Mines Maths 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Critère de diagonalisation de Klarès
Principaux outils utilisés diagonalisation, matrices nilpotentes, formes bilinéaires symétriques
Mots clefs décomposition de Dunford, critère de Klarès, commutation, conjugaison, orthogonalité pour une forme bilinéaire symétrique, base antéduale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2011 MATH. I MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIÈRE MP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (F ILIÈRE TSI).
CONCOURS 2011
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
C YCLE I NTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Critère de diagonalisation de Klarès
Soit n un entier naturel non nul et M n (C) l'espace vectoriel des matrices
carrées d'ordre n à coefficients complexes. On note O n la matrice nulle et I n 
la
matrice identité de M n (C). La trace d'une matrice U de M n (C) est notée tr(U 
).
On dit que deux matrices U et V de M n (C) commutent si UV = V U . Une matrice
N de M n (C) est dite nilpotente s'il existe un entier k > 0 pour lequel N k = 
O n .
Dans tout le problème, on considère une matrice A de M n (C) et on note f
l'endomorphisme de Cn canoniquement associé, c'est-à-dire l'endomorphisme
dont la matrice dans la base canonique de Cn est A. Le polynôme caractéristique
de A est noté P et les valeurs propres complexes distinctes de A sont notées
1 , 2 , . . . , r . Pour tout i  {1, . . . , r } on note :
· i l'ordre de multiplicité de la valeur propre i , c'est-à-dire l'ordre de
multiplicité de la racine i du polynôme P ;
· P i le polynôme défini par P i (X ) = (i - X )i ;
³¡
¢ ´
· F i le sous-espace vectoriel de Cn défini par F i = Ker f - i IdCn i ;
· f i l'endomorphisme de F i obtenu par restriction de f à F i .
La partie B, à l'exception de la question 11), est indépendante de la partie A.
La partie C est indépendante des parties précédentes.

A. Décomposition de Dunford
1) Justifier que l'espace vectoriel Cn est somme directe des espaces F i :
Cn =

r
M

Fi .

i =1

2) En considérant une base de Cn adaptée à la somme directe précédente,
montrer que pour tout i  {1, . . . , r }, le polynôme caractéristique de f i est
P i . (On pourra d'abord établir que P i est un polynôme annulateur de f i .)
3) Montrer qu'il existe une matrice inversible P de M n (C) telle que A  =
P -1 AP soit une matrice définie par blocs de la forme suivante :

1 I 1 + N1 0 · · · · · ·
0

..
.. ..

.. . .
0
.

.

.
.
.
A =
.
.
.

..
..
..
.

.
.
0
0
· · · · · · 0 r I r + Nr
où Ni  M i (C) est nilpotente pour tout i  {1, . . . , r }.
2

4) En déduire que la matrice A s'écrit sous la forme A = D + N , où D est
une matrice diagonalisable et N une matrice nilpotente de M n (C) qui
commutent.
Les matrices D et N vérifiant ces conditions constituent la décomposition de
Dunford de la matrice A. Dans toute la suite du problème, on admettra l'unicité
de cette décomposition, c'est-à-dire que D et N sont déterminées de façon
unique par A.
Un exemple pour n = 3 :

3 -1 1
0 1 .
5) Calculer la décomposition de Dunford de A = 2
1 -1 2

B. Commutation et conjugaison
Pour toute matrice B et toute matrice inversible P de M n (C), on note commB
et conjP les endomorphismes de M n (C) définis par :
(
commB (X ) = B X - X B
X  M n (C),
conjP (X ) = P X P -1 .
Le but de cette partie est de démontrer que A est diagonalisable si et seulement
si comm A est diagonalisable.
6) Soit P une matrice inversible de M n (C). Calculer conjP -1  comm A  conjP .
Pour tous i , j  {1, . . . , n}, on note E i , j la matrice de M n (C) dont 
tous les coefficients sont nuls, sauf celui situé à l'intersection de la i -ème 
ligne et de la j -ème
colonne qui est égal à 1.
7) Si A est une matrice diagonale, montrer que pour tous i , j  {1, 2, . . . , 
n},
comm A admet E i , j comme vecteur propre. Déterminer l'ensemble des
valeurs propres de comm A .
8) En déduire que si A est diagonalisable, comm A l'est aussi.
9) Montrer que si A est nilpotente, comm A l'est également, c'est-à-dire qu'il
existe un entier k > 0 pour lequel (comm A )k est l'endomorphisme nul
de M n (C).
10) Montrer que si A est nilpotente, et si comm A est l'endomorphisme nul,
alors A est la matrice nulle.
D'après la partie A, l'endomorphisme comm A admet une décomposition de
Dunford de la forme comm A = d + n, où les endomorphismes diagonalisable d
et nilpotent n commutent : d n = nd .
11) Déterminer la décomposition de Dunford de comm A à l'aide de celle de A
et conclure.
3

