Mines Maths 1 MP 2002

Thème de l'épreuve Développement en série entière, équivalent asymptotique d'une suite
Principaux outils utilisés suites, théorème de Lebesgue, comparaison série-intégrale

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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]. 2065

A 2002 Math MP 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOWUNÏCA'I'IÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNIÇATÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE_ MATHEMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis àla disposition des concours :
Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1-Filière MP.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est

amené à prendre.

Soit (B,, ),,GN la suite des réels définis par les relations suivantes :

n
Bo : 1, B] = 1, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, B... = 2 05 
BP.
FO

. . A , ; ° " I
Les réels C£ sont les coefficients du bmome ; le nombre reel C',',, note aussr 
( ), est egal
P

au cardinal de l'ensemble des parties ayant p éléments d'un ensemble ayant n 
éléments.

PREMIÈRE PARTIE

I--l. Fonction E :
Soit E la fonction définie sur la droite réelle R par la relation suivante :

E(x) = exp(expx) = ee'.

a. Démontrer que la fonction E est développable en série entière sur la droite 
réelle R.

"5 Tournez la page S.V.P.

b. Étant donné un entier naturel n, soitA ,, le réel égal àla valeur de la 
dérivée n-ième de la
fonction E en 0 :

A,, : E...(O).

Démontrer, en admettant les conventions habituelles O0 = O! = 1, la relation 
suivante :
.. °° _k_"_
A " " 2 kg '
k=0

c. Établir, pour tout entier naturel n (n 2 0), une relation de récurrence 
exprimant A... en

fonction der, A1, ..., A,,.
En déduire l'expression suivante du réean en fonction de A,, :

_ 1
B,,---- -ê-A,,.

I-2. Comparaison de sommes infinies :
Soit (u,,),,21 une suite de réels strictement positifs (u,, > O) ; on suppose 
que, pour tout entier

naturel n, la série de terme général u,, k", k = l, 2, est convergente. Soit 
U,, sa somme :

U,, = il"; k".
k=l

a. Démontrer que, pour tout entier p donné supérieur ou égal à 1 (p 2 1 ), 
lorsque l'entier n
croît vers l'infini, le réel U,, est équivalent au reste d'ordre p de la série 
défini par la relation :

oo , ' . _
RP," : Zk=p uk k" ; c est--a--drre .

pour tout entier strictement positif p, U,, ... R = z u,, k".

b. Étant données deux suites (un),121 et (v,,)n21 de réels strictement positifs 
(u,, > 0, v,, > O),

démontrer que, si les réels u,, et v,, sont équivalents lorsque l'entier n 
croît vers l'infini (u,, «« v,,),
les deux suites de réels U,,, n = 1,2, et V,,, n = 1,2, définis par les 
relations suivantes :

«)

U,, : Êukk", V,, = Ev,kfl,
k=l

k=1
sont équivalentes, lorsque l'entier n croît vers l'infini :

U,, ... V,,.

I,-3 Fonction f,, :
Etant donné un entier n strictement positif (n 2 1), soit f,, la fonction 
définie sur la droite réelle

R par la relation suivante :

O, sixS 0,

ex {""--"2, six > O.

fn(x) :

-2/5-

Étant donné un entier n strictement positif (n _>_ 1 ), soit sk le réel défini 
par la relation suivante

Sk =fn(k).
a. Étudier, pour un entier n donné, la convergence de la série de terme général 
sk,
k = 0, 1,2, ; soit S,1 la somme de cette série:

en

S,, : Zf,,(k).

k=O

b. Démontrer, lorsque l'entier n croît vers l'infini, l'équivalence suivante :

A,,-- 1 oe ,,k.
Æëf()

DEUXIÈME PARTIE

Étant donné un réel ). strictement positif (2. > 0), soit (1) ,1 la fonction 
définie sur la demi-droite
ouverte ]0, oo [, par la relation suivante :

d>;,(x) : --x lnx+x+Àlnx.

Il-1.Étude de la fonction (Da :
a. Déterminer des équivalents de  00.

iii. pour tout réel a compris strictement entre 0 et 1, le réel n" est 
négligeable devant ,un,
lorsque l'entier n croît vers l'infini :

n" : o(pn) lorsquen --» oe.

TROISIÈME PARTIE

Étant donné un entier n strictement positif (n 2 1 ), soit g,, la fonction 
définie sur la droite
réelle R par la relation suivante :

gn=fnrifn(uno+æ).

