Mines Maths 1 MP 2015

Thème de l'épreuve Opérateur de Volterra et équations différentielles
Principaux outils utilisés endomorphismes symétriques, équation différentielle d'ordre 2, séries trigonométriques, théorème de Weierstrass

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2015 MATH. I MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI).
CONCOURS 2015
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Opérateur de Volterra et équations différentielles
L'objectif de ce problème est l'étude d'un opérateur de Volterra appliqué
notamment à la résolution de certaines équations différentielles.
On considère l'espace vectoriel E des fonctions réelles définies et continues
sur l'intervalle [0, 2 ], muni du produit scalaire défini pour tous f , g dans 
E par :
f ,g =

Z
2

f (t )g (t ) dt .

0

p
On note k f k =  f , f  la norme associée à ce produit scalaire. Un 
endomorphisme V de l'espace E est dit symétrique défini positif si pour tous f 
, g dans E ,
on a V ( f ), g  =  f ,V (g ) et si de plus, V ( f ), f  > 0 pour tout f  E non 
nul.
Les parties A et B sont mutuellement indépendantes.

A. Opérateur de Volterra
On note V et V  les endomorphismes de E défini par les formules :
Zx
V ( f )(x) =
f (t ) dt
0

V  ( f )(x) =

Z
2

f (t ) dt

x

pour tous f  E et x  [0, 2 ].
1) En observant que V ( f ) et -V  ( f ) sont des primitives de f , montrer que
pour tous f , g dans E , on a V ( f ), g  =  f ,V  (g ).
2) Montrer que l'endomorphisme V   V est symétrique défini positif. En
déduire que ses valeurs propres sont strictement positives.
Soit  une valeur propre de V   V et f  un vecteur propre associé à .
3) Montrer que f  est de classe C 2 et est solution de l'équation 
différentielle :
y  + 1 y = 0 avec les conditions y( 2 ) = 0 et y  (0) = 0.
4) En déduire que  est une valeur propre de V  V si et seulement s'il existe
1
n  N tel que  = (2n+1)
2 . Préciser alors les vecteurs propres associés.

2

B. Théorème d'approximation de Weierstrass
Soit n un entier strictement positif, x  [0, 1] et f : [0, 1]  R une fonction
continue. On note X 1 , X 2 , ..., X n des variables aléatoires mutuellement 
indépendantes et distribuées selon la loi de Bernoulli de¡ paramètre
x. On note également
¢
S n = X 1 + X 2 + ... + X n , Zn = Snn et B n ( f )(x) = E f (Zn ) .
5) Rappeler, sans démonstration, la loi de S n . En déduire, avec 
démonstration, les valeurs de l'espérance et de la variance de S n en fonction 
de n et
de x.
6) En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout
>0:
à !
X
n k
1
x (1 - x)n-k É
4n2
0ÉkÉn k
| nk -x|Ê

7) Montrer que :
à !
³ ¡k ¢
´
n n
X
x k (1 - x)n-k f
B n ( f )(x) - f (x) =
- f (x)
n
k=0 k
et en déduire que la suite (B n ( f ))nN converge uniformément vers f
sur [0, 1]. On pourra utiliser le résultat de la question précédente ainsi
que le théorème de Heine.
On a donc établi le théorème d'approximation de Weierstrass sur le segment [0, 
1] :
toute fonction continue sur [0, 1] y est limite uniforme d'une suite de 
polynômes.
On en déduit aisément, et on l'admet, le théorème d'approximation de 
Weierstrass sur un segment quelconque [a, b].

C. Développement de V   V ( f ) en série trigonométrique
On considère maintenant l'espace vectoriel G des fonctions réelles définies
et continues sur l'intervalle [0, ], muni du produit scalaire défini pour tous 
f , g
dans G par :
Z

 f , g G =

f (t )g (t ) dt .

