Mines Maths 2 MP 2002

J. 2066
A 2002 Math MP 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNTCADONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCATIÛNS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIEME EPREUVE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2-Filière MP.

Cet énoncé comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

Il est conseillé aux Candidats de lire le problème en entier. Les deuxième et 
quatrième parties
peuvent être abordées indépendamment des parties précédentes.

Le crible d'Ératosthêne donne un algorithme qui permet de savoir si un entier 
est premier ou
non. Il est par suite possible d'indexer la suite des nombres premiers p ,, i = 
1, 2, :

p1=2,p2=3,p3=

Dans tout le problème la lettre p est réservée aux nombres premiers. Étant 
donné un réel x, sa
partie entière [x] est l'entier n qui vérifie la double inégalité suivante :

[x]=nSx_ 2), s un réel 
donné strictement
positif (s > O)

I-2. Ensemble Mn :
a. Justifier la relation suivante :

b. Soient a et b deux entiers, différents l'un de l'autre, tous les deux 
supérieurs ou égaux à 2
(a # b, a z 2, b 2 2) ; démontrer que la série double de terme général u, i = 
0,1,2,...,

] = 0, 1,2, défini par la relation suivante

]"

u...= .1 , i=0,1,2,..., j=0,1,2,....

est sommable. Déterminer sa somme S.

Soient pl , pl ..., p,, les n premiers nombres premiers, M ,, l'ensemble des 
réels obtenus en

considérant tous les produits des réels (pl )", (p;)', ..., (p,,)' élevés à des 
exposants et,,
1 S i S n, entiers positifs ou nuls.

M" = {m | m : (p0°'"".(p;)""2 ..... (p,,)"", a,-- e N}.

c. Démontrer que l'application (al, a2,...,an) +----> (p1)s"".(pg)""2 ..... 
(p,,)"'", de N" dans
M ,,, est injective. En déduire qu'il est possible d'indexer les réels m dans 
l'ordre croissant :

l'application i i----> m ,- est strictement croissante de N* sur M...
Exemples : écrire la suite des 12 premiers termes de la suite (m,--),ËW lorsque 
le réels est égal

à 1 et l'entier n égal à 2 puis à 3.

Il est admis que la série de terme général v,-- : l/m,--, i EUR N'", est 
convergente ; sa somme est
désignée par le symbole : 2 m"'. Comme le laisse présager l'alinéa b, le 
résultat plus général
mêM,,
ci-dessous est vrai et est admis :

--2/7--

Soit f,, la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, oo[ par la relation 
suivante :

fn(s) : ñ(l .. (p1)s)"l.

i=l

Soit N le rang du plus grand nombre premier inférieur à n (N = sup{i | pi 5 n} 
).

d. Démontrer l'inégalité suivante :

n N ..
ëîlfîgll" (pi-ÿ) l'

Retrouver, en donnant une valeur particulière au réel 5, le résultat : la suite 
des entiers premiers
est illimitée.

Déterminer, en supposant le réels inférieur ou égal à 1 (0 < s 5 1), la limite, lorsque l'entier n tend vers l'infini, de l'expression f,, (s) introduite ci-dessus. Il est admis, puisque la suite des nombres premiers est illimitée, qu'à tout réel x supérieur ou égal à 2 (x _>_ 2), peut être associé un entier N tel que le réel x soit 
encadré par les nombres

premiers pN et pN+1 :

PN E x < pN+l- e. Établir, lorsque le réel s est strictement supérieur à 1 (s > 1), 
l'encadrement ci-dessous :
n 1 N 1 _1 co 1
--,.- _<_ (1 -- s ) S ---;,--. ëk [J  1, la limite de l'expression f,, (s) introduite ci-dessus 
lorsque l'entier n
tend vers l'infini.

1--3. Série de terme général l/p,-, i = 1,2,... :
Déduire des résultats ci-dessus la nature de la série de terme général v,--, i 
= 1, 2, défini par
la relation suivante.

_ _ .l.
V,' --- lfl(l pi ).
En déduire la nature de la série de terme général :

W," : l=1,2,.....

__1_
Pi '
Quelle conclusion qualitative est-il possible d'en tirer sur la répartition des 
nombres premiers ?

1--4. Fonction Ç :
Soit Ç la fonction limite de la suite f,,. Démontrer que cette fonction, 
définie d'après la question
I--2.e sur la demi-droite ouverte ]1, col: par la relation ci-dessous, est 
continûment dérivable.

