Mines Maths 2 MP 2000

Thème de l'épreuve Irrationnalité de ln 2
Principaux outils utilisés séries entières, suites récurrentes linéaires, équations différentielles

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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J. 1033

00 MATH. 11 -- MP

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L' AERONAUIIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏTÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTOENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVE
FILOERE MP
(Durée de l'épreuve : 4 heures)

Sujet mis à la disposition des concours »: ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE--BNP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première 
page de la copie :
MATHEMATIQUES [[ - MP.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, 
comporte 6pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale 
sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.

Le but de ce problème est d'établir que le réel ln2 est irrationnel.

1. Fonction h :
Soit la série entière de terme général u,,(x), n = 0,1, 2, définie par la 
relation suivante :

u,,(x) = 3,,x".

Rap el : our tout entier strictement positif n et tout entier naturel p tel que 
0 5 p 5 n,

n . .
CZ = est le cardinal de l'ensemble des parties ayant p éléments d'un ensemble 
de n éléments.

P
Par convention : C° = 1.

Soit R le rayon de convergence de la série entière de terme général u,,(x) ; la 
somme h de cette
série entière est la fonction définie à l'intérieur de l'intervalle ouvert 
]----R, R|: par la relation :

h(x) = Ê Cg, x".
rF0

a. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière de terme général 
u,,(x).

b. Démontrer que, sur l'intervalle ouvert de convergence :|--R, R [, la 
fonction h vérifie l'équation

-l/6-

diñ'érentielle linéaire du premier degré.
(1 -- 4x) h'(x) = 2 h(x).

c. En déduire l'expression de h(x) sur l'intervalle ouvert ]--R, R [.

2. Fonctions M ,, :

Soitp un entier strictement P°Sifif (p ?. 1) ; soit M F la fonction définie sur 
la demi--droite ouverte
]--°°, 1 [ par la relation :

MP°" = %

Déterminer le développement en série entière de la fonction M ,, dans un 
voisinage de O. Exprimer

le coefficient de x" à l'aide de CË+H (= CË,È_1

3. Fonction f :
Soit f la fonction définie par la relation :

f(x) = 1

1/1--6x+x2.

a. Quel est l'ensemble de définition Df de la fonction f ?

b. Déterminer pour quelles valeurs du réel x la relation suivante

_ 1
f(x) -- 1 --x'h(_--(1_xx)2 ).

est vérifiée. En déduire que, dans un voisinage de 0, la fonction f est égale à 
la somme d'une série
de fonctions f,,,n = O, 1, 2, ..., définies par la relation :

fn(x) : Àn M2n+l (x) x"-

Les J.,, sont des scalaires qui seront déterminés ; il vient par suite :

f(x) = 2 A. M2n+1(x) x".
n=0

c. Déduire des résultats précédents l'existence d'un développement en série 
entière de la fonction f
dans un voisinage de 0 :

f(x) = Êa,, x".
n==0

Exprimer chaque ooefiicient a,, à l'aide de la somme d'une série. Préciser le 
rayon de convergence
de la série entière de terme général a,,x.",n = 0,1, 2....

d. Démontrer que la fonction f vérifie une équation différentielle linéaire du 
premier ordre :

a(X)f'(X) + b(X)f(X) = 0,

-2/6-

dans laquelle les deux fonctions a et b sont des polynômes de degré inférieur 
ou égal à 2. Les
déterminer.

e. En déduire que les coefficients a,,,n = 0,1, 2, du développement en série 
entière de la
fonction f vérifient, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, la relation de 
récurrence (R) suivante :

(R) Vn21,(n+l)a...--3(2n+l)a...+na... =O.

Déterminer les coefficients ao, a], az et a3.

4. Fonction g :
Le but de cette question est la recherche d'une fonction g qui possède les deux 
propriétés :
i. les valeurs de g(0) et de g'(O) sont données par les relations suivantes :

g(0) = 0, g'(0) = 1.

ii. le réel g(x) est la somme d'une série entière de terme général b,, x", n = 
0, 1,2, dont les
coefficients b,,, n = O, 1, 2, vérifient la relation de récurrence suivante :

(R) Vn21,(n+l)le--3(Zn+l)bn+nbn_l =0.

a. Démontrer que les coefficients b,,,n = 0,1,2, sont bien déterminés ; 
calculer bo, bl, b; et b3.

