Mines Maths 1 MP 2005

Thème de l'épreuve Étude unidimensionnelle du problème du transport de Monge
Principaux outils utilisés difféomorphismes, intégration sur un intervalle quelconque, suites de fonctions, convergence uniforme, théorème de convergence dominée, compacité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSËES. ECOLES
NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE
L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES
TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE
SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE
POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière MP

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

Cycle International, EN STIM, EN SAE (Statistique), INT, T PE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1 - Filière MP.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Avertissement: dans ce problème, apparaissent de nombreuses
intégrales impropres. On prendra soin de justifier systématique--
ment l'intégrabilité des fonctions considérées même lorsque ce n'est
pas explicitement demandé.

Pour une suite de réels z = (z... n 2 1), on note lim infn zn (respective--
ment lim supn zn), la plus petite (respectivement la plus grande) des valeurs

d'adhérence de 2.
On rappelle qu'une suite converge si et seulement si elle n'admet qu'une

seule valeur d'adhérence finie.
Pour une suite de fonctions à valeurs réelles ( f,,(æ), n 2 1), on note

lim infn fn la fonction qui à tout réel x associe lim infn f,,(x).

I. Calculs préliminaires

On note H l'ensemble des fonctions f strictement positives, continues

sur IR, pour lesquelles il existe p > 0 (dépendant de f) tel que, pour tout

réel :1: : -1 _ 1
0 < f(æ) s Bexp (<, --- p)æ2) . (A)
On note Ho, le sous--ensemble de H des fonctions f telles que:
+00 2 +00 2
f(u)e"" " du=/ e"" /2 du =VZ7r.
---00 ---00

Dans tout le reste de l'énoncé, f est un élément de Hg.

1) Soit F f définie par

P}(æ) = [ f(u)e'"2/2 du.

En particulier
_ a: --u2 / 2

--00

Montrer que F; est un C 1-dilïéomorphisme de IR sur ]O,V 27r [.

2) Montrer qu'il existe une unique fonction (p de IR dans IR telle que, pour

tout réel x, on ait

v(OE) %"
/ f(U)6""2/2 du = / «cz--"2/2 du.

--00 --00

3) Montrer que 

î et » masa-%)) --1n(f) --- %w"l(OE)2- 5) Soit h une fonction continue par morceaux de IR dans IR telle que la ---u2/2 fonction u +--+ h(u) f (u) EUR soit intégrable sur IR. Montrer l'identité suivante: 6) Montrer qu'il existe un réel A > 0 tel que pour tout réel 1: 2 A, on ait: x+1 2 2 / $02(u)e--u /2 du Z (p2(OE)e--(æ+l) /2_ a: 7) Montrer qu'il existe un réel B > 0 tel que pour tout réel la] 2 B, on ait: l2/4. 8) Déterminer une primitive de la fonction u |--+ (u(f) : "21" [+°° lu -- <,0(u)lze°"2/2 du- 10) Justifier la convergence de ces deux intégrales. 11) Montrer l'identité: --00 +00 2 E(f) = ] ln(f(so(u)))e"" " du. 12) Montrer l'égalité suivante: +oo E(f)--®(f)= / (w'(U)--1--1n(w'(u)))e""z/2du- (1) --00 13) Quelle est la relation d'ordre entre ( f ) et E( f ) ? 14) Déterminer les fonctions telles que E ( f ) : ( f). III. Extension aux fonctions positives On veut maintenant étendre le résultat de la question 13 aux fonctions qui peuvent s'annulen On considère donc une fonction continue positive g qui satisfait les mêmes hypothèses que f, a la différence près que 9 peut s'annuler. Soit ?,b la fonction définie par z,b(æ) : oe ln(æ), on convient que gb est prolongée par continuité en 0 par 1MO) : 0. Pour tout entier n > 0, on pose n----1 1 9(u)+ñ-- fn(u) : 15) Montrer que (E ( fn), n 2 1) converge vers E (9) quand n tend vers l'infini. 16) Soit (pu la fonction associée à f... comme

