E3A Maths B MP 2008

Thème de l'épreuve Convergence d'une série de Fourier. Équation aux dérivées partielles. Droites à distance 1 de deux autres.
Principaux outils utilisés séries de Fourier, fonctions de plusieurs variables, géométries affine et vectorielle

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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E' 23
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B MP
Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

LK57

E 3 a
CONCOURS ENSAM -- ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B MP
Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice I

1. On considère la fonction g de variable réelle définie par : g(u) : 01 là 162 
sin(t u) dt.
(a) Montrer que la fonction g est définie sur R.
(h) Déterminer, pour tout u > 1, un réel ou dans ]0,1[ tel que : /aî JÎÎ--ÎÏÎ 
dt : ----\--ËÎ
(c) Dériver t r----> 1t_ t2 et intégrer par parties [0% \/ÏÎ_ÎZÎ sin(t u) dt 
pour en déduire que :
Vu > 1, |g(u)l $ --\Î----Ü
2. Soit f la fonction 27r-périodique sur R dont la restriction à ] ---- 7r, 7r] 
est représentée dans un repère

orthonormal (O, ?, ?) par le demi--cercle de centre O, de rayon W et 
d'ordonnées positives.

(a) Pour tout oe EUR ] --- 7r, 7r], donner l'expression de f (gr) en fonction 
de a:.

(b) Énoncer le théorème de DIRICHLET. S'applique--til à la fonction f '?

3. (a) Exprimer, pour n 6 N, les coefficients de FOURIER trigonométriques de f 
notés an et b,,.

2
(b) Montrer que : Vn E N'", a,, : -7-OE-- g(7r n).

4. (a) Établir la convergence normale de la série de FOURIER de f. Cela 
contredit-il le 2°b ?
(b) Montrer à l'aide du théorème de PARSEVAL que la série de FOURIER de f 
converge vers f.

Exercice II

Soient les fonctions f : R2 ---> IR de classe %"2 telles que : V(a:, y) EUR R2, 
f (56, y) 74 0, ainsi que l'équation :

82 f Ôf ô'f

1. (a) Montrer qu'une telle fonction f vérifie l'équation (EUR ) si et 
seulement si il existe une fonction
réelle @, de classe "61 sur R, telle que :

V(w,y) 6 R2, â--£-- (...) == a<æ> f<æ,y>.

(b) En déduire que les solutions de (EUR ) ne s'annulant pas sont exactement 
les fonctions de la
forme (a:,y) +---> _go(æ) My), où cp et gb sont des fonctions de classe 'EUR2 
sur R ne s'annulant
pas. Pour une telle solution f de (EUR ), y--a--t-il unicité du couple (cp, @) ?

(c) Soient g et h deux fonctions de classe (62 de R dans R* et telles que g(0) 
: h(0).

Montrer qu'il existe une et une seule solution f de (EUR ) ne s'annulant pas et 
telle que :
Va: EUR IR, f(æ,0) = 9(OE) et W} EUR R f(0ay) = h(y)-

2. Dans cette question, f désigne une solution de EUR sur R2, strictement 
positive.

(a) Montrer que f présente en (oe0,yo) un maximum local si et seulement si les 
fonctions
a: +---> f(æ, yo) et @) +----> f(æ, yo) présentent respectivement en 330 et en 
yo un maximum local.

(b) En déduire que l'ensemble des points de llEURä2 où f présente un maximum 
local est de la forme
A >< B, où A et B sont deux parties de lR a préciser.

3. Soit maintenant la fonction F : R2 ----> R définie par : V(oe,y) EUR lR2, 
F(oe,y) : (:ry)3 + loeyl3.
(a) Montrer que F est de classe %? sur R2. (On pourra écrire F comme une 
composée).
(b) Démontrer que F vérifie l'équation (é' )
(c) Montrer qu'il n'existe pas de fonctions < D, HH' : Oh { MN.
On a donc HH' : min{MN| (M, N) E A >< D} : d(A,D) : c'est la distance de A à. D.

On rappelle d'autre part que si D est parallèle à. A, la distance de A a D est 
l'une quelconque
des distances NN', lorsque N EUR D et que N ' désigne le projeté orthogonal de 
N sur A.

3. On note % le cylindre de révolution d'axe A et de rayon 1.

(a) Donner une équation cartésienne de (EUR et en déduire que les plans 
tangents a ce cylindre
sont les plans d'équations oe cosw + y sinw : 1, pour ou E ] ---- 71", W].

(b) Montrer que toute droite D telle que d(A, D) = 1 est incluse dans un plan 
tangent a %" .
(c) Réciproquement, toute droite D incluse dans un plan tangent a % 
vérifie--telle d(A, D) = 1 ?

4. Soit A' une droite parallèle à. A et telle que d(A, A' ) == 1, coupant le 
plan Il en un point O' .

(a) Soient, dans le plan II, les cercles I' et I" de rayon 1 et de centres 
respectifs O et O' .
Déterminer dans ce plan les tangentes communes à F et I". _; _)
(On pourra au besoin considérer le plan Il comme orienté par la base ( z , ] ).)

