Mines Maths 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Réduction de certaines matrices de coefficients binomiaux
Principaux outils utilisés polynômes, dénombrement, algèbre linéaire, réduction des endomorphismes symétriques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,

SUPAËRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIËRE TSI).

CONCOURS 2012

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis àla disposition des concours :
CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie :

M'lTHÉAMTIQUES I - MR

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
dénoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les rai--
sons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Réduction de certaines matrices de coefficients binomiaux

Le but du problème est d'étudier la réduction de matrices définies à partir
d'un résultat sur les dénombrements de certaines familles entières, en utilisant
les propriétés des polynômes réciproques.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

A. Equations algébriques réciproques

On note R[X ] l'algèbre des polynômes à coefficients réels. Si P EUR R[X], on
note deg(P) son degré. Si n EUR N, R,,[X] désigne le [Ri-espace vectoriel des 
poly--
nômes P EUR R[X] tels que deg(P) S n.

1) Montrer que si n EUR N, l'application un : R,,[X ] --+ R,, [X ] donnée par 
la for--
mule u,,(P) (X) = X "P(%) est bien définie, et que c'est une symétrie.

Un polynôme R de MX] est dit réciproque de première espèce s'il est non nul
et invariant par udeg(R) ; il est dit réciproque de deuxième espèce s'il est 
non nul
et transformé en son opposé par udeg(R). On note 9" (respectivement @) l'en-
semble des polynômes de R[X ] réciproques de première (respectivement de
deuxième) espèce.

2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur ses coefficients pour
qu'un polynôme non nul de R[X ] appartienne à ? (respectivement à 9).

3) Établir que si R EUR R[X ] est réciproque (c'est-à-dire R EUR 9 U@) et x est 
une
racine de R, alors x est non nul et % est aussi une racine de R. Montrer
par ailleurs que tout polynôme de @ admet 1 pour racine, et que tout
polynôme de 93 de degré impair admet -- 1 pour racine.

4) Étant donné trois polynômes P, Q, R de R[X ] tels que P : QR, montrer que
si deux d'entre eux sont réciproques, alors le troisième l'est aussi. Etablir
un lien entre les espèces de ces trois polynômes réciproques.

5) Vérifier que P EUR ? implique (X - 1)P EUR @ . Réciproquement, montrer que
si D EUR @, il existe un unique P EUR 9 tel que D = (X-- DP.

6) Établir un résultat analogue caractérisant les polynômes de 9" de degré
impair dans Rin.

7) Montrer que si 73 E N, alors il existe un unique P EUR R[X] tel que

X"+%=P(X+%)

Quel est le degré de P?
Soit R un élément de R[X ] réciproque n'admettant ni 1 ni ---1 comme racine.

8) Montrer que R est réciproque de première espèce et de degré pair. En
déduire qu'il existe P EUR R[X ] tel que pour tout x E R*, on ait l'équivalence
R(x) : 0 «=> P(x + %) = 0. Y a--t--il unicité du polynôme P ? de deg(P)?

B. Un problème de dénombrement

Si i et j sont des entiers strictement positifs, on note Si,j (respectivement
SQ_J.) l'ensemble des familles u = ( uk) kEUR{0,1,...,i} à valeurs dans N 
telles que u0 : 1
et uo+ u1+---+ui =j (respectivement u0=1 et uo+u1+---+ui sj).

La notation f ] E désigne la restriction d'uneapplication f a une partie B de
son ensemble de départ.

9) Vérifier que SM et 8; ]. sont des ensembles finis et montrer que l'applica-
tion

[
Si+Lj _" Si,]

u *-- ul{0,1,...,i}
est bien définie et bij ective.

Dans toute la suite du problème, on note s...- et s; ]. les cardinaux 
respectifs de
I
Si,]' et Si,j'

'. s' + s'.

! ..
10) Montrerque si z+l,j+l-- "H H......

-- . . , , .
'j+1 - sw+1 + si,]. et en dedu1re que 3

Si p, (7 E N, on note (';) le nombre de parties à c] éléments d'un ensemble à p
éléments.

Il) Prouver que s;. ]. : (i+ê--l) et en déduire la valeur de si,j.

C. Polynôme caractéristique d'un produit de matrices

Si n EUR N*, M ,, (R) désigne la R--algèbre des matrices carrées d'ordre n à 
coef-
ficients réels, d'élément neutre I ,, pour la multiplication. On note GL,,(R) 
l'en--
semble des matrices inversibles de M,,(R). Si M EUR M,,(R), on note det(M) son
déterminant et (I) M son polynôme caractéristique.

Dans cette partie, on démontre que pour tous A, B dans M ,, (R), on a l'égalité

AB = CDBA-
12) Établir le résultat lorsque A est inversible.

13) Conclure en considérant la suite (A -- %]") keN*.

