Mines Maths 1 MP 2008

Thème de l'épreuve Inégalité d'Alexandrov
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, topologie, déterminants, formes quadratiques
Mots clefs permanents, inégalité d'Alexandrov, espaces de Lorentz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2008 MATH. I MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP,
Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Inégalité d'Alexandrov
Dans tout ce problème, n est un entier au moins égal à 1. On note Sn le groupe 
des
permutations de In = {1, · · · , n}.
On note Mn, p (R) l'espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes, à 
coefficients
réels. Pour une matrice M  Mn, n (R) de coefficients mij , on notera mj le 
j-ème vecteur
colonne de M , celui dont les composantes sont (mij , i = 1, · · · , n). On 
écrira ainsi
M = (m1 , · · · , mn ).
On remarquera que mij est indifféremment le coefficient en ligne i et colonne j 
de
M ainsi que la i-ième composante de mj . On identifiera une matrice colonne m 
et le
vecteur de Rn dont les composantes dans la base canonique de Rn sont les 
coefficients
de m. On note k k la norme euclidienne de Rn et x.y représente le produit 
scalaire
euclidien de deux vecteurs de Rn . On note S la sphère unité de Rn , 
c'est-à-dire
S = {x / kxk = 1}.
Pour une matrice M  Mn, n (R), pour i et j éléments de {1, · · · , n}, on note 
M (i|j)
la matrice obtenue en supprimant de M la i-ème ligne et la j-ième colonne. Pour 
un
vecteur colonne m, m(j) représente le vecteur colonne m duquel on a ôté la 
j-ième
composante.
Soit Q une matrice symétrique réelle de Mn,n (R). On note BQ la forme bilinéaire
associée : pour tout x et y de Rn ,
BQ (x, y) = Qx.y,
et on note Q la forme quadratique associée : Q (x) = BQ (x, x).
Définition 1. Soit V un sous-espace vectoriel de Rn , on dira que Q est définie 
positive
(respectivement positive, respectivement définie négative) sur V lorsque
Q (x) > 0 pour tout x appartenant à V  S
(respectivement Q (x) > 0, respectivement Q (x) < 0). On notera V+ 
(respectivement
-
V+
0 , respectivement V ) l'ensemble des sous-espaces vectoriels sur lesquels Q 
est définie
positive (respectivement positive, respectivement définie négative). On pose
r(Q ) = max+ (dim V ) et s(Q ) = max- (dim V ),
V V

V V

avec la convention que maxV  dim V = 0.
2

I

Permanents

Définition 2. Pour M = (m1 , . . . , mn )  Mn, n (R), on définit son permanent, 
noté
per, par
per :

n

Mn, 1 (R)

- R

7 
(m1 , . . . , mn ) -

X

m1(1) m2(2) . . . mn(n) .

Sn

On tiendra pour acquis que la forme per est multilinéaire et symétrique, 
c'est-à-dire
invariante par permutation des vecteurs.
1. Établir pour tous m1 , m2 , · · · , mn éléments de Mn, 1 (R), l'inégalité
| per(m1 , · · · , mn )| 6 n!

n
Y

kmj k.

j=1

n

2. Pour (m1 , · · · , mn ) et (r1 , r2 · · · , rn ) éléments de Mn, 1 (R)
suivante :

, établir l'inégalité

| per(m1 , · · · , mn ) - per(r1 , · · · , rn )|
6 n!

n
X

km1 k . . . kmj-1 k kmj - rj k krj+1 k . . . krn k,

j=1

où l'on convient que
km1 k . . . kmj-1 k = 1 pour j = 1 et krj+1 k . . . krn k = 1 pour j = n.
3. Montrer la propriété suivante : pour tout j  In ,
per M =

n
X
i=1

II

mij per M (i|j) .

(1)

Formes quadratiques

Dans toute cette partie, Q est une matrice symétrique réelle inversible. On note
sp(Q) = (1 , · · · , n ) la suite de ses valeurs propres répétées selon leur 
multiplicité,
n+ (Q) le nombre de termes strictement positifs dans sp(Q) et n- (Q) le nombre 
de
termes strictement négatifs dans sp(Q).

3

-
4. Soit H  V+
0 et G  V , montrer que H et G sont en somme directe et que
r(Q ) + s(Q ) 6 n.

5. Montrer que r(Q ) > n+ (Q).
On a alors de même s(Q ) > n- (Q).
6. Montrer que r(Q ) = n+ (Q) et que s(Q ) = n- (Q).
Soit R une autre matrice symétrique réelle inversible de taille n telle qu'il 
existe
une constante  satisfaisant la propriété suivante : pour tout x et y de Rn ,
|BQ (x, y) - BR (x, y)| 6 kxk kyk.
7. Montrer qu'il existe  > 0 tel que r(Q ) = r(R ) si  6 .