(b) Décrire précisément l'ensemble des droites affines D de E telles que d(A, 
D) : d(A' , D) = 1.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths B MP 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (ENS Cachan) ; il a été relu par
Florian Metzger (ENS Cachan) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Le sujet comporte trois exercices indépendants.
· L'exercice 1 porte sur les séries de Fourier : il étudie un exemple de 
fonction
développable en série de Fourier au sens de la convergence normale, mais ne
relevant pas pour autant du théorème de Dirichlet. Il nécessite de bien 
connaître
les théorèmes relatifs aux séries de Fourier mais aussi les convergences de 
séries
de fonctions.
· L'exercice 2 propose de résoudre une équation aux dérivées partielles d'ordre 
2.
On montre que les solutions ne s'annulant pas sont des fonctions de classe C 2
à variables séparées. On étudie ensuite une conséquence de ce résultat sur
les extrema locaux des solutions, puis on termine par l'étude d'un 
contreexemple. Cet exercice utilise les notions au programme de première année 
sur
les fonctions de deux variables.
· L'exercice 3 traite de géométrie dans l'espace euclidien de dimension 3 : il 
vise
à déterminer l'ensemble des droites à distance 1 de deux droites parallèles
distantes de 1. Le raisonnement est largement guidé, mais il faut savoir 
manipuler à la fois les géométries vectorielle et affine pour réussir. Comme 
dans tout
exercice de géométrie, il est utile de faire des dessins pour soutenir 
l'intuition
et appuyer les démonstrations.
Il s'agit, au moins dans les exercices 2 et 3, d'un sujet étonnant puisqu'il 
aborde
des thématiques sur lesquelles on s'attarde peu en deuxième année. Cependant,
la seconde épreuve du concours E3A a pour but d'évaluer les candidats 
principalement sur des sujets qui ne sauraient faire l'objet d'un problème de 
quatre heures :
il est donc important de ne négliger aucune partie du programme des deux années
de préparation.

Indications
Exercice I
1.a Montrer que l'intégrande de g(u) est une fonction intégrable sur [ 0 ; 1 [.
Z 1
1

1.b Calculer, pour   ] 0 ; 1 [, l'intégrale
dt.
1 - t2

1.c Pour obtenir la majoration, découper l'intégrale en deux parties selon les 
intervalles [ 0 ; u ] et [ u ; 1 [, puis majorer indépendamment chacun des 
termes.
2.a Écrire l'équation cartésienne du cercle de centre O et de rayon .
2.b Montrer que f n'est pas de classe C 1 par morceaux.
3.b Utiliser l'expression de f trouvée à la question 2.a pour expliciter le 
coefficient an .
4.a Utiliser la relation de la question 3.b, ainsi que la majoration de la 
question 1.c.
4.b Le théorème de Parseval fournit une convergence en norme k · k2 . Combiner 
ce
résultat avec la convergence uniforme (c'est-à-dire en norme k · k ) qu'implique
la convergence normale démontrée précédemment.
Exercice II
1.a Pour démontrer le sens direct de l'équivalence, il s'agit de poser
1 f
u(x, y) =
(x, y)
f (x, y) x
et de démontrer que cette fonction ne dépend pas de la variable y.
1.b Pour trouver  à partir d'une solution de (E ), exhiber une fonction a 
vérifiant
les conditions de la question 1.a, considérer A une de ses primitives, puis 
poser
(x) = eA(x) avec   R .
1.c Poser f (x, y) = g(x)h(y)/g(0) pour l'existence de la fonction f .
2.a Il y a une erreur dans l'énoncé : les fonctions partielles considérées sont 
les fonctions x 7- f (x, y0 ) et y 7- f (x0 , y). Utiliser la définition d'un 
maximum local.
3.a Montrer que F(x, y) = g(xy) avec g : R - R une fonction de classe C 2 .
3.b Dériver la fonction composée de la question 3.a.
3.c Raisonner par l'absurde et utiliser les valeurs de F(x, x), F(x, -x) et 
F(-x, x).
Exercice III
1.a Utiliser le théorème de Pythagore.
1.b Montrer que p(D) est soit un singleton, soit une droite.
2.b Appliquer l'inégalité et le cas d'égalité de la question 1.a aux couples 
(H, H ) et
(M, N), ainsi que le théorème de Pythagore dans le triangle Ohp(N).
3.a Quelle est l'équation cartésienne de l'ensemble défini comme l'intersection 
du
cylindre C avec le plan affine  ? Pour trouver l'équation des plans tangents,
penser à utiliser le gradient pour trouver un vecteur normal.
3.b Distinguer deux cas : les droites parallèles à  et les autres droites.
4.a Munir le plan  d'une base orthogonale dans laquelle les points O et O ont 
pour
coordonnées respectives (0, 0) et (1, 0).
4.b Dans le cas d'une droite D non parallèle à , utiliser les notations de la 
question 2
pour montrer que le projeté de D sur  est une tangente commune aux deux
cercles  et  . Conclure grâce à la question précédente.