III--1. Propriétés de la fonction g,, :
a Vérifier, pour tout entier n strictement positif et tout réel x, la relation 
suivante :

fn(x) =ffl(Ph) g,;( EUR x"' «E'-)

b. Donner l'allure du graphe de la fonction g,,.

c. Démontrer que la suite de fonctions (g,, )n21 converge simplement vers une 
fonction g;
expliciter cette fonction g.

d. Démontrer qu'il existe un entier no tel que, pour tout entier n supérieur ou 
égal à no
(n 2 no) et tout réel x strictement supérieur à -- Jîï (x > -- Jñ ), la 
fonction g,, vérifie la majoration

suivante:
g,,_ 0.

-4/5 -

QUATRIÈME PARTIE

Recherche d'un équivalent du réel B,, lorsque l'entier n croît indéfiniment.

' 1v-1. Intégrabilîté de la fonction g,, :
Démontrer que, pour tout entier n strictement positif, la fonction g,, est 
intégrable sur la droite
réelle. Soit ], la valeur de son intégrale :

I,, = JRgn(x) dx.

Démontrer que la suite de réels (I,, ),121 est convergente. ]] est admis que la 
limite de cette suite
est égale à J27t .

IV -2. Un encadrement de la somme S,, :

Étant donné un entier n strictement positif, d'après la question I-3.a, le réel 
S,, est la somme de
la série de terme général f,,(k), k = 0, 1,2,

Déterminer des réels K ,, et c,, tels que la somme S,, soit encadrée de la 
manière suivante au
moyen de l'intégrale [, :

Kn(In "En) E Sn S Kn(ln +EURn)-

Les réels K ,, et EUR,, seront explicités en fonction de n, ,u,, et de la 
fonction f,,. La suite EUR,, tend vers 0.
Indication : Soit p l'entier égal à la partie entière du réel ,u,, ; cet entier 
est défini par les
inégalités ci-dessous :

p£p,,
			

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Mines Maths 1 MP 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sébastien Gadat (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Walter
Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

x

Ce problème propose une étude de la fonction E : x 7- ee . On démontre
notamment qu'elle est développable en série entière sur R et on étudie très 
précisément le comportement asymptotique des coefficients de son développement.
Le sujet est globalement abordable car les questions s'enchaînent correctement
et la difficulté est bien progressive. Les outils utilisés sont classiques en 
analyse :
ce sont par exemple les développements en série entière et les équivalents de 
suites.
La question IV-2 est difficile.
· Dans la première partie, après avoir démontré que la fonction considérée est
développable en série entière, on calcule explicitement les coefficients du 
développement en série, dont on établit ensuite un premier équivalent 
asymptotique.
· La deuxième partie propose l'étude d'une fonction à paramètre. On y définit
implicitement une suite (µn )nN ; on montre d'une part que cette suite est
négligeable devant (n)nN , et d'autre part que pour tout   ] 0 ; 1 [, la suite
(n )nN est négligeable devant (µn )nN .
· La troisième partie établit des inégalités sur une suite de fonctions (gn )nN 
dans
le but de vérifier les hypothèses d'un théorème de Lebesgue.
· Enfin, la dernière partie achève l'étude du comportement asymptotique des
coefficients, dont elle propose un équivalent en fonction de µn .

Indications
Partie I
I-1-a Utiliser deux fois le développement en série entière de la fonction exp.
I-1-b Utiliser les familles sommables.
I-1-c Étudier le développement en série entière de E .
Un - Vn
pour n - +.
I-2-b Calculer la limite de
Un
I-3-b Utiliser le résultat de la question I-2-b ainsi que la formule de 
Stirling.
Partie II
II-1-b Dresser le tableau de variation de la fonction  .
II-2-b Remarquer que  est croissante, utiliser alors la fonction réciproque de 
trouvée à la question II-1-c.
Partie III
III-1-c Écrire les développements limités nécessaires grâce aux résultats de la 
question II-2-b.
III-1-d Faire apparaître le majorant cherché dans l'expression de gn , démontrer
ensuite que le quotient de ce majorant par gn est supérieur à 1.
III-2-b Utiliser la monotonie de la fonction u.
Partie IV
IV-1 Appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

IV-2 La fonction gn est croissante sur ] - n ; 0 [ et décroissante sur ] 0 ; + 
[ ;
en déduire des encadrements avec des intégrales de la somme proposée.