0: a : inf{æ EUR lR/g(æ) > O} et b : sup{x EUR IR/g(æ) > 0}. Lorsque g est strictement positive au voisinage de --00 (respectivement +00), on obtient a = --00 (respectivement b : +00) de sorte que --oe5ax y 0, soit D£ = {a: E D/w1(x+) ---- w1(x") > 6}. On fixe N entier non nul, montrer que le cardinal de D1/N est inférieur à N (b -- a). Que peut--on dire du cardinal de D? Montrer que si w1(x) < wz(x) alors g est nulle sur [w1(æ), w2(x)]. Montrer que si g(gb1(x)) > 0 alors î/J1 est continue en 33. Montrer que si fil est continue en a: alors w1(x) : z/12 (a:) Notons C l'ensemble des points de continuité de TP1 et K une partie compacte de C. Soit 6 > 0 fixé. Montrer qu'il existe dans K des réels mo, -- - - , æ2q+1 tels que: (3) K C Ug=0[æ2ja OE2j+1]7 24) 25) 26) 27) (b) Pour j EUR {Or-° ,Q}, OE2j < OE2j+1 et 1P1(") -- ü1(u) S 5 quels que soient u et v tels que xzj _<_ u 5 v _<_ x2j+1. Déduire des questions 20 à 23 que ((p... n 2 l) converge uniformément sur K, vers z,b1. Montrer qu'il existe A et n assez grands tels que pour tout m 2 n, on ait : sup |90m(u)l S |î/J1(--A)l + |$2(A)l + 1- uEUR[--A,A] En déduire que sup{lu --- <,a,,(u)l2 / |u| 5 A, n 2 1} est fini. On note M ce nombre . Montrer que pour tout A > O, A A lim lu -- <,an(u)l2e""2/2 du = / lu ---- v1(u)[2e""2/2 du. n-->+oo --A --A Indication : Soit 5 > 0 fixé. Soit (À...n 2 1) la suite des points de dis-- continuité de î/J1 dans [----A, A]. Pour tout entier p non nul, introduisons EUR _ EUR Î/Ï' A,, + 2 I'M--[ et K = [--A,A]\ Up21 Jp. On majorera séparément les intégrales sur K et sur Up_>_1Jp. Jp =l)'p " 2--p Conclure. FIN DU PROBLÈME Le problème de transport de Monge consiste à Optimiser le coût global du transport d'une répartition de masse vers une autre. Dans le cas uni--di-- mensionnel que nous venons de traiter, on se donne un tas de sable infi-- niment fin dont le poids entre les abscisses u -- du et u + du est donnée par 2exp(--u2/2)du. On veut le déplacer vers un tas de sable de densité linéique f (u) exp(---u2 / 2). Cela est représenté par une application s de IR dans IR qui pour tout réel il donne l'abscisse, s(u), du grain situé en u après le transport. On montre que l'application (p déterminée en question 2 minimise le coût du transport défini par fj;° lu --- s(u)l2e"'"2/2 du, parmi toutes les fonctions 3 possibles. L'objectif de ce problème est de majorer ce coût minimal par une quantité qui ne dépend que de f et qui ne nécessite pas le calcul de cp. Le nombre E( f ) est appelée l'entropie de Boltzmann.

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Mines Maths 1 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Arnaud Durand (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Tristan
Poullaouec (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).