C. Formes bilinéaires sur un espace vectoriel complexe
Soit p un entier > 0 et E un espace vectoriel de dimension p sur C. On note
E le dual de E , c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur E .
On considère une forme bilinéaire symétrique b sur C, c'est-à-dire une 
application b : E × E - C linéaire par rapport à chacune de ses deux 
composantes (et
non sesquilinéaire par rapport à la deuxième) et telle que b(x, y) = b(y, x) 
pour
tous x, y  E . Si F est un sous-espace vectoriel de E , on appelle orthogonal 
de F
relativement à b le sous-espace vectoriel de E défini par
©
ª
F b = x  E ; y  F, b(x, y) = 0 .

On suppose que b est non dégénérée, c'est-à-dire que E b = {0}.
12) Soit u un endomorphisme de E . Démontrer les implications suivantes :
(i) u est diagonalisable = (ii) Ker u = Ker (u 2 ) = (iii) Ker u  Im u = {0}.
Soit F un sous-espace vectoriel de E , de dimension q, et soit (1 , 2 , . . . , 
q ) une
base de F . Pour tout i  {1, . . . , q}, on note i la forme linéaire sur E 
définie par
i (x) = b(i , x).
13) Montrer que (1 , 2 , . . . , q ) est une famille libre de E  .
On complète cette famille libre en une base (1 , 2 , . . . , p ) de E  et on 
note
(e 1 , e 2 , . . . , e p ) la base de E antéduale (dont (1 , 2 , . . . , p ) 
est la base duale).
14) Montrer que F b est engendré par (e q+1 , e q+2 , . . . , e p ), et en 
déduire la
valeur de dim F + dim(F b ).

D. Critère de Klarès
Le but de cette partie est de démontrer
que ¢la matrice A est diagonalisable si
¡
et seulement si Ker (comm A ) = Ker (comm A )2 .
15) Montrer que l'application  de M n (C) × M n (C) dans C, définie par la 
formule (X , Y ) = tr(X Y ) pour tous X , Y  M n (C), est une forme bilinéaire
symétrique non dégénérée.
¡
¢
16) Établir l'égalité Ker (comm A )  = Im (comm A ).
17) En déduire que si A est nilpotente, il existe une matrice X de M n (C) telle
que A = comm A (X ). Calculer alors comm A+I n (X ) pour tout   C.
Soit D et N les matrices de la décomposition de Dunford de A définies à la
question 4).
18) Démontrer qu'il existe une matrice X de M n (C) telle que N = comm A (X ).
19) Conclure.

F IN DU PROBLÈME
4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Didier Lesesvre (ENS Cachan) et Tristan Poullaouec (Professeur agrégé).

Ce problème contient uniquement de l'algèbre, principalement linéaire. Il 
démarre
très fort, en utilisant dès la première question des résultats profonds du 
programme :
théorème de Cayley-Hamilton et théorème de décomposition des noyaux.
· La partie I, relativement classique, établit l'existence d'une décomposition 
de
toute matrice complexe en somme d'une matrice diagonalisable et d'une matrice
nilpotente. Cette décomposition est appelée décomposition de Dunford dans ce
sujet, mais vous l'avez peut-être déjà croisée sous le nom de décomposition de
Jordan. La partie se termine par un excellent exercice : il faut synthétiser les
quatre premières questions pour en déduire la démarche de décomposition sur
un cas pratique.
· Dans la deuxième partie, on définit à partir d'une matrice A un endomorphisme
de Mn (C), commA , et on montre que A est diagonalisable si et seulement si
commA l'est aussi, donnant ainsi une première application intéressante de la
décomposition de Dunford.
· La troisième partie reprend des résultats très classiques, sous un angle assez
original puisque l'on utilise une forme bilinéaire symétrique non dégénérée dans
un espace vectoriel complexe.
· La quatrième partie utilise les résultats précédents pour démontrer un critère
peu connu (mais qui semble rester au niveau de la théorie) pour qu'une matrice
soit diagonalisable.
En résumé c'est un bon problème, l'équilibre entre les parties classiques et 
originales est correct, la progressivité assez moyenne. Il peut être traité dès 
la fin du
chapitre sur la réduction des endomorphismes, l'intervention des formes 
bilinéaires
symétriques complexes non dégénérées servant à revoir le programme de première
année.