Première partie
I-1-a
La première question du sujet est à la fois classique et déstabilisante.
On est en effet tenté d'utiliser un théorème de composition de fonctions
développables en série entière mais ce théorème est hors programme.
Alors qu'une utilisation très simple de ce théorème nous permettrait de
conclure rapidement, on est donc obligé de recourir soit à la méthode classique
consistant à démontrer que la fonction E est égale à sa série de Taylor en
tout point, soit à l'utilisation de familles sommables.
Nous donnerons tout d'abord la démonstration utilisant ces familles
avant de tirer les grands traits de la démonstration faisant appel au théorème 
de Bernstein en démontrant que le reste de Taylor en tout point de E
tend vers 0.
On remarque également que cette démonstration s'applique en fait à
toutes les fonctions dont les dérivées ne sont positives en tout point.
Démontrons que E est développable en série entière sur R. Prenons un réel a
quelconque de R ; pour prouver que E est développable en série entière en a, il 
suffit
d'étudier la fonction x 7- E(x + a) et de démontrer qu'elle est développable en 
série
entière en 0.
Utilisons le développement en série entière de la fonction exp une première 
fois.
P exn
n=0 n!
+

On a

x  R

E(x) =

Puis, en développant à nouveau x 7- enx en série entière, on obtient

+
P 1 +P
(nx)m
x  R
E(x) =
m!
n=0 n! m=0

(1)

Servons-nous des
 familles
 sommables pour permuter les ordres de sommation.
nm xm
En effet, la famille
est sommable pour tout réel x puisque si l'on
n! m! (n,m)N2
se donne deux parties I et J finies de N, on obtient
P P ij |x|j
6 E(|x|)
iI jJ j! i!

Par conséquent, on peut permuter l'ordre de sommation dans l'expression (1) et

+
 nm
P xm +P
x  R
E(x) =
m! n=0 n!
m=0
En utilisant cette formule démontrée pour la fonction E en x + a, il vient,
+

x  R

E(x + a) =

P

Am

m=0

+
m
P Am P
(x + a)m
=
Ckm xk am-k
m!
m=0 m! k=0

P nm
n=0 n!
+

où l'on a posé

m  N

Am =

Am k k m-k
À nouveau, la famille
C x a
est sommable puisque, si I est un
m! m
mN,k6m
sous-ensemble fini de  où  = {(k, l) | l 6 k, l  N}, on a

P
Am k k m-k
Cm x a
6 E(|x + a|)
x  R
m!
(m,k)I
On peut donc en conclure que
+

x  R
D'où

E(x + a) =

P

k=0

P Am k m-k
Cm a
m=k m!
+

xk

E est développable en série entière sur R.

Donnons une idée de la démonstration utilisant le théorème de Bernstein.
Notons

P(n) : x  R

E(n) (x) = Pn (ex )E(x)

où Pn est un polynôme à coefficients strictement positifs. On démontre par 
récurrence
que la propriété P(n) est vraie pour tout n appartenant à N.
On en déduit immédiatement que
n  N

x  R

E(n) (x) > 0

Démontrons alors que la fonction E est somme de sa série de Taylor sur R.
Donnons-nous un point a de R. On étudie la fonction : g : x 7- f (x + a) et son
développement de Taylor en 0. La formule de Taylor avec reste intégral à 
l'ordre n
s'écrit,
Z x
n xk
P
(x - t)n (n+1)
x  R
g(x) =
g (k) (0) +
g
(t) dt
(2)
n!
k=0 k!
0
Notons Sn (x) la somme de Taylor tronquée à l'ordre n et Rn (x) le reste 
intégral. On démontre que (Sn (x))nN est croissante et que (Rn (x))nN est 
décroissante.
On montre également que la suite (Rn (x))nN est convergente.
Enfin, il suffit de remarquer que si l'on se donne x, y tels que x < y, il vient
Rn (x)
Rn (y)
6 n+1
xn+1
y
Ainsi, dans le cas où x est positif, on a le premier résultat
lim Rn (x) = 0

n

Enfin, si x est négatif, on a
|Rn (x)| =

|x|n+1
n!

Z

0

1

(1 - u)n g (n+1) (xu) 6

|x|n+1 (n+1)
g
(0)
n!

Mais le terme majorant tend vers 0 car la suite (Sn (x))nN est convergente. On 
en
conclut que quel que soit x réel, le reste de Taylor (Rn (x))nN tend vers 0. 
Donc g
est développable en série entière en 0. Comme ceci est valable pour tout réel a,
finalement,
E est développable en série entière sur R.