Mines Maths 1 MP 2004

Thème de l'épreuve Calcul d'une intégrale
Principaux outils utilisés intégration, séries numériques, séries de fonctions, séries de Fourier, intégrales à paramètres

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIÇNALE DES PONTS ET CHAUSSÊES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, '
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TÉLÉCOMMUNIÇAHÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÊTOENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCDMMUNIÇATIDNS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentiomger de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1--Filière MP.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

L'objet de ce problème est principalement l'étude et le calcul de l'intégrale 
suivante :

I= oeÆ--------°'""' dt.
0 e"--1

Première partie

Le but de cette partie est d'établir une expression de l'intégrale I et 
d'étudier la fonction (p
définie par la relation suivante :

_êLC_OEQL
'P(0-- et,_l-

Variations de la fonction 

O). Etant donné un réel X supérieur ou égal à a (X 2 a), soient S(X) et C(X) les deux intégrales suivantes : X ° X sm:[üâ'-ÿ-£w ; C(X)=L£%$-£dr. 7. Existe-t--il une limite à chacune des expressions S(X) et C(X), lorsque le réel X croît vers l'm' fini '? Soient g et h les deux fonctions définies sur la demi--droite ouverte D par les relations suivantes : oo - _ X ° 00 X g(x) =L %'31--dt =}im [ Â%'--'-dt ; h(x)=L --°--%--S--Ldt=ÿm [ -'°%ë£da Une expression de la fonction f : 8. Résoudre l'équation difi'érenfielle vérifiée par la fonction f dans la demi--droite ouverte D = ]0, oo[ ; exprimer la solution générale de cette équation à l'aide des deux fonctions g et h. 9. En déduire les deux expressions ci--dessous de la fonction f : °° ' °°sinxt flx>=iowdu=ÏO--äîld'-- u+x Troisième partie Un résultat intermédiaire : » 10. En utilisant les résultats établis dans les première et deuxième parties, démontrer la relation suivante : oesin k 1 "(+20 du. k=l "" ° 1 1. Démontrer le résultat suivant : Somme de la série de tenue général cos(nu)/n2, n e N* : Soit G la fonction, définie sur la droite réelle, périodique de période 27: (G(x + 27r) = G(x)), dont la restriction au segment [O, 275] est définie par la relation suivante : ' 2 ' 2 G(x)=%--%£+%. 12. Étudier la parité de la fonction G. Déterminer le développement en série de Fourier, à coefficients réels, de cette fonction G. Quelle est la nature de la convergence de la série de Fourier ? 13. En déduire la somme T (x) de la série de terme général cos(m)/n2, n EUR N'", lorsque le réel x appartient au segment [O, 275] : Valeur de l'intégrale ! : Soit ak le réel défini par l'intégrale suivante : "k=Ï... m(Z--%"l "'"- n=l 14. Calculer, pour tout entier naturel k, la valeur du réel ak. Soit N un entier strictement positif. Soit IN le réel défini par la relation ci--dessous : Nl _ _ 2n+3 IN ":o(--_ l+(n+l)ln2n+------T 15. Démontrer que la valeur de l'intégrale I est égale à la limite de la suite (IN)NEURN. : I=lim IN. N-----+oo En déduire que l'intégrale I est la somme d'une série convergente. 16. Après avoir montré que l'expression E N exp(l N) est égale' a un produit de facteurs, déterminer la valeur de l'intégrale 1. Soit J l'intégrale suivante : Il est facile de calculer l'intégrale .] par la même méthode que celle qui a servi pour calculer l'intégrale I ; il vient : Jar...) Soit K l'intégrale suivante : K-- [°° arctan____t_ di 0 e"'+l Calcul de l'intégrale K : 17. Calculer l'intégrale K, définie ci--dessus, en utilisant le résultat obtenu pour l'intégrale ! et la valeur admise pour l'intégrale J. FIN DU PROBLÈME

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Mines Maths 1 MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Dudas (ENS Ulm) ; il a été relu par David
Lecomte (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).

L'épreuve se compose de trois parties représentant les différentes étapes du 
calcul
de l'intégrale
Z +
Arctan t
I=
dt
et - 1
0

Elles ne sont pas indépendantes ; cependant, la plupart des résultats sont 
donnés et
permettent d'avancer dans le problème.
· Dans la première partie, on étudie la fonction à intégrer et on effectue un
développement en série de l'intégrale. Ce développement fait apparaître une
famille dénombrable d'intégrales, dont le calcul passe par l'étude de la 
fonction
Z + -x t
e
f (x) =
dt
1
+ t2
0
· Cette fonction est l'objet de la deuxième partie. On s'attache d'abord à sa 
régularité pour ensuite exhiber une équation différentielle qu'elle vérifie, et 
obtenir
ainsi sa valeur.
· La troisième partie est dédiée au calcul final de l'intégrale I. La théorie 
des
séries de Fourier permet de simplifier encore son expression. On termine enfin
le calcul en déterminant l'exponentielle de I.
Le sujet du problème est classique et utilise les outils habituels de 
manipulation
de séries et d'intégrales. Les dernières questions, assez calculatoires, 
reflètent bien
l'inquiétude du jury sur les difficultés qu'ont les candidats à mener à bien 
leurs
calculs. Le problème est assez long pour une épreuve de trois heures : même si 
les
deux premières parties peuvent être traitées rapidement, la dernière nécessite 
du
temps et de la concentration.