En supposant le rayon de convergence de la série entière de terme général b,, 
x", n = 0,1, 2,
strictement positif, déterminer une équation différentielle du premier ordre 
vérifiée par la fonction g .

b. Etablir la relation :

g(x) =flx). [Zf(t) du

c. En déduire l'expression de chaque coefficient 11,1 au moyen des coefficients 
ak, k = O, 1, 2, ..,n.
En déduire une minoration du rayon de convergence de la série entière de terme 
général b,, x",
n = O, 1, 2,

d. Soit n un entier strictement positif ; soit dn le plus petit commun multiple 
des n premiers entiers
], 2, ...,n. Démontrer que le réel d,,.b,, est un entier relatif : (d,..bn e Z)

5. Etude des suites (an),,eN et (b,,)nGN :
Soit ("")n=1,2,.. la suite des réels définis par la relation suivante : pour 
tout entier n strictement

positif:
un : bn art--1 "bn--l an-

a. Calculer u1 et u2. Exprimer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, le 
terme u,... en fonction
de l'entier n et de un. Etudier le signe des réels u... n = 1,2, ..., et la 
monotonie de cette suite.
Déterminer le plus petit des majorants C de cette suite.

-3/6-

b. Démontrer que la suite des nombres réels (fg-;) ÆN est définie et 
strictement croissante ;
déterminer, pour tout entier n strictement positif une majoration de la 
différence

bn bn--l

an -- arr--l

à l'aide de la constante C et des deux réels a,, et a.... En déduire que la 
suite (%) "GN est
convergente. Soit À la limite de cette suite :

6. Détermination de la limite À :
Soit 8 un réel strictement positif donné. D'après la question précédente, il 
existe un entier N tel
que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, le rapport b,,/a,, est encadré 
par 2. -- s et /'L + a :

À--8S Z--: SÀ+8.

a. Démontrer que, lorsque le réel x tend vers 3-Jî par valeurs inférieures, les 
deux fonctions f et g
croissent vers l'infini.

Soient fN, gN, U N et VN les fonctions définies par les relations suivantes :

N N
fN(x> = Za...x", gN(x) = Z'bnx", UN(x) =flx) --fN(x>, V...) = g(x) --gN(x).
æ0 n=0

b. Démontrer, lorsque le réel x est compris entre 0 et 3-Jî (x e [O, 3-JÏÎ D, 
l'encadrement
suivant :

_ VN(X)
). 8 S UN(x) S À+s.

c. Démontrer que, pour tout entier naturelN donné, il existe une constanteA qui 
majore les deux
fonctionst et gN sur le segment [O, 3-Jî ].

En déduire que la fonction x H g(x)/f(x) a pour limite À lorsque le réel x tend 
vers 3-JÏÎ par
valeurs inférieures.

d. Déterminer le réel )... en admettant la relation ci--dessous :

-r
f 8--------"" =-'--"%

° Jl--6x+x2

7. Un équivalent du réel a,, à l'infini :
Soit 0: un réel strictement positif donné ; soit (vu)"eN la suite des réels 
définis par la relation
suivante :

- 4/6 -

v,, = n".a,,.

a Démontrer qu'il est possible de choisir le réel a et deux suites (A,.),,21 et 
(B,,),,21 , qui ont
chacune, lorsque l'entier n croît vers l'infini, une limite finie, tels que la 
suite (v,,),,eN vérifie, pour tout
entier n supérieur ou égal à 1, la relation de récurrence suivante

v,... -- 6 v,, + v,,.1 = nl--Z(An.vn +B,,.v... ).

b. Soit (w,,) n=0,1,2,... la suite qui vérifie les relations suivantes
wo : 0, w = 3, Vn 21, w... --6w,,+w,... = 0.
Déterminer les réels wn ; en déduire un infiniment grand équivalent à W" à 
l'infini.

c. En admettant que les deux réels v,, et w,! sont équivalents à l'infini, en 
déduire un infiniment
grand équivalent à a,, lorsque l'entier n croît indéfiniment.