0

p
On note k f kG =  f , f G la norme associée à ce produit scalaire.
Pour n  N, on définit la fonction c n  G par la formule c n (t ) = cos(nt )
et on note F n = Vect(c 0 , c 1 , ..., c n ) le sous-espace vectoriel de G 
engendré par
{c 0 , c 1 , ..., c n }. On note également P Fn la projection orthogonale de G 
sur F n .
8) Montrer que si p est un polynôme de degré n  N, la fonction t 7 p(cos(t ))
définie sur [0, ] appartient à F n .
3

9) Trouver une suite (n )nN de nombres réels strictement positifs telle que
la suite (n c n )nN soit orthonormée. Déduire du théorème d'approximation de 
Weierstrass que la suite orthonormée (n c n )nN est totale.
10) Soit f  G. Démontrer que k f - P Fn ( f )kG tend vers 0 lorsque n tend vers
l'infini. Si, de plus, la suite (P Fn ( f ))nN converge uniformément sur [0, ]
vers une fonction g , montrer que g = f .

Pour tout x  [0, 2 ], on définit la fonction g x sur [0, ] par la formule :
(

- max(x, t ) si 0 É t É 2
g x (t ) = 2
-g x ( - t )
si 2 É t É .

11) Soit n  N. Déterminer les coordonnées de P Fn (g x ) sur la base (c 0 , c 1 
, ..., c n )
de F n . En déduire que pour tout t  [0, /2] :
¡
¢
X cos (2n + 1)x
¡
¢

4 +
- max(x, t ) =
cos (2n + 1)t .
2
2
 n=0 (2n + 1)
12) Montrer que pour tous f  E et x  [0, 2 ] :

V  V ( f )(x) =

Z ³
2

0

´

- max(x, t ) f (t ) dt
2

et en déduire la suite des coefficients (a n ( f ))nN pour laquelle on a :
V   V ( f )(x) =

+
X

n=0

¡
¢
a n ( f ) cos (2n + 1)x .

D. Équations différentielles du type Sturm-Liouville
Soit h  E ,   R et l'équation différentielle :
(
y  + y + h = 0
S
y(/2) = 0 et y  (0) = 0
¡
¢
On définit n  E pour tout n  N par la formule n (t ) = p2 cos (2n + 1)t .

1
 f , n .
(2n + 1)2
14) Montrer que g est solution de l'équation différentielle S si et seulement si
g = ·V  V (g )+V  V (h) et que dans ce cas, on a les formules suivantes
pour tout n  N :

13) Montrer que pour tous f  E et n  N, V   V ( f ), n  =

³
1-

´
1

g , n  =
h, n 
2
(2n + 1)
(2n + 1)2
4

et
g=

+
X

g , n n .

n=0

15) On suppose dans cette question que  n'est pas égal au carré d'un entier
impair. Montrer que la série :
X

1
h, n n
(2n + 1)2 - 

est normalement convergente. Exhiber alors une solution de S.
On suppose maintenant qu'il existe p  N tel que  = (2p + 1)2 .
16) Montrer que si h, p  = 0 alors S a une infinité de solutions, puis exhiber
l'une d'entre elles. Que peut-on dire si h, p  6= 0 ?

F IN DU PROBLÈME

5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 MP 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert et Florence Monna (Professeur en CPGE et
Docteur en mathématiques) ; il a été relu par Pierre-Yves Bienvenu (ENS Ulm) et
Nicolas Martin (Professeur agrégé).

