Centrale Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Étude des matrices de Hilbert et du produit scalaire associé
Principaux outils utilisés matrices symétriques définies positives, produit scalaire, polynômes orthogonaux, déterminants

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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î, '» Mathématiques 2

s,
--/ MP

EDNEHIIHS EENÏHHLE-EUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Rappels et notations

Pour tout entier naturel non nul n, on note :

-- [il, nl] Fensemble des entiers naturels k tels que 1 £ [C $ n:

-- MAR) (respectivement Mn,1(R)) l7espace vectoriel des matrices carrées a n 
lignes et n colonnes (respecti--
vement l7espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes) à coefficients dans 
R:

-- SAR) le sous--espace vectoriel de MAR) constitué des matrices symétriques.

Soit n E N* et A E SAR) : on dit que A est positive (respectivement définie 
positive) si :

VX EUR Mn,1(R), tXAX } 0 (respectivement tXle > 0 si X # O).

L7espace vectoriel des polynômes à coefficients réels est noté Rle, et, pour 
tout entier naturel p, le sous--espace
vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à p est noté RÆXl.

Objectifs

La première partie a pour but de démontrer une caractérisation des matrices 
réelles définies positives, a l7aide
des déterminants de certaines matrices extraites.

La deuxième partie aborde l7étude d7une suite de polynômes orthogonaux pour un 
produit scalaire défini a l7aide
d7une intégrale.

La troisième partie introduit les matrices de Hilbert et leur inverse, dont 
certaines propriétés sont étudiées dans
la partie IV.

I Caractérisation des matrices symétriques définies positives

I.A * SoitnEURN* etAESAR).

I.A.l) Montrer que A est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres 
sont positives.

I.A.2) Montrer que A est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs 
propres sont strictement
positives.
I.B * Pour n E N*, A E SAR) et i EUR [il, nl], on note A(i) la matrice carrée 
d7ordre i extraite de A, constituée

par les i premières lignes et les i premières colonnes de A.

Le but de cette question est de démontrer l7équivalence suivante :
A est définie positive <=> Vi EUR [il, nl], det(A O.

I.B.l) Soit A E SAR). On suppose que A est définie positive.

Pour tout i EUR [il, nl], montrer que la matrice A(i) est définie positive et 
en déduire que det(A®) > 0.

Pour tout n E N*, on dira qu7une matrice A de SAR) vérifie la propriété Pn si 
det(A®) > 0 pour tout i EUR [il, nl].
I.B.2) Dans les cas particuliers n = l et n = 2, montrer directement que toute 
matrice A E SAR) vérifiant
la propriété Pn est définie positive.

I.B.3) Soit n E N*. On suppose que toute matrice de SAR) vérifiant la propriété 
Pn est définie positive.
On considère une matrice A de Sn+1(R) vérifiant la propriété Pn+1 et on suppose 
par l7absurde que A n7est pas
définie positive.

a) Montrer alors que A admet deux vecteurs propres linéairement indépendants 
associés à des valeurs propres
(non nécessairement distinctes) strictement négatives.

b) En déduire qu7il existe X EUR Mn+1,1(R) dont la dernière composante est 
nulle et tel que tX AX < 0.

c) Conclure.

I. C' * Soit A une matrice de SAR). A--t--on l7équivalence suivante :
A est positive <=> Vi EUR [ll:nfl, det(A®) } 0 ?

I.D * Écrire une procédure, dans le langage Maple ou Mathematica, qui prend en 
entrée une matrice

M EUR SAR) et qui, en utilisant la caractérisation du I.B, renvoie « true » si 
la matrice M est définie positive,
et « false » dans le cas contraire.

20 avril 2011 11:27 Page 1/4 GC) BY--NC-SA

II Etude d'une suite de polynômes
On définit la suite de polynômes (Pn)nEURN par :

P0=1
{Vn EUR N*, P,, = {X(X --1)}"

De plus, on pose :
WR @) e (...p2, @ dt.

II.A * Montrer que Papplication (P, Q) 1--> <1>

P,<,"> .

