Centrale Maths 2 MP 2016

Thème de l'épreuve Étude de sommes pondérées de résultats de « pile ou face » indépendants
Principaux outils utilisés suites d'intégrales, intégrales à paramètre, familles de variables aléatoires, espérance, inégalité de Markov

Corrigé

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JS
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b

kyRe

Ji?ûKiB[m2b k

G2 T`Q#HK2 ûim/B2 [m2H[m2b T`QT`Bûiûb /2 p`B#H2b HûiQB`2b `û2HH2b }MB2b /2 H 
7Q`K2    - Q H2b 
bQMi /2b `û2Hb 2i H2b  bQMi /2b p`B#H2b HûiQB`2b Kmim2HH2K2Mi BM/ûT2M/Mi2b ¨ 
pH2m`b /Mb \ ^
G T`2KB`2 T`iB2 ûi#HBi /2b `ûbmHiib bm` /2b BMiû;`H2b- miBHBbûb /Mb H2b T`iB2b 
bmBpMi2bX
§ T`iB` /2 H /2mtBK2 T`iB2- QM bmTTQb2 /QMMû2 mM2 bmBi2   /2 p`B#H2b HûiQB`2b 
Kmim2HH2K2Mi
BM/ûT2M/Mi2b /û}MB2b bm` mM 2bT+2 T`Q

A amBi2b 2i BMiû;`H2b
AX 
úim/2 /mM2 BMiû;`H2 ¨ T`Ki`2
SQm`    - QM TQb2

 F E
      DPT

AXXRV
AXXkV
AXXjV

AXX9V

JQMi`2` [m2  2bi /û}MB2 2i +QMiBMm2 bm` <
.ûi2`KBM2` H2b HBKBi2b /2  2i

1tT`BK2`  bm` >

2M

X

< 2i /2 +Hbb2   bm` >

< ¨ HB/2 /2 7QM+iBQMb mbm2HH2b 2i 2M /û/mB`2 [m2
   MO    MO 

JQMi`2`

        MO     MO 

AXX8V

 >
AX*XjV

JQMi`2` [m2 H bmBi2 

/K2i mM2 HBKBi2 }MB2  pû`B}Mi

    F E

F
PM /K2i H `2HiBQM   E  X

AX*X9V

*QM+Hm`2 [m2    X

AA miQm` /m TBH2 Qm 7+2

.Mb +2ii2 T`iB2- +QKK2 BH 2bi BM/B[mû /Mb H2 T`ûK#mH2- QM +QMbB/`2 mM2 bmBi2   
/2 p`B#H2b HûiQB`2b
Kmim2HH2K2Mi BM/ûT2M/Mi2b- ¨ pH2m`b /Mb \ ^ 2i i2HH2b [m2- TQm` iQmi            
  

SQm` iQmi    - QM TQb2      X
G2bTû`M+2 /mM2 p`B#H2 HûiQB`2 `û2HH2 }MB2  2bi MQiû2   2i b p`BM+2   X
AAX 

úim/2 /2  ] ]

AAXXRV .ûi2`KBM2` H2bTû`M+2 2i H p`BM+2 /2  X

AAXXkV aQBi  2i  /2mt p`B#H2b HûiQB`2b `û2HH2b }MB2b BM/ûT2M/Mi2b /û}MB2b bm`   
 X PM bmTTQb2
[m2  2i  QMi KK2 HQBX
JQMi`2` [m2 DPT     DPT  DPT  X
AAXXjV PM +QMbB/`2 H 7QM+iBQM  /2  /Mb  i2HH2 [m2    DPT    TQm` iQmi `û2H X
JQMi`2` [m2    DPT   TQm` iQmi 2MiB2`    2i iQmi `û2H X

AAXX9V JQMi`2`- TQm` iQmi    -  ] ]   X

PM miBHBb2` H2tT`2bbBQM BMiû;`H2 /2 H pH2m` #bQHm2 Q#i2Mm2 ¨ H [m2biBQM AXX8X
AAXX8V .û/mB`2 /2 H [m2biBQM T`û+û/2Mi2 [m2- TQm` iQmi   -      X
AAX" 

