Mines Maths 2 MP 2008

Thème de l'épreuve Support de la transformation de Radon
Principaux outils utilisés intégrales à paramètre, intégrales doubles
Mots clefs transformée de Radon, tomographie, Green-Riemann

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2008 MATH. II MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP,
Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Support de la transformation de Radon

Notations de géométrie
Dans tout le problème, on se place dans le plan affine P, muni d'un repère 
orthonormé
direct (O, e1 , e2 ) et de la norme euclidienne, notée k k. On notera (x1 , x2 
) les coordonnées
dans ce repère d'un élément x  P. L'application x  P 7 (x1 , x2 )  R2 permettra
d'identifier le plan affine P et l'espace vectoriel R2 . On introduit les 
notations suivantes :

B(x, r) = {y  P, kx - yk < r}
B(x, r) = {y  P, kx - yk 6 r}
S(x, r) = {y  P, kx - yk = r}.
Soit   [0, 2[, on note
u = cos  e1 + sin  e2 et v = - sin  e1 + cos  e2 .
Pour tout   [0, 2[, on note Rot la rotation de centre 0 et d'angle . Ainsi,
Rot e1 = u
x + R u = (x1 + R cos , x2 + R sin ).

D
pu + tv
t
v
p

u

Fig. 1 ­ Notations
À toute droite affine D ne passant pas par l'origine, on associe un unique 
couple
(p, ) où p  R+ et   [0, 2[ sont tels que
D = {pu + tv , t  R}.
2

Si D passe par l'origine, on lui associera l'unique couple (0, ) qui convienne 
avec
  [0, [. On appelle p et  les paramètres de la droite D.

Notations d'analyse
Pour X = R ou X = R2 et f fonction de X dans R, on appelle support de f ,
noté supp f , l'adhérence de l'ensemble des points où f est non nulle. Pour X = 
R
ou X = R2 , on note CK1 (X; R) l'ensemble des fonctions f de X dans R, de classe
C 1 sur X, à support compact : il existe M > 0, dépendant de f , avec f (x) = 0 
si
kxk > M , où kxk = |x| si X = R. En d'autres termes, supp f  B(O, M ) si X = R2
et supp f  [-M, M ] si X = R. On notera que de telles fonctions sont bornées et 
on
posera
kf k = sup |f (x)|.
xX

2

Pour les fonctions de R dans R, si x = (x1 , x2 )  R2 , on utilisera, selon le 
contexte,
la notation f (x) ou la notation f (x1 , x2 ) pour représenter l'image de x par 
f .
Pour f  CK1 (R; R), il existe M tel que supp f  [-M, M ] et alors
Z M

f (x) dx =

-M

Z J

f (x) dx, dès que J > M.

-J

R

On note R f (x) dx la valeur commune de toutes les intégrales sur un intervalle 
contenant
le support de f .
Le même principe vaut pour la dimension 2 : pour f  CK1 (R2 ; R), on remarque
que
ZZ
ZZ
f (x1 , x2 ) dx1 dx2 =
f (x1 , x2 ) dx1 dx2 ,
B(O, M )

J

pour tout compact J qui contient B(O, M ) où M est tel que supp f  B(O, M ). On
note
ZZ
f (x1 , x2 ) dx1 dx2 cette valeur commune.
R2

Définition 1. On dit qu'une fonction f : R2  R est radiale lorsque pour tout
  [0, 2[, f  Rot = f .
Pour h : R+  R, continue, nulle en dehors d'un intervalle [0, M ], on pose
Lh(x) =

Z +
x

h(v)

dv.
v-x

On admet que Lh est continue, nulle en dehors de [0, M ] et que L(Lh) est 
dérivable avec
(L(Lh)) = -h.

