Centrale Maths 2 MP 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une famille de polynômes; applications algébriques, analytiques et géométriques
Principaux outils utilisés polynômes, projecteurs, calcul différentiel, géométrie dans l'espace, développements limités, barycentres

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


n__>_ e...,...___... __ m...:QËËEË ää...

OEËN omËQ:OE - OEOEÈOEQ oeÈooco0

On note 1R[X] l'algèbre des polynômes à une indéterminée à coefficients réels
et, de manière usuelle, tout polynôme est identifié à sa fonction polynôme asso-
ciée.

Pour tout entier naturel n , IRn[X ] est l'espace vectoriel réel des polynômes 
de
degré inférieur ou égal à n .

Pour un P de IR[X ] , on considère, de manière usuelle, les dérivées successives
de P : P(O' : P,et, pour tout n de IN, P(n+" : [P...] '. '

Pour un polynôme P de IR[X ] , un entier naturel n et un réel a , on définit le
polynôme de Taylor d'ordre n de P en a par :

_. n (i)
T,,,(P) = E'" .,(")

i=0

(X--a)'.

Soit une fonction f à valeurs réelles définie sur un intervalle de IR et de 
classe
C" . On rappelle qu'elle admet, en tout point a de cet intervalle, un unique 
déve-
loppement limité à l'ordre n :

n

...
f(x)= 2f _'"--' Ef i!(a)(x--a)L}
i=0

est appelée partie régulière de ce développement limité.

Dans la troisième partie, on note %2 le plan affine euclidien usuel muni d'un
repère orthonormé 9Y0-- _ (0, i, j) et dans la dernière partie, on note %;,
l'espace affine euclidien usuel de dimension 3 muni d'un repère orthonormé,

encore noté @... (0, É, Î,.Ë)

Les éléments de %2 et 53 seront indifféremment appelés vecteurs ou points
selon l'interprétation que l'on en a.

n
Si M est barycentre du système pondéré (Ai'ai)1 . avec a = E a- non nul,
szsn '
on a : _ i: 1

M = â(ÊaiAi).

i=l

Chaque point M de 52 (ou de %3 ) est identifié àla famille de ses coordonnées
(x,y) (ou (x, y, z) ) dans le repère @@ , ce qui est contenu dans la notation 
M(x, y)
(ou M (x, y, z) ). De même chaque vecteur ii est identifié à la famille de ses 
coor--
données dans la base ÆO du repère % 0 .

Dans la première partie, on étudie une famille de polynômes.

Ces polynômes interviennent ensuite dans les trois parties qui suivent dans
trois situations différentes.

Si la troisième partie utilise un résultat de la deuxième, pour le reste les 
trois
dernières parties sont indépendantes les unes des autres.

Partie I - Une fonction polynomiale

Un calcul simple qui n'est pas demandé ici (intégrations par parties successives
par exemple) donne pour tout m de IN :

(m!)2

Im --f0t (l--t) dt-- ZîÏÏL+--1)l.

Pour tout m entier naturel non nul, on considère la fonction polynomiale Lm
définie sur [R par :

Lm(x) : Ilfgtm(1--t)mdt.
m

I.A -

I.A.1) Donner une expression développée de Lm(x) pour m = 1 et pour
m = 2 .

I.A.2) Calculer Lm(x) + Lm(1 --x) pour tout x de IR. Préciser Lm(â) .
On vérifie que Lm est à coefficients entiers. Nous l'admettr0ns.

LB -

I.B.l) Étudier suivant m l'existence ainsi que l'ordre de multiplicité des
éventuelles racines de Lm et de L'm dans l'intervalle [0,1].

I.B.2) En considérant le signe de L';n (x) , étudier la monotonie de l'applica--
tion
Lm(x)

x

[x r--> ] sur l'intervalle ]O, â[ .

I.B.3) Donner une allure de la courbe représentative de Lm sur [0,1] . On pré--
cisera les points à tangente horizontale, on montrera l'existence d'un centre de
symétrie et on précisera la convexité.

I.C - Les résultats de cette question seront utilisés dans la dernière partie.
I.C.1) Résoudre le système :

{ (x,y> & [0,112
L'm = L'm 

I.C.2) Résoudre le système :

(a, me {0,113
a+|3+y =1

L'm(0t) = L'...(B) = LÇn(Y)
I.C.3) Résoudre le système :
(al,a2,a3,a'4)E[0,l]4
al+a2+a3+a4 =1
_fL'm(a1) = L'm(0!2) = L'...(a3) = L;n(a4)

Partie II - Les polynômes de Taylor

Dans cette partie, m est un entier naturel non nul et n est un entier tel que
n > 3m .