D. Etude spectrale de certaines matrices

Soit 11 EUR N. On considère désormais les matrices S: (s,- ,),11512, ,,,... et 
S' :

(s'.j),--je{12, _,,+1} }de Mn+1(R), où si j et s'. ]. ont été définis dans la 
partie B.

14) Montrer que S est diagonalisable. La diagonaliser pour n = O et 1, et cal-
culer (DS pour n = O, 1 et 2.

15) Montrer que l'application #! : (R,,[XD2 _» R définie par la formule

+00
w(P. Q) = [O P(t)Q(t)e"tdt

est un produit scalaire. On suppose désormais R,, [X] muni de celui-ci.

16) Vérifier que la famille @ : (BO,B1,... .,Bn) définie par B,--= --, est une 
base
de R,,[X] et évaluer 1//(B,-,B,-) pour i,j EUR {O, 1,...,n}. En déduire que S 
est
définie positive. Que peut--on en conclure sur les rangs de 8 et de S' ?

Pour i EUR {O, 1, . . . , n}, on note f,-- : R --> [R l'application définie par 
la formule fi (t) :
le". La notation f (k) désigne la dérivée k-ième d'une fonction f : R ----> R.

17) Pour l' EUR {O, l,...,n} fixé, vérifier que pour tous j,lc EUR N, f;"(t) : 
0(t'k)
quand t --> +oo. Montrer que la formule suivante :

(i)(
f,- ...,

Li(t)=(-- l)i i' e (tER)

définit un polynôme L, EUR R[X] dont on déterminera les coefficients.

18) Montrer que $ : (L0, L1, . . . , Ln) est une base orthonormale de R,, [X]. 
(On
pourra au préalable calculer w(Li, B j) pour j S i.)

On considère l'endomorphisme r de Rn [X] défini par T(P) (X) : P(X --- 1). On
note T sa matrice dans la base canonique (1,X,X2,...,X") et U = T'1 son
inverse.

19) Expliciter T et U et les comparer àla matrice de passage de % à $. En
déduire S en fonction de U, puis les valeurs de det(8) et det(S' ).

On considère la matrice D : (di, j),-, je{1,2,.... ...... de Mn+1(R) définie par

d___ (--1)i+1 sii=j;
"'" 0 sii;£j.

20) Calculer (DU)2 et en déduire que S'1 est semblable à U U t , où U t désigne
la transposée de U.

21) En conclure que CDS est un polynôme réciproque et préciser de quelle
espèce.

FIN DU PROBLÈME

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Mines Maths 1 MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Nicolas Martin (ENS Lyon) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Le problème traite d'algèbre, avec beaucoup de questions faciles et des 
difficultés
calculatoires. Il est peu progressif et l'enchaînement entre les différentes 
parties est
plutôt faible.
· La partie A porte sur les polynômes réciproques, notion qui a probablement
été rencontrée en exercice en Sup. Elle porte d'ailleurs exclusivement sur le
programme de première année et mis à part les deux dernières questions,
elle est assez facile.
· La partie suivante est du même genre : en terme de connaissances, le cours
de Sup suffit largement. Vous pouvez utiliser ces deux parties pour réviser les
notions de l'année précédente.
· La partie C est quasiment une question de cours, vous la verrez en classe,
souvent avec une méthode différente de celle de l'énoncé. Vous pouvez utiliser
ces deux questions à la fin du chapitre sur la réduction des endomorphismes,
ne serait-ce que pour vous convaincre qu'il faut absolument connaître ce grand
classique pour les concours.
· La partie D commence par deux questions similaires, mais cette fois sur 
l'algèbre
euclidienne. Il y a ensuite quelques questions avec des difficultés 
essentiellement
calculatoires et, vers la fin, on utilise des résultats un peu plus profonds du
cours de Spé. C'est à utiliser après l'étude de la réduction des endomorphismes
symétriques.
Il y a bien à la fin un lien avec les deux premières parties, mais cela ne 
suffit
pas à faire un beau problème déductif. Ce sujet est donc plutôt à utiliser comme
illustration du cours pendant l'année que comme problème de révision.

Indications
Partie A
1 Poser P(X) =

n
P

ak Xk et ne pas oublier de montrer la linéarité.

k=0

2 P et un (P) sont deux polynômes : ils sont égaux si et seulement si tous leurs
coefficients sont égaux.
3 Penser à la condition sur les coefficients d'une équation du second degré pour
que 1 ou -1 soit « racine évidente ». Pour le cas des polynômes réciproques de
deuxième espèce, distinguer ceux de degré pair et ceux de degré impair.
4 Vérifier que si P = QR, alors un (P) = un (Q) un (R) puis étudier les 
différents cas
possibles.
5 Remarquer que X - 1 appartient à D puis appliquer la question précédente.
Pour la réciproque, penser à factoriser à partir de la condition « 1 est racine 
».
6 C'est la question précédente, mutatis mutandis (c'est-à-dire « en changeant 
ce qui
doit être changé »).
7 Question difficile si on ne connaît pas le « truc » :