3

(1)

I

Un peu de géométrie
1. Soit f  CK1 (R2 , R). Montrer que si f est radiale, il existe F  CK1 (R+ ; 
R) telle
que
f (x) = F (kxk), pour tout x  R2 .
2. Soit f  CK1 (R2 ; R) ; pour x  R2 , on considère la fonction
Tf,x : R2 × R - R
(y, ) -
7  f (x + Rot (y)).
Montrer que la fonction Tf, x (y, ) est continue sur R2 × R et que pour tout
y  R2 , la fonction  7 Tf, x (y, ) est 2-périodique.
3. Montrer que la fonction
Tf,x : y 7

1 Z 2
Tf, x (y, ) d
2 0

est radiale.
4. Soit x  R2 , que l'on écrit x = kxku où  appartient à [0, 2[. Soit   [0, 2[
et   [0, 2[. Montrer que l'ensemble
Dx, = {x + Rot (pu + tv ), t  R}
est une droite dont on précisera les paramètres en fonction de kxk, , , p et .
On pourra commencer par étudier DO, .

II

Lemme préparatoire
Soit A > 0, on note QA l'ensemble
QA = {(x, R)  R2 × R+ , R > kxk + A}.

L'objectif de cette partie est de montrer le lemme suivant.
Lemme 1. Soit f : R2  R, f  CK1 (R2 ; R) telle que pour tout (x, R)  QA ,
Z 2

f (x1 + R cos , x2 + R sin ) d = 0,

0

alors f est nulle sur le complémentaire de B(O, A).
4

(2)

A

R
x

O

S(x, R)

Fig. 2 ­ (x, R)  QA
5. Soit f  CK1 (R2 ; R). Soit (x, R)  R2 × R+ . Montrer que les applications
Vi : xi -
7 

Z R

f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr, i = 1, 2

0

7 
Wi : x i -

Z 2 Z R
0

f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr d, i = 1, 2

0

sont dérivables sur R et calculer leur dérivée.
6. Soient P et Q deux éléments de CK1 (R2 ; R) et soit (x, R)  R2 × R+ . En 
utilisant
la formule de Green-Riemann, montrer l'identité :
Z 2 Z R
0

0

!

P
Q
(x + r u ) -
(x + r u )
x1
x2
=

Z 2

r dr d

P (x + Ru )(-R sin ) d +

0

Z 2

Q(x + Ru )R cos  d.

0

Dans les questions 7 à 13, on suppose que f vérifie les hypothèses du lemme.
7. Établir, pour tout (x, R)  QA , les deux identités suivantes :
ZZ

R2

f (y1 , y2 ) dy1 dy2 =

ZZ

R2

f (x1 + z1 , x2 + z2 ) dz1 dz2
=

Z 2 Z R
0

f (x1 + r cos , x2 + r sin ) r dr d.

0

8. Soit R > A. Montrer que W1 et W2 sont constantes sur B(O, R - A) et établir,

pour tout x  B(O, R - A), les relations :
Z 2

f (x1 + R cos , x2 + R sin ) cos  d = 0

0

5

(3)

et

Z 2

f (x1 + R cos , x2 + R sin ) sin  d = 0.

(4)

0

Pour i = 1, 2, on introduit les fonctions suivantes :
yi f : R2 - R
7  yi f (y).
y = (y1 , y2 ) -
Plus généralement, pour une fonction g de R dans R, on note g(yi )f la fonction 
définie
par
g(yi )f : R2 - R
7  g(yi )f (y).
y = (y1 , y2 ) -

9. Montrer que y1 f et y2 f satisfont les hypothèses du lemme.
10. Soit (x, R)  QA . Montrer, pour tous les entiers k et l, l'identité 
suivante :
Z 2

f (x + Ru ) cosk  sinl  d = 0.

0

On pourra raisonner par récurrence sur n = k + l.
11. Soit (x, R)  QA . En déduire, pour tout entier n, les identités :
Z 2

f (x + Ru ) cos(n) d = 0 et

0

Z 2

f (x + Ru ) sin(n) d = 0.

