Mines Maths 1 MP 2000

J. 1032

OOMATH.I-MP

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏIÛNS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVE
FILOERE MP
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE--ENR

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première 
page de la copie :
MATHEMATIQUES I - MP.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats dela filière MP, comporte 
5 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'éfloncé, ille signale 
sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.

Le but de ce probléme est l'étude d' endomorphismes définis par l'action d'un 
groupe sur un
espace vectoriel de matrices complexes.

SoitM l'ensemble des matrices complexes m d'ordre 2 qui s'écrivent sous la 
forme suivante :

aib
m= .
(l'E a)

Dans cette relation, a et b sont des nombres complexes, i vérifie :" 2 = --l, & 
(resp. 5) est le nombre
complexe conjugué de a (resp. b).
Partie préliminaire
0. L'ensemble M est un espace vectoriel réel :
Démontrer qu'en munissant l'ensemble M de l'addition des matrices et de la 
multiplication des

matrices par un réel, l'ensemble M est un espace vectoriel réel. Préciser sa 
dimension.
Démontrer que. le.produit de deux matrices ml et m; de l'espace M appartient àM.

Soit 1 la matrice unité d'ordre 2. Soit m une matrice appartenant à l'espace 
vectoriel M ; la matrice
transposée de la matrice m est notée 'm. Si p est un entier naturel, mP est le 
produit de la matrice m

-1/5-

p--fois par elle--même ; classiquement m° = I .

Soit G le sous-ensemble des matrices g appartenant à l'espaceM dont le 
déterminant est égal à 1 :
G= {geM | detg= 1}.

Il est admis que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe.

Soit U le sous--ensemble des matrices u de l'espaceM anfisyméüiques dont le 
carré est égal à
l'opposé de la matrice identité :

U= {u GM | u+'u=0, u2 =--1}.
Soit Vle sous-ensemble des matrices symétriques v appartenant à l'espace M :
V= {veM | v= 'v}.

11 est admis que le sous-ensemble Vde M est un sous-espace vectoriel réel.

Soient ml et mz deux matrices appartenant à l'espace vectoriel M ; il est admis 
que la trace de la
matrice ñ1.'mg est réelle ; soit (ml | m2) le réel défini par la relation 
suivante :

(m1 | m2) = %Tr(fil.'mz) = %Tr(mfirîû.
L'égalité entre les traces des matrices îñ1.'mz et m1.'îñz est admise.
Il est admis que l'espace (M,(. | .)) est un espace euclidien. Si le produit 
scalaire (m | m2), de
deux matrices m1 et m2, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le 
sous-espace vectoriel V

de M est un espace euclidien lorsqu'il est muni du produit scalaire induit par 
celui de M

Première partie

1.1. Propriétés élémentaires des matrices de l'espaceM :

Soit m une matrice de l'espace M ; démontrer que les matrices m +5? et m.'ñ 
s'expriment au
moyen de la matrice identité [, du déterminant detm, de la trace T rm de la 
matrice m.

Soit g une matrice appartenant àM ; déduire du résultat précédent que, pour 
qu'une matrice g de
l'espaceM appartienne au groupe G, il faut et il suffit qu'il existe une 
relation simple entre les
matrices g"1 et 'g.

Soit m une matrice de l'espaceM dont la trace est nulle (Trm = O) ; établir la 
relation : m = --' rî ;
calculer les matrices m2, ('m)2 en fonction du déterminant de la matrice m et 
de la matrice unité I.

1.2 Matrices u :

Déterminer les matrices u qui appartiennent à l'ensemble U défini ci-dessus.

Soit m une matrice de l'espace M, u une matrice de l'ensemble U. Comparer les 
deux produits de
matrices : m.u et u.fi Démontrer que, lorsque la trace de la matrice m est 
nulle (T rm = 0), les deux
matrices m.u et u.m appartiennent au sous-espace vectoriel V.

1.3. Norme d'une matrice m :
Soit m une matrice de l'espaceM ; calculer la norme de la matrice m (|| m Il: 
J(m | m) ) en

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fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices m et w de 
l'espace M la norme
Il m.w || du produit des matrices m et w avec le produit Il m Il . Il w || des 
normes de ces matrices.

1.4. Matrices appartenant à G :
a. Démontrer que toute matrice g appartenant au groupe G s'écrit, de manière 
unique, sous la
forme

g = I cosâ+m,

où 9 est un réel appartenant au segment [O, n'] et m une matrice de trace nulle 
(Trm = 0) qui
appartient àM.

Calculer, en fonction du réel 0, le déterminant de la matrice m, ainsi définie 
à partir de la matrice
g, ainsi que le carré m2 de la matrice m.

b. Soit m une matrice de l'espaceM différente de 0 (m = O) : démontrer que la 
matrice gl définie
par la relation ci-dessous appartient au groupe G :

I--5 Un sous-groupe de G :
Soit gl une matrice, de trace nulle (Trg1 = O), appartenant à G ; soit G(g1) 
l'ensemble des
matrices me définies par la relation suivante

ma = I cosB +g; sinB,
où 9 est un réel quelconque appartenant au segment [O, 27r] ; soit :
G(g1) = {ma = I cosô +g1 sin0 | 0 e [O,27c]}.
a Démontrer que l'ensemble G(g1) est un sous--groupe commqu du groupe G.

b. Soit m une matrice de l'espace M ; la matrice exponentielle de la matrice m 
est définie par la
relation

expm = E --â-- m".
":o .
Calculer la matrice exp(9.gl ).
Deuxième partie

Cette partie est consacrée à l'étude d'une application définie dans le 
sous--espace vectoriel Vdes
matrices symétriques de M à l'aide d'une matrice du groupe G.

