).

18) Montrer que pour tout V E conv(On(R)), tr(AV) < tr(AN) < tr(AM). En
déduire que tr(S) < tr(U SM).

19) Montrer que tr(M U S) S tr(S). On pourra appliquer le résultat de la ques-
tion 1).

20) Conclure : déterminer conv(On(R)).

F. Points extrémaux

l
Un élément A E 93 est dit extrémal dans 93 si l'écriture A = 5 (B + C), avec

B,C appartenant à 93, entraîne A : B = C. Dans cette partie, on cherche à
déterminer l'ensemble des points extrémaux de 93.

l
21) On suppose que U E On([R) s'écrit sous la forme U = 5 (V + W), avec V, W

appartenant à 93. Montrer que pour tout X EUR HQ", les vecteurs VX et WX
sont liés. En déduire que U est extrémal dans 93.

Soit A appartenant à 93 mais n'appartenant pas à On([R).

22) Montrer que l'on peut écrire A sous la forme A : PDQ, où P et Q sont
deux matrices orthogonales et où D est une matrice diagonale dont les
éléments diagonaux dl, dg, . . . , dn sont positifs ou nuls.

23) Montrer que di S 1 pour tout i E {1,2,...,n}, et qu'il existe j EUR 
{1,2,...,n}
tel que dj < 1.

24) En déduire qu'il existe deux matrices Aa et A_a appartenant à 93 telles

1
que A = 5 (Aa + A_a). Conclure.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Silvère Gangloff (ENS Ulm) et Nicolas Martin (ENS Lyon).

Ce problème, composé d'algèbre et de topologie, a pour finalité de démontrer
que l'enveloppe convexe de l'ensemble On (R) des matrices orthogonales est la 
boule
unité fermée B de Mn (R), au sens de la norme subordonnée à la norme euclidienne
canonique, et que les matrices orthogonales constituent les points extrémaux de 
B.
Il se compose de six parties. Les quatre premières sont indépendantes entre 
elles mais
les résultats que l'on y établit servent dans les deux dernières.
· Dans la première partie, on s'intéresse à des résultats généraux sur les 
matrices.
· La deuxième partie permet d'établir l'existence de la décomposition polaire
d'une matrice : on y démontre que toute matrice A d'ordre n s'écrit sous la
forme A = US, où U  On (R) et S est une matrice symétrique réelle positive.

· Dans la troisième partie, on démontre l'existence et l'unicité du projeté d'un
vecteur x de E sur une partie H convexe et compacte d'un espace euclidien E :
pour tout x  E, il existe un unique h0 dans H tel que
kx - h0 k = Inf kx - hk
hH

De plus, on établit une caractérisation de ce projeté à l'aide du produit 
scalaire.
· La quatrième partie traite de l'enveloppe convexe conv(H) d'une partie H de E 
;
on y prouve que conv(H) est constituée des combinaisons convexes d'au plus
dim E + 1 éléments et que l'enveloppe convexe d'un compact de E est elle-même
une partie compacte de E.
· Dans la cinquième partie, on démontre que l'enveloppe convexe conv(On (R))
de l'ensemble des matrices orthogonales est un compact de Mn (R), puis qu'elle
est égale à la boule unité B.
· Enfin, après avoir défini les points extrémaux de B comme les éléments A
de B tels que l'écriture A = (B + C)/2, avec B et C appartenant à B, entraîne
A = B = C, on établit que On (R) est l'ensemble des points extrémaux de B.
Ce sujet est intéressant et bien construit. Les résultats qui y sont démontrés 
sont
relativement classiques et peuvent avoir été rencontrés en exercice ou en 
problème
durant l'année scolaire, mais que les candidats qui ne les ont pas vus se 
rassurent :
les parties sont bien guidées et comportent suffisamment de questions 
intermédiaires
pour pouvoir être traitées. Dans l'ensemble, le sujet est abordable, il n'est 
pas très
long et il ne comporte pas de question exagérément difficile. C'est un bon 
problème de
révision, à aborder après avoir fini les chapitres de topologie et d'algèbre 
euclidienne
de deuxième année.

Indications
Partie A
3 On rappelle qu'une matrice symétrique A  Mn (R) est positive si, et seulement 
si,
hAX, Xi > 0 pour tout X  Mn,1 (R).
Partie B
t

4 Travailler dans une base orthonormée
de A A. Prouver par
n de diagonalisation
o
double inégalité que kAk2 = Max
 |   sp t A A .

5 Diagonaliser t A A dans une base orthonormée puis construire une racine carrée
de la matrice diagonale obtenue.
t
6 Travailler à nouveau dans une base orthonormée de diagonalisation de A A.
7 Pour construire un isomorphisme qui conserve la norme, il suffit de définir 
une
application linéaire qui envoie une base orthonormée sur une base orthonormée.
8 Définir u par son action sur les sous-espaces supplémentaires Im h et Ker h.
Partie C
10 Séparer l'existence de l'unicité. Pour l'unicité, remarquer que 
l'application q définie dans l'énoncé est polynomiale de degré 2.
11 Raisonner par double implication en utilisant l'indication de l'énoncé pour 
l'une
des implications et l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour l'autre.
Partie D
12 Utiliser la définition de l'enveloppe convexe, c'est-à-dire démontrer que 
l'ensemble
des combinaisons convexes d'éléments de H est la plus petite partie convexe de E
qui contient H.
14 Pour assurer la positivité des coefficients de la combinaison linéaire, 
introduire
le plus petit élément de l'ensemble des i /|µi | pour i  [[ 1 ; n ]] tel que µi 
6= 0.
15 Suivre l'indication de l'énoncé.
Partie E
16 Appliquer le résultat de la question 15.
18 Se servir de la condition caractérisant le projeté orthogonal établie dans 
la question 11.
19 Utiliser la formule de la question 1 avec une base orthonormée de 
diagonalisation
de S.
Partie F
21
22
23
24