0

12. Établir, pour tout (x, R)  QA , que
Z 2

f 2 (x1 + R cos , x2 + R sin ) d = 0.

0

13. Prouver le lemme.

6

(5)

III

Théorème de support

Définition 2. Pour f  CK1 (R2 ; R), on pose
Z

fb(, p) =

R

f (pu + tv ) dt pour   [0, 2[, p > 0.

On veut montrer le théorème de support suivant :
Théorème 1. Soit f  CK1 (R2 ; R). Si il existe A > 0 tel que fb(, p) = 0 pour p 
> A
quel que soit  alors f (x) = 0 pour kxk > A.
Soit f une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème. On suppose dans 
les
questions 14 à 16 que f est radiale. Soit F  CK1 (R+ ; R) telle que f (x) = F 
(kxk).
14. Montrer, pour tout   [0, 2[ et pour tout p > 0, les identités suivantes :
fb(, p) = fb(0, p) = 2

Z +
0

q

F ( p2 + t2 ) dt.

15. Établir, pour tout v > 0, l'identité
fb(0,

v) =

Z +
v

F ( u)(u - v)-1/2 du.

16. En déduire que F est nulle sur ]A, +[.
On ne suppose plus que f est radiale. Soit x un élément quelconque de R2 .
17. Établir, pour tout (, p), l'identité
1 Z 2 Z
Tf, x (pu + tv , ) dt d.
f, x (, p) =
2 0 R

Td

18. Montrer pour tout   [0, 2[, la propriété :
Td
f, x (, p) = 0 pour p > A + kxk.
19. Quel est géométriquement, l'ensemble {x + Rot y,   [0, 2]} ? Que signifie
géométriquement la condition kyk > A + kxk ?
20. Prouver le théorème.

Fin du problème

7

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Laetitia Borel-Mathurin (ENS Cachan) ; il a été relu
par David Lecomte (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

L'objet de cette épreuve est de déterminer des informations sur le support d'une
fonction à partir de données portant sur le support de sa transformée de Radon.
Il s'agit d'une façon originale d'aborder un outil mathématique classique, la 
transformée de Radon, qui est très utilisée en imagerie médicale et, de façon 
plus générale,
en tomographie.
La transformée de Radon est un opérateur qui, dans le cadre de ce problème,
agit sur l'ensemble des fonctions de classe C 1 sur R2 à valeurs dans R et à 
support
compact. L'image d'une telle fonction f par cet opérateur est une fonction 
définie
sur l'ensemble des droites du plan. À une droite donnée, elle associe 
l'intégrale de la
fonction f suivant cette droite.
Le problème est composé de trois parties, qui ne sont pas indépendantes.
· La première partie sert à introduire les différents outils qui seront 
utilisés dans
la suite. Elle permet de mettre au clair la géométrie utile à la transformée de
Radon.
· La deuxième partie est consacrée à l'établissement d'un lemme. Elle est 
prétexte à la manipulation de nombreux outils de l'analyse au programme de MP,
notamment les théorèmes de continuité et de dérivation des intégrales à 
paramètre, mais aussi le théorème de Green-Riemann, qui est souvent mal connu
des candidats.
· La troisième et dernière partie est consacrée à la démonstration du théorème
phare de cette épreuve. Il faut être vigilant et ne pas oublier de justifier 
l'existence des intégrales manipulées. Les points techniques sont 
essentiellement le
théorème de changement de variable et le théorème de Fubini. Il faudra enfin
faire preuve d'esprit de synthèse afin de remettre en place les résultats 
obtenus
tout au long de l'épreuve pour conclure à la dernière question.
Ce sujet allie vision géométrique et vision analytique de la transformation de
Radon. Il constitue un bon entraînement au maniement des intégrales à paramètre
et des fonctions à support compact. Sa longueur n'est pas excessive puisqu'il 
s'agit
d'une épreuve en quatre heures. Cependant, la rédaction soignée de certaines 
questions, notamment celles nécessitant la vérification des hypothèses des 
théorèmes sur
les intégrales à paramètre, est un peu fastidieuse. Pour un élève connaissant 
parfaitement son cours, les principales difficultés sont de rester concentré 
afin de garder à
l'esprit tout au long du problème les conventions et les outils introduits par 
l'énoncé,
mais aussi de ne pas se laisser déstabiliser par les quelques imprécisions et 
erreurs que
l'on rencontre au détour de certaines questions (tout est détaillé dans les 
indications
et le corps du corrigé).

