E3A Maths A MP 2007

Thème de l'épreuve Distance d'un vecteur à un hyperplan dans un R-espace vectoriel normé
Principaux outils utilisés topologie, calcul matriciel, réduction, formes linéaires, produit scalaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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W48X

Concours ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A MP

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est interdit

Objectifs.

Le but du problème est d'étudier, dans un R--espace vectoriel normé, la 
distance d'un vecteur à

un hyperplan.
Dans la partie I, on étudie un exemple dans l'ensemble M.,, (R) des matrices 
carrées d'ordre n

à coefficients réels.
Dans la partie II, on étudie le cas de la dimension finie, puis on montre que 
les hyperplans sont

fermés ou denses.
Dans la partie III, on étudie le cas des hyperplans denses.
Dans la partie IV, on étudie un exemple d'hyperplan fermé.
Les quatre parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I.

M,, (R) est l'ensemble des matricOE carrées d'ordre n > 2, à. coefficients 
réels, ou le munit du
produit scalaire défini par :
' (AIB) == tr ('AB)

où A et B sont deux matrices de M,. (R), 'A est la transposée de la matrice A 
et tr ('AB) est
la trace de la matrice 'AB.

Soit F = ( fi,j)1gign la matrice de Mn (R) définie par :
1+oo

b) Montrer qu'il existe une suite (y 0 extraite de la suite (yn)n20 qui 
converge vers
un élément de H .

o) En déduire qu'il existe yo appartenant à l'hyperplan H tel que :
d(OE0,H) : ||OEo --- yo|l'

On dit que la distance de 130 à. l'hyperplan H est atteinte en yo.

2) On suppose dans cette question que E est un R--espaoe vectoriel normé de 
dimension quel---
conque.

a) Montrer que si h est une forme linéaire continue sur E alors le noyau, Kerh, 
est fermé
dans E.

b) Montrer que si le noyau, Kerh, de h est fermé alors h est continue. On 
pourra montrer
que, si h n'est pas continue, alors il existe une suite (t,, )n20 de E telle 
que :

lim t,, = O.
n----++oo
h (t,,) = 1, pour tout entier n.

Puis, on utilisera la suite (t,, ------- t0)n20 pour mettre en évidence une 
contradiction.

c) Montrer que si H est un hyperplan de E alors l'adhérence H de H est un 
sous--espace
vectoriel de E.

d) En déduire que tout hyperplan de E est fermé ou dense, c'est à. dire H = H 
ou H = E.

Partie III.

On suppose dans cette partie que E est un espace préhilbertien muni du produit 
scalaire :
E X E l------> R

(sv, y) '----> (OEly)
1) Déterminer H ' , l'orthogonal de H.

2) Que dire de H @ E'?

3) Pour tout vecteur :: de E, calculer la distance d (x, H).
4) La distance d (a:, H) est--elle toujours atteinte? Justifier.

et que H est un hyperplan dense de E, c'est à dire H = E.

Partie IV.

On suppose dans cette partie que H est un hyperplan fermé, d'un R--espace 
vectoriel normé E
de dimension quelconque. H est le noyau de la forme linéaire h, continue non 
nulle sur E. 330 désigne
un vecteur fixé de E. On rappelle que la norme de l'application h subordonnée 
àla norme de E est

définie par :
lh(OE)l
IHM =sup -

- page 3

1) a) Montrer que, pour tout élément y de H on a :

|h(OE0)|
a: -----y 2
" ° " mmu
. . , . |h (æ0)|
b) En dédmre que la distance de mo à. 1 hyperplan H est supérieure ou égale à 
... h| || .

c) Montrer que ci (ne... H) = 0 si et seulement si 580 EUR H.
d) On considère dans cette question æg $ H .
&) Montrer qu'il existe une suite (wn)n>0 d'éléments de E \{O} vérifiant :

l|lhlll =-- nm """"-

n-->+°° l|wn||

fi) Montrer que, pour tout entier n, il existe un réel Àn non nul et un vecteur 
yn de H
tel que : wn : Ànæ0 + y,,.
7) Prouver que, pour tout entier n :

e) En déduire que, pour tout vecteur 1130 de E, on a :

|h(æo)|_
|||h|||

2) Dans cette question, E est l'ensemble des suites réelles de limite nulle, on 
munit cet ensemble

de la norme infinie, c'est à. dire que si u EUR E alors u : (un)">0 et Hulloo : 
sup lun], E est ainsi
/ nEURN

d(æo,H) :

un R--espace vectoriel normé.
h est l'application définie de E dans R par :

Un
h (u) : 22n+1
n=O
a) Montrer que la série }: 2ÎÏ-1 est convergente.

b) Montrer que h est une forme linéaire continue non nulle sur E, en déduire 
...la] Il < 1.