__.- N _ 1 "= _l_
Ç(s) IrmH 1 (p--)' Ek--°'
1--1 '

N--bOE) -_ k: 1

T
_ 3 /7 _ ournez la page S.V.P.

Deuxième partie

Le but de cette partie est d'établir une majoration du produit des nombres 
entiers premiers
inférieurs ou égaux à un entier donné n et d'encadrer le plus petit commun 
multiple de tous les
entiers inférieurs ou égaux à cet entier n.

Soit toujours n un entier supérieur ou égal à 2 (n 2 2), N le rang du plus 
grand nombre
premier inférieur ou égal à n ; soit P,, le produit des nombres premiers 
inférieurs ou égaux à n :

N
pN 5 n _ 2), 7r(x) est égal au nombre des 
nombres premiers
inférieurs ou égaux au réel x.

N
PNSX_ 2, àla somme des 
termes de la suiteA

dont les rangs sont inférieurs ou égaux au rang N du plus grand nombre entier 
premier inférieur ou
égal à x :

0,sile<2, HA(X) : N Zak, si2 S xetpN 5 x  1/lnx, 
l'inégalité suivante :

7r(x) S ln4(-È +]: (£:)2 )

c. Démontrer la convergence vers 0, lorsque le réel x croît vers l'infini, de 
la fonction R(x)
suivante :

R(x) : Ln%.Jî (Æ),

Indication : introduire, pour x 2 4 , les intégrales de 2 à J)? et de J)? à x.

d. En déduire l'existence d'un réel x0 tel que, pour tout réel x supérieur ou 
égal à x0, la
fonction 7: vérifie la majoration suivante :

J£...
rr(x) _<_ 4 ln2 lnx' III--3. Une minoration de la fonction 7r : En utilisant par exemple la minoration du p. p. c. rn. d2 ... obtenue àla question II-3, démontrer qu'il existe un réel xl tel que, pour tout réel x supérieur ou égal à x1 , la fonction % vérifie la minoration suivante : _h_1â_x_ 7r_(x)Z 2 lnx' Ces deux résultats sont cohérents avec le "théorème des nombres premiers" établi par Hadamard et de La Vallée Poussin en 1896, qui affirme que la fonction n est équivalente à l'infini à la fonction x r----> x/ lnx.

--6/7-

Quatrième partie

Soit, dans toute cette partie, un entier n donné (n 2 2). L'anneau Z/nZ est 
l'ensemble quotient
de l'anneau Z par la relation d'équivalence : "deux entiers relatifs sont 
équivalents si leur
différence est divisible par l'entier n". Classiquement un élément de Z/nZ, une 
classe

d'équivalence, est notée à, a étant un représentant de cette classe.
Soit (p la fonction qui, à l'entier n, associe le nombre d'éléments inversibles 
de Z/nZ.

IV-l. Théorème d'Euler :
a. Démontrer que, pour que l'élément à" de Z/nZ soit inversible, il faut et il 
suffit que l'entier a
soit premier avec n. Donner les valeurs de rp(n) lorsque l'entier n prend toute 
valeur de 2 à 7.

b. Démontrer que l'ensemble (Z/nZ)* des éléments de Z/nZ inversibles est un 
groupe

multiplicatif. Quel est son cardinal ?
Soit a un entier compris entre 0 et n -- 1 (O 5 a 5 n -- 1 ), premier avec n. 
Soit rp(n) le nombre
d'éléments de Z/nZ inversibles. Démontrer la relation :

Î, (n).

Indication : considérer l'application y : 5 »----> 5.ä de (Z/nZ)* dans 
lui--même puis l'expression c
définie par la relation suivante :
c = n 5.'ä.

bG(Z/nZ)'

Ill

â'P(")

c. Application : déterminer le reste de la division de 251311 par 6.

IV-2. Principe de cryptographie :
Soit n un entier (n 2 2) égal au produit de deux nombres premiers p et q ; n : 
p.q .
a. Démontrer la relation :

(PO?) = (P--1)(CI--1)-

Soit e un nombre entier premier avec (p -- 1) (q -- 1 ).

b. Établir l'existence d'un entier d tel que :

aâæ 1... (