Indications
I

Un peu de géométrie

1 Se ramener sur l'axe des abscisses par une rotation bien choisie.
2 Exprimer Rot y dans la base (e1 , e2 ).
II

Lemme préparatoire

5 Pour la dérivabilité de Wi , utiliser le théorème de continuité des 
intégrales à
paramètre sur l'intégrale par rapport à r pour appliquer le théorème de 
dérivation
des intégrales à paramètre sur l'intégrale par rapport à .
6 Faire le changement de variables des coordonnées polaires aux coordonnées
cartésiennes, puis utiliser le théorème de Green-Riemann.
7 Remarquer que le support de f peut être inclus dans un pavé ou dans une boule.
Utiliser le théorème de Fubini.
8 Relier B(O, R - A) et QA . Utiliser la question 6 pour exprimer la dérivée de 
Wi .
9 Utiliser la question 8.
10 Dans la récurrence, exprimer y1k y2l f à l'aide du binôme de Newton.
Z 2
11 Calculer
f (x + Ru )ein d de deux façons différentes.
0

12 Traduire le résultat de la question 11 dans le cadre des séries de Fourier.
13 Montrer que f est nulle sur S(x, R) en utilisant la question 12.
III

Théorème de support

15 Faire un changement de variable.
16 Utiliser l'application L introduite page 3 de l'énoncé.
17 Penser à justifier l'existence de Td
f,x .

19 S'inspirer de la figure 2 de l'énoncé.
20 Appliquer la question 16 à Tf,x en vérifiant les hypothèses et utiliser le 
lemme 1.

Les conseils du jury
Dans le rapport de l'épreuve, le jury rappelle qu'une « bonne connaissance
du cours est indispensable à la réussite d'une épreuve ». Il attire également
l'attention sur les points suivants :
· Les théorèmes employés doivent être soigneusement justifiés, leurs
hypothèses rappelées et vérifiées (questions 5, 12, 17). Les noms
doivent être correctement orthographiés (il s'agit du théorème de Fubini
« et non Fubbini, Fubiny ou... Fibonacci »).
· Les variables du problème sont à identifier avec précision (questions 3,
5 et 9).
· À l'occasion d'un raisonnement par récurrence, l'hypothèse de récurrence doit 
être clairement énoncée (question 10).
Le rapport souligne enfin que le grappillage n'est pas une stratégie payante
et qu'il valait mieux s'efforcer de « suivre l'ordre des questions afin de mieux
entrer dans la logique du problème. »

I. Un peu de géométrie
1 Soit f  CK1 (R2 , R). On suppose que f est radiale :
  [ 0 ; 2 [

f  Rot = f

2

Soit x  R . Il existe   [ 0 ; 2 [ tel que x = kxku . On remarque que
f (x) = f (kxk cos , kxk sin ) = f  Rot (kxke1 ) = f (kxke1 )
Cette dernière égalité est assurée par le caractère radial de f . Posons alors
x  R+

F(x) = f (xe1 )

La fonction F est de classe C sur R+ en tant que composée de deux fonctions de
classe C 1 , f étant de classe C 1 sur R2 . De plus, puisque f est à support 
compact,
il existe M > 0 telle que son support est inclus dans B(O, M). Alors si x  R+ 
est
tel que x > M, xe1 
/ B(O, M) et donc F(x) = f (xe1 ) = 0. Cela signifie exactement
que F est à support compact. Ainsi, on a bien F  CK1 (R+ , R). De plus, la 
remarque
préalablement effectuée entraîne
1

x  R2

f (x) = F(kxk)

