Centrale Maths 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Décomposition polaire et applications
Principaux outils utilisés matrices orthogonales et symétriques, topologie, réduction, trigonométrie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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--/
EÜNEÜUHS EENÏHHLE'SUPËLEE

Mathématiques 2

(

MP

Calculatrices autorisées

2013

4 heures

Notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul.

On note :

-- MAR) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients 
réels ;

-- GLAR) le groupe des matrices inversibles de MAR) ;

-- O(n) le groupe orthogonal d'ordre n ;

-- 5,Ï[ (R), respectivement S,Î+(R), l'ensemble des matrices symétriques de 
MAR) dont les valeurs propres
sont positives ou nulles, respectivement strictement positives ;

-- I.,, la matrice identité de MAR) ;

-- On la matrice nulle de MAR).

Pour toute matrice M de MAR), on note "M sa matrice transposée, Tr(M) sa trace, 
et, pour (i, ]) EUR {1, . . ., n}2,

m,, le coefficient qui se trouve à l'intersection de la i--ème ligne et de la 
j--ème colonne. On munit MAR) de la

norme définie, pour tout M EUR MAR), par HMH : sup(lm;fl, (75,3) EUR {1, . . 
.,n}2).

I Décomposition polaire d'un endomorphisme de R'"1

I.A --
I.A.1)

On munit R'" de sa structure euclidienne canonique.

Soit u un endomorphisme de R'". Montrer que u est autoadjoint défini positif si 
et seulement si sa

matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient a S,Î+(R).

I.A.2)

I.B --

démontrer qu'il existe un unique endomorphisme @ de R'" autoadjoint, défini 
positif, tel que @

1.3.1)

Montrer que si S E S,Î+(R), alors S est inversible et S _1 EUR S,Î+(R).

Dans cette question, u désigne un endomorphisme de R'" autoadjoint défini 
positif. On se propose de

2=u.

Soit @ un endomorphisme de R'", autoadjoint défini positif et vérifiant v2 = u, 
et soit À une valeur

propre de u. Montrer que @ induit un endomorphisme de Ker(u -- Àld) que l'on 
déterminera.

1.3.2)
1.3.3)

10 --
1.0.1)
1.0.2)

1.0.3)

I.D --

1.3.1)
1.3.2)
1.3.3)
1.3.4)

En déduire @, puis conclure.

Montrer qu'il existe un polynôme Q à coefficients réels tel que @ : Q(u).

Soit A E GLAR).

Montrer que tAA EUR S,Î+(R).

En déduire qu'il existe un unique couple (O, S) E O(n) >< S,Î+(R) tel que A : 
OS.
3 0 --1

\Æ/2 3<Æ --3fl/2

--fl/2 3fl 3fl/2

Déterminer les matrices O et S lorsque A :

Montrer que O(n) est une partie compacte de MAR).

Montrer que 5,Ï[ (R) est un fermé de MAR).

Montrer que GLAR) est une partie dense de MAR).

Soit A E MAR). Montrer qu'il existe un couple (O,S) EUR O(n) >< 5,Ï[(R) tel que 
A : OS. Un tel

couple est--il unique ?

I.E --

Soit @ l'application de O(n) >< S,Î+(R) dans GLAR) définie par g0(O, S) : OS 
pour tout couple (O, S)

de O(n) >< S,Î+(R).

Montrer que ;p est bijective, continue et que sa réciproque est continue.

2013--04--16 14:02:51

Page 1/3 @c_

II Deux applications

II.A -- Première application

Dans cette partie, A et B désignent deux matrices de M,,(R). On suppose qu'il 
existe_ une matrice U carrée de
taille n, inversible, à coefficients complexes, telle que U tU : I,, et A = U 
BU _1, où U désigne la matrice dont
les coefficients sont les conjugués de ceux de U .

II.A.1) Justifier que % : U(ÈB)U_1.

II.A.2) On se propose de montrer qu'il existe une matrice P E GL,,(R) telle que 
A : PBP_1 et 7'A = P tBP_1.
Pour cela, on note X et Y les matrices de M,,(R) telles que U = X + iY.

a) Montrer qu'il existe ,a E R tel que X + ,uY EUR GLn(R).

b) Montrer que AX : XB et AY : YB.

c) Oonclure.