1
1
· pour l'existence, procéder par récurrence en calculant X +
Xp + p
X
X
· pour l'unicité, penser que deux polynômes qui sont égaux sur un sousensemble 
infini de R sont égaux.
8 Le début se déduit des questions précédentes. Faire ensuite un regroupement de
termes symétriques en isolant le terme central et appliquer la question 
précédente.
Partie B
9 La condition sur les sommes implique que chaque élément est inférieur ou égal
à j. Vérifier le caractère « bien défini » se restreint ici à vérifier que 
l'ensemble
d'arrivée est le bon. Montrer la bijectivité en séparant injectivité et 
surjectivité.
10 Écrire Si,j comme réunion de deux ensembles disjoints (et connus). Utiliser 
la
question précédente : s'il existe une bijection entre deux ensembles finis, ils 
ont
même cardinal.
11 Procéder par récurrence sur p = i + j et utiliser la propriété fondamentale 
des
coefficients binomiaux (formule du triangle de Pascal).
Partie C
13 Le spectre est fini. Pour une matrice non inversible A, on peut donc trouver 
un
entier N tel que k > N entraîne que 1/k n'est pas valeur propre de A. On peut
1
alors appliquer la question précédente à la matrice A - In qui est inversible.
k

Partie D
14 Vérifier que la matrice S est symétrique réelle.
16 Utiliser le résultat classique « une famille de polynômes échelonnés en 
degrés
est libre ». Pour le calcul de l'intégrale, procéder par intégrations par 
parties
successives ou reconnaître la fonction  d'Euler. Remarquer enfin que S est la
matrice d'un produit scalaire. Pour la matrice S , montrer que l'on peut passer
de S à S par des opérations élémentaires.
(j)

17 Montrer par récurrence que fi (t) = Pj (t) e -t où Pj est un polynôme. 
Utiliser
ensuite la formule de Leibniz de dérivation d'un produit de fonctions.
18 Procéder, encore une fois, par intégrations par parties pour calculer (Li , 
Bj ) et
distinguer les cas où i = j et i < j.
19 Pour déterminer la matrice T, développer (X - 1)i par la formule du binôme de
Newton. Pour déterminer U, commencer par chercher  -1 (P). Utiliser ensuite
la matrice d'un produit scalaire dans une base orthonormale et la formule de
changement de base pour une forme bilinéaire symétrique.
20 Utiliser l'endomorphisme d de la matrice D dans la base canonique de Rn [X] 
et
calculer (d   -1 )2 .
21 Se servir des résultats des questions 13 et 19.

A. Équations algébriques réciproques
Notons dès à présent que, pour que l'on puisse garder le caractère d'« 
indéterminée » de X, il faut se placer sur l'espace vectoriel des fractions 
rationnelles,
dont les polynômes sont un sous-espace vectoriel, et, pour vérifier le 
caractère « bien défini » des applications proposées, prendre conscience 
qu'après
passage sur cet espace des fractions rationnelles, on retombe bien sur l'espace
des polynômes.
1 Posons n  N. Montrons dans un premier temps que l'application proposée est
n
n
P
P
bien définie. Prenons P  Rn [X] tel que P(X) =
ak Xk . Alors P(1/X) =
ak X-k
k=0

est une fraction rationnelle correctement définie. Ainsi,
 
n
P
1
n
un (P)(X) = X P
ak Xn-k
=
X
k=0

k=0

est bien un polynôme puisque n - k > 0 pour toutes les valeurs de k possibles.
On en déduit que un (P) est bien un polynôme qui de plus est de degré inférieur 
ou
égal à n.
L'application un est bien définie.
Montrons à présent que un est une symétrie, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une 
application linéaire qui vérifie un  un = Id Rn [X] . Concernant la linéarité,
 
1
2
2
n
(P, Q)  Rn [X] (, µ)  R
un (P + µQ)(X) = X (P + µQ)
X

1
1
= Xn P
+ µXn Q
X
X
= un (P)(X) + µun (Q)(X)
(P, Q)  Rn [X]2

(, µ)  R2

un (P + µQ)(X) = (un (P) + µun (Q))(X)

Les polynômes un (P + µQ) et (un (P) + µun (Q)) sont égaux : un est bien une
application linéaire. Concernant la composition, prenons P  Rn [X]. On a
 
 n 

1
1
1
un un (P) (X) = Xn un (P)
= Xn
P
= P(X)
X
X
1/X
ce qui signifie bien que un  un (P) = P, c'est-à-dire un  un = Id Rn [X] .
L'application un est une symétrie de Rn [X].
2 Soit P  Rn [X]. Posons P(X) =

n
P

k=0
n
P

ak Xk . On a vu à la question précédente que

ak Xn-k =

un (P) =

k=0

n
P

an-k Xk

k=0

Deux polynômes étant égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont 
égaux,
PP
De même

PD

k  [[ 0 ; n ]] ak = an-k
k  [[ 0 ; n ]] ak = -an-k