8. Le réel ln2 n'est pas rafionnel :
Soit u le réel défini par la relation :

u=ln(3+Æ).

a. Démontrer l'existence d'un entier N 1 et d'une constante positive K 1 , tels 
que, pour tout entier n
supérieur ou égal à N 1, il vienne : '

enu

_l_K1_ç_f'_"_ San 5 2K1

2Jrî fi°

b. A l'aide de la majoration démontrée àla question 5.d, établir qu'étant donné 
un réel a
strictement compris entre 0 et 2 (0 < a < 2), il existe une constante K 2, 
telle que, pour tout entier n
supérieur ou égal à N 1 , l'encadrement ci-dessous a lieu :

Osâ--Z--" 5K2e'""".

n

c. l] est admis que le nombre N (n) des nombres premiers inférieurs ou égaux à 
un entier n donné
est un infiniment grand équivalent à ÎÏÎ :

N(n) ... È

En déduire qu'il existe un entier N 2 tel que, pour tout entier n supérieur ou 
égal à N 2 (n 2 N 2 ), la
relation ci-dessous ait lieu.

dn S el,l.n'

-5/6-

d. Soient p,, et q,, les entiers (premiers entre eux) définis par les relations 
suivantes :
p,, = d,..b,,-- ; q,, = d,,.a,,.

Démontrer l'existence d'un réel r, strictement positif, d'une constante K 3 et 
d'un entier N 3 tels
que, pour tout entier n supérieur ou égal à N 3, l'encadrement ci--dessous ait 
lieu.

K
osx--p--"s 3 .
q" (qn)"l

Le résultat ci-dessous est admis :

0,61 < " <0,62.
u+1,1

e. Démontrer que, si A est rationnel, il existe une constante L, stfictement 
positive, ne dépendant
que du rationnel À, pour laquelle l'inégalité ci--dessous est vérifiée.

_ &. _L_
'a qn Z qn '
f. En déduire que le réel ln2 est irrationnel.

FIN DU PROBLÈME

-6/6-

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 MP 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Éric Ricard (ENS Ulm) ; il a été relu par Tri 
NguyenHuu (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Cette épreuve des Mines est relativement longue, mais elle n'est pas très 
difficile.
Le sujet propose de démontrer que ln 2 est irrationnel, mais ceci n'est qu'un 
prétexte
puisqu'on y admet de nombreux résultats, notamment le théorème de Dirichlet sur 
la
répartition des nombres premiers, bien plus difficile à établir. Le candidat 
est surtout
testé sur sa connaissance du cours et sa maîtrise des techniques de bases 
(calculs,
majorations).
Les quatre premières questions sont consacrées à l'étude de fonctions 
développables en séries entières. L'idée principale est le lien entre les 
équations différentielles
linéaires pour les séries entières et les suites définies par des relations de 
récurrence
linéaires. Il s'agit principalement d'application directe du cours, sauf 
peut-être à la
question 3.c.
Les questions 5 et 6 font le lien entre ces suites et ln 2. Contrairement à son 
titre,
la question 7 n'est qu'un exercice sur les développements limités et 
l'application du
théorème sur les suites récurrentes d'ordre 2. Enfin, la question 8 mène à 
l'irrationnalité de ln 2 en utilisant le critère de Fröbenius, là encore, tout 
est très détaillé et
seule une bonne aptitude à manipuler les inégalités est nécessaire.
Pour bien comprendre le sujet et les mécanismes mis en jeu, il est souhaitable
de lire intégralement l'énoncé. Globalement, il constitue un bon entraînement 
aux
calculs et une bonne révision sur les séries entières.

Indications
1.c Ne pas oublier d'invoquer le théorème de Cauchy-Lipschitz.
2 Utiliser la formule de Taylor.
x
3.b h doit être définie en
.
(1 - x)2
3.c Utiliser les théorèmes sur les familles sommables pour changer la méthode de
sommation ou utiliser les théorèmes d'inversion des signes de dérivation et de
sommation pour les séries de fonctions.
Z x
4.b Montrer que e
g(x) = f (x)
f (t)dt est développable en série entière, puis trouver
0

ses coefficients en utilisant les questions 4.a et 4.b.
 
bn
5.b Pour montrer que
est bornée, utiliser la question 3.c pour minorer an ou
an
alors montrer que an est croissante et que an > 3n par récurrence.
7.a Utiliser la relation (R) pour exprimer vn+1 en fonction de vn et vn-1 et 
faire un
1
développement limité en
.
n
8.b Utiliser les majorations de la question 5.b combinées avec le résultat de 
la question 8.a .
8.c Exprimer dn en fonctions des nombres premiers.
pn
8.e Montrer  >
et réduire au même dénominateur.
qn

1.