II.C * Soit n E N*. Montrer que, pour tout Q EUR Rnn1{X],  constitué des fonctions 
polynomiales de ]0, 1] dans R: ainsi, pour
tout entier naturel i, le polynôme X 1 est confondu avec la fonction 
polynomiale définie par X 1 (t) = L" pour tout

EUR ]0, 1].
On étend a CO(]O: 1],R> le produit scalaire <', > de la partie II en posant

W.geco<10;u,R>, = / fgdt

(On ne demande pas de Vérifier qu7il s7agit d7un produit scalaire sur CO(]O: 
1],R>.>

On note ]] ' ]] la norme associée à ce produit scalaire : pour toute fonction f 
E CO(]O: 1],R>, on a donc

... = V

III.B.1) Soit n E N. Montrer qu7il existe un unique polynôme 117, EUR Rn]X] tel 
que

]]anfll=Q minX ]]Q fl]

III.B.2) Montrer que la suite (]]11n + f]]>nEURN est décroissante et converge 
vers 0.

III.B.3) Montrer que Hn est la matrice du produit scalaire <', '>, restreint à 
Rn11 ]X ], dans la base canonique
de Rn11]X1.
III.B.4) Calculer les coefficients de 1--1" a l7aide de la matrice H,, +1 et 
des réels .

III.B.5) Déterminer explicitement 112 lorsque f est la fonction définie pour 
tout t E ]0, 1] par f(t) = 1 + t2 .

IV Propriétés des coefficients de H,;1

IV.A + Somme des coefficients de H,?1
Pour n E N* et (i, j) EUR ]]1, n]]2, on note h(-j1 ") le coefficient de place 
(i,j> de la matrice H,?1 et on désigne par

c7est--a--dire :

=z h('j 1")

1ogpgn11 
vérifiant le système de n équations

linéaires a n inconnues suivant :

(H) (H)
(n) % ... a... = 1
de + 2 + + H
(H) (H) (H)
ao al a,,ÿ1
2 + 3 + + n + 1
(H) (H) (H)
"0 al an+1
= 1
n + n + 1 + + 2n + 1
b) Montrer que sn = z ag").
p=0
On définit, pour tout n E N*, le polynôme Sn par : Sn-- -- ag") + a(n)X ' + 
a£,@1an1.

Dans les questions suivantes de IV.A, on désigne par n un entier naturel non 
nul.
IV.A.3) Montrer que

VQ=a0+aix+m+an=1X"fleRn 1le » <>=Sn»Q Za,

IV.A.4) Exprimer sn a l7aide de la suite de polynômes (Kp>pEURN définie à la 
question ILE.

IV.A.5) Pour tout p EUR ]]0: n --1]], calculer Kp(1>.
IV.A.6) Déterminer la valeur de sn.

20 avril 2011 11:27 Page 3/4 @°_

IV.B * Les coefficients de H51 sont des entiers

Pour n E N et [EUR EUR [l0g nl], on note (Z) le coefficient binomial (Z) =

2
IV.B.1) Soit p E N*. Montrer que < p

) est un entier pair.
P

En déduire que, si n E N* et p EUR fil; nl], alors (71 +1?) (71) est un entier 
pair.
P P

IV.B.2) Pour tout n E N, montrer qu7on peut écrire :

K.. = \/2n+ 1An

où An est un polynôme à coefficients entiers que l7on explicitera.

Parmi les coefficients de A... lesquels sont pairs ?

IV.B.3)

Soit n E N*.

a) Calculer hfi1.n) pour tout i E [llgn] ; on donnera en particulier une 
expression très simple de hâîll'n) et

hÂÎÊ'") en fonction de n.
b) Calculer hï-El7n) pour tout couple (i,j) EUR fil; nl]2 ; en déduire que les 
coefficients de Hgl sont des entiers.

c) Montrer que hïgl'n) est divisible par 4 pour tout couple (i,j) EUR [l2g nl]?

oooFlNooo

20 avril 2011 11:27 Page 4/4 @_

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Centrale Maths 2 MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Laetitia Borel-Mathurin 
(Professeur
en CPGE).