Dans toute cette partie, g est une matrice donnée du groupe G, de trace nulle 
(T rg = O) ; étant
donnée une matrice w appartenant au sous-espace vectoriel Vsoit lg (w) la 
matrice définie par la
relation suivante : '

Ig(w) = g.w +w.'g.

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II-l. L'endomorphîsme lg de V:

a. Déterminer la dimension du sous--espace vectoriel réel Vde l'espace 
vectoriel M Déterminer
une base de ce sous-espace vectoriel.

b. Démontrer que l'application lg : w ---> lg (w) est un endomorphisme de 
l'espace vectoriel V.
Démontrer que cet endomorphisme lg n'est pas nul.

II-2. Propriétés de l'endomorphisme lg :

a. Comparer l'endomorphisme lg o lg : w i--> lg(lg(w)) àl'endomorphismew i----> 
2g.lg(w).
Calculer l'expression lg(g.lg(w)) en fonction de lg(w).

Comparer les deux normes || Ig(w) II et Il g.lg(w) Il.

Calculer, pour une matrice u de l'ensemble U, l'expression lg (g.u).

b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques v et 
w de l'espace V, les
produits scalaires (lg (v) | w) et (v ! 18 (w)).
En déduire l'endomorphisme adjoint de l'endomorphisme lg.

c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice w de V, les 
matrices 18 (w) et g.lg (w)
sont perpendiculaires.

II--3. Une base de l'espace V:

Etant données une matrice v de l'espace vectoriel Vtelle que son image par 
l'endomorphisme lg
soit différente de 0 (lg (v) 4h 0), une matrice u de l'ensemble U (u appartient 
àM, est antisymétrique,
u2 = --I), soient kg le produit des matrices g et u, h1 l'image de la matrice v 
par l' application lg, M le
produit des matrices g et h :

ho = g.u, h = lg(v), h; = g.lg(v).

a. Calculer les produits scalaires de la matrice u avec chacune des matrices h 
,, 0 5 i S 2, et des
matrices h,«,0 5 i 5 2, deux à deux :

(u | h,--),OSiSZ,(hk | h,),05k5152.

b. Démontrer que la suite des matrices h ,, 0 S i S 2, est une base de l'espace 
vectoriel V.
Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à 
l'endomotphisme lg dans
cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à 
l'endomorphisme %lg.

Il--4. Un endomorphisme de l'espace vectorielM :
Soit 0 un réel donné appartenant au segment [O, 27z] ; soit me la matrice 
appartenant au groupe G
(question 1--5) définie par la relation suivante :

ma = 10050 + gsin0.
Soit sa l'application qui, à une matrice w de l'espace vectoriel M, associe la 
matrice mg.w :
Sa 2 W l--> "19.W.

Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme sa dans la base définie par 
les matrices
Il, ho, h1, 112.

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Troisième partie

Soit m une matrice donnée de l'espace vectorielM. A toute matrice w du 
sous-espace vectoriel V
de M est associée la matrice m.w. 'm.

III-1. Endomorphîsme url... de l'espace V:

a... Démontrer que l'application w n---> m.w.'m est un endomorphisme de 
l'espace vectoriel V.
L'endomorphisme w o--> m.w.'m de Vest noté w....

Calculer m.u. 'm où u est une matrice de l'ensemble U.

b. Déterminer les matrices m de l'espace vectoriel M pour lesquelles 
l'application v... est
l'application identité.

III--2. Endomorphîsme wg :

Soit g.une matrice, différente des matrices I (identité) et -I, appartenant au 
groupe G.

a Démontrer, à l'aide de la question 1--4, qu'il existe un réel 0 appartenant à 
l'intervalle ouvert
]0, u[ et une matrice m, appartenant àM, difi'érente de O, de trace nulle, tels 
que la relation ci-dessous
soit vérifiée :

g=Icos0+m;06]0,ü[,m GM

Soit 7 la matrice définie à partir de la matrice m par la relation suivante :

1
Jdetm

b. Exprimer, pour toute matrice w de l'espace vectoriel V, la matrice 1418 (w) 
en fonction des
matrices w, 17 (w), w,(w) et du réel 9.

7= m.

c. Soit v une matrice de l'espace vectoriel Vtelle que son image par 
l'application I, soit différente
de 0 (!7 (v) 4: 0). D'après la question H--3.b, la famille y.u, l,(v), 7.I,,(v) 
est une base de l'espace
vectoriel V. Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme wg dans cette 
base. Calculer le
déterminant de cette matrice noté det wg. Caractéfiser la transformation 
géométrique définie par
l'endomorphisme wg.

III--3. Endomorphîsmc w... :

Soit m une matrice, différente des matrices O, I et --I, appartenant à l'espace 
vectoriel M.
Démontrer qu'il existe une matrice g appartenant au groupe G telle que 
l'endomorphisme w... soit
proportionnel à l'isomorphisme wg. En déduire une interprétation géométrique de 
l'endomorphisme
Win.

FIN DU PROBLEME

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