Fonction h

1.a Pour déterminer le rayon de convergence de la série entière un , on utilise 
la
règle de D'Alembert :
Cn+1
2(n+1)
Cn2n

=

(2n + 2)(2n + 1)
---- 4
(n + 1)(n + 1) n

ce qui montre que la série entière de terme général un (x) a pour rayon de 
convergence
1/4.
1.b D'après le théorème de dérivation des séries entières, h est dérivable sur 
l'intervalle ] -1/4 ; 1/4 [ avec

P

h (x) =

n
(n + 1)Cn+1
2(n+1) x

n=0

Le coefficient d'ordre n de la série entière (1 - 4x)h (x) est

(2n + 2)(2n + 1)
n
n
(n + 1)Cn+1
-
4nC
=
C
(n
+
1)
-
4n
2n
2n
2(n+1)
(n + 1)(n + 1)
= Cn2n (4n + 2 - 4n)
n
(n + 1)Cn+1
2(n+1) - 4nC2n

=

2Cn2n

Puisque deux séries entières sont égales si et seulement si elles ont mêmes 
termes
généraux, on a
(1 - 4x)h (x) = 2 h(x)
1.c Comme 1 - 4x ne s'annule pas sur ] -1/4 ; 1/4 [, h est (d'après la question
précédente) solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle linéaire 
homogène
2
y=0
1 - 4x
Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire affirme que h est la seule solution à 
cette
équation satisfaisant h(0) = 1 ; or les solutions sont de la forme
y -

y (x) = e

Rx
0

2
1-4t

dt

1

= e- 2 ln(1-4x)

avec  réel. Un calcul direct donne  = 1 en x = 0 et
1
h(x) = 
1 - 4x

2.

Fonction Mp

Tout d'abord, Mp est développable en série entière sur ] -1 ; 1 [ car Mp est la
puissance p e de 1/(1 - x), qui l'est. Le développement de Mp est donné par sa 
série
de Taylor. Démontrons par récurrence que la proposition

(k)
1
1
= k! Cp-1
P(k) :
p+k-1
p
(1 - x)
(1 - x)p+k

est vraie pour tout k > 0.
­ P(0) est bien vérifiée.
­ P(k) = P(k + 1) pour k > 0 ; en effet,

1
(1 - x)p

1
(1 - x)p

(k+1)

(k+1)

=

1
(1 - x)p

(k) !

=

k! Cp-1
p+k-1

=

k! Cp-1
p+k-1 (p + k)

=

(k + 1)! Cp-1
p+k

1
(1 - x)p+k

­ Conclusion : P(k) est vraie pour tout k > 0.
La formule de Taylor en 0 donne
Mp (x) =

P

k=0

1
(1 - x)p+k+1

1
(1 - x)p+k+1

Ckk+p-1 xk

Pour déterminer le développement de Mp , on peut aussi utiliser l'égalité

(p-1)
1
1
1
p > 1
=
(1 - x)p
(p - 1)! 1 - x
et dériver p - 1 fois l'égalité

3.

P
1
=
xk .
1 - x k=0

Fonction f

3.a Pour que f (x), soit définie il faut et il suffit que
1 - 6x + x2 > 0

Le discriminant est 32, les racines sont donc 3 + 8 et 3 - 8. Comme le 
coefficient
de x2 est positif, 1 - 6x + x2 > 0 à l'extérieur de l'intervalle des racines, 
d'où

Df = - ; 3 - 8  3 + 8 ; +

3.b h n'étant définie que sur l'intervalle ] -1/4 ; 1/4 [, pour pouvoir écrire 
une telle
relation, il faut d'abord s'assurer que