Indications
Première partie
1 Calculer un équivalent de  en 0.
2 Relier la dérivée de  à  puis dériver  pour étudier son signe.
3 Utiliser la question 1 pour le point 0 et majorer  au voisinage de l'infini 
par une
fonction intégrable sur R+ .
4 Vérifier que le théorème de convergence monotone s'applique. Penser ensuite à
intégrer par parties.
Deuxième partie
5 Pour la continuité, justifier l'emploi du théorème de continuité dominée. En 
ce
qui concerne la limite, effectuer le changement de variable u = x t et majorer
soigneusement.
6 Appliquer deux fois le théorème de dérivation dominée sous le signe somme sur
les ensembles du type [, +[ pour tout  > 0.

7 Intégrer par parties.

8 Résoudre l'équation caractéristique pour trouver la solution de l'équation 
homogène puis utiliser la méthode de variation des constantes.
9 Utiliser la question précédente et la formule sin(a - b) = sin a cos b - cos 
a sin b.
Troisième partie
10 Utiliser les questions 4 et 9.
11 Faire une intégration par parties puis valider l'échange somme-intégrale par 
une
majoration directe, utilisant l'intégrabilité de la fonction u 7- 1/(u + )2 .

12 Pour la parité de G, montrer que l'on peut se ramener au segment [0, 2 ]. 
Calculer
ensuite les coefficients réels de la série trigonométrique en effectuant 
éventuellement des intégrations par parties.
14 Faire le changement de variable t = u +  puis calculer l'intégrale de la 
fraction
rationnelle obtenue.
15 Exprimer IN en fonction des réels ak .
16 Utiliser la formule de Stirling.
17 Remarquer que
et

1
2
1
- t
= 2
-1 e +1
e -1

Première partie
1 Pour qu'une fonction soit prolongeable par continuité en un point, il faut et 
il suffit
qu'elle admette une limite finie en ce point. Pour montrer que c'est le cas 
pour 
au point 0, effectuons un développement limité du numérateur et du dénominateur.
Il vient :
Arctan t
t + o(t)
1
=

(t) = t
e -1
1 + t + o(t) - 1 t0+ 
Ainsi,

 est prolongeable par continuité en 0 en posant (0) =

1
.

Les développements limités en 0 des fonctions usuelles doivent être connus.
Ils rendent compte du comportement de la fonction au voisinage de 0
et permettent de calculer des équivalents de fonctions plus générales. En
cas d'oubli, on peut utiliser la formule de Taylor-Young :
f (t) = f (0) +

f (n) (0) n
f  (0)
t + ···+
t + o(tn )
1!
n!

2 La fonction  est de classe C 1 sur R+ comme quotient de deux fonctions C 1 
dont
le dénominateur ne s'annule jamais. Afin d'étudier les variations de , on peut 
alors
chercher le signe de sa dérivée, donnée par :
t  R+

 (t) =

(1 + t2 )-1 (et - 1) - (Arctan t) ( et )
et
=
(t)
(et - 1)2
(et - 1)2

On est donc ramené à l'étude du signe de , elle aussi de classe C 1 , ce qui 
nécessite
le calcul de sa dérivée :
 e-t (1 + t2 ) - 2t (1 - e-t )

t  R+
  (t) =
-
(1 + t2 )2
1 + t2
 e-t (1 + t2 ) - 2t (1 - e-t ) -  (1 + t2 )
=
(1 + t2 )2
2
-t
 (1 + t )(e
- 1) - 2t (1 - e-t )
=
(1 + t2 )2
-t
e
-1
( + 2t + t2 ) < 0
  (t) =
(1 + t2 )2
Cela montre que la fonction  est strictement décroissante et, étant donné que
(0) = 0, la dérivée de  reste strictement négative sur R+ . On en déduit le
tableau de variation suivant :
+
0
1/

0

-
Par conséquent,

Sup (t) =
tR
+

1

Voici l'allure du graphe de  :
1

0, 2
0, 1

0

0, 5

1

t

3 La fonction  étant continue sur l'intervalle ]0, +[, prolongeable par 
continuité
à l'intervalle [0, +[, il suffit de prouver qu'elle est intégrable au voisinage 
de l'infini
pour justifier l'existence de I. La majoration

t  R+
|(t)| 6 t
e -1
permet de conclure. En effet,

 e-t
t
e - 1 t+
et cette dernière fonction est positive et intégrable au voisinage de l'infini, 
si bien que
L'intégrale I est bien définie.
Attention à ne pas utiliser des fonctions de référence de signe non constant
pour justifier que l'intégrale d'une fonction converge. Par
on peut
 i texemple,

Z X it
e
1
e
1
 dt existe, alors que
montrer que lim
et t 7 n'est
=o 
+
X  1
t
t
t
t
pas intégrale en +.
4 Pour tout réel t strictement positif, on a |e-t | < 1, ce qui permet d'écrire

P
1
e-t
-t
e-kt
=
=
e
et - 1
1 - e-t
k=0

t  R+

Il s'agit alors d'échanger l'intégration et la sommation, ce que l'on effectue 
en vérifiant
les hypothèses du théorème de convergence monotone. Pour cela, posons :
k  N

t  R+

fk (t) = e-kt Arctan t

Les fonctionsP(fk )k>1 sont toutes continues et positives sur R+ . De plus, la 
série
de fonctions fk converge simplement puisque l'on reconnaît une série 
géométrique :

X
X
t  R+
fk (t) = Arctan t ×
(e-t )k
k>1

k=1

Arctan t
Arctan t
=e
= t
-t
1-e
e -1
La somme de cette série n'est autre que , qui est continue et dont on a déjà 
vérifié
l'intégrabilité sur R+ à la question 3. D'après le théorème de convergence 
monotone,
Z + X

 Z +
X
I=
fk (t) dt =
fk (t) dt
-t

0

k=1

k=1

0