Mines Maths 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Familles presque orthogonales de vecteurs dans des espaces euclidiens et préhilbertiens
Principaux outils utilisés espaces euclidiens et préhilbertiens, réduction des endomorphismes, études de fonctions, suites, intégration
Mots clefs théorème spectral, produit scalaire, développement asymptotique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉROEURES DE L'AERÇNAUTIQUE ET DE L ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATTONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICAIIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2003

ÉPREUVE DE_ MATHÉMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle International, ENS'IÏM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la c0pie:
MATHÉMATIQUES l-Filière MP.
Cet' enoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être 1me erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Première partie
Le but de cette première partie est d'établir des résultats qui seront utiles 
dans la seconde
partie.

Étant donné un entier n strictement positif (n 2 l), soient S,, et I,, les deux 
réels définis par les
relations ci-dessous :

n--l n--l '
_ 1 . ..
"--Z(îfl;i+j+l) ' I" IdeIO-------- x+y+l

Intégrale I ,,.
1. Calculer, pour toute valeur de l'entier strictement positif n, l'intégrale 
I,,.

2. Déterminer les constantes A, B, C et D figurant dans le développement limité 
de la fonction
n »--+ I,, à l'infini qui s'écrit sous la forme suivante :

I,, =An+B lnn+C+--%--+o(%--).

Somme S,, :
3. Etablir un encadrement du réel S,, à l'aide de I,,.

4. En déduire que la somme S,, est équivalente à l'infini à 2 n ln2.

Soit J,, l'intégrale suivante :

Intégrale J ,, : .
5. Déterminer la relation qui lie l'intégrale J,, au réel $,. En déduire, 
lorsque l'entier n croît
indéfiniment, un équivalent de J,, à l'infini.

Seconde partie.

Soit E un espace préhflberfien réel ; soit (x, y) H (x l y) le produit scalaire 
de cet espace.
La norme d'un vecteur x de E, déduite de ce produit scalaire est notée "x Il.

Étant donné un réel ;: supérieur ou égal à 1 (p 2 l), une suite de n vecteurs 
d'un espace
euclidien E,,, de dimension finie n, x, , x2, x,, est dite p--presque 
orthogonale (en abrégé u--p.o.)
si et seulement si :

i. les vecteurs x1, x2, ..., x,, sont de norme unité,
ii. pour toute suite finie de n réels a,, 02, ..., a,, la norme du vecteur 221 
a, x,-- vérifie la
double inégalité suivante :

n " 2 "
ifZ_ 1 tel
que, pour tout entier n strictement positif, pour toute suite extraite x,,l , 
xk2, x,,, de la suite
(x,,),OEN et pour toute suite finie de n réels a,, az, ..., a,,, la norme du 
vecteur 2221 a,-- xki vérifie la
relation suivante :

n " 2 "
-tzca.->ZS g..., 5u2'-
i-_--_l i=l i=1

Remarque : la suite des indices k,, k2, k,, de la suite extraite ku , xk2, ..., 
xk,,, est une suite
monotone strictement croissante k, < 162 < < k,,.

Premières propriétés :
Soit E,, un espace euclidien de dimension n.

6. Démontrer que, pour qu'une suite de n vecteurs x, , x2, ..., x,, soit une 
base orthonormée de
E ,, il faut et il sulfit qu'elle soit une suite l-presque orthogonale.

7. Démontrer que, si une suite de n vecteurs x, , x2, ..., x,, de E,, est 
u--presque orthogonale, la
suite est libre.

Un exemple :
Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur le 
segment [O, 1 ] ; le

produit scalaire de deux fonctions f et g de E est défini par la relation 
suivante :

1
(fl g) = f°f(x)g(x) dx.
Soit (P,, ),,eN la suite des fonctions de E définies par la relation suivante :

P.,(x) = J2n +1 x".

8. Démontrer que, bien que la suite des fonctions P,, de norme unité soit 
libre, la suite (P,, ),,GN
n'est pas presque orthogonale.