II.A -

On rappelle et on admet que, pour tout a de IR , la famille ((X -- a)p ) p @ m 
est une
base de IR[X ].

Vérifier que l'application [P |----> Tn'a(P)] définit un projecteur de IR[X ] .

Préciser son image, vérifier que son noyau est un idéal de IR[X ] et en donner 
un
générateur.

II.B - Pour (R,S) de (IRm[X])2 , déterminer les polynômes de Taylor d'ordre m
en 0 et en 1 du polynôme :

U(X) : R(X)Lm(l --X)+S(X)L X).

m(

II.C - Pour P de ]Rn[X ] , on note respectivement Po et P1 ses polynômes de Tay-
lor d'ordre m en 0 et en 1 et on pose :

[®(P)](X) = POL...(1 -- X) + P,(X>Lm .

'

II.C.1) . Montrer que l'application [P |----> CD(P)] est un projecteur de IRn[X 
] .

II.C.2) Préciser les dimensions des sous-espaces propres de cette application
et donner pour chacun une base.

Partie III - Un raccord

III.A -

III.A.1)

À l'aide de la première partie, déterminer un polynôme Ql tel que :
deg(Ql)s3, Q1(--1) = 0, Q]... = 1,EURt Q'1(--1)= Q'; (1) = 0-

Existe-t-il d'autres polynômes remplissant ces cinq conditions ?

III.A.2) Déterminer de même, sans en donner la forme développée, un poly-
nôme Q2 tel que :

deg(Q2)55
Q2("1)= O, Q2(1) :]
Q,2(_1) =VQ,2(1) : Q"2("1) : Q"2(1) : O

III.B - Soient g1 : t1----> (x](t), y,(t)) de classe C ' sur ]--oo,--l ] , 
paramétrage d'un
arc Y] et g2 : t+--> (x2(t), y2(t)) de classe C1 sur [1,+oo[ , paramétrage d'un 
arc y2.

Si h] est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de x] en --1 
et
h2 la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de x2 en 1 , on pose 
:

x3(t) = Q|(_t)hl(t)+Ql(t)hg(t)--

De même, si k! est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 de yl
en --1 et si k_,_ est la partie régulière du développement limité à l'ordre 1 
de y2
en 1 , on pose :

y3(t) = Q;(--t)kl(t)+Ql(t)k2(t)-

On obtient ainsi une fonction vectorielle g3 : (x3,y3) et on considère y , 
raccord
de Y] et y2 , l'arc paramétré par g avec :

g,(t) sitE]_oe,_1[
g(t)= g3(t) si tEUR[--l,l]
g2(t) sitEUR]l,+oe[

Montrer brièvement en S'appuyant sur une étude faite dans la deuxième partie
que g est de classe C ' sur IR.

III.C - Étude d'un exemple

Ici a est un réel strictement positif et on prend :
gl(t) : (-- 1 +a(t+ l), 1 --a(t+ l))
{g2(t) =(1+a(t--l),l+a(t--l))

III.C.1) Représenter sur un même dessin les arcs Y1 et M .

III.C.2) Donner l'expression développée de la fonction & (on ne demande pas
sa représentation graphique).

III.C.3) Montrer que pour a > 3 , le raccord coupe l'axe des ordonnées en deux
points distincts que l'on précisera.

Partie IV - Une animation
Onnote I : {1,2,3,4}.

On considère un ensemble de quatre points {Al, A2, A3, A4} de 53 non copla-
naires, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de plan affine qui les contienne tous 
les qua-
tre. On a ainsi un tétraèdre non aplati A1A2A3A 4 .

On note (xi, y,, Zi) le triplet des coordonnées du point Ai pour ie I .

IV.A- .
IV.A.1) Soit i dans I . Justifier" l'existence d'un (ui,vi,wi,hi) de IR4 avec
(ui, vi, wi) : (O, O, 0) tel que si l'on pose pour M(x, y, z) de 53 ,

{gl--(M) : uix+viy+wiz+hi,on ait: VjEI, gi(AJ-) : ôi,j .