úim/2 /2

PM b2 T`QTQb2 /2 /ûKQMi`2` [m2 H bmBi2 

mM ûpûM2K2Mi Mû;HB;2#H2    i2H [m2

+QMp2`;2 T`2b[m2 b`2K2Mi p2`b y- +2bi@¨@/B`2 [mBH 2tBbi2

SQm` iQmi    - QM TQb2

2i

AAX"XRV JQMi`2` [m2       TQm` iQmi    X

AAX"XkV JQMi`2` [m2- TQm` iQmi    -        X

AAX"XjV JQMi`2` [m2    TQm` iQmi    2i [m2 MJN    X

AAX"X9V 1M +QMbB/û`Mi     - KQMi`2` [m2    +QMp2`;2 T`2b[m2 b`2K2Mi p2`b yX

kyRe@yk@yN y3,Rd,kN

S;2 kfj

AAA .mi`2b bQKK2b HûiQB`2b

PM +QMb2`p2 H bmBi2   /2 H T`iB2 T`û+û/2Mi2 2i QM +QMbB/`2 /2 THmb mM2 bmBi2 

Qm MmHbX SQm` iQmi    - QM TQb2      X

/2 `û2Hb TQbBiB7b

AAAX  úim/2 /2  ] ]

AAAXXRV JQMi`2` [m2 H bmBi2  ] ]  2bi +`QBbbMi2X

AAAXXkV JQMi`2` [m2 bB H bû`B2   2bi +QMp2`;2Mi2- HQ`b H bmBi2  ] ]  2bi 
+QMp2`;2Mi2X

AAAXXjV PM bmTTQb2   

 X JQMi`2`  ] ]   ] ]   X

AAAX"  TTHB+iBQM ¨ mM2 bmBi2 /BMiû;`H2b
SQm`    - bQBi

AAAX"XRV JQMi`2` [m2 

  DPT  DPT     DPT   

   E

2bi mM2 bmBi2 #B2M /û}MB2 2i [m2HH2 2bi +`QBbbMi2 2i +QMp2`;2Mi2X

2i QM 2tT`BK2` H2bTû`M+2 /2 ] ] p2+ H Kûi?Q/2 /2 H [m2biBQM AAXX9X
PM TQb2`  

AAAX"XkV JQMi`2` [m2   TQm`      2i [m2   2bi bi`B+i2K2Mi +`QBbbMi2X

r r r 6AL r r r

kyRe@yk@yN y3,Rd,kN

S;2 jfj

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 MP 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Tristan Poullaouec (Professeur en CPGE) et Sophie Rainero (Professeur
en CPGE).

Ce sujet étudie les marches aléatoires symétriques sur R : pour une suite (ak 
)kN
fixée de réels positifs, on part de la position 0 puis, à chaque étape k  N , 
on choisit de se déplacer aléatoirement à gauche ou à droite d'une longueur ak 
. Le sujet
comporte trois parties.
· La première partie établit deux résultats préliminaires. D'une part, on 
exprime
la valeur absolue d'un réel sous la forme d'une intégrale en étudiant une 
intégrale à paramètre. D'autre part, on détermine un équivalent de la suite 
d'intégrales (un )nN définie par
Z +
1 - (cos t)n
 n  N
un =
dt
t2
0
On a recours aux théorèmes classiques de convergence dominée et de dérivation
sous le signe intégrale.
· La deuxième partie étudie la marche aléatoire à pas constant définie par
n > 1

Sn =

n
P

Xk

avec

k=1

P(Xk = 1) = P(Xk = -1) = 1/2

On montre que E(|Sn |) = 2un / pour tout n  N et que la suite (Sn /n)nN
converge presque sûrement vers 0. Cette partie nécessite de savoir calculer des
espérances et manipuler des événements liés à des variables aléatoires.
· La troisième partie généralise la marche précédente en définissant
n > 1

Tn =

n
P

k=1

ak Xk

avec

P(Xk = 1) = P(Xk = -1) = 1/2

où (ak )kN est une suite de réels positifs. L'étude probabiliste est limitée à 
trois
questions et est utilisée pour étudier la suite d'intégrales (Jn )nN définie par
Z + 
t
 t 
1
1
-
cos(t)
cos
·
·
·
cos
dt
n > 1
Jn =
t2
3
2n - 1
0
Les réponses à ces questions nécessitent de longs calculs.
Ce problème permet de bien réviser le calcul intégral et les probabilités. Le 
rapport
de l'épreuve souligne d'ailleurs un traitement trop superficiel de la deuxième 
partie et
insiste sur le fait que « les probabilités doivent être étudiées avec la même 
application
que le reste du programme ».