» Soit ( V1, V2, ..., V,,) une suite libre de n vecteurs indépendants unitaires 
d'un espace
eucüdien E ,, de dimension n. SoitM la matrice carrée d'ordre n dont les 
éléments m ,.]. sont égaux
aux produits scalaires des vecteurs V,-- et V,--.

Etant donnée une suite de n réels al, az, ..., a... soitA le vecteur de R" de 
coordonnées
a; , az, ..., a,, et W le vecteur égal àla combinaison linéaire des vecteurs 
V1, V2, V,, avec les
coefficients al, az, ..., a,, :

A=v 02 ;W=Êa,-V
,--._.l

an

La suite de vecteurs V1 , V2, ..., V" est p--presque orthogonale :
9. Démontrer l'existence d'une matrice Carrée P orthogonale et d'une matrice 
diagonale D dont
tous les éléments de la diagonale sont différents de O, telles que :

M = 'P.D.P.

10. Établir la relation qui lie la norme du vecteur Wau réel 'AMA; 'A désigne 
la matrice
transposée de la matrice colonne A.

11. En déduire que les éléments de la matrice D sont strictement positifs, puis 
en déduire un
encadrement de la norme du vecteur Wà l'aide des valeurs propres de la matrice 
M et de la norme
du vecteur B égal à l'image par la matrice P du vecteurA (B = PA).

12. En déduire que la suite (V1 , V2, ..., V,,) est p--presque orthogonale ; 
préciser des valeurs
possibles pour le réel p.

Soit maintenant (V,, ) ,à, une suite dénombrable de vecteurs unitaires d'un 
espace préhfibertien
réel E.

Une condition suffisante :
13. Démontrer que, s'il existe un réel et, strictement supérieur à 3 (a > 3 ), 
tel que le produit
scalaire de deux vecteurs VP et Vq soit majoré en valeur absolue par le réel 
rip--'Il, c' est--à--dire :

___1_
KV | V)|< ...,

la suite (V,,),,21 est presque ofllrogonale.

Deux questions préliminaires : 4
14. Soit f la fonction définie dans le quart de plan [l, oo[ x [l, oe[ par la 
relation suivante :

f(x,y)=____W J2xy"_

y+.ry+l

Soit G la fonction, définie sur la demi--droite [1, oo[, par la relation 
suivante :
G(x) = lim f(x, y).
y-->ao

Étudier les variations des six fonctions définies sur la demi-droite fermée [1 
, oo[ par les
relations suivantes :

xr--+f(x,l); y+-->f(l,y);G : x»----»limj(x,y);

y----m

y H?_l}læf(&ÿ) ; ly: fo(x,y); fi:= ny(x,y)--

15. Soit 7 un réel strictement compris entre 0 et 1 (0 < 7 < 1). Démontrer 
l'existence d'une
fonction (p,, définie sur la demi-droite fermée [l, oe[, telle que, pour tout 
réel y de la demi-droite
[1, oo[, la relation ci-dessous soit vérifiée :

f($ï@)à y) = 7

Démontrer l'existence d'un réel [3 tel que la fonction G, définie ci--dessus, 
prenne la valeur 7
en ce point : G(fl) = y. Démontrer que ce réel 5 est strictement supérieur à 1 
et est un minorant de
l'image par (a,. de la demi--droite fermée [1, oo[.

Soit (Ph) une suite extraite de la suite des polynômes considérés à la question 
8. L'application
i +--> k,-- est une suite strictement croissante. Pour simplifier les 
notations, soit Q ,-- le polynôme Pki :

Qi =sz"

Étude de la suite (Q,-- ),>0:
16 On choisit une suite (k ),>0 telle que la suite (Q, ) ..., soit presque 
orthogonale.

Démontrer que le réel # entrant dans la définition de la presque ofihogonaüté 
est strictement
supérieuràl (y > 1).