Le sujet propose d'étudier le cas unidimensionnel du problème de transport
de Monge : on souhaite déplacer chaque grain d'un tas de sable dont la densité
2
2
linéique est e -u /2 de façon à obtenir un tas de densité linéique f (u) e -u 
/2 .
Autrement dit, on désire que la masse du tas entre les abscisses u et u + du 
passe
2
2
de e -u /2 du à f (u) e -u /2 du. Lors du transport, les grains situés 
initialement
à l'abscisse u sont déplacés vers une abscisse notée s(u). Le coût du transport
correspondant à l'application s est défini par l'intégrale
Z +
2
2
|u - s(u)| e -u /2 du
()
-

Le but du problème est de trouver une fonction s qui minimise ce coût de 
transport et de majorer ce coût minimal par une quantité ne nécessitant pas le 
calcul
de l'application s minimisante.
· Dans la première partie, on suppose que la fonction f intervenant dans la 
densité
linéique d'arrivée est strictement positive. On prouve l'existence d'une 
fonction
, dont on peut montrer (mais ce n'est pas proposé dans le sujet) qu'elle 
minimise le coût de transport défini par l'équation (). On obtient également 
divers
résultats préliminaires qui seront utilisés par la suite.
· Le but de la deuxième partie est de majorer le coût minimal réalisé par la
fonction  à l'aide d'une quantité ne dépendant pas de , à savoir l'entropie
de Boltzmann de f , définie ici par
Z +
2
E(f ) =
f (u) ln(f (u)) e -u /2 du
-

· La troisième partie propose enfin d'étendre le résultat de la deuxième partie 
au
cas plus compliqué où la fonction f qui entre en jeu dans la densité linéique
d'arrivée peut s'annuler.
Les questions sont très nombreuses et, pour la plupart, plus techniques que 
vraiment difficiles. Elles demandent au candidat de faire preuve de rigueur et 
de précision
dans sa rédaction, car il y a souvent beaucoup d'arguments à citer pour y 
répondre.
Les notions abordées sont principalement la théorie de l'intégration sur un 
intervalle
quelconque de R, la convergence de suites de fonctions, et la compacité. Ce 
sujet est
par conséquent une excellente façon de faire le point sur ces notions du 
programme,
en particulier sur la théorie de l'intégration, qui y joue un rôle prépondérant.

Indications
I.

Calculs préliminaires

1 Montrer que Ff est de classe C 1 et que sa dérivée est strictement positive.
2 Trouver une relation fonctionnelle entre Ff , F1 et .
4 Dériver la relation Ff   = F1 et prendre le logarithme.
5 Effectuer le changement de variable u = (v).

6 Observer que 2 est croissante au voisinage de +.

7 Pour x > 0 assez grand, majorer l'intégrale intervenant dans la question 6.
Pour x < 0, adapter le résultat de la question 6, puis procéder de même.
2

8 Dériver u 7 (u - (u)) e -u
II.

/2

.

Une inégalité intéressante
2

10 Pour l'existence de E(f ), majorer, pour u  R, f (u) |ln(f (u))| e -u /2 en 
distinguant le cas où f (u) > 1 du cas contraire. Pour l'existence de (f ), 
utiliser
le résultat de la question 7.
11 Utiliser le résultat de la question 5, avec h : u 7 ln(f (u)).

12 Utiliser les résultats des questions 11, 9 et 4, afin de transformer 
l'expression
de l'intégrale égale à E(f ) - (f ).
13 Établir d'abord que, pour tout t > 0, on a ln t 6 t - 1.

14 Montrer que E(f ) = (f ) équivaut à  (u) = 1, pour tout réel u.

III.

Extension aux fonctions positives

15 S'assurer de l'appartenance de fn à H0 pour considérer E(fn ), puis prolonger
de manière naturelle la fonctionnelle E en g, et utiliser le théorème de 
convergence
dominée afin d'établir le résultat demandé.
16 On a, pour tout n  N et tout réel x,
Z n (x)
Z
2
fn (u) e -u /2 du =
-

x

2

e -u

/2

du

-

Considérer une sous-suite de (n (x))nN qui converge vers j (x), puis donner
la limite du membre de gauche de l'égalité figurant ci-dessus.
17 Utiliser le résultat de la question 16.
19 Si a et b sont finis, montrer que D est au plus dénombrable, en observant que
S
D1/N et en utilisant le résultat de la question 18. Si a ou b est infini,
D=
NN

considérer les points de discontinuité sur chaque intervalle [ k ; k + 1 [, où 
k  Z.

