Mines Maths 2 MP 2006

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique des racines d'un polynôme
Principaux outils utilisés intégrales, polynômes, fonctions de la variable réelle, relations de comparaison

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. - '
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS-DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES '
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : (
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE--EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la
copie :

MATHÉMATIQUES II - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si au cours de l'é reuve un candidat re ère ce ui lui semble être une erreur 
d'énoncë il
7 7 7
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives

qu'il est amené à prendre.

Le but de ce problème est d'étudier le comportement asymptotique fin
des racines de la dérivée du polynôme de degré n + 1,

Pn(X) =X(X--1)...(X --n),

lorsque n tend vers l'infini.
On notera cot la fonction définie sur ]0, 7r[ par

cos(oe)

cot (a:) : sin(oe) .

Cette fonction est une bijection de ]O, 7T[ sur R. On notera Arc cot sa fonction
réciproque. Pour tout réel a:, [a:] désignera la partie entière de :s. On 
rappelle
la formule de Stirling:

n! ... v27rn . (fi)" quand n ----> +00.
EUR

Les parties I ethI sont indépendantes.

1. Quelques propriétésdes racines de PÂ

1) Montrer que, pour tout n _>_ 1, PQ admet exactement une racine a:...k dans
chacun des intervalles ]k, k + 1[, pour k = O, . . . ,n -- 1.

Notons ozn,k : a:...k -- k 6 ]0,1[, la partie fractionnaire de :cn,k. '

2) Pour 77. > 1, en calculant les coefficients de degré n -- 1 et n de P,;,
- ' n---1 - n--l --
expr1mer Zk=0 :un, k, pms Zk=0 a...k en fonct10n de n.

3) En comparant Pn(X ) et Pn(n -- X), exprimer xn,n_1_k en fonction de
oe...;...pour toutn21,et pour toutk=0,....,n--l. *

4) Déterminer la valeur de an,k + an,n_1_k.

Le but des questions suivantes est de montrer que, n étant fixé, la suite
des a...k croît lorsque k croît de 0 a n --- 1.

5) Pour tout n 2 1, dresser, en fonction de la parité de n, le tableau de
variations de P.,,

On y fera apparaître les réels a:...k pour k = O, 1, . . . , n -- 1 ainsi que 
les
entiers O, 1, . . . ,n. On pourra s'inspirer du modèle de la figure 1.

6) En déduire le signe de (--1)""'"Pn(æn,k) pour k = O, 1, - -- ,n -- 1.

7) En utilisant la relation P,,(X ) = (X -- n)Pn__l(X ), déterminer le signe de
(--1)""kPâ(oen_l,k) pour k = O, 1, - -- ,n -- 2.

8) En déduire que pour k = O, 1, - -- ,n -- 2, on & oen__1,k > a:n,k.

9) En utilisant l'idendité P,,(X ) = X Pn_1(X --- 1), déterminer, en fonction
' de k et n, le signe de (--1)""'°P,Ç(1 + oen_1,k._1) pour k = 1, - --- ,n -- 1.

10) En déduire que pour k = 1, - --- ,n -- 1, on & a:...k > 1 + æn_1,k_1. '

11) Conclure.

II. Un développement asymptotique
Pour 3: E R, on considère la fonction h,, définie sur Rj_ par hæ(t) = tm"le--t.

12) Déterminer 8 = {a: EUR R | h,, est intégrable sur ]0, + oo[}.

Pour 3: EUR 8, on pose

13) Montrer que I' est strictement positive sur 8 .
14) Montrer que P est deux fois dérivable sur 8 .

15) Exprimer pour tout a: 6 8 , I'(oe + 1) en fonction de :r et I'(a:).

On admet que la fonction P satisfait, pour tout a: E]0,1[, la formule:

. 7r
. I'(oe) F(1 ---- a:) -- sin(m:) (A)
Désormais, on pose, pour tout :1: EUR 5,
["(CE)
. \Il(oe) - F(oe) .

16) Montrer que 'Il est strictement croissante.

17) Établir, que pour tout a: EUR EUR , _
_ _ . _ 4 1
\I/(cc +1) : OE'(oe) + --.