Le problème est consacré à l'étude d'une équation différentielle du second ordre
avec des conditions initiales, mais il s'agit d'un problème de Sturm-Liouville 
et non
d'un problème usuel de Cauchy, ce qui donne une certaine originalité au sujet.
La méthode utilisée n'est pas classique non plus en classes préparatoires 
puisque
l'on utilise des opérateurs de Volterra, qui sont introduits dans la partie A. 
On étudie
alors un opérateur symétrique défini positif dans un espace vectoriel euclidien 
de
dimension infinie en déterminant son spectre, et on relie les vecteurs propres 
de
l'opérateur aux solutions d'une équation différentielle.
La partie B consiste en la démonstration du théorème de Weierstrass : toute 
fonction réelle définie et continue sur un segment est limite uniforme d'une 
suite de polynômes, en utilisant les très classiques polynômes de Bernstein. 
L'originalité vient
de l'utilisation de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour établir la 
majoration
technique sur les polynômes de Bernstein, qui permet d'achever la démonstration
de la convergence uniforme par la découpe usuelle. Cette intervention des 
probabilités, nouvellement introduites au programme cette année, à un endroit 
où l'on ne les
attendait pas, est très intéressante.
La partie suivante a pour but de déterminer un développement en série 
trigonométrique, appelée aussi série de Fourier. Les séries de Fourier ont 
disparu du programme,
mais le sujet utilise une suite orthonormée totale dont l'existence est montrée 
par le
théorème de Weierstrass trigonométrique qui se déduit du résultat de la partie 
précédente. La détermination effective de la série trigonométrique (question 
11) nécessite
tout de même quelques calculs...
Dans la dernière partie, dont certaines questions sont difficiles, on utilise 
les outils
construits jusque-là pour étudier l'équation différentielle avec les conditions 
de SturmLiouville, en établissant une condition nécessaire et suffisante pour 
qu'une fonction
soit solution. Ceci permet de construire une solution dans un cas (mais on 
n'aborde
pas la question de son unicité), de trouver une infinité de solutions dans un 
autre cas,
et on termine par un dernier cas où il n'y a pas de solution, ce qui démarque ce
problème de Sturm-Liouville d'un problème de Cauchy.
En résumé, c'est un problème très intéressant qui utilise deux nouveautés du
programme, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les suites orthonormées totales
ainsi que de nombreux chapitres. Il ne peut être traité dans son ensemble qu'en 
fin
de seconde année.

Indications
Partie A
1 Utilisez une intégration par parties.
2 Pour la symétrie, cherchez à utiliser la question précédente.
3 Pour montrer que la fonction f est de classe C 2 , pensez qu'une primitive 
d'une
fonction de classe C k est de classe C k+1 . Il suffit ensuite de dériver des 
fonctions
qui sont définies comme des primitives.
4 Commencez par résoudre l'équation différentielle linéaire homogène du second
ordre obtenue à la question précédente, puis utilisez les conditions initiales 
sur la
solution générale.
Partie B
6 Appliquez l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire Zn puis 
interprétez l'évènement {|Zn - E(Zn )| > } comme une réunion disjointe 
d'évènements dont on exprime les probabilités.
7 Utilisez le théorème de transfert, puis observez que
 
n
P
n k
x (1 - x)n-k = 1
k=0 k

soit par un argument probabiliste, soit par un argument algébrique. Utilisez 
ensuite le théorème de Heine pour déterminer un réel positif  et faites une 
découpe
k
de la somme en séparant les indices tels que
- x >  et les autres.
n
Partie C

8 On peut procéder par récurrence.
9 Appliquez le théorème de Weierstrass à la fonction définie sur [-1, 1] par
g(x) = f (Arccos (x))
10 Utilisez une propriété des suites totales que vous avez vue en cours, puis 
la relation
de comparaison entre les normes k kG et k k , pour conclure avec l'unicité de la
limite pour la norme k kG .
11 Les calculs sont un peu longs... Pour conclure, démontrez la convergence 
normale
pour permuter la somme et l'intégrale, puis ramenez-vous à la question 
précédente.
12 On peut partir du membre de droite en séparant l'intégrale en trois, puis en 
faisant
une intégration par parties en introduisant la primitive V(f ) de f .
Partie D
13 Utilisez la question 4 au lieu de refaire les calculs.
14 Pour une implication, dérivez. Pour l'autre, intégrez, mais en utilisant la 
bonne
primitive et en tenant compte des conditions initiales. Pour la dernière 
égalité,
utilisez la question 12.
+
P
1
15 Posez la fonction g =
hh, n in et montrez qu'elle vérifie la
2
n=0 (2n + 1) - 
condition suffisante de la question 14.
16 Pour trouver une solution, modifiez celle utilisée à la question précédente 
et, pour
montrer qu'il n'y a pas de solution, montrez que la condition nécessaire de la
question 14 n'est vérifiée par aucune fonction.

