Centrale Maths 2 MP 2014

Mathématiques 2  0 et que n n'est pas le produit de m par un entier 
impair. Montrer qu'il existe un
unique entier 19 > 1 tel que ln -- 2pml < m et que Qn,m : 2 (Tn--m _ Tn--3m + + <_1)p_1Tn--(2p--l)m) et Rn,m : (_1)pîln--2pml II.B -- Plus grand commun diviseur Dans toute cette sous--partie 118, on fixe deux entiers naturels m et n. II.B.1) Soit h le pgcd dans IN de m + 1 et n + 1. En examinant les racines communes a U,, et U..., montrer que U,,_1 est un pgcd dans IR[X] de U,, et U.... II.B.2) Soit 9 > Ole pgcd de m et n. On pose m1 : m/g et n1 : n/g.
&) Montrer que si m1 et n1 sont impairs, alors Tg est un pgcd de T,, et T....

I)) Montrer que si l'un des deux entiers m1 ou nl est pair, alors T,, et T... 
sont premiers entre eux.

0} Que peut--on dire des pgcd de T,, et T... lorsque m et n sont impairs ? 
Lorsque n et m sont deux puissances
de 2 distinctes ?

III Un théorème

Dans cette partie, on munit l'ensemble C[X] des polynômes complexes de la loi 
de composition interne associative
donnée par la composition, notée 0. Plus précisément, étant donné P, Q EUR 
C[X], si P = 2233 p,,Xk, la suite
(pk)kEURN étant nulle a partir d'un certain rang, on a

+oo
Po @ = Zqu
k=0

On dit que les polynômes P et Q commutent si PoQ : QoP. On note EUR(P) 
l'ensemble des polynômes complexes
qui commutent avec le polynôme P

6
 = {@ e un. P0Q=QOP}
On cherche dans cette partie les familles (F,,),,ËN de polynômes complexes 
vérifiant
Vn EUR IN, deg F,, = n et V(m, n) EUR INZ, F,, 0 F... = F... 0 F,, (111.1)

Il est clair que la famille (X "),,En, convient.

On note G l'ensemble des polynômes complexes de degré 1, et pour oz E C, on 
pose PO, : X 2 + 04.

III.A -- Préliminaires
III.A.1) Montrer que la famille (T,,),,EURN vérifie la propriété (111.1). On 
pourra comparer T,, 0 T... et T...,,.
III.A.2) Vérifier que G est un groupe pour la loi 0.

L'inverse pour la loi 0 d'un élément U de G sera noté U _1.

III.B -- Commutant de X2 et T2

III.B.1) Soit 04 EUR (I: et soit Q un polynôme complexe non constant qui 
commute avec PC,. Montrer que Q est
unitaire.

III.B.2) En déduire que, pour tout entier n > 1, il existe au plus un polynôme 
de degré n qui commute avec
Po,. Déterminer EUR(X2).

III.B.3) Soit P un polynôme complexe de degré 2. Justifier l'existence et 
l'unicité de U E G et oz E @ tels que
U 0 P 0 U _1 : Po,. Déterminer ces deux éléments lorsque P : T2.

III.B.4) Justifier que Û(T2) : {--1/2} U {T...n EUR IN}.

III. G --
III.C.1) Montrer que les seuls complexes oz tels que Û(POE) contienne un 
polynôme de degré trois sont 0 et --2.

III.C.2) En déduire le théorème de Block et Thielmann : si (F,,),,EURN vérifie 
(111.1), alors il existe U E G tel que

VnEIN*, F,,=U_loX"oU ou VnEIN*, F,,=U_loTnoU

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IV Puissances dans GL2(Z)

Dans toute cette partie, on note GL2(Z) l'ensemble des éléments inversibles de 
l'anneau M2(Z), muni de son
addition et de sa multiplication usuelle.

I V.A -- Justifier qu'un élément M de M2(Z) appartient a GL2(Z) si et seulement 
si ldet M \ = 1.
I V.B -- On introduit les polynômes de Dickson de première et deuxième espèce, 
(Dn)nEURN et (En)neN, définis
sous la forme de fonctions polynomiales de deux variables par
DO< @ n n+1 Dn (oe+g,a) =oe"+a-- et (oe--g) En (oe+g,a) : (oen+1--a--) (IV.1) 513" $ $ $ OEn+1 I V.C -- Dans cette sous--partie, on cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément A de GL2(Z) soit une puissance n--ième dans GL2(Z), c'est--à--dire pour qu'il existe une matrice B E GL2(Z) telle que A : B". Dans toute la suite, on notera A=(î â) T=TrA ô=detA IV.C.1) Soit B E GL2(Z). On note, dans cette question uniquement, 0 : TrB et 1/ : det B. Montrer pour tout n > 2, l'égalité

Bn : E --1(07V) 'B_VEn--2(07V)'Ï2

n

où 12 est la matrice identité d'ordre 2.

Établir que Tr(B") : D,,(a, IJ).

IV.C.2) En déduire que si A est une puissance n--ième (n > 2) dans GL2(Z), 
alors il existe 0 EUR Z et 1/ EUR {--1, 1}
tels que

i. En_1(a, u) divise b, c et a -- d. On justifiera brièvement que En_1(a, u) 
est bien un entier.

ii. T : D,,(a,u) et 6 = u".

IV.C.3) On va maintenant établir la réciproque.

Soit A un élément de GL2(Z) pour lequel il existe 0 EUR Z et 1/ EUR {--1, 1} 
vérifiant les deux conditions précédentes

i et ii. Pour simplifier, on note 19 : En_1(a, V). On définit alors une matrice 
B = (; â) avec

1 a--d ?) c 1 a--d
7"=--(0+ ) s=-- t=-- u=--(0-- )
2 p ?

&) En introduisant une racine complexe du polynôme X 2 -- 0X + 1/ et a l'aide 
de (IV.1), montrer que
2 _ 2 2 - _
T --4ô-p (a --41/) pms ru--st-u

En déduire que B appartient a GL2(Z).
b) Montrer que A : B".

710

IV.C.4) Montrer que la matrice A = (5 7

telle que B3 = A.

) est un cube dans GL2(Z) et déterminer une matrice B E GL2(Z)

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