[C

Le but des questions suivantes est de montrer que, pour tout a: > O,

1

_----lnm =D.
a:+y

m----++oO

lim \Il(a:) + z
j=0

On pose pour tout a: > O,

$(OE) = OE(OE) --1n(OE)-

18) Montrer que la série de terme général (çb(n + 1) -- çz5(n)) converge.

19) Montrer que la suite (@(n), n 2 1) converge lorsque l'entier n tend vers
l'infini. Soit G sa limite.

20) Établir que l'on a aussi:

lim çb(oe) = o.

æ---++oo

21) Montrer que si C # 0,

+00

/æ çb(t) dt ... 0:13.
1

22) Montrer que C = O.

23) Conclure en considérant \I/(a: + m + 1).

III. Comportement asymptotique des an,k-

PI
24) En considérant la fraction É"--, montrer que
le 1 n--k--1 1
j=0 an,k+ ] j=0 (1 _ an,k) + .7

25) Pour t EUR]0,1{ fixé, on pose un : an'[nt] pour t EUR]0, 1[. Démontrer que

n----++OO t

lim {XI/(un) -- xp(1 -- un) + In (1---- " t)) = o_.

26) Démontrer que la suite (a... n 2 1) est convergente et calculer sa limite,
que l'on notera F(t)

(En 2k: 2k+1 :L'n 2k+1 2k+2 . . .

FIG. 1 -- Modèle de tableau de variation.

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Gilbert Monna (Professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (ENS Cachan).

Ce problème propose d'étudier le comportement asymptotique des racines de la
suite des polynômes Pn , où
n

Pn (X) =

 (X - k)
k=0

Il est constitué de trois parties, les deux premières étant totalement 
indépendantes.
· La première partie, qui vise à étudier quelques propriétés élémentaire des 
racines
de Pn , est relativement simple. Elle ne demande pas l'utilisation de théorèmes
complexes.
· Dans la deuxième partie, on étudie la fonction  que l'on retrouve chaque année
à l'heure des concours. Les quatre premières questions établissent ses 
propriétés
les plus courantes. Les suivantes nous font étudier la fonction  /. Cette partie
est beaucoup plus difficile que la précédente et demande astuce et dextérité 
dans
le maniement des théorèmes d'intégration.
· La troisième et dernière partie s'articule essentiellement autour d'une 
question
particulièrement calculatoire (la question 25). Elle vise à préciser le 
comportement asymptotique des racines des polynômes Pn .
Nous avons là un assez beau sujet d'analyse qui passe en revue un grand nombre
des propriétés des polynômes réels et une large partie des notions 
d'intégration.
Les calculs, quoiqu'assez longs, sont relativement simples et ne devraient pas 
poser
de problèmes majeurs si l'on parvient à rester lucide jusqu'au bout.

Indications
Partie I
1 Commencer par montrer que Pn admet au moins une racine dans chaque intervalle
] k ; k + 1 [, puis qu'il n'y en a pas d'autre.
2 Exprimer les coefficients du polynôme Pn en fonction de ceux du polynôme Pn .
4 Utiliser la question 3.
7 Dériver la relation Pn (X) = (X - n)Pn-1 (X).
8 Utiliser les questions 5 et 7.
9 Dériver la relation Pn (X) = XPn-1 (X - 1).
10 Utiliser les questions 5 et 9.
11 Utiliser les questions 8 et 10.
Partie II
13 Les fonctions hx sont non nulles.
14 Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégral.
15 Intégrer (x + 1) par parties de façon à faire apparaître (x).
16 Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
17 Dériver la relation obtenue à la question 15.
18 Utiliser la question 17.
19 Utiliser la question 18.
20 Utiliser la question 16.
22 Utiliser la question 15, la formule de Stirling et la question précédente.
Partie III
24 Le réel xn,k = n,k + k est une racine de Pn .
25 Établir

n 1
P
---- - ln t
[nt] j n

et

n 1
P
---- - ln(1 - t)
n-[nt] j n

puis utiliser les résultats de la partie II et de la question 24.
26 Dériver la relation (A) pour évaluer la différence (un ) - (1 - un ) et 
utiliser la
question précédente.