II.A.3) On écrit P sous la forme P : OS, avec 0 EUR O(n) et S E 5,Ï+(R).

a) Montrer que BS2 : SZB, puis que BS : SB.

b) En déduire qu'il existe 0 EUR O(n) tel que A : OB'O.

II.B -- Seconde application

Soit A E MAR). On se propose de donner une condition nécessaire et suffisante 
d'existence d'une solution
X EUR GL,,(R) au système

... _ tAA + tXX : I,,
' ÈAX -- tXA = O.,

II.B.1) Montrer que si le système (*) admet une solution dans GL,,(R), alors 
les valeurs propres de "AA
appartiennent a l'intervalle [0,1[.

II.B.2) On suppose dans cette question que les valeurs propres de "AA 
appartiennent a l'intervalle [O, 1[.

a) Justifier que l'on peut chercher les solutions X de (>k) sous la forme X = U 
H , avec U E O(n) et H E S,Î+(R).
b) Déterminer H .

c) Montrer l'existence d'une solution X EUR GL,,(R) de (*) appartenant à 
GL,,(R).

III Valeurs propres d'une matrice

Pour 19 E N*, on pose

{ 2 --1 0 0\
--1 2 --1 '- S
A,,= () _1 2 () EURMp(R)
--1
K 0 0 --1 2)

On note Pp le polynôme tel que, pour tout réel oe, P,,(oe) : det(acIp -- Ap).

III .A -- Montrer qu'à 515 E R fixé, la suite (Pp(oe))peN* vérifie une relation 
linéaire d'ordre 2, que l'on précisera.

III.B -- Soit 515 E R tel que \2--oel < 2. Après avoirjustifié l'existence d'un 
unique 9 EUR ]0, 7T[ tel que 2--oe : 2 cos6',
déterminer P,,(oe) en fonction de sin((p + 1)9) et de sin(9).

III. C' -- Déterminer les valeurs propres de Ap.

III .D -- Montrer que Ap est diagonalisable, et en déterminer une base de 
vecteurs propres, en précisant pour
chacun la valeur propre associée.

2013-04--16 14:02:51 Page 2/3 @C) BY-NC-SA

IV

Soit f une forme linéaire sur MAR).

IV.A -- Montrer qu'il existe une unique matrice A E MAR) telle que VM EUR MAR), 
f(M) : Tr(AM).

Dans la suite, A désigne la matrice définie dans cette question IV.A.

IV.B --

IV.B.1) Justifier l'existence de Mn : sup({f(O), 0 EUR O(n)}).
IV.B.2) Justifier que tAA admet n valeurs propres positives ..., . . ., ,a... 
oomptées avec multiplicités.

IV.B.3) Montrer que Mn : sup({Tr(DQ),Q EUR O(n)}), où D est la matrice 
diagonale, dont les éléments
diagonaux sont , /,ul, . . ., , /,un.
IV.B.4) En déduire que Mn : ZZ=1 ,/,u;,.

IV. C' -- Dans cette question, f désigne la forme linéaire définie par VM EUR 
MAR), f (M ) : ;"=1 ZÎ=j m,,j.
IV.C.1) Déterminer la matrice A telle que VM EUR MAR), f(M) : Tr(AM).
IV.C.2) Montrer que

1 --1 0 0\
{0 1 --1 E
A--1= 1 0
t.; .I: {, î)

IV.C.3) Déterminer les valeurs propres de A_1 tA_1.

1
k7r

n+1

IV.C.4) Montrer que Mn : î:
k=1 2 cos 2

IV.C.5) Donner un équivalent de Mn lorsque n tend vers +oo.

oooFINooo

2013-04--16 14:02:51 Page 3/3 @C) BY-NC-SA

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Centrale Maths 2 MP 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Elliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog
(Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Antoine
Sihrener (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur la décomposition polaire de matrices : pour toute matrice 
inversible A, il existe une unique matrice orthogonale O et une unique matrice 
symétrique
définie positive S telles que A = OS.
· La première partie se concentre sur les résultats théoriques autour de la 
décomposition polaire. Très complète, elle mêle questions de cours, calculs 
pratiques
sur un exemple et démonstrations substantielles demandant une grande part
d'initiative personnelle. On y trouve à la fois de l'algèbre linéaire et de la 
topologie. Cette partie n'est pas de tout repos !
· La deuxième partie propose deux applications de la décomposition polaire.
L'une consiste à montrer que deux matrices réelles sont orthogonalement 
semblables lorsqu'elles sont semblables dans C via une matrice complexe U 
vérifiant
t
U U = In . L'autre invite à établir une condition nécessaire et suffisante pour
qu'un système matriciel possède une solution dans GLn (R).
· La troisième partie est indépendante des deux premières. Elle consiste à 
déterminer pour tout n  N les éléments propres de la matrice carrée de taille n

2 -1 0 . . . 0

.. 
-1 2 -1 . . .
. 