c) Soit (UP)?)0 une suite d'éléments de E, on notera U,, (n) le terme de rang 
77. de la suite
'vp. On définit U,, par :

v,,(n)=1si0
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths A MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par
Benjamin Monmege (ENS Cachan) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Le thème général de ce sujet est l'étude d'hyperplans dans un espace vectoriel 
réel
normé. On étudie en particulier la distance d'un vecteur à un hyperplan. Ce fil 
directeur conduit à un sujet cohérent qui, en outre, démontre des résultats 
intéressants.
· La première partie propose une mise en jambe dans le cas le plus simple, celui
des espaces euclidiens. Elle prend la forme de l'étude d'un hyperplan 
particulier
de Mn (R). C'est l'occasion d'étudier un endomorphisme de Rn et de vérifier
que l'on a bien intégré les résultats essentiels du programme d'algèbre 
linéaire.
· Dans la deuxième partie, on commence par démontrer que la distance à un
hyperplan est atteinte en dimension finie. Puis on obtient le résultat classique
en dimension quelconque : « tout hyperplan est dense ou fermé ».
· La troisième partie, très courte, se déroule dans un espace préhilbertien 
réel.
On y étudie rapidement un hyperplan dense.
· Enfin, la quatrième partie vise dans un premier temps à établir une formule
donnant la distance d'un vecteur à un hyperplan fermé, dans le cadre d'un
espace vectoriel réel de dimension quelconque. Ensuite l'étude de l'ensemble
des suites réelles de limite nulle permet de voir que la distance à un hyperplan
n'est pas toujours atteinte.
Les questions sont toujours bien détaillées, en particulier dans la dernière 
partie,
ce qui permet d'y gagner des points. Aucune technicité gratuite n'est requise 
pour
résoudre le sujet. Il est nécessaire cependant de bien connaître les 
définitions et
théorèmes du cours, ainsi que certaines techniques classiques comme 
l'utilisation des
bornes supérieures et inférieures, le calcul matriciel par blocs et les 
critères séquentiels
de continuité.

Indications
I.1 Remarquer que H est le noyau d'une forme linéaire à préciser.
I.3 Introduire la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel H et 
s'aider
du théorème de Pythagore.
I.4 Utiliser le résultat de la question I.2 en prenant F pour X.
I.5.a Utiliser l'écriture matricielle de B et la caractérisation du rang en 
terme de
taille de déterminant extrait.
I.5.b Expliciter B2 et observer ses vecteurs colonne.
I.5.c Utiliser le théorème du rang pour montrer que Ker g = Ker g 2 .
I.5.d Écrire la matrice de l'endomorphisme g dans une base adaptée à la 
décomposition en somme directe de la question I.5.c.
I.5.e Deux matrices semblables ont même trace. On pourra utiliser l'expression
développée du polynôme caractéristique en dimension 2 ainsi que le théorème de 
Cayley-Hamilton pour obtenir det B .
I.5.f Remarquer que la matrice B est diagonalisable puis en déduire, en faisant
des calculs par blocs, que la matrice B est elle aussi semblable à une matrice
diagonale et conclure pour F = B + In .
II.1.a Utiliser la caractérisation suivante de la borne inférieure :
 > 0 y  H
II.1.b
II.2.a
II.2.b
II.2.c
II.2.d
III.1
III.3
IV.1.a
IV.1.d.
IV.1.d.

IV.1.d.

d (x0 , H) 6 kx0 - yk 6 d (x0 , H) + 

puis choisir une suite (n ) décroissante tendant vers 0.
Remarquer que le théorème de Bolzano-Weierstrass s'applique dans E et
utiliser le fait que H est le noyau d'une forme linéaire en dimension finie.
Traduire la continuité de h en terme d'image réciproque de fermé.
Raisonner par l'absurde. On rappelle qu'une forme linéaire est continue si
et seulement si elle est continue en 0.
Se servir de la caractérisation séquentielle de l'adhérence d'une partie d'un
espace vectoriel normé et remarquer que H est un sous-espace vectoriel de E.
Un hyperplan en dimension quelconque est un supplémentaire d'une droite
vectorielle.
Montrer que H = {0} en utilisant la continuité du produit scalaire.
Utiliser la caractérisation séquentielle de la densité.
Si y  Ker h alors h(x0 ) = h(x0 - y) par linéarité de h.
Penser à la question II.1.a.
Exploiter à bon escient le fait que x0 
/ H et que H est un supplémentaire
d'une droite. La condition demandée sur la suite (n ) est trop restrictive.
Montrer que le résultat est vrai à partir d'un certain rang.

-yn
Écrire
n x0 + yn = n x0 -
n

IV.2.d Raisonner par l'absurde et remarquer qu'on peut se restreindre à la boule
unité de E par homogénéité de la norme.
IV.2.f Supposer que la distance d (x, H) est atteinte en un certain y  H. 
Montrer
alors que x  H en utilisant le résultat de la question IV.2.d.