Indications
Partie I

I.A.1 Commencer par prouver que 1 - cos(t) /t2 6 1/2 pour tout t  R grâce à
l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction cos.
Pour la continuité, écrire la fonction f comme somme de deux intégrales,
l'une sur ] 0 ; 1 ], l'autre sur [ 1 ; + [.
Pour la dérivabilité, établir le résultat sur tout intervalle de la forme [ a ; 
+ [
avec a > 0.
I.A.2 Appliquer le théorème de convergence dominée en se servant des majorations
établies à la question précédente.
I.A.3 Écrire f  (x) comme une somme d'intégrales. Pour calculer celle qui pose
problème, on effectuera deux intégrations par parties successives.
Trouver ensuite une primitive de f  puis identifier la constante à l'aide de la
question I.A.2.
I.A.4 Dériver la fonction g : x 7- x ln(x) - (x/2) ln(x2 + 1) - Arctan (x) + /2
sur ] 0 ; + [. Considérer sa limite en + pour montrer que f = g.

I.A.5 Distinguer les cas s = 0 et s 6= 0. Dans ce dernier cas, utiliser le 
changement
de variable u = |s| t pour faire apparaître f (0).
I.B.1 Montrer que la fonction hn : t 7- [1 - (cos(t))n ] /t2 est continue sur ] 
0 ; + [,
prolongeable par continuité en 0 et que |hn (t)| 6 2/t2 pour tout t > 0.

I.B.2 Pour le calcul de u2 , utiliser la formule cos2 (t) = (1 + cos(2t))/2 et 
le résultat
de la question I.A.5.
p
I.C.1 Procéder au changement de variable t = 2u/n dans le calcul de vn .
I.C.2 Montrer tout d'abord que |tn - 1| 6 n |t - 1| pour t  [ 0 ; 1 ]. 
Appliquer ensuite ce résultat à cos(t) pour t  R. Utiliser enfin l'inégalité 
|cos t - 1| 6 t2 /2.

I.C.3 Appliquer le théorème de convergence dominée en utilisantla question I.C.2
pour majorer la fonction considérée sur ] 0 ; 1 ] par u 7- 1/ u intégrable sur
] 0 ; 1 ]. Puis penser à l'équivalent suivant ln(cos(x))  cos(x) - 1  -x2 /2.
x0

x0

I.C.4 Calculer  à l'aide d'une intégration par parties puis utiliser le 
résultat de la
question I.C.1.
Partie II

II.A.2 Noter que cos(S) et cos(T), ainsi que sin(S) et sin(T), sont des 
variables
indépendantes puis démontrer que E(sin(T)) = 0.
II.A.3 Raisonner par récurrence en utilisant le résultat de la question II.A.2.
II.A.4 Appliquer le théorème de transfert et le résultat de la question I.A.5 
pour
faire apparaître E(cos(Sn t)). Conclure en utilisant la question II.A.3.
II.A.5 Utiliser la question II.A.4 puis, à l'aide de la formule des 
probabilités totales
et du théorème de transfert, exprimer E(|S2n+2 |) en fonction de E(|S2n+1 |).
II.B.2 Appliquer l'inégalité de Markov à la variable aléatoire Un .

II.B.3 Écrire Zn comme union dénombrable d'événements. Majorer ensuite P(Zn )
par le reste d'une série convergente en utilisant la question II.B.2.
II.B.4 Commencer par montrer que P(Z) = 0 puis étudier la convergence de la
suite (Un )nN sur  r Z.

