Centrale Maths 2 MP 2007

Thme de l'preuve Sous-espaces de L(E) et automorphismes orthogonaux
Principaux outils utiliss espaces vectoriels euclidiens, diagonalisation
Mots clefs endomorphisme, produit scalaire, automorphisme orthogonal, vecteurs propres

Corrig

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...... OEOEDO
			

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 2 MP 2007 -- Corrig
Ce corrig est propos par Herv Diet (ENS Cachan) ; il a t relu par Gilbert
Monna (Professeur en CPGE) et Benot Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet porte intgralement sur les endomorphismes d'un espace vectoriel 
euclidien E. On s'intresse plus particulirement aux sous-espaces vectoriels 
de l'ensemble
des endormorphismes de E. Le but est de savoir  quelles conditions sur leurs 
dimensions on peut tre certain qu'ils contiennent un automorphisme orthogonal.
 La premire partie concerne le cas gnral dim E = n. Elle commence par 
l'introduction d'un produit scalaire sur L(E). Il s'agit ensuite d'tudier 
d'une part
ce produit scalaire, mais aussi les valeurs propres et vecteurs propres de 
l'endomorphisme a a lorsque a est un endormorphisme quelconque de E. On montrera
 la fin de cette partie qu'un hyperplan de L(E) contient toujours un 
endomorphisme orthogonal, ainsi qu'un rsultat intermdiaire qui servira durant 
la
deuxime partie.
 On s'intresse ensuite au cas o dim E = 3. Dans un premier temps, le but est
d'exprimer le plus simplement possible le produit scalaire d'une rotation et 
d'un
endomorphisme quelconque en fonction de l'axe et de l'angle de cette rotation.
La recherche de quelques lments distinctifs et l'utilisation de l'analyse 
fonctionnelle permettront alors de conclure  l'existence d'une rotation 
orthogonale
 deux lments vrifiant certaines conditions. En conclusion de cette partie,
on peut alors montrer, grce au rsultat de la premire partie, qu'un 
sousespace vectoriel de dimension 7 de L(E) contient toujours un automorphisme
orthogonal.
Cet nonc requiert une bonne matrise des espaces euclidiens et des notions de
valeurs propres et vecteurs propres. Sa difficult rside essentiellement dans 
le fait
que l'on est amen  travailler avec deux espaces euclidiens E et L(E). Il faut 
savoir
transposer ses connaissances de E sur L(E). Ce sujet doit tre trait avec 
mthode
et rigueur pour viter les tourderies.

Indications
Partie I
I.A.1 Regarder la matrice de a dans la base (e). Ensuite exprimer la trace et 
les
produits scalaires en fonction des coefficients de cette matrice.
I.A.3 Monter que A(E) et S(E) sont orthogonaux. Que peut-on dire des lments
(a + a )/2 et (a - a )/2 ?
I.B.1.a Pour la deuxime galit, utiliser le thorme du rang.
I.B.1.b Se placer dans une base qui diagonalise a a.
I.B.1.c Montrer que Im a = Im a a grce  la question prcdente puis, par 
double
s
M
inclusion, que Im a a =
E(i ).
i=1

I.B.1.d Regarder les bases orthonormales des E(i ).
I.B.2 Que peut-on dire de l'endomorphisme qui transforme (f ) en (e) ?
I.C.2 Regarder h .
Partie II

-
II.A.1 Se placer dans une base orthonormale de premier vecteur k et utiliser la
question I.A.1.
II.A.2 Il faut aussi utiliser l'identit pour exprimer r 
- . Pour trouver la relation,
, k
exprimer tous les endomorphismes dans une base bien choisie.

II.B.2 Calculer la quantit recherche en fonction des (-
e |s(-
e )), puis utiliser une
i

j

interversion des signes sommes.

-

II.B.3.b Chercher k parmi les -
x .
II.B.4.a L'hypothse sur le rang de s induit que l'un des vecteurs de (e) est 
dans le
noyau de s.
 -
-

-

-
II.B.4.c Calculer ( k (t)| k (t)) en utilisant que k1 et k2 sont unitaires.
II.B.4.d Montrer d'abord que les deux applications qui associent  t 
respectivement

-
k (t) et (t) sont continues.
II.C.1 Dmonter que si dim V = 7, on peut toujours trouver a, b tels que rg a 6 
2

et V = Vect (a, b) .