Le sujet est un problème classique d'algèbre bilinéaire matriciel utilisant la 
théorie
des polynômes et le calcul de déterminants.
· La première partie concerne la caractérisation des matrices symétriques 
définies
positives à l'aide du signe des mineurs principaux de la matrice, qui sont les
déterminants des matrices carrées extraites constituées des i premières lignes 
et
des i premières colonnes de la matrice. Seule une question dans la suite du 
sujet
(partie III) utilise les résultats de cette partie.
· La deuxième partie permet de déterminer une famille étagée de polynômes
orthonormaux (Kp )pN pour le produit scalaire entre polynômes défini par
Z 1
2
 (P, Q)  (R[X])
hP, Qi =
P(t)Q(t) dt
0

· La troisième partie concerne plus particulièrement les matrices de Hilbert,
définies pour n  N par

1
Hn =
i + j - 1 16i,j6n
Dans un premier temps, on y étudie le déterminant de ces matrices pour
conclure à leur inversibilité et à l'existence de valeurs propres strictement 
positives de la matrice. Certaines propriétés de l'inverse sont également 
abordées.
Dans un second temps, on s'intéresse à la généralisation du produit scalaire
introduit dans la deuxième partie aux fonctions continues sur [ 0 ; 1 ] et à 
l'approximation au sens des moindres carrés des fonctions continues par des 
polynômes.
· La quatrième partie poursuit l'étude des matrices Hn-1 . On y calcule la somme
de leurs coefficients et on montre que ceux-ci sont entiers. Plusieurs résultats
des parties II et III sont réutilisés ici.
Ce problème ne présente pas de difficultés particulières. Il permet une bonne
révision des techniques et raisonnements de l'algèbre linéaire et bilinéaire.

Indications
Partie I
I.A.1 Il s'agit d'une question de cours.
t

I.B.2 Dans le cas n = 2, une fois écrite la formule développée de X AX, faire
apparaître un carré pour regrouper les termes en x2 et en xy.
I.B.3.a Considérer les valeurs propres de la matrice A et utiliser la stricte 
positivité
de son déterminant.
I.B.3.b Remarquer que les vecteurs propres peuvent être choisis orthogonaux et 
créer
une combinaison linéaire de ces vecteurs qui vérifie la propriété de l'énoncé.
I.C Trouver un contre-exemple de M2 (R) avec le plus de 0 possible.
Partie II
II.B Utiliser la formule de Leibniz avec les polynômes
R(X) = Xn

et

S(X) = (X - 1)n

II.C Raisonner par intégrations par parties successives en dérivant le polynôme 
Q.
Montrer également que
0 6 k 6 n - 1

(k)

(k)

Pn (0) = Pn (1) = 0

à l'aide de la formule de Leibniz utilisée à la question précédente.
II.D.1 Intégrer par parties successivement en dérivant les polynômes (X - 1)k 
et en
intégrant les polynômes Xp .
II.D.2 Intégrer par parties successivement comme à la question II.C.
Partie III
III.A.2 Comme l'indique l'énoncé, commencer par soustraire la dernière colonne
de n+1 à toutes les autres. Identifier les termes facteurs communs des 
coefficients des colonnes puis des lignes. Poursuivre en soustrayant la dernière
ligne du déterminant à toutes les autres et procéder de même qu'à l'étape
précédente. Développer suivant la dernière colonne.
III.A.4 Démontrer le résultat par récurrence.
III.A.5 Penser à appliquer la partie I à la matrice Hn symétrique réelle.
III.B.1 Utiliser la projection orthogonale de la fonction f sur un sous-espace 
vectoriel
de dimension finie.
III.B.2 Penser au théorème de Weierstrass sur la densité des fonctions polynômes
dans l'ensemble C 0 ([ 0 ; 1 ] , R) pour la norme k · k .
III.B.4 Décomposer le polynôme n dans la base canonique de Rn-1 [X] et utiliser 
la
propriété affirmant que la fonction n - f est orthogonale à tout polynôme
de Rn-1 [X] pour le produit scalaire h·, ·i.