Exercice I
1.a La fonction g est une intégrale à paramètre. Fixons u  R et montrons que 
g(u)
est bien définie. Notons h(t) l'intégrande, c'est-à-dire
(
[ 0 ; 1 [ - R
h :
t
t
7- 
sin(tu)
1 - t2
La fonction t 7- 1 - t2 ne s'annulant pas sur l'intervalle [ 0 ; 1 [, on peut 
déduire par
composition, produit et inverse de fonctions continues que la fonction h est 
continue
sur [ 0 ; 1 [. Pour tout t  [ 0 ; 1 [, |t sin(tu)| 6 1. De plus,
1
1
1

=p
  
-
2
1-t
2 1-t
(1 - t) (1 + t) t1

1
ainsi
h(t) = O - 
t1
1-t

La fonction t 7- 1/ 1 - t est positive et intégrable sur l'intervalle
[ 0 ; 1 [ car on

peut se ramener à la fonction intégrable de référence x 7- 1/ x, définie sur ] 
0 ; 1 ],
par changement de variable x = 1 - t. D'après le théorème de comparaison pour 
les
fonctions positives, h est intégrable sur l'intervalle [ 0 ; 1 [. Donc g(u) est 
bien définie.
La fonction g est définie sur R.
1.b Soit   ] 0 ; 1 [. Calculons l'intégrale
Z 1

1
t

dt = - 1 - t2  = 1 - 2
2
1-t

r
1
Ainsi, considérons
u = 1 -
u
Z 1
p
t
1

De ce fait,
0 < u < 1
et
dt = 1 - 2u = 
2
u
u 1 - t

1.c Notons  la fonction t 7- t/ 1 - t2 définie sur [ 0 ; 1 [ : elle est 
dérivable
sur [ 0 ; 1 [ car c'est le quotient de deux fonctions dérivables sur [ 0 ; 1 [ 
dont le dénominateur ne s'annule pas sur [ 0 ; 1 [. Dérivons  en utilisant la 
dérivée d'un quotient.

1 - t2 + t2 / 1 - t2
1

t  [ 0 ; 1 [
 (t) =
=
1 - t2
(1 - t2 )3/2
Soit u > 1 fixé. Intégrons par parties l'intégrale 
de l'énoncé en intégrant la
fonction t 7- sin(tu) et en dérivant la fonction t 7- t/ 1 - t2 :

Z u
Z u
t
cos(tu)
t
- cos(tu) u
1

sin(tu) dt = 
+
dt
2
2
2
u
u
1-t
1-t
0
0
(1 - t )
0
Z u
u cos(u u)
1
cos(tu)
=- 
+
dt
2
2
u
u 1 - u
0
(1 - t )

u
u
u-1

or,
=  =
2
u/ u
u
u 1 - u

Z u
Z u
t
cos(tu)
u-1
1

sin(tu) dt = -
cos(u u) +
dt
u
u
1 - t2
0
0
(1 - t2 )

En découpant l'intégrale g(u) en deux parties, par la relation de Chasles, et en
utilisant l'inégalité triangulaire ainsi que la question précédente, on a pour 
tout u > 1
Z 1
Z u
t
t

|g(u)| 6
sin(tu) dt +
sin(tu) dt
2
1-t
1 - t2
0
u

Z u
1
cos(tu)
u-1
1
6
cos(u u) +
dt + 
2
u
u
u
0
(1 - t )

1
Le premier terme de la somme ci-dessus est majoré par  puisque
u

u-1
u-1
u
1
u > 1
cos(u u) 6
6
=
u
u
u
u
Le deuxième terme, en majorant |cos(tu)| par 1, vérifie :
Z u
Z
1 u
1
1
cos(tu)
dt
6
dt
2
u
u
0
0
(1 - t )
(1 - t2 )

u
1
t

=
u
1 - t2 0
u
= 
u 1 - u 2

u-1
=
u
Z u
1
1
cos(tu)
dt 6 
u
u
0
(1 - t2 )
En résumé

u > 1

3
|g(u)| 6 
u

2.a Commençons par tracer le graphe de la
y
 f (x)
fonction f (voir figure). Soit x  ] - ;  ].
Sur cet intervalle, le graphe de la fonction f
est le demi-cercle de centre O, de rayon  et
-
x
0 
d'ordonnées positives. Ainsi, le point M de
coordonnées (x, f (x)) fait partie de ce demi-cercle. En exploitant l'équation 
cartésienne du cercle de centre O et de rayon , les coordonnées du point M 
vérifient
 2
x + f (x)2 =  2
f (x) > 0
Ainsi, en extrayant la racine carrée, on trouve

x  ] - ;  ]
f (x) =  2 - x2
2.b L'énoncé du théorème de Dirichlet est :
Soit v une fonction continue par morceaux, 2-périodique. Si v est de
classe C 1 par morceaux sur R, alors la série de Fourier de v converge
simplement sur R et a pour somme
 v(t+ ) + v(t- )
P
a0 +
+
an cos(nt) + bn sin(nt) =
2
2
n=1
où (an )n>0 et (bn )n>1 sont les coefficients de Fourier réels de la fonction v.