Mines Maths 1 MP 2005

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSËES. ECOLES
NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE
L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES
TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE
SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE
POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière MP

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

Cycle International, EN STIM, EN SAE (Statistique), INT, T PE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1 - Filière MP.
Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant
les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Avertissement: dans ce problème, apparaissent de nombreuses
intégrales impropres. On prendra soin de justifier systématique--
ment l'intégrabilité des fonctions considérées même lorsque ce n'est
pas explicitement demandé.

Pour une suite de réels z = (z... n 2 1), on note lim infn zn (respective--
ment lim supn zn), la plus petite (respectivement la plus grande) des valeurs

d'adhérence de 2.
On rappelle qu'une suite converge si et seulement si elle n'admet qu'une

seule valeur d'adhérence finie.
Pour une suite de fonctions à valeurs réelles ( f,,(æ), n 2 1), on note

lim infn fn la fonction qui à tout réel x associe lim infn f,,(x).

I. Calculs préliminaires

On note H l'ensemble des fonctions f strictement positives, continues

sur IR, pour lesquelles il existe p > 0 (dépendant de f) tel que, pour tout

réel :1: : -1 _ 1
0 < f(æ) s Bexp (<, --- p)æ2) . (A) On note Ho, le sous--ensemble de H des fonctions f telles que: +00 2 +00 2 f(u)e"" " du=/ e"" /2 du =VZ7r. ---00 ---00 Dans tout le reste de l'énoncé, f est un élément de Hg. 1) Soit F f définie par P}(æ) = [ f(u)e'"2/2 du. En particulier _ a: --u2 / 2 --00 Montrer que F; est un C 1-dilïéomorphisme de IR sur ]O,V 27r [. 2) Montrer qu'il existe une unique fonction (p de IR dans IR telle que, pour tout réel x, on ait v(OE) %" / f(U)6""2/2 du = / «cz--"2/2 du. --00 --00 3) Montrer que 
î

et »
masa-%)) --1n(f) --- %w"l(OE)2-

5) Soit h une fonction continue par morceaux de IR dans IR telle que la

---u2/2

fonction u +--+ h(u) f (u) EUR soit intégrable sur IR.

Montrer l'identité suivante:

6) Montrer qu'il existe un réel A > 0 tel que pour tout réel 1: 2 A, on ait:

x+1 2 2
/ $02(u)e--u /2 du Z (p2(OE)e--(æ+l) /2_
a:

7) Montrer qu'il existe un réel B > 0 tel que pour tout réel la] 2 B, on ait:

l2/4.

8) Déterminer une primitive de la fonction

u |--+ (u(f) : "21" [+°° lu -- <,0(u)lze°"2/2 du- 10) Justifier la convergence de ces deux intégrales. 11) Montrer l'identité: --00 +00 2 E(f) = ] ln(f(so(u)))e"" " du. 12) Montrer l'égalité suivante: +oo E(f)--®(f)= / (w'(U)--1--1n(w'(u)))e""z/2du- (1) --00 13) Quelle est la relation d'ordre entre ( f ) et E( f ) ?

14) Déterminer les fonctions telles que E ( f ) : ( f).

III. Extension aux fonctions positives

On veut maintenant étendre le résultat de la question 13 aux fonctions
qui peuvent s'annulen On considère donc une fonction continue positive g
qui satisfait les mêmes hypothèses que f, a la différence près que 9 peut
s'annuler. Soit ?,b la fonction définie par z,b(æ) : oe ln(æ), on convient que 
gb
est prolongée par continuité en 0 par 1MO) : 0.

Pour tout entier n > 0, on pose

n----1 1
9(u)+ñ--

fn(u) :

15) Montrer que (E ( fn), n 2 1) converge vers E (9) quand n tend vers l'infini.

16) Soit (pu la fonction associée à f... comme 
 0:
a : inf{æ EUR lR/g(æ) > O} et b : sup{x EUR IR/g(æ) > 0}.

Lorsque g est strictement positive au voisinage de --00 (respectivement
+00), on obtient a = --00 (respectivement b : +00) de sorte que

--oe5ax y 0, soit
D£ = {a: E D/w1(x+) ---- w1(x") > 6}.

On fixe N entier non nul, montrer que le cardinal de D1/N est inférieur
à N (b -- a).

Que peut--on dire du cardinal de D?
Montrer que si w1(x) < wz(x) alors g est nulle sur [w1(æ), w2(x)]. Montrer que si g(gb1(x)) > 0 alors î/J1 est continue en 33.

Montrer que si fil est continue en a: alors w1(x) : z/12 (a:)

Notons C l'ensemble des points de continuité de TP1 et K une partie
compacte de C. Soit 6 > 0 fixé.
Montrer qu'il existe dans K des réels mo, -- - - , æ2q+1 tels que:

(3) K C Ug=0[æ2ja OE2j+1]7

24)

25)

26)

27)

(b) Pour j EUR {Or-° ,Q}, OE2j < OE2j+1 et 1P1(") -- ü1(u) S 5 quels que soient u et v tels que xzj _<_ u 5 v _<_ x2j+1. Déduire des questions 20 à 23 que ((p... n 2 l) converge uniformément sur K, vers z,b1. Montrer qu'il existe A et n assez grands tels que pour tout m 2 n, on ait : sup |90m(u)l S |î/J1(--A)l + |$2(A)l + 1- uEUR[--A,A] En déduire que sup{lu --- <,a,,(u)l2 / |u| 5 A, n 2 1} est fini. On note M ce nombre . Montrer que pour tout A > O,
A A

lim lu -- <,an(u)l2e""2/2 du = / lu ---- v1(u)[2e""2/2 du. n-->+oo --A --A

Indication : Soit 5 > 0 fixé. Soit (À...n 2 1) la suite des points de dis--
continuité de î/J1 dans [----A, A]. Pour tout entier p non nul, introduisons

EUR _ EUR
Î/Ï' A,, + 2 I'M--[ et K = [--A,A]\ Up21 Jp.

On majorera séparément les intégrales sur K et sur Up_>_1Jp.

Jp =l)'p " 2--p

Conclure.

FIN DU PROBLÈME

Le problème de transport de Monge consiste à Optimiser le coût global du

transport d'une répartition de masse vers une autre. Dans le cas uni--di--

mensionnel que nous venons de traiter, on se donne un tas de sable infi--
niment fin dont le poids entre les abscisses u -- du et u + du est donnée par
2exp(--u2/2)du. On veut le déplacer vers un tas de sable de densité linéique
f (u) exp(---u2 / 2). Cela est représenté par une application s de IR dans IR 
qui

pour tout réel il donne l'abscisse, s(u), du grain situé en u après le 
transport.

On montre que l'application (p déterminée en question 2 minimise le coût du
transport défini par fj;° lu --- s(u)l2e"'"2/2 du, parmi toutes les fonctions 3
possibles. L'objectif de ce problème est de majorer ce coût minimal par une
quantité qui ne dépend que de f et qui ne nécessite pas le calcul de cp. Le

nombre E( f ) est appelée l'entropie de Boltzmann.