(où de manière usuelle, ôi, j vaut 1" si i = j et vaut 0 sinon).
On admet l'unicité du quadruplet (u,-, v,, wi, hi) pour tout i dans I .
IV.A.2) Pour i dans 1 on considère cpi la forme linéaire de IR3 définie par :

V(x, y, 2) EUR IR3 , cpi(x, y, z) : uix + viy + wiz .

Quel est le rang de la famille (cpi) '?

Isis4

Soit m EUR IN* .
Pour tout i dans 1 et tout M(x, y, 2) de êî , on pose : GAM) = Lm(gi(M)).
On considère alors :

On appelle Q l'isobarycentre de {Al, A2, A3, A4}.
On note A = {M(x, y, z)E êî|Viel,oSgi(M) s 1}

IV.B-

IV.B.1) Préciser g(Ai) pour i dans I et en déduire g.

IV.B.2) Vérifier que tout point M de %3 est le barycentre du système
pondéré (Ai,gi(M))

IV.B.3) Déterminer on de IR tel que pour tout point M de toute arête [Al--,Aj]
avec (i,j)EURI', i#j on ait G(M) : a.

IV.C -
IV.C.1) Montrer que A est un compact de gg .

lsis4'

IV.C.2) Montrer que sur chaque face du tétraèdre, G admet un maximum et
un minimum. On précisera la valeur de ces extremums, ainsi que les points où
ils sont atteints.

On pourra partir du fait que le compact triangulaire limité par trois points non
alignés d'un plan est l'ensemble des barycentres [1 poids positifs des sommets 
du
triangle et que l'on peut toujours supposer que la somme des poids est égal à 1 
.

IV.C.3) Calculer G(Q) et déterminer la différentielle de G en 9.

IV.C.4) Déterminer les points M de A en lesquels la différentielle de G est
nulle.

On pourra montrer que la nullité de la différentielle de G en un point M impli-

que une relation linéaire portant sur les cpi et on utilisera dans ce cas le 
résultat
de IV.A.2.

IV.C.5) Montrer que la fonction G admet sur A un maximum et un minimum
et déterminer ces extremums Gmin et Gmax de G sur A ainsi que les points où ils
sont atteints.

IV.D - On prend A1(1,--1,--1), A2(--1,1,--1), A3(--1,--1, 1) et A4(1,1,1).
Pour m = 1 , on obtient, après un calcul qui n'est pas demandé :

G(x, y, z) : â[3(x2+y2+22--2xy2) +5] .

On appelle 2 la surface d'équation G(x, y, z) = 1 .

On considère Ë(O, JË) la boule fermée de centre O et de rayon JË pour la norme
euclidienne sur IR3 et l'on note S(O, JË) sa frontière, la sphère de centre O 
et de

rayon JË .

On admet que pour tout point M(x, y, 2) de S(O, JË) , on a lxyzl s 1 . (Ceci 
peut se
démontrer en utilisant les coordonnées sphériques de M ).

IV.D.1) Déterminer les points non réguliers de 2 .

IV.D.2) Montrer que pour tout P(a, b, c) de S(O, JË) , il existe un et un seul 
point
du segment [OP] qui appartienne à 2 .

On pourra étudier la fonction h(t) : G(t'a, tb, tc) sur [0,1].

IV.D.3) Qu'en déduit-on pour l'intersection E' de 2 avec Ë(O, JË) ? On préci-

sera les points de contact de cette intersection avec le tétraèdre ainsi 
qu'avec la
sphère S(O, JË).

IV.D.4) Préciser les sections de E et de Ë(O, JË) par le plan médiateur de
[A3,A4] , d'équation x + y = O . Les représenter sur une même figure.

IV.D.5) Décrire l'animation que donne la vue des surfaces de niveau :
Sa : {(MEA)/G(M) : oc} lorsque oc varie de Gmi
On précisera la position de ces surfaces par rapport au tétraèdre.

& Gmax '

n

loco FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 MP 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Vidick (ENS Ulm) ; il a été relu par Arnaud
Durand (ENS Cachan) et Tristan Poullaouec (ENS Cachan).

Le problème est consacré à l'étude d'une famille de polynômes réels (Lm )mN
et à leur utilisation dans des contextes variés : algébrique dans la deuxième 
partie,
analytique dans la troisième et géométrique dans la dernière.
· La première partie introduit le polynôme Lm comme primitive d'une fonction
polynomiale. On prouve quelques propriétés simples de ce polynôme, qui servent
de manière répétée dans les autres parties. On montre