A. Opérateurs de Volterra
1 Par définition du produit scalaire sur E, on a, pour tout couple (f, g)  E2
Z /2
hV(f ), gi =
V(f )(x)g(x) dx
0

Intégrons par parties en posant

u = V(f ),
v  = g,

u = f
v = -V (g)

puisque, ainsi que l'énoncé le faisait remarquer, V(f ) et -V (g) sont des 
primitives
de f et g, donc sont de classe C 1 . On obtient
Z /2
Z /2
/2
V(f )(x)g(x) dx = [-V(f )(x)V (g)(x)]0 +
f (x)V (g)(x) dx
0

0

La partie intégrée est nulle puisque V(f )(0) = V (g) (/2) = 0. Il en résulte 
que
 (f, g)  E2

hV(f ), gi = hf, V (g)i

2 D'après la propriété de symétrie du produit scalaire, on a, pour tout (f, g)  
E2 ,
hV (V(f )), gi = hg, V (V(f ))i
et d'après la question précédente,
hg, V (V(f ))i = hV(g), V(f )i = hV(f ), V(g)i = hf, V (V(g))i
Finalement,

 (f, g)  E2

hV  V(f ), gi = hf, V  V(g)i

V  V est un opérateur symétrique.

d'où

Soit f un élément de E ; d'après la question 1,
hV  V(f ), f i = hV(f ), V(f )i
qui est positif, par propriété du produit scalaire. De plus, hV(f ), V(f )i = 0 
entraîne que V(f ) = 0, toujours par propriété du produit scalaire, donc sa 
dérivée, qui est la fonction f , est nulle. On a démontré que hV  V(f ), f i > 
0 et
hV  V(f ), f i = 0 = f = 0. Ainsi,
f 6= 0
On conclut que

=

hV  V(f ), f i > 0

L'opérateur symétrique V  V est défini positif.

Soit f un vecteur propre de l'opérateur V  V et  la valeur propre associée.
Un vecteur propre n'étant pas nul, on a f 6= 0, ce qui entraîne
hV  V(f ), f i > 0
ainsi que

hV  V(f ), f i = hf, f i = hf, f i

On a donc hf, f i > 0, ce qui implique  > 0 puisque hf, f i > 0. On en conclut 
que
Les valeurs propres de l'opérateur V  V sont strictement positives.
C'est toujours le cas pour un opérateur défini positif.

3 Par définition d'une valeur propre
V  V(f ) = f
La fonction f est de classe C 0 , la fonction V(f ), qui en est une primitive, 
est de
classe C 1 et la fonction -V (V(f )), qui est une primitive de la fonction V(f 
) de
classe C 1 , est de classe C 2 . On en déduit que
La fonction f est de classe C 2 .
En dérivant l'égalité f = V (V(f )), on obtient
f  = -V(f )
puis, en dérivant une nouvelle fois, f  = -f
D'après la question précédente,  n'est pas nul, donc la fonction f vérifie
f  +

1
f = 0

On a les égalités, pour tout x élément de [ 0 ; /2 ],
V (V(f ))(x) = f (x)

et

V(f )(x) = -f  (x)

En donnant à x la valeur /2 dans la première égalité, on arrive à

= V (V(f ))
=0
f
2
2
 
d'où f
= 0 puisque  n'est pas nul. En donnant à x la valeur 0 dans la deuxième
2
égalité, on obtient
f  (0) = -V(f )(0) = 0
 
d'où
f
=0
et
f  (0) = 0
2
4 L'équation différentielle y  +(1/)y = 0 du second ordre à coefficients 
constants a

pour équation caractéristique r2 + 1/ = 0, de racines r = +
- i/  ( > 0). Une base
de solutions de l'équation différentielle est formée des fonctions

x
x
x 7- cos 
et
x 7- sin 

La solution générale de l'équation est définie par

x
x
y(x) =  cos 
+ µ sin 

x
µ
x

En dérivant,
y (x) = -  sin 
+  cos 

La condition initiale y  (0) = 0 donne donc µ = 0, d'où

x
y(x) =  cos 

La condition initiale y (/2) = 0 s'écrit alors

cos
=0
2 

(, µ)  R2