Indications
Partie A
1 Il faut appliquer plusieurs théorèmes relativement profonds du programme dès
cette première question. Chercher un théorème qui donne une décomposition d'un
espace vectoriel en somme directe.
2 Penser au renseignement sur le spectre de fi que donne le polynôme annulateur 
Pi .
3 Écrire fi = i Id Fi + (fi - i Id Fi ).
4 Penser à utiliser les produits par blocs en utilisant la matrice trouvée à la 
question
précédente.
5 Les quatre premières questions indiquent la démarche à appliquer à l'exemple.

Partie B
7 Calculer commA (Ei,j ) pour obtenir des réels appartenant au spectre. 
Observer la
famille de vecteurs propres obtenue.
8 Chercher à construire une base de vecteurs propres de commA à partir d'une 
base
de vecteurs propres de commD , D étant une matrice diagonale semblable à A.
9 Chercher une écriture de (commA )k (X) qui permette de déterminer un exposant 
k
convenable.
10 Chercher les matrices A telles que commA soit l'endomorphisme nul, puis 
penser
au spectre d'une matrice nilpotente.
11 Question de synthèse, relire le problème pour voir comment partir. L'idée est
d'utiliser les résultats des questions 8 et 9 pour construire une décomposition 
de
commA puis la question 10 pour conclure.

Partie C
12 Utiliser une matrice diagonale de u.
14 Bien séparer les inclusions.

Partie D
16 Montrer que Im (commA ) est contenu dans [Ker (commA )] puis utiliser le 
théorème du rang.
17 Penser que la relation AX = XA permet de calculer (AX)k .
18 Utiliser la matrice A introduite à la question 3.
19 Question de synthèse, utiliser, entre autres, les résultats des questions 11 
et 12.

A. Décomposition de Dunford
1 Comme tout polynôme est scindé sur C, le polynôme caractéristique P de f
(et de A) a pour expression
r

P(X) =

 (i - X)
i=1

i

D'après le théorème de Cayley-Hamilton, l'endomorphisme P(f ) est égal à 
l'endomorphisme nul, ce qui entraîne que le noyau de P(f ) est égal à Cn . Pour 
i 6= j,
les polynômes (i - X)i et (j - X)j sont premiers entre eux puisque i 6= j .
Ainsi, d'après le théorème de décomposition des noyaux,
r
r
r
L
L
L
Ker (P(f )) =
Ker [(i Id Cn -f )i ] =
Ker [(f - i Id Cn )i ] =
Fi
i=1

Par conséquent,

i=1

Cn =

r
L

i=1

Fi

i=1

Rappelons que le fait que le polynôme caractéristique d'une matrice soit
scindé ne signifie pas que celle-ci soit diagonalisable, sinon les quatre 
premières questions du problème deviendraient d'une simplicité remarquable.
Dans le même ordre d'idée, les Fi ne sont pas les sous-espaces propres
de f : la puissance i n'est pas là simplement pour faire joli.
2 Prenons i  [[ 1 ; r ]]. Pour tout x appartenant à Fi , on a, par définition 
de Fi ,
(i Id Cn -f )i (x) = 0
On en déduit que (i Id Fi -fi )i donc Pi (fi ) est égal à l'endomorphisme nul 
de Fi .
Le polynôme Pi est de ce fait un polynôme annulateur de fi . Toute valeur propre
d'un endomorphisme est racine de tout polynôme annulateur, donc i est la seule
racine du polynôme caractéristique de fi qui est par conséquent de la forme (i 
-X)i
où i = dim(Fi ).
Le nombre complexe i n'est donc pas racine des polynômes caractéristiques
des endomorphismes fj avec j 6= i. LaLmatrice de f dans une base adaptée à la
r
décomposition en somme directe Cn = i=1 Fi est une matrice diagonale par blocs
Diag(A1 , . . . , Ar ). Le polynôme caractéristique de f est le produit des 
polynômes
caractéristiques des matrices Ai , donc des endomorphismes fi . Ainsi,
r