III

Espaces de Lorentz

Définition 3. Soit Q  Mn,n (R), une matrice symétrique et Q la forme quadratique
associée. On dit que (Rn , Q) est un espace de Lorentz lorsque les propriétés 
suivantes
sont vérifiées :
i) Q est inversible,
ii) r(Q ) = 1 et s(Q ) = n - 1.
On suppose dans cette partie que Q  Mn,n (R) est telle que (Rn , Q) soit un 
espace
de Lorentz. Soit a un vecteur tel que Q (a) > 0 et b  Rn . Soit l'application  
définie
par
 : R - R
-
7  Q (b + a).
8. On suppose, dans cette question, que a et b sont linéairement indépendants.
Montrer qu'il existe au moins une valeur de  telle que
() < 0.
9. Établir la propriété :
BQ (a, b)2 > Q (a)Q (b),
avec égalité si et seulement si a et b sont colinéaires.
On pourra s'inspirer de la preuve de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
4

(2)

IV

Inégalité d'Alexandrov

On veut maintenant établir le théorème suivant. On note (e1 , · · · , en ) la 
base
canonique de Rn .
Théorème 1. Soit n un entier supérieur à 2. Soit m1 , · · · , mn des éléments 
de Rn à
composantes strictement positives. Soit Q la matrice symétrique dont les 
coefficients
sont définis par
qij = per(m1 , m2 , · · · , mn-2 , ei , ej ), i  In , j  In
Soit BQ et Q les formes bilinéaires et quadratiques associées à Q 
respectivement.
L'espace (Rn , Q) est un espace de Lorentz.
10. Calculer r(Q ) et s(Q ) pour n = 2, c'est-à-dire pour
0 1
Q=
.
1 0
!

On suppose le théorème 1 établi pour tout k 6 n - 1.
11. Établir pour tout j de In l'inégalité :

2

per(m1 , · · · , mn-3 , mn-2 , c, ej )

> per(m1 , · · · , mn-3 , mn-2 , mn-2 , ej )
× per(m1 , · · · , mn-3 , c, c, ej ), (3)

avec égalité si et seulement si c(j) et mn-2 (j) sont colinéaires.
Dans les questions 12 et 13, c est un élément de Rn tel que Qc = 0.
12. Établir l'identité :
0 = Qc.c =

n
X

mj,n-2 per(m1 , · · · , mn-3 , c, c, ej )

j=1

13. Montrer que pour tout j  In ,
per(m1 , · · · , mn-2 , c, ej ) = 0 et per(m1 , · · · , mn-2 , mn-2 , ej ) > 0.
5

14. En déduire Qc = 0 si et seulement si c = 0.
Soit e =

Pn

i=1 ei ,

pour tout  appartenant à [0, 1], on pose

B (x, y) = per(m1 + (1 - )e, · · · , mn-2 + (1 - )e, x, y).
On note Q et  la matrice symétrique et la forme quadratique associées à la forme
bilinéaire symétrique B .
15. Expliciter Q0 . Montrer que ses valeurs propres sont (n - 1)! et -(n - 2)! 
et que
r(Q0 ) = 1 ainsi que s(Q0 ) = n - 1.
16. Soit  et  deux éléments distincts de [0, 1]. Montrer que, pour tout x et 
tout y
de Rn ,
|B (x, y) - B (x, y)| 6 n n!| -  | kxkkyk

n-2
Y
j=1

(kmj k +

n).

17. Établir que r(Q1 ) = 1 et s(Q1 ) = n - 1.
On pourra raisonner par l'absurde et considérer  = sup[0,1] { / r(Q ) = 1}.
18. Établir l'inégalité d'Alexandrov qui stipule que pour m1 , · · · , mn-1 
vecteurs de
Rn à coordonnées strictement positives et b vecteur quelconque de Rn ,

2

per(m1 , · · · , mn-1 , b)

> per(m1 , · · · , mn-1 , mn-1 ) per(m1 , · · · , b, b).

