A 2013 MATH. IMP
ECOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIËRE MP),
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI).
CONCOURS 2013
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis àla disposition des concours :
CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie:
MATHEMATIQ UES I - MR
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
dénoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des
initiatives qu'il est amené à prendre.
Applications bilinéaires symétriques plates
Dans tout le problème, n est un entier supérieur ou égal à 2 et p est un
entier supérieur ou égal à l. Les espaces vectoriels [R%" et [Rip sont munis de
leurs
produits scalaires canoniques, notés <-,--); en particulier pour p = 1, c'est le produit usuel dans [R. On rappelle qu'une application (p de [R%" >< [R%" dans [Rp est bilinéaire lorsque pour tous x, y dans R", les deux applications partielles z ---> .
Le but du problème est d'établir, sous certaines conditions, qu'une applica-
tion bilinéaire symétrique plate est diagonalisable.
Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres.
A. Formes bilinéaires symétriques plates
Dans toute cette partie on pose p = 1. Soit < [R%" --> [R une forme
bili-
néaire symétrique.
l) Justifier qu'il existe un unique endomorphisme u de [R%" tel que pour tous
x, y dans R", < [R%" a valeurs dans [R, en posant (a ® 19) (x, y) : a(x)b(y) pour tous x, y dans R". 2) Montrer que pour tous a, 19 E W", a ® 19 est une forme bilinéaire sur HQ". Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit symé- trique. On rappelle que le rang d'une forme bilinéaire symétrique < [R%" -->
[R est
égal au rang de la matrice (cp(e,--, e j)) où (e,--)1Sisn est une base
quelconque
de R".
1<ùj 1 et que le résultat
est
vrai pour toute dimension strictement inférieure à n.
6) Soit io EUR I . Montrer que si ui0 n'est pas une homothétie, les
sous--espaces
propres de ui0 sont de dimension strictement inférieure à n. Montrer par
ailleurs que ces sous--espaces sont stables par tous les endomorphismes ui.
7) Conclure.
C. Vecteurs réguliers
Soit ça une application bilinéaire symétrique non nulle de [R%" >< [R%" dans [Rip . Si x E HQ", on note <,"b(x) l'application linéaire qui a tout y E [R%" associe n.
On revient au cas général où ça est une application bilinéaire symétrique non
nulle.
12) Montrer que l'ensemble 7/ des vecteurs réguliers pour (p est un ouvert
de R".
13) Montrer que 7/ est dense dans R".
D. Le cas 19 = n de noyau nul
Dans cette partie, < [R%" dans R", dont le noyau est réduit à Ker