Démontrer qu'il existe un réel 5, strictement supérieur à 1 (B > 1), tel que, 
pour tout indice i,
les indices k,--_ et k... soient liés par la relation suivante :

ki+l 2 [3 ki-
FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexis Devulder (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Aurélien
Alvarez (ENS Lyon) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Ce sujet fait intervenir à la fois des techniques d'analyse et des outils 
algébriques
dans des espaces euclidiens, puis préhilbertiens. Il s'intéresse plus 
particulièrement à
des suites « presque orthogonales » de vecteurs, et reste d'une longueur 
raisonnable.
Le sujet reste relativement accessible, mais certaines questions sont 
délicates, surtout
à la fin de l'épreuve.
· La première partie étudie le comportement asymptotique de certaines quantités
qui seront utiles dans la seconde partie. On y encadre des sommes doubles Sn
par des intégrales doubles, que l'on calcule avant d'en donner un développement
asymptotique. On en déduit un équivalent de Sn lorsque n tend vers l'infini.
· Dans la seconde partie, on introduit la notion de presque orthogonalité d'une
suite de vecteurs. On y rencontre des espaces euclidiens, puis préhilbertiens,
une matrice symétrique réelle, des fonctions polynomiales, des suites réelles,
des majorations parfois délicates de sommes doubles, ainsi qu'une étude de
fonction de deux variables.
On étudie d'abord quelques propriétés de la notion de presque orthogonalité
en dimension finie : en particulier, toute base de vecteurs unitaires est 
presque
orthogonale, ce qui n'est pas le cas en dimension infinie (on exhibe le 
contreexemple d'une suite (Pi )iN de fonctions polynomiales).
On donne ensuite une condition suffisante pour qu'une famille libre infinie de
vecteurs unitaires soit presque orthogonale. Enfin, on prouve le résultat 
suivant :
si (Pki )iN est une suite extraite presque orthogonale de la suite de fonctions
polynomiales rencontrée précédemment, alors la suite (ki )iN croît au moins
aussi rapidement qu'une suite géométrique.

Indications
Première Partie
1
1
par une intégrale double de
i+j+1
x+y+1
sur un carré de coté 1. Pour minorer Sn , faire intervenir In-1 et des sommes
P1
partielles de
.
k k
n 1
P
4 Utiliser la question précédente, et se souvenir que
 ln n.
+
k=1 k n 
3 Lorsque c'est possible, encadrer

Deuxième partie

8 Montrer que la suite de vecteurs
en utilisant la question 5.

n
P

1

Pi ne satisfait pas la condition (ii)
2i
+1
i=1

9 Pour montrer que les coefficients diagonaux de D sont non nuls, considérer un 
vecteur X de En tel que MX = 0. Exprimer chaque coordonnée de MX en fonction
d'un produit scalaire. Remarquer que la famille (Vi ) est une base, et se 
rappeler
qu'un vecteur orthogonal à tous les éléments d'une base est nul.
11 Pour montrer la stricte positivité des coefficients diagonaux de D, 
remarquer que
M est définie positive.
12 Utiliser la question 11.

Poser µ0 = max max{,   sp (M)},

1
min{,   sp (M)}

et montrer que seuls

les réels µ > µ0 conviennent.
w n
w2
wP
w

1
2
2
w
13 Développer w ai Vki w
w et majorer |ai aj | par 2 (ai ) + (aj ) .
i=1
 |ki -kj |
 
+
n
P
P 1 k
1
Majorer ensuite
par 2
.
j=1 a
k=1 a
j6=i

15 Montrer que fy et G sont des bijections. Pour étudier les propriétés de , 
utiliser
les variations de fy et G établies à la question 14.
16 Exprimer (Qi | Qi+1 ) à l'aide de la fonction f , puis minorer (Qi | Qi+1 ) 
grâce
à la condition (ii) et définir ainsi un réel . Enfin, utiliser la question 15.

I.