.
..
An =  0 -1 2
0

 .

..
..
..
 ..
.
.
. -1
0 . . . 0 -1 2
Elle exige beaucoup de rigueur dans les calculs et une bonne aisance avec les
formules de trigonométrie.
· La quatrième partie porte sur l'étude de
Mn = sup {Tr (AO) | O  O(n)}
où O(n) désigne le groupe orthogonal et A une matrice carrée d'ordre n.
On établit d'abord une formule générale pour Mn , puis on traite le cas 
particulier où A est égale à An à un coefficient de la matrice près. Il est 
nécessaire
d'avoir les idées claires à ce stade du sujet afin d'adapter efficacement les 
techniques employées au cours de la partie III. La dernière question demande de
trouver un équivalent de Mn , question très longue et technique qui peut être
traitée indépendamment de tout le reste.
Ce problème couvre un très large spectre du programme d'algèbre linéaire et 
déborde même sur le programme d'analyse (topologie, équivalents de suites). 
Très long,
il offre de nombreuses possibilités pour rebondir en cas de blocage.

Indications
Partie I
I.A.1 Raisonner par double implication en se ramenant à des calculs matriciels :
si X et Y sont les vecteurs colonnes respectifs de deux vecteurs x et y de Rn
t
dans une base orthonormée, alors hx | yi = X Y. Utiliser le théorème spectral 
pour le sens indirect.
I.B.1 Remarquer que l'endomorphisme induit par v sur Ker (u - Id) est 
diagonalisable et ne possède qu'une seule valeur propre.
I.B.2 Définir v sur une décomposition de Rn en sous-espaces propres de u.
I.B.3 Choisir un polynôme interpolateur de Lagrange.
I.C.2 Raisonner par analyse/synthèse en construisant S et O à partir de A.
Cette question utilise les résultats des trois questions précédentes.
t

t

I.C.3 Diagonaliser A A pour trouver une matrice S telle que S2 = A A.
I.D.1 Montrer que O(n) est un fermé borné de Mn (R). Se rappeler que pour une
matrice orthogonale M, t M M = In et tous ses coefficients sont inférieurs à 1
en valeur absolue.
I.D.2 Pour une matrice M  Sn+ (R), t X MX > 0 pour tout vecteur X. Écrire
alors Sn+ (R) comme une intersection quelconque de fermés de Mn (R).
I.D.3 Pour une matrice M, considérer la suite (M - (1/p)In )p>0 .
I.D.4 Considérer une suite (Ak )kN = (Ok Sk )kN avec Ok  O(n) et Sk  Sn++ (R)
pour tout k  N. Utiliser un critère de compacité pour trouver O, puis
exhiber S.
I.E Avec les mêmes techniques que celles employées au cours de la question 
I.D.4,
utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité pour montrer que -1
est continue.
Partie II
II.A.1 Passer à la conjuguée puis transposer la relation A = UBU-1 .
II.A.2.a Considérer la fonction z 7 det(X + zY) définie sur C.
II.A.2.b Identifier partie réelle et partie imaginaire dans la relation A = 
UBU-1 .
II.A.2.c Remplacer i par µ.
II.A.3.a La relation BS2 = S2 B s'obtient par calcul à partir de AP = PB. Pour 
la
seconde égalité, utiliser la question I.B.3.
t

II.B.1 Prendre un vecteur propre X pour A A dans le système ().
II.B.2.b Utiliser la première ligne du système ().
II.B.2.c Utiliser la seconde ligne du système ().
Partie III
III.B Initialiser pour p = 1 et p = 2 puis effectuer une récurrence, les 
formules
trigonométriques seront utiles.
III.C Déterminer p racines distinctes du polynôme Pp à partir des solutions de
l'équation sin((p + 1)) = 0 sur ] 0 ;  [.
III.D Trouver une formule de récurrence sur les coordonnées d'un vecteur propre.