20 Utiliser le résultat de la question 16.

21 Prouver la contraposée en faisant appel au résultat de la question 16.

22 Montrer, grâce au résultat de la question 16, que si 1 est continue au point 
x,
on a 2 (x) 6 1 (x).
23 Utiliser le théorème de Heine.
24 Remarquer que (n ) converge simplement vers 1 sur K. Pour x  K, écrire
|n (x) - 1 (x)| 6 |n (x) - 1 (x2j )| + |1 (x2j ) - 1 (x)|
où l'élément x2j convenable est donné par le résultat de la question 23. Majorer
ensuite chaque terme du membre de droite en utilisant le résultat de la 
question 23,
la croissance de n et le fait que n (x2j ) converge vers 1 (x2j ).
25 Observer qu'à 1/2 près (par exemple), les termes d'une suite sont tous 
compris
à partir d'un certain rang entre la limite inférieure et la limite supérieure 
de ladite
suite. Utiliser ensuite la croissance de m , pour tout m  N .
26 Suivre l'indication de l'énoncé en remarquant que K est un compact inclus 
dans
l'ensemble C des points de continuité de 1 .
27 Montrer que le résultat de la question 13 reste vrai pour la fonction g.

I. Calculs préliminaires
2

1 Commençons par montrer que, pour tout f  H, la fonction u 7 f (u) e -u /2 est
intégrable sur R, ce qui justifie la définition de l'ensemble H0 . Prenons une 
fonction f
de H. Par définition de ce dernier ensemble,

1
1
 > 0 u  R
0 < f (u) 6 exp
-  u2

2
On a donc, pour tout réel u, l'encadrement
2

0 < f (u) e -u

/2

6

1 -u2
e

(1)

1 -u2
e
est continue sur R et négligeable devant u 7 1/u2

au voisinage de - et +. Cette dernière fonction est intégrable au voisinage
de l'infini. Par conséquent, g est intégrable sur R. De surcroît, comme f 
appartient
2
à H, elle est continue sur R. Il s'ensuit que la fonction u 7 f (u) e -u /2 est 
également
continue sur R. L'encadrement (1) et l'intégrabilité de g assurent alors 
qu'elle est
intégrable sur R.
La fonction g : u 7

Donnons une autre façon de prouver que g est intégrable. L'énoncé admet
2
l'intégrabilité sur R de 
la fonction v 7 e -v /2 (puisqu'il est même rappelé
que son intégrale vaut 2). On en déduit
alors l'intégrabilité de g sur R,

grâce au changement de variable v = 2 u.
Prenons maintenant f dans l'ensemble H0 . Alors f appartient à H. D'après
2
ce qui précède, la fonction u 7 f (u) e -u /2 est intégrable sur R, donc en 
particulier
sur l'intervalle ] - ; x ], pour tout réel x, ce qui justifie la définition de 
la fonction Ff .
2
La continuité de u 7 f (u) e -u /2 implique en outre que Ff est de classe C 1 
sur R
et que
Ff (x) = f (x) e -x

x  R

2

/2

Sachant qu'elle appartient à H, la fonction f est strictement positive sur R.
Donc, pour tout réel x, Ff (x) > 0. On en déduit que Ff est un C 1 
-difféomorphisme
strictement croissant de R sur son image qui est l'intervalle
i
h
lim Ff ; lim Ff
-

+

Il ne reste plus qu'à déterminer les limites intervenant dans l'expression de 
l'image
de Ff . D'une part,
lim Ff (x) = 0

x-

et, d'autre part,

lim Ff (x) =

x+

Z

+
2

f (u)e -u

/2

du =

2

-

car f  H0

On en déduit que l'image de l'application Ff est l'intervalle 0 ; 2 . On vient 
donc
de prouver que
  
Ff est un C 1 -difféomorphisme strictement croissant de R sur 0 ; 2 .