Mines Maths 2 MP 2008

A 2008 MATH. II MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP,
Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Support de la transformation de Radon

Notations de géométrie
Dans tout le problème, on se place dans le plan affine P, muni d'un repère 
orthonormé
direct (O, e1 , e2 ) et de la norme euclidienne, notée k k. On notera (x1 , x2 
) les coordonnées
dans ce repère d'un élément x  P. L'application x  P 7 (x1 , x2 )  R2 permettra
d'identifier le plan affine P et l'espace vectoriel R2 . On introduit les 
notations suivantes :

B(x, r) = {y  P, kx - yk < r} B(x, r) = {y  P, kx - yk 6 r} S(x, r) = {y  P, kx - yk = r}. Soit   [0, 2[, on note u = cos  e1 + sin  e2 et v = - sin  e1 + cos  e2 . Pour tout   [0, 2[, on note Rot la rotation de centre 0 et d'angle . Ainsi, Rot e1 = u x + R u = (x1 + R cos , x2 + R sin ). D pu + tv t v p u Fig. 1 ­ Notations À toute droite affine D ne passant pas par l'origine, on associe un unique couple (p, ) où p  R+ et   [0, 2[ sont tels que D = {pu + tv , t  R}. 2 Si D passe par l'origine, on lui associera l'unique couple (0, ) qui convienne avec [0, [. On appelle p et  les paramètres de la droite D. Notations d'analyse Pour X = R ou X = R2 et f fonction de X dans R, on appelle support de f , noté supp f , l'adhérence de l'ensemble des points où f est non nulle. Pour X = R ou X = R2 , on note CK1 (X; R) l'ensemble des fonctions f de X dans R, de classe C 1 sur X, à support compact : il existe M > 0, dépendant de f , avec f (x) = 0 
si
kxk > M , où kxk = |x| si X = R. En d'autres termes, supp f  B(O, M ) si X = R2
et supp f  [-M, M ] si X = R. On notera que de telles fonctions sont bornées et 
on
posera
kf k = sup |f (x)|.
xX

2

Pour les fonctions de R dans R, si x = (x1 , x2 )  R2 , on utilisera, selon le 
contexte,
la notation f (x) ou la notation f (x1 , x2 ) pour représenter l'image de x par 
f .
Pour f  CK1 (R; R), il existe M tel que supp f  [-M, M ] et alors
Z M

f (x) dx =

-M

Z J

f (x) dx, dès que J > M.

-J

R

On note R f (x) dx la valeur commune de toutes les intégrales sur un intervalle 
contenant
le support de f .
Le même principe vaut pour la dimension 2 : pour f  CK1 (R2 ; R), on remarque
que
ZZ
ZZ
f (x1 , x2 ) dx1 dx2 =
f (x1 , x2 ) dx1 dx2 ,
B(O, M )

J

pour tout compact J qui contient B(O, M ) où M est tel que supp f  B(O, M ). On
note
ZZ
f (x1 , x2 ) dx1 dx2 cette valeur commune.
R2

Définition 1. On dit qu'une fonction f : R2  R est radiale lorsque pour tout
  [0, 2[, f  Rot = f .
Pour h : R+  R, continue, nulle en dehors d'un intervalle [0, M ], on pose
Lh(x) =

Z +
x

h(v)

dv.
v-x

On admet que Lh est continue, nulle en dehors de [0, M ] et que L(Lh) est 
dérivable avec
(L(Lh)) = -h.

3

(1)

I

Un peu de géométrie
1. Soit f  CK1 (R2 , R). Montrer que si f est radiale, il existe F  CK1 (R+ ; 
R) telle
que
f (x) = F (kxk), pour tout x  R2 .
2. Soit f  CK1 (R2 ; R) ; pour x  R2 , on considère la fonction
Tf,x : R2 × R - R
(y, ) -
7  f (x + Rot (y)).
Montrer que la fonction Tf, x (y, ) est continue sur R2 × R et que pour tout
y  R2 , la fonction  7 Tf, x (y, ) est 2-périodique.
3. Montrer que la fonction
Tf,x : y 7

1 Z 2
Tf, x (y, ) d
2 0

est radiale.
4. Soit x  R2 , que l'on écrit x = kxku où  appartient à [0, 2[. Soit   [0, 2[
et   [0, 2[. Montrer que l'ensemble
Dx, = {x + Rot (pu + tv ), t  R}
est une droite dont on précisera les paramètres en fonction de kxk, , , p et .
On pourra commencer par étudier DO, .

II

Lemme préparatoire
Soit A > 0, on note QA l'ensemble
QA = {(x, R)  R2 × R+ , R > kxk + A}.