Partie III
III.A.1 Utiliser le système complet d'événements ((Xn+1 = 1), (Xn+1 = -1)) pour
calculer P(Tn+1 = v).
III.A.2 Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer E(|Tn |)2 par E(Tn 
2 ).
Calculer cette quantité et montrer qu'elle est majorée.
III.A.3 Utiliser le système complet d'événements ((X1 = 1), (X1 = -1)) pour 
calculer P(Tn = v) en fonction des événements associés à la variable aléatoire
n
P
V1 =
ak Xk .
k=2

III.B.1 Montrer que la fonction qui est intégrée est prolongeable par 
continuité en 0
et majorée par la fonction t 7- 2/t2 sur [ 1 ; + [.
Calculer ensuite E(|Tn |) de la même façon que E(|Sn |) à la question II.A.4
et montrer que Jn = /2 · E(|Tn |). Utiliser les résultats des questions III.A.1
et III.A.2 pour conclure.
III.B.2 Se référer au résultat de la question III.A.3 pour conclure que Jn = /2 
pour
1 6 n 6 7. En reprenant les calculs de la question III.A.1, montrer que
E(|Tn+1 |) - E(|Tn |) > 0  Tn ()  ] -an+1 ; an+1 [ 6= 

Considérer ensuite n = min(Tn ()  [ 0 ; + [) et montrer que n < an+1
1
pour n > 8 et n pair
pour n > 7. Pour cela, démontrer que n 6
2(2n + 1)
ainsi que pour n > 11 et n impair.

I. Suites et intégrales
I.A.1 La fonction cos est de classe C 2 sur R. On a cos = - sin et cos(2) = - 
cos.
De plus, on a cos(2) (t) 6 1 pour t  R. D'après l'inégalité de Taylor-Lagrange,
t  R

|cos(t) - 1| 6

t2
2

Dès lors, 1 - cos(t) /t2 6 1/2 pour tout t > 0. La fonction cos étant bornée 
par 1
sur R, on a également
t > 0

1 - cos(t)
1 + |cos(t)|
2
6
6 2
2
2
t
t
t

1 - cos(t) -xt
e
t2
· Pour tout x  R+ , la fonction t 7- g(x, t) est continue sur ] 0 ; + [.

Posons ensuite  (x, t)  R+ × ] 0 ; + [

g(x, t) =

· Pour tout t  R+ , la fonction x 7- g(x, t) est continue sur [ 0 ; + [.

· Soit x  R+ . Pour tout t  ] 0 ; 1 ], |g(x, t)| 6 e -xt /2 6 1/2. La fonction
t 7- 1/2 est positive, continue par morceaux et intégrable sur ] 0 ; 1 ]. 
D'après
Z 1
le théorème de continuité sous le signe intégrale, la fonction x 7-
g(x, t) dt
0
est donc définie et continue sur R+ .
· Soit x  R+ . Pour tout t  [ 1 ; + [, |g(x, t)| 6 2/t2 . La fonction t 7- 2/t2 
est
positive, continue par morceaux et intégrable sur [ 1 ; +
Z [. D'après le théorème
+

de continuité sous le signe intégrale la fonction x 7-
définie et continue sur R+ . Par somme,

g(x, t) dt est donc

1

La fonction f est définie et continue sur R+ .
Montrons que f est de classe C 2 sur [ a ; + [ avec a > 0.

· Pour tout t > 0, la fonction x 7- g(x, t) est de classe C 2 sur [ a ; + [ et
x  [ a ; + [

g
1 - cos(t) -xt
(x, t) = -
e
x
t

· Soit x  [ a ; + [. Les fonctions t 7-
sur ] 0 ; + [.

et

2g
(x, t) = (1 - cos(t))e -xt
x2

g
2g
(x, t) et t 7-
(x, t) sont continues
x
x2

· Soit x  [ a ; + [. En utilisant les inégalités précédemment démontrées sur la
fonction t 7- 1 - cos(t), on obtient
t  ] 0 ; + [

g
t
(x, t) 6 e -at
x
2

et

2g
(x, t) 6 2e -at
x2

t
Les fonctions t 7 e -at et t 7 2e -at sont positives et continues sur ] 0 ; + [.
2
En outre, par croissances comparées,

t -at
1
1
-at
e
= o
et 2e
= o
t+ t2
t+ t2
2
La fonction t 7- 1/t2 est intégrable sur [ 1 ; + [ comme intégrale de Riemann.
Par comparaison de fonctions positives, les deux fonctions sont donc intégrables
sur ] 1 ; + [ puis sur ] 0 ; + [.