Se souvenir du cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire.
Appliquer le résultat de la question 9.
Que pourrait-on dire de A si tous les di étaient égaux à 1 ?
Commencer par construire deux matrices diagonales D et D- telles que D soit
égale à (D + D- )/2, en modifiant le j e coefficient de la diagonale de D à 
l'aide
du résultat de la question 23. Pour vérifier que A et A- sont bien dans B,
penser à la question 4.

A. Produit scalaire de matrices
1 Soient A une matrice d'ordre n et (e1 , . . . , en ) une base orthonormée de 
Rn .
Notons u l'endomorphisme canoniquement associé à A et B = (bi,j )16i,j6n la 
matrice de u dans la base (e1 , . . . , en ). Puisque cette base est 
orthonormée, pour tout
(i, j)  [[ 1 ; n ]]2 ,
bi,j = hu(ej ), ei i = hAej , ei i
L'énoncé autorise l'identification des vecteurs avec des matrices colonnes,
ce qui justifie ici l'identification du vecteur u(ej ), élément de Rn , avec la
matrice colonne Aej , élément de Mn,1 (R), le vecteur ej étant alors lui-même
considéré comme une matrice colonne.
Il s'ensuit, comme les matrices A et B sont semblables puis par définition de 
la trace
d'une matrice,
Tr A = Tr B =

En conclusion,

Tr A =

n
P

bi,i =

i=1

i=1

n
P

hAei , ei i

i=1

2 Notons

:

(

n
P

Mn (R)2 - R
(A, B) 7- Tr

t

hAei , ei i

AB

et démontrons que  est un produit scalaire sur Mn (R).
·  est bien à valeurs dans R.

·  est symétrique. En effet, pour tout (A, B)  Mn (R)2 ,
t

t
(B, A) = Tr t B A = Tr
BA

car une matrice et sa transposée ont la même trace. Ainsi,

t
(B, A) = Tr A B = (A, B)

· Démontrons que  est linéaire à gauche. Soient A, B et C dans Mn (R) et   R.
Par linéarité de la transposition, puis distributivité et linéarité de la 
trace, on a :

t
( A + B, C) = Tr (A + B) C

t
t
= Tr ( A + B) C

t
t
= Tr  A C + B C

t
t
=  Tr A C + Tr B C
( A + B, C) = (A, C) + (B, C)

Ainsi,  est une forme symétrique et linéaire à gauche, c'est donc une forme
bilinéaire symétrique.

· Pour démontrer que  est définie positive, utilisons la question 1 avec la base
canonique de Rn , notée (e1 , . . . , en ), qui est bien une base orthonormée 
pour le
produit scalaire canonique de Rn . Soit A une matrice d'ordre n,
(A, A) = Tr

t

n
n
n
 P
P
P
AA =
h t A Aei , ei i =
hAei , Aei i =
kAei k2 > 0
i=1

i=1

i=1

Rappelons en effet que, pour toute matrice B d'ordre n et tous vecteurs x et y 
de Rn , on a
t

h B x, yi = hx, Byi
La forme bilinéaire  est donc positive. En outre, si (A, A) = 0, alors
i  [[ 1 ; n ]]

kAei k = 0

car une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chaque terme
est nul. Il en découle
i  [[ 1 ; n ]]

Aei = 0Mn,1 (R)

La famille (e1 , . . . , en ) étant une base de Rn , on conclut que A = 0Mn (R) 
.
 est une forme bilinéaire symétrique définie positive, c'est-à-dire un produit 
scalaire, sur Mn (R).
3 Soient A et B deux matrices symétriques réelles positives. D'après le cours,
la matrice B est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.
Soit (e1 , . . . , en ) une telle base, soient également (1 , . . . , n )  Rn 
les valeurs propres,
éventuellement confondues, associées à cette famille de vecteurs propres. Elles 
sont
positives car B est positive. D'après le résultat de la question 1,
n
n
 P
P
t
t
t
hA, Bi = Tr A B =
h A Bei , ei i =
i h A ei , ei i
i=1

i=1

par définition des i et linéarité à gauche du produit scalaire. Puis
n
P
hA, Bi =
i hei , Aei i
i=1

Or, la matrice A est également symétrique réelle positive. Par conséquent,
i  [[ 1 ; n ]]

hei , Aei i > 0

d'où, par somme de nombres positifs, hA, Bi > 0.
Pour toutes matrices symétriques réelles positives A et B, hA, Bi > 0.
Dans ce sujet, une matrice symétrique réelle est dite positive lorsque ses
valeurs propres sont positives ou nulles. Il s'agit habituellement d'une 
caractérisation et l'on définit usuellement les matrices symétriques réelles 
positives
comme les matrices symétriques réelles telles que
X  Mn,1 (R)

hAX, Xi > 0