L'objectif de cette partie est de montrer le lemme suivant.
Lemme 1. Soit f : R2  R, f  CK1 (R2 ; R) telle que pour tout (x, R)  QA ,
Z 2

f (x1 + R cos , x2 + R sin ) d = 0,

0

alors f est nulle sur le complémentaire de B(O, A).
4

(2)

A

R
x

O

S(x, R)

Fig. 2 ­ (x, R)  QA
5. Soit f  CK1 (R2 ; R). Soit (x, R)  R2 × R+ . Montrer que les applications
Vi : xi -
7 

Z R

f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr, i = 1, 2

0

7 
Wi : x i -

Z 2 Z R
0

f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr d, i = 1, 2

0

sont dérivables sur R et calculer leur dérivée.
6. Soient P et Q deux éléments de CK1 (R2 ; R) et soit (x, R)  R2 × R+ . En 
utilisant
la formule de Green-Riemann, montrer l'identité :
Z 2 Z R
0

0

!

P
Q
(x + r u ) -
(x + r u )
x1
x2
=

Z 2

r dr d

P (x + Ru )(-R sin ) d +

0

Z 2

Q(x + Ru )R cos  d.

0

Dans les questions 7 à 13, on suppose que f vérifie les hypothèses du lemme.
7. Établir, pour tout (x, R)  QA , les deux identités suivantes :
ZZ

R2

f (y1 , y2 ) dy1 dy2 =

ZZ

R2

f (x1 + z1 , x2 + z2 ) dz1 dz2
=

Z 2 Z R
0

f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr d.

0

8. Soit R > A. Montrer que W1 et W2 sont constantes sur B(O, R - A) et établir,

pour tout x  B(O, R - A), les relations :
Z 2

f (x1 + R cos , x2 + R sin ) cos  d = 0

0

5

(3)

et

Z 2

f (x1 + R cos , x2 + R sin ) sin  d = 0.

(4)

0

Pour i = 1, 2, on introduit les fonctions suivantes :
yi f : R2 - R
7  yi f (y).
y = (y1 , y2 ) -
Plus généralement, pour une fonction g de R dans R, on note g(yi )f la fonction 
définie
par
g(yi )f : R2 - R
7  g(yi )f (y).
y = (y1 , y2 ) -

9. Montrer que y1 f et y2 f satisfont les hypothèses du lemme.
10. Soit (x, R)  QA . Montrer, pour tous les entiers k et l, l'identité 
suivante :
Z 2

f (x + Ru ) cosk  sinl  d = 0.

0

On pourra raisonner par récurrence sur n = k + l.
11. Soit (x, R)  QA . En déduire, pour tout entier n, les identités :
Z 2

f (x + Ru ) cos(n) d = 0 et

0

Z 2

f (x + Ru ) sin(n) d = 0.

0

12. Établir, pour tout (x, R)  QA , que
Z 2

f 2 (x1 + R cos , x2 + R sin ) d = 0.

0

13. Prouver le lemme.

6

(5)

III

Théorème de support

Définition 2. Pour f  CK1 (R2 ; R), on pose
Z

fb(, p) =

R

f (pu + tv ) dt pour   [0, 2[, p > 0.

On veut montrer le théorème de support suivant :
Théorème 1. Soit f  CK1 (R2 ; R). Si il existe A > 0 tel que fb(, p) = 0 pour p 
> A
quel que soit  alors f (x) = 0 pour kxk > A.
Soit f une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème. On suppose dans 
les
questions 14 à 16 que f est radiale. Soit F  CK1 (R+ ; R) telle que f (x) = F 
(kxk).
14. Montrer, pour tout   [0, 2[ et pour tout p > 0, les identités suivantes :
fb(, p) = fb(0, p) = 2

Z +
0

q

F ( p2 + t2 ) dt.

15. Établir, pour tout v > 0, l'identité
fb(0,

v) =

Z +
v

F ( u)(u - v)-1/2 du.

16. En déduire que F est nulle sur ]A, +[.
On ne suppose plus que f est radiale. Soit x un élément quelconque de R2 .
17. Établir, pour tout (, p), l'identité
1 Z 2 Z
Tf, x (pu + tv , ) dt d.
f, x (, p) =
2 0 R

Td

18. Montrer pour tout   [0, 2[, la propriété :
Td
f, x (, p) = 0 pour p > A + kxk.
19. Quel est géométriquement, l'ensemble {x + Rot y,   [0, 2]} ? Que signifie
géométriquement la condition kyk > A + kxk ?
20. Prouver le théorème.

Fin du problème

7