Première partie

1 On commence par calculer, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel
positif x,
Z n

y=n
dy
= ln(x + y + 1) y=0
0 x+y+1
= ln(x + n + 1) - ln(x + 1)
On en déduit que
Z n
Z
In =
dx
0

=

Z

0

n
0

dy
x+y+1

n

[ln(x + n + 1) - ln(x + 1)] dx

n

n 

In = (x + n + 1) ln(x + n + 1) - 1
- (x + 1) ln(x + 1) - 1
0

0

puisqu'une primitive de ln sur ] 0 ; + [ est t 7 t(ln t - 1). On obtient ensuite
In = (2n+1){ln(2n+1)-1}-(n+1){ln(n+1)-1}-(n+1){ln(n+1)-1}+{ln(1)-1}
donc

n  N

In = (2n + 1) ln(2n + 1) - (2n + 2) ln(n + 1)

2 Soit n un entier naturel non nul. Commençons par écrire In sous une forme qui
se prête mieux à l'utilisation de développements limités en 0 :

2n + 1
In = (2n + 1) ln
- ln(n + 1)
n+1

2(n + 1) - 1
= (2n + 1) ln
- ln(n + 1)
n+1

1
1
In = (2n + 1) ln 2 + ln 1 -
- ln n - ln 1 +
2(n + 1)
n
Or, lorsque n tend vers +,

1
1
=
2(n + 1)
2n

1

1
=
2n
1
1+
n

1
1
1- +o
n
n

u2
+ o u2
u0
2
d'où, par composition des développements limités,

1
1
1
1
ln 1 -
= ln 1 -
1- +o
2(n + 1)
2n
n
n
 
1
1
1
1
=-
+
- 2 +o
2n 2n2
8n
n2

1
3
1
1
Par suite,
In = (2n + 1) ln 2 -
+ 2 - ln n - + o
2n 8n
n
n
De plus,

ln (1 + u) = u -

3
1
In = 2n ln 2 - ln n + ln 2 - 1 -
+o
4n
n
 
D
1
In = An + B ln n + C + + o
n
n

soit
On a donc bien
avec

A = 2 ln 2,

B = -1,

C = ln 2 - 1, et D = -

3
4

3 On considère la fonction
F:

+
+

 R × R - R

 (x, y)

7-

1
x+y+1

Pour deux entiers naturels i et j, encadrons F(i, j) par des intégrales doubles 
de
la fonction F sur des carrés de coté 1, lorsque c'est possible. Il s'agit en 
fait d'une
généralisation en dimension 2 de la méthode classique d'encadrement de sommes 
par
des intégrales. On remarque que la fonction F est décroissante par rapport à 
chacune
de ses deux variables, ce qui donne en particulier
(i, j)  N2

(x, y)  [ i ; i + 1 ] × [ j ; j + 1 ]

et en intégrant cette inégalité, on trouve
Z i+1
Z
(i, j)  N2
dx
i

j+1

F(x, y) 6 F(i, j)

dy
1
6
x+y+1
i+j+1

j

Soit alors n un entier naturel non nul. En sommant l'inégalité précédente pour 
i et j
compris entre 0 et n - 1, on obtient (grâce à la relation de Chasles),
n  N

In 6 Sn

On a de même,
(i, j)  (N )2

(x, y)  [ i - 1 ; i ] × [ j - 1 ; j ]

F(i, j) 6 F(x, y)

donc en intégrant cette inégalité, il vient

1
6
i+j+1

(i, j)  (N )2

n-1
P n-1
P

puis, pour n  N ,

i=1 j=1

Z

i

dx

i-1

Z

j
j-1

dy
x+y+1

1
6 In-1
i+j+1

Il ne reste qu'à ajouter les termes manquants :
n-1
n-1
n-1
P n-1
P
P
P
1
1
1
Sn =
+
+
i
+
j
+
1
i
+
0
+
1
0
+
j+1
i=1 j=1
i=0
j=1
n
P 1
6 In-1 + 2
-1
k=1 k
c'est-à-dire

soit

n  N
n  N

Sn 6 In-1 + 2

n 1
P
-1
k=1 k

In 6 Sn 6 In-1 + 2

n 1
P
-1
k=1 k