I. Cas d'un hyperplan de L(E)
I.A.1 Soit A la matrice de l'endomorphisme a dans la base (e) et ai,j ses 
coefficients
avec i et j variant de 1  n. Alors par dfinition de A on a :
n
P

ej
a(-
ei ) =
ai,j -

i  [[ 1 ; n ]]

j=1

La base (e) tant orthonormale, elle vrifie

(-
e i |-
ei ) = 1 i  [[ 1 ; n ]]

-

-
( e | e ) = 0 i, j  [[ 1 ; n ]]2 , i 6= j
i

D'aprs ce qui prcde :

j

n
P

(-
ei |a(-
ei )) =
ai,j (-
e i |-
ej )
j=1

(-
ei |a(-
ei )) = ai,i

La dfinition de la trace de la matrice A est Tr A =

n
P

ai,i . De plus la trace d'un

i=1

endomorphisme est celle de sa matrice dans une base quelconque, on en dduit 
alors
n
P
Tr a =
ai,i
i=1

soit, avec l'galit prcdente, Tr a =

n
P

(-
ei |a(-
ei ))

i=1

I.A.2 Par dfinition hh., .ii est une application de L(E)  L(E)  valeurs dans 
R.
La fonction hh., .ii est un produit scalaire si elle est bilinaire,symtrique 
et dfinie
positive. Remarquons tout d'abord, d'aprs la question prcdente, que :
n
P

Tr a =
(-
ei |a (-
ei ))
=
=

i=1
n
P

(a(-
ei )|(-
ei )

i=1
n
P

(-
ei |a(-
ei ))

i=1

Tr a = Tr a
Soit a et b deux endomorphismes de E, alors
hha, bii = Tr a b = Tr (a b) = Tr b a = hhb, aii
La forme hh., .ii est symtrique.
Il suffit de montrer la linarit par rapport  une variable. En effet la 
symtrie impliquera celle par rapport  l'autre variable. Soit  un rel, a, b, 
c trois endomorphismes
de E, alors
hha, b + cii = Tr a (b + c)
= Tr a b +  Tr a c
hha, b + cii = hha, bii + hha, cii
La forme hh., .ii est bien bilinaire.

Regardons maintenant hha, aii. D'aprs la question I.A.1, on a
hha, aii = Tr a a =

n
n
P
P
-

(
ei |a a(-
ei )) =
(a(-
ei )|a(-
ei ))

i=1

i=1

D'aprs les proprits du produit scalaire sur E, tous les termes de la somme 
sont
positifs d'o hha, aii est positif, pour tout a  L(E). De plus si hha, aii est 
nul alors

tous les termes de la somme sont nuls (car ils sont positifs) et a(-
ei ) = 0 pour tout i
de 1  n. L'endomorphisme a tant nul sur une base de E, a est nul. On a bien
a  L(E) et hha, aii = 0  a = 0
hh., .ii est un produit scalaire.

D'o

I.A.3 Soit a  A(E) et b  S(E) Calculons de deux faons leur produit scalaire.
D'une part,
D'autre part,
Or,

hha, bii = Tr a b = - Tr ab

car a  A(E)

hhb, aii = Tr b a = Tr ba

car b  S(E)

hha, bii = hhb, aii

On en dduit

hha, bii = 0

Les espaces vectoriels A(E) et S(E) tant orthogonaux, leur intersection est 
rduite
au vecteur nul. Pour montrer qu'ils sont supplmentaires il faut maintenant de 
monter
que A(E) + S(E) = L(E). Soit a un endomorphisme de E. On peut crire que
a + a
a - a
+
2
2
Le premier terme est symtrique alors que le deuxime est antisymtrique. Cela
montre que L(E) = A(E) + S(E).
a=

A(E) et S(E) sont des supplmentaires orthogonaux.
Cette dmonstration repose sur une astuce d'criture. Une deuxime technique 
serait de dmontrer que dim A(E) + dim S(E) = dim L(E). Pour cela
il faut prendre une base orthonormale (e) de E et regarder les matrices, sur
cette base, des endomorphismes. Les matrices avec un coefficient gal  1 et
tous les autres nuls engendrent l'espace vectoriel des matrices. Celles avec un
coefficient gal  1, un autre plac symtriquement par rapport  la diagonale,
gal  -1 et tous les autres nuls engendrent l'espace vectoriel des matrices
antisymtriques. Celles avec un terme diagonal gal  1 et tous les autres
nuls ou deux coefficients symtriques par rapport  la diagonale gaux  1 et
tous les autres nuls engendrent l'espace vectoriel des matrices symtriques.
On peut alors compter les matrices pour en dduire la dimension des espaces
vectoriels.

-

-

-
-

I.B.1.a Soit 
x  Ker a, alors a(-
x ) = 0 et a a(-
x ) = a ( 0 ) = 0 .
Ker (a)  Ker a a

-

Soit -
x  Ker a a. On a a a(-
x ) = 0 et

0 = (-
x |a a(-
x )) = (a(-
x )|a(-
x ))
On en dduit