Partie IV
IV.A.2.a Exploiter l'inversibilité de la matrice Hn .
t (n)
(n) 
IV.A.2.b Exprimer le vecteur a0 · · · an-1 en fonction de Hn-1 et du vecteur

t
J = 1 ··· 1 .

IV.A.3 Calculer explicitement le produit scalaire hSn , Qi en utilisant les 
décompositions des vecteurs dans la base canonique de Rn-1 [X].
IV.A.4 Calculer kSn k2 de deux manières différentes : au moyen de la question
IV.A.3 et en utilisant la décomposition du polynôme Sn dans la base
orthonormale (Kp )pN introduite dans la partie II.
IV.B.1 Appliquer à k = p et n = 2p la propriété

n
n-1
1 6 k 6 n
k
=n
k
k-1
IV.B.2 Montrer que les polynômes Ln définis dans la partie B vérifient les
conditions du polynôme n en décomposant les polynômes Ln dans la
base canonique de R[X].

IV.B.3.a Exprimer la matrice du produit scalaire h·, ·i dans la base (Kp 
)06p6n-1
en fonction de Hn et de n , où n est la matrice de passage de la base
canonique à la base (Kp )06p6n-1 de Rn-1 [X]. En déduire une formule
permettant d'exprimer les coefficients de Hn -1 .
IV.B.3.b et c Utiliser les résultats des questions IV.B.1 et IV.B.2.

I. Caractérisation des matrices
symétriques définies positives
I.A.1 Supposons que la matrice symétrique A est positive. Considérons  une de
ses valeurs propres et X  Mn,1 (R) un vecteur propre associé. On a AX = X et

t
t
X AX =  t X X . Posons X = x,1 · · · x,n où (x,1 , . . . , x,n )  Rn , alors
t

X X =

n
P

k=1

2
x,k

Le vecteur X étant un vecteur propre, il existe k0  [[ 1 ; n ]] tel que x,k0 6= 
0 donc
t
t
X X > 0. Comme la matrice A est positive, X AX > 0 et on en déduit  > 0.
Réciproquement, supposons que toutes les valeurs propres de A sont positives.
Comme A  Sn (R), il existe   On (R) et D une matrice diagonale telles que
t

A = D 
Posons D = diag(d1 , d2 , · · · , dn ), où les réels (di )16i6n sont les 
valeurs propres de A,
éventuellement confondues, positives par hypothèse. Pour tout X  Mn,1 (R),
t
t

Posons X =  X =

t

t

t t

t

t

X AX = X D  X = (  X) D  X

x1 · · · xn  Mn,1 (R). On obtient que
t

t

X AX = X DX =

n
P

k=1

dk (xk )2 > 0

car pour tout k  [[ 1 ; n ]], dk > 0 et (xk )2 > 0. On en déduit que
 X  Mn,1 (R)
Ainsi,

t

X AX > 0

A est positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives.
Le résultat utilisé lors de la démonstration de la réciproque est un théorème
fondamental d'algèbre bilinéaire sur la réduction des matrices symétriques
réelles à connaître absolument :
S  Sn (R)

(, D)  On (R) × Dn (R)

S = D-1

où Dn (R) désigne l'ensemble des matrices diagonales de Mn (R).
I.A.2 Supposons que la matrice A est définie positive. En reprenant les 
notations
et les calculs de la question précédente, si X est un vecteur propre associé à 
la valeur
propre , X est non nul et
t

X AX =  t X X

avec t X AX > 0 et t X X > 0, d'où  > 0.
Réciproquement, on suppose que toutes les valeurs propres (d1 , . . . , dn ) de 
la
matrice A, symétrique, sont strictement positives. En reprenant les notations 
de la
question précédente, pour tout X  Mn,1 (R) avec X 6= 0,
t

t

X AX = X DX =

n
P

k=1

dk (xk )2