I. Quelques propriétés des racines de Pn
1 Soient n > 1 et k  [[ 0 ; n - 1 ]]. La fonction x 7- Pn (x) vaut 0 en k et en 
k + 1.
Comme elle est dérivable sur l'intervalle ouvert ] k ; k + 1 [ et continue sur 
l'intervalle
fermé [ k ; k + 1 ], d'après le théorème de Rolle, sa dérivée s'annule au moins 
une fois
sur l'intervalle ouvert ] k ; k + 1 [. En d'autres termes, le polynôme dérivé 
Pn admet
au moins une racine dans l'intervalle ] k ; k + 1 [.
Comme le polynôme Pn est de degré n+1, son polynôme dérivé Pn est lui de degré
n et admet donc au plus n racines. Puisqu'il en admet au moins une dans chacun 
des
n intervalles disjoints ] 0 ; 1 [ , ] 1 ; 2 [ , . . . , ] n - 1 ; n [, il ne 
peut en admettre plus dans
aucun de ces intervalles. On en déduit que
Pn admet exactement une racine xn,k dans chacun des intervalles
] k ; k + 1 [, pour k = 0, . . . , n - 1.

Comme souvent dans les sujets, la première question est assez facile, du moins
classique. Il s'agit donc de la rédiger du mieux possible afin de laisser une
bonne impression au correcteur dès le début de la copie. Ici, on s'attache à
citer correctement les hypothèses du théorème de Rolle.

2 Soit n > 1. En développant le polynôme Pn (X), on obtient

soit

Pn = X(X - 1) . . . (X - n)
P
n 
= Xn+1 -
k Xn + . . .
k=0
P
n 
Pn (X) = (n + 1)Xn - n
k Xn-1 + . . .
k=0

en dérivant. En particulier, le coefficient de degré n de Pn est n + 1 et son 
coefficient
de degré n - 1 vaut
cn,n-1 = -n

n
P

k

k=0

= -n

n(n + 1)
2

Comme la somme des racines d'un polynôme scindé à racines simples de degré n,
comme l'est Pn , est égale à l'opposé du rapport de son coefficient de degré n 
et de
son coefficient de degré n - 1, on a
n-1
P

xn,k = -

k=0

Et donc

n-1
P

xn,k =

k=0

-n × n(n + 1)/2
n+1

n2
2

Enfin, puisque pour tout k  [[ 0 ; n ]], le réel n,k vérifie n,k = xn,k - k, on 
a
n-1
P

n,k =

k=0

n-1
P

(xn,k - k)

k=0

=

n-1
P

xn,k -

k=0
2

n,k =

k=0

k

k=0

n
n(n - 1)
-
2
2

=
n-1
P

n-1
P

n
2

Les formules qui permettent d'exprimer les sommes de termes consécutifs
d'une suite arithmétique sont à connaître absolument.
3 Soit n > 1. Calculons les polynômes Pn (n - X) puis Pn (n - X) :
Pn (n - X) = (n - X)(n - X - 1) . . . (n - X - (n - 1))(n - X - n)
= (n - X)((n - 1) - X) . . . (1 - X)(-X)
= (-1)n+1 (X - n)(X - (n - 1)) . . . (X - 1)X
Pn (n - X) = (-1)n+1 Pn (X)
et

-Pn (n - X) = (-1)n+1 Pn (X)

en dérivant. Fixons maintenant un entier k dans [[ 0 ; n - 1 ]]. Puisque le 
réel xn,k est
une racine du polynôme Pn , il vérifie
Pn (n - xn,k ) = (-1)n Pn (xn,k ) = 0
si bien que le réel n - xn,k est également une racine du polynôme Pn . Puisque 
xn,k
appartient à l'intervalle ] k ; k + 1 [, c'est-à-dire vérifie l'encadrement
k < xn,k < k + 1
le réel n - xn,k vérifie, lui, l'encadrement
n - k - 1 < n - xn,k < n - k
et appartient donc à l'intervalle ] n - k - 1 ; n - k [. Enfin l'unicité du 
réel xn,n-k-1
établie à la la question 1 permet d'affirmer que l'on a n - xn,k = xn,n-k-1 , 
soit
xn,k + xn,n-k-1 = n
4 Calculons
n,k + n,n-k-1 = xn,k - k + xn,n-k-1 - (n - k - 1)
= xn,k + xn,n-k-1 - n + 1
n,k + n,n-k-1 = n - n + 1
d'après la question précédente, soit
n,k + n,n-k-1 = 1