Partie IV
IV.A Utiliser le théorème de représentation des formes linéaires à l'aide d'un 
produit scalaire dans un espace euclidien.
IV.B.1 L'image d'un compact par une fonction continue est un compact.
IV.B.3 Utiliser la décomposition polaire A = OS, diagonaliser S et permuter les
matrices dans la trace grâce à la propriété Tr AB = Tr BA pour toutes
matrices A et B de Mn (R).
IV.B.4 Majorer Tr D pour tout   O(n) en utilisant que tous les coefficients
de  sont inférieurs ou égaux à 1.
IV.C.1 Calculer formellement Tr AM.
IV.C.2 Appliquer l'algorithme du pivot de Gauss.
t

IV.C.3 Calculer A-1 (A-1 ) colonne par colonne et l'exprimer en fonction de la 
matrice An de la partie III. En déduire son polynôme caractéristique à partir
de celui de An et trouver ses racines avec la même méthode qu'aux questions 
III.B et III.C.
IV.C.4 Dans la formule de la question IV.B.4, µ1 , . . . , µn sont les inverses 
des valeurs
propres obtenues à la question IV.C.3.
IV.C.5 Introduire la fonction f définie par f () = 1/(2 cos ) pour   [ 0 ; /2 [ 
et
comparer la somme Mn avec une intégrale In de f :
0 6 Mn -

2n + 1
In 6 u n

avec un à déterminer. Calculer In à l'aide d'une règle de Bioche pour pouvoir
en trouver un équivalent.

I. Décomposition polaire d'un endomorphisme de Rn
Ce sujet débute par une question de cours ultra classique qu'il ne faut surtout
pas négliger !
I.A.1 Considérons Rn muni du produit scalaire canonique h· | ·i défini par
n
P
h(x1 , x2 , . . . , xn ) | (y1 , y2 , . . . , yn )i =
xk yk
k=1

Rappelons que si B est une base orthonormée de Rn , alors hx | yi = t X Y où X 
et Y
sont respectivement les matrices colonnes des vecteurs x et y de Rn dans la 
base B.
Supposons que u est autoadjoint positif. Notons M la matrice de u dans une base
orthonormée B de Rn .
· Puisque u est autoadjoint, hx | u(y)i = hu(x) | yi pour tous x, y  Rn . Notons
X = Mat B x et Y = Mat B y. Ainsi,
t

hx | u(y)i = X MY

t

et

t

t

hu(x) | yi = (MX) Y = X M Y

En notant (Ek )16k6n la base canonique de l'espace des matrices colonnes de
taille n, on obtient en particulier que
t

 i, j  {1, . . . , n}
d'où

 i, j  {1, . . . , n}

t

t

Ei MEj = Ei M Ej
 
Mij = t M
ij

t

donc M = M, c'est-à-dire que M est symétrique.
· Puisque u est défini positif, hx | u(x)i > 0 pour tout x  Rn \{0}. Soit x un
vecteur propre de u pour la valeur propre . Alors
0 < hx | u(x)i = hx |  xi =  hx | xi =  kxk2
d'où  > 0 pour toute valeur propre  de u, donc de M.
Réciproquement, supposons que la matrice de u dans toute base orthonormée
de Rn soit un élément de Sn++ (R). Notons M = Mat B u pour une base orthonormée 
B
de Rn .
· Comme M est symétrique, on obtient pour tous vecteurs x et y de Rn
t

t

t

t

hu(x) | yi = (MX) Y = X M Y = X MY = hx | u(y)i
avec X = Mat B x et Y = Mat B y donc u est autoadjoint.
· Puisque M est symétrique réelle, le théorème spectral assure qu'il existe une
base C orthonormée de vecteurs propres c1 , . . . , cn de u pour les valeurs 
propres
1 , . . . , n respectivement, strictement positives car M  Sn++ (R). Soit x un
vecteur non nul de Rn . Notons

t
t
X = Mat C x = x1 · · · xn
et Y = Mat C u(x) = 1 x1 · · · n xn

n
P
t
2
Calculons hx | u(x)i = X Y =
i xi > Min i kxk2
i=1

16i6n

Puisque toutes les valeurs propres sont strictement positives et que x est non
nul, on en déduit que hx | u(x)i > 0 pour tout x 6= 0 donc u est défini positif.
L'endomorphisme u est autoadjoint défini positif si et seulement si sa
matrice dans n'importe quelle base orthonormée appartient à Sn++ (R).