Fin du problème

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Tristan Poullaouec (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

Ce problème porte sur le permanent d'une matrice carrée à coefficients réels.
On peut définir le permanent de manière très simple : on prend la formule 
donnant
le déterminant de la matrice M = (aij )16i,j6n
P
det M =
()a1(1) . . . an(n)
Sn

et on supprime le terme (), signature de la permutation . Autrement dit, on fait
la somme de tous les produits possibles de coefficients de la matrice en 
prenant un
terme et un seul par ligne et par colonne. Les mêmes causes produisant les mêmes
effets, on obtient une forme multilinéaire par rapport aux lignes et aux 
colonnes,
et en supprimant la cause on a supprimé l'effet : sans le terme (), la forme 
n'est
plus antisymétrique mais symétrique.
Ce problème se subdivise en quatre parties :
· La première consiste en des majorations assez simples du permanent. La 
question 2 est un peu technique et la dernière donne un développement analogue
à celui des déterminants. Il est évidemment préférable d'avoir les idées claires
sur les déterminants, au programme de première année.
· La deuxième partie porte sur des propriétés plus ou moins classiques des 
matrices symétriques réelles, la dernière question comprenant un intermède 
topologique assez délicat.
· On passe ensuite aux espaces de Lorentz, pour établir deux propriétés qui 
seront
utiles pour la suite, avant d'aborder, dans la quatrième partie, la 
démonstration
du résultat principal du problème : une inégalité portant sur les permanents.
C'est un problème difficile. On peut dire que c'est de la « haute algèbre », 
mais
il est certainement très formateur. Le rapport du jury confirme la difficulté 
de ce
problème en signalant qu'« un petit nombre de candidats a maîtrisé une partie
importante du sujet ».

Indications
Partie I
1 Penser au cardinal du groupe symétrique.
2 Le déterminant d'une matrice est égal à celui de la matrice transposée : 
qu'en est-il
pour le permanent ? Introduire les termes m(1)1 . . . m(j-1)(j-1) r(j)j . . . 
r(n)n
sous forme d'une somme télescopique.
3 Utiliser la linéarité du permanent par rapport à chaque colonne comme vous
l'avez vu faire pour établir les formules de développement d'un déterminant
(au bon vieux temps, quand vous étiez en MPSI).
Partie II
5 Se servir du théorème de réduction des matrices symétriques réelles.
6 Utiliser les questions 4 et 5.
7 La majoration d'une valeur absolue donne deux inégalités : choisir la bonne !
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie la sphère unité est compacte.
Partie III
8 Montrer l'existence d'une droite D de Vect (a, b) telle que la restriction de 
Q
à D soit définie négative.
9 L'indication est fournie par l'énoncé : la suivre.
Partie IV
11 Définir une structure de Lorentz sur Rn-1 de façon à faire une récurrence en
utilisant le développement du permanent.
12 Traduire l'égalité Qc · c = 0 en utilisant les permanents, puis utiliser les 
propriétés
de ces derniers.
13 Ne pas s'étonner de trouver dans cette question un résultat déjà démontré à 
la
question 11.
14 Il faut montrer qu'on est dans le cas d'égalité de l'inégalité (3) et en 
tirer les
conséquences.
15 Déterminer les coefficients de la matrice A = Q0 /(n - 2)! et étudier les 
propriétés
de la matrice A + In .
16 Utiliser la question 2.
17 Utiliser la question 7.

Les conseils du jury
Le jury regrette à de nombreuses reprises les « tentatives de bluff » et
insiste sur le fait qu'« en aucun cas, le correcteur ne peut attribuer de points
s'il n'a pas la certitude absolue que la réponse donnée est parfaitement 
correcte d'autant plus qu'il n'est absolument pas question de pénaliser ceux des
candidats qui ont pris le temps de bien rédiger. »
Le jury conseille également aux candidats qui ne savent pas traiter une
question et qui en admettent le résultat pour continuer de le dire clairement : 
« tout acte d'honnêteté est très apprécié ; en revanche, toute tentative
de dissimulation ou de tricherie indispose les correcteurs et peut être très
pénalisante. »

I. Permanents
1 Par définition,

per(m1 , m2 , . . . , mn ) =

P

m1(1) m2(2) . . . mn(n)

Sn

Le groupe Sn est de cardinal n!, par suite per(m1 , m2 , . . . , mn ) est la 
somme de n!
nombres réels. D'après l'inégalité triangulaire,
P
|per(m1 , m2 , . . . , mn )| 6
|m1(1) m2(2) . . . mn(n) |
Sn

6

P

|m1(1) ||m2(2) | . . . |mn(n) |

Sn

Soit |m1(1) ||m2(2) | . . . |mn(n) | l'un des termes de la somme précédente. Le 
réel
m1(1) est la première composante du vecteur colonne m(1) , de ce fait
|m1(1) | 6 km(1) k
Il en est de même pour tous les facteurs |mi(i) |, ainsi
|m1(1) ||m2(2) | . . . |mn(n) | 6 km(1) kkm(2) k . . . km(n) k
L'application  est une permutation et par conséquent elle est bijective. Il 
s'ensuit
km(1) kkm(2) k . . . km(n) k = km1 kkm2 k . . . kmn k
Chacun des n! termes de la somme étant majoré par le même terme km1 k . . . kmn 
k,
on peut majorer la somme elle-même par n! fois ce terme :
|per(m1 , m2 , . . . , mn )| 6 n!