En résumé
Il existe F  CK1 (R+ , R) telle que pour tout x  R2 , f (x) = F(kxk).
Le rapport du jury précise que « l'existence de F ne résulte pas de la force
de conviction qu'y met le candidat. » Une expression explicite de F à l'aide
de f était attendue.
2 Soit f  CK1 (R2 , R). Soit x  R2 . On considère
( 2
R × R - R
Tf,x :
(y, ) 7- f (x + Rot (y))
Étudions pour commencer la continuité de l'application Tf,x . Soient y  R2 et
  R. Notons (x1 , x2 ) et (y1 , y2 ) les coordonnées dans le repère (O, e1 , e2 
) de x et y
respectivement.
Tf,x (y, ) = f (x + Rot (y)) = f (x1 + y1 cos  - y2 sin , x2 + y1 sin  + y2 cos 
)
L'application
(y, ) 7- (x1 + y1 cos  - y2 sin , x2 + y1 sin  + y2 cos )
est continue sur R2 × R. Comme la fonction f est continue sur R2 par hypothèse,
en tant que composée d'applications continues,
Tf,x est continue sur R2 × R.
Soit y  R2 . Intéressons-nous maintenant à la périodicité de  7 Tf,x (y, ).
Soit   R. Par définition
Tf,x (y,  + 2) = f (x + Rot+2 (y))
or
d'où
Finalement,

Rot+2 = Rot
Tf,x (y,  + 2) = f (x + Rot (y)) = Tf,x (y, )
 7 Tf,x (y, ) est 2-périodique.

La continuité des fonctions y 7 Tf,x (y, ) et  7 Tf,x (y, ) n'entraîne pas
la continuité de Tf,x . Le jury précise dans son rapport que « cette erreur
[a été] très fréquente chez les candidats » et rappelle pour contre-exemple
la fonction
R2

- R
(

(x, y) 7-

xy
x2 + y 2
0

si (x, y) 6= (0, 0)
sinon

dont les applications partielles sont indéfiniment dérivables mais qui n'est
pas continue en (0, 0).
3 Soient f  CK1 (R2 , R) et x  R2 . Considérons la fonction
 2

 R - R
Z
Tf,x :
1 2

 y 7-
Tf,x (y, ) d
2 0

Soient   [ 0 ; 2 [ et y  R2 .
Z
Z
1 2
1 2
Tf,x  Rot (y) =
Tf,x (Rot (y), ) d =
f (x + Rot (Rot y)) d
2 0
2 0
or

Rot  Rot = Rot+

1
ainsi Tf,x  Rot (y) =
2

Z

0

2

1
f (x + Rot+ (y)) d =
2

Z

2

Tf,x (y,  + ) d

0

Le changement de variable  =  +  conduit à
Z
1 2+
Tf,x  Rot (y) =
Tf,x (y, ) d
2 

Or, l'intégrale d'une fonction 2-périodique est la même sur tout intervalle de
longueur 2 : la 2-périodicité de  7 Tf,x (y, ), établie à la question 2, 
entraîne
Z
1 2
Tf,x  Rot (y) =
Tf,x (y, ) d = Tf,x (y)
2 0
En conclusion,

Tf,x est radiale.

La fonction Tf,x est bien définie car elle est définie comme l'intégrale sur un
segment de  7 Tf,x (y, ), qui est continue sur R, d'après le résultat de la
question 2.
4 Soient x  R2 et ,   [ 0 ; 2 [. Considérons l'ensemble
Dx, = {x + Rot (p u + t v ), t  R}
Posons pour le moment x = O.
DO, = {p Rot (u ) + t Rot (v ), t  R}