Partie I
I.1 Soit  définie par

:

(

Mn (R) - R
M

7- (F | M)

Comme (· | ·) est un produit scalaire, c'est en particulier une application 
linéaire à
droite et à valeurs dans R, donc  est une forme linéaire.
Il n'était pas demandé de montrer que (· | ·) est un produit scalaire. C'est
cependant une question très classique que tout candidat doit savoir résoudre.
· La bilinéarité résulte de la linéarité de la trace et de la bilinéarité du
produit matriciel.
· (· | ·) est une forme bilinéaire car la trace est à valeurs dans le corps de
base (c'est-à-dire R dans notre cas).
t t

· On a

t

t t

t

( A B) = B ( A) = B A

Or, une matrice et sa transposée ont même trace donc

t
t
A, B  Mn (R)
Tr A B = Tr B A
ce qui montre que (· | ·) est symétrique.

Les points plus délicats sont la positivité et le caractère défini de (· | ·).
· Or, par définition du produit matriciel, pour une matrice réelle
t
M = (Mi,j ) de taille n, le coefficient d'indice (i, i) de M M vaut
n
n
n

P
P
P
t
t
M M i,i =
( M)i,k Mk,i =
Mk,i Mk,i =
Mk,i 2
k=1

k=1

k=1

Il en résulte que pour toute matrice M réelle de taille n,
n P
n
P
(M | M) =
Mk,i 2 > 0
i=1k=1

donc (· | ·) est positive.

· De plus, si (M | M)=0, alors pour tout i  [[ 1 ; n ]], on a

n
P

Mk,i 2 = 0.

k=1

Par suite

 (k, i)  [[ 1 ; n ]]2

Mk,i = 0

soit M = 0. Cela montre que (· | ·) est une forme bilinéaire définie.
En conclusion, (· | ·) est bien un produit scalaire.
Elle est de plus non nulle car (F | F) > 0. En effet, (· | ·) est définie et F 
est non nulle.
Or H = Ker , donc H est le noyau d'une forme linéaire non nulle. Par conséquent,
H est un hyperplan de E.
On rappelle qu'un hyperplan d'un espace vectoriel est par définition un 
sousespace vectoriel supplémentaire d'une droite, et cette définition est 
valable
en dimension quelconque. Il revient au même de dire que c'est un sous-espace
de codimension égale à un. Une autre caractérisation est celle de noyau d'une
forme linéaire non nulle.

I.2 Par définition, pour toute matrice X = (xi,j )16i,j6n  Mn (R), on a défini

t
t
(F | X) = Tr F X . Posons Y = F X et désignons par yi,j les coefficients de 
cette
matrice. Pour tout i  [[ 1 ; n ]], en notant fei,j le coefficient d'indice (i, 
j) de t F, on a
n
n
P
P
yi,i =
fei,k xk,i =
fk,i xk,i
k=1

par conséquent

Tr Y =

n
P

k=1

yi,i =

i=1

n
P

n
P

fk,i xk,i

i=1 k=1

Or, fk,i = 1 si k = i ou si i  {1; n}, fk,i = 0 sinon. Il en résulte que
X  Mn (R)

(F | X) =

n
P

xi,i +

i=1

n
P

xi,1 +

i=2

n-1
P

xi,n

i=1

Le coefficient diagonal yi,i de Y est égal au produit (scalaire) de la ie ligne
t
t
de F avec la ie colonne de X. En écrivant alors les matrices F et X sous
forme développée

1 ··· ··· ··· 1

x1,1 x1,2 · · · x1,n
0 . . . 0 · · · 0

  x2,1 x2,2 · · · x2,n 

Y =  ... . . . . . . . . . ...  ×  .
..
.. 
..

  ..
.
.
. 

0 · · · 0 . . . 0
xn,1 xn,2 · · · xn,n
1 ··· ··· ··· 1
Le vecteur ligne formé des coefficients diagonaux de Y est
n

n
P
P
xi,1 ; x2,2 ; · · · ; xn-1,n-1 ;
xi,n
i=1

i=1

ce qui donne le résultat ci-dessus en sommant toutes les coordonnées.
I.3 Par définition H = Vect F . Notons pH le
projecteur orthogonal sur H. Soit maintenant une
matrice M de Mn (R). Remarquons que

M = M - pH (M) + pH (M)
or

M - pH (M)  H

et

F

M
M - pH (M)

pH (M)  H

H

0

pH (M)

Donc pour U  H, le théorème de Pythagore donne
w
w2

kM - Uk2 = w M - pH (M) + pH (M) - Uw = kM - pH (M)k2 + kpH (M) - Uk2

Par définition de la distance d (M, H), on recherche la borne inférieure en U 
de cette
dernière quantité. Le calcul précédent montre que kM - Uk2, et donc kM - Uk, 
admet
un minimum qui est atteint en U = pH (M), et qui vaut
Min kM - Uk = kM - pH (M)k
UH

Or,
donc
Finalement,

M - pH (M)  Vect F

F
F
(F | M)
M - pH (M) =
M - pH (M)
=
F
kFk
kFk
kFk2
d (M, H) =

|(F | M)|
kFk