n
Q

kmj k

j=1

2 Le permanent est la somme de tous les produits possibles de n facteurs en 
choisissant un et un seul facteur par ligne et par colonne. Avec cette 
définition, il est facile
de voir que le permanent d'une matrice est égal au permanent de sa transposée,
c'est-à-dire P
P
m1(1) m2(2) . . . mn(n) =
m(1)1 m(2)2 . . . m(n)n
Sn

Sn

Le recours à cet artifice est nécessaire pour pouvoir facilement se débarrasser
des permutations. En effet, par la suite, on va ordonner les termes : il est 
plus
facile de manipuler m(1)1 la (1)e composante du vecteur m1 , dont on va
majorer la valeur absolue par km1 k, plutôt que m1(1) la première composante du 
vecteur m(1) qu'il faudrait majorer par km(1) k.
Ainsi, on peut écrire
|per(m1 , m2 , . . . , mn ) - per(r1 , r2 , . . . , rn )|
P
P
=
m(1)1 m(2)2 . . . m(n)n -
r(1)1 r(2)2 . . . r(n)n
Sn

=

P

Sn

m(1)1 m(2)2 . . . m(n)n - r(1)1 r(2)2 . . . r(n)n

Sn

6

P

|m(1)1 m(2)2 . . . m(n)n - r(1)1 r(2)2 . . . r(n)n |

Sn

On a, comme dans la question précédente, une somme de n! termes. On va montrer
que chacun d'eux est majoré par
n
P
km1 k . . . kmj-1 kkmj - rj kkrj+1 k . . . krn k
j=1

Soit  un élément de Sn . Introduisons « de force » les termes de cette somme 
qui se
simplifient sous forme d'une suite télescopique :
|m(1)1 . . . m(n)n - r(1)1 . . . r(n)n |
= m(1)1 . . . m(n)n +

n-1
P

m(1)1 . . . m(j)j r(j+1)(j+1) . . . r(n)n

j=1

- r(1)1 . . . r(n)n -

n
P

m(1)1 . . . m(j-1)(j-1) r(j)j . . . r(n)n

j=2

=

n
P

m(1)1 . . . m(j-1)(j-1) m(j)j r(j+1)(j+1) . . . r(n)n

j=1

-

n
P

m(1)1 . . . m(j-1)(j-1) r(j)j r(j+1)(j+1) . . . r(n)n

j=1

=
6

n
P

m(1)1 . . . m(j-1)(j-1) (m(j)j - r(j)j ) r(j+1)(j+1) . . . r(n)n

j=1
n
P

|m(1)1 . . . m(j-1)(j-1) (m(j)j - r(j)j ) r(j+1)(j+1) . . . r(n)n |

j=1

Rappelons que, suivant la convention posée par l'énoncé, les termes en j - 1
pour j = 1 et j + 1 pour j = n sont égaux à 1 pour que les sommations aient
toujours du sens.
Par le même argument qu'à la question précédente, on en déduit que
n
P
|m(1)1 . . . m(n)n - r(1)1 . . . r(n)n | 6
km1 k . . . kmj-1 kkmj - rj kkrj+1 k . . . krn k
j=1

Au final, après sommation sur Sn , on obtient bien la relation cherchée, à 
savoir
|per(m1 , . . . , mn ) - per(r1 , . . . , rn )|
6 n!

n
P

km1 k . . . kmj-1 kkmj - rj kkrj+1 k . . . krn k

j=1

Cette question était très technique et, comme pour toutes les questions du
problème, le résultat était donné. Le rapport du jury signale « beaucoup de
tentatives de bluff ». C'est une attitude dangereuse, surtout ici : si 
l'argument
incontournable de série télescopique n'est pas mentionné, il est à peu près
certain que la démonstration est une escroquerie, et le correcteur considérera
dans la suite tout raisonnement vague comme du bluff.
3 On a admis que l'application per est symétrique par rapport aux colonnes : il 
suffit
donc de faire la démonstration par rapport à la première. Décomposons-la en

0
m11
m11
0
0
0
 .. 
 0   0 
 m21   0  m21 
 . 

  .. 
.
.
.
 + · · ·+ 
...
.
m
m1 = 
+
 =  ..  +  ..  + · · · + 

i1
.
.

 . 
m(n-1)1   0   0 

.
m
0
 . 
(n-1)1
mn1
0
0
0
m
n1
0