P(X) =

 (i - X)
i=1

i

On déduit de l'unicité de la décomposition d'un polynôme en produit 
d'irréductibles
de C[X] que i = i pour tout i  [[ 1 ; r ]]. Par conséquent,
Le polynôme caractéristique de fi est Pi .
3 Prenons i  [[ 1 ; r ]]. Remarquons que fi -i Id Fi est un endomorphisme 
nilpotent
de Fi (puisque (fi - i Id Fi )i est l'endomorphisme nul de Fi ) et que la 
restriction
fi de f à l'espace vectoriel Fi peut s'écrire
fi = i Id Fi + (fi - i Id Fi )
Plaçons-nous dans une base B = (B1 , B2 , . . . , Br ) adaptée à la 
décomposition
de Cn en somme directe des Fj , c'est-à-dire que Bi est une base de Fi . 
D'après la
question précédente, dim(Fi ) = i . La matrice de fi dans la base Bi est ainsi 
de la
forme i Ii + Ni où Ni est la matrice de l'endomorphisme nilpotent fi - i Id Fi 
et
donc une matrice elle-même nilpotente.

En désignant par P la matrice de passage de la base canonique de Cn à la base B,
on a A = P-1 AP avec A la matrice de f dans la base B qui est bien de la forme

1 I1 + N1 0 · · ·
0

..
..
.

. ..
0
.

A =

..
.
.
.
.

.
.
.
0
0
· · · 0 r Ir + Nr
4 Soient D et N les deux matrices suivantes écrites sous forme de blocs 
diagonaux
D = Diag(1 I1 , . . . , r Ir )

et

N = Diag(N1 , . . . , Nr )

On a A = D + N avec D diagonale. Chaque matrice Ni est nilpotente donc
i  [[ 1 ; r ]]

ki  N

Ni ki = Oi

Posons k = max(k1 , . . . , kr ). En faisant les produits par blocs, on obtient
Nk = Diag(N1 k , . . . , Nr k ) = On
donc la matrice N est nilpotente. De plus, comme les matrices Di = i Ii sont des
matrices scalaires, elles commutent avec toutes les matrices. En particulier,
i  [[ 1 ; r ]]

Di Ni = Ni Di

On en déduit en faisant un produit par blocs que D et N commutent : D N = N D .
Il ne reste qu'à calculer
A = PA P-1 = P(D + N )P-1 = PD P-1 + PN P-1
En posant D = PD P-1 et N = PN P-1 , on a toutes les contraintes attendues :
· D est diagonalisable car semblable à une matrice diagonale.
· N est nilpotente puisque Nk = PNk P-1 = On car Nk = On .
· N et D commutent puisque
ND = PN P-1 PD P-1 = PN D P-1 = PD N P-1 = PD P-1 PN P-1 = DN
On a bien A = D + N avec D diagonalisable et N nilpotente qui commutent.
5 On va adapter à ce cas particulier la démarche utilisée dans les quatre 
questions
précédentes pour tomber sur la décomposition de Dunford de la matrice A 
proposée.
Commençons par déterminer son polynôme caractéristique :
det(A - x I3 ) =

3 - x -1
1
2
-x
1
1
-1 2 - x

2 - x -1
1
= 2 - x -x
1
0
-1 2 - x
1 -1
1
1
= (2 - x) 1 -x
0 -1 2 - x

(C1  C1 + C2 )

(forme multilinéaire)

1
-1
1
0
= (2 - x) 0 -x + 1
0
-1
2-x
det(A - x I3 ) = (2 - x)2 (1 - x)

(L2  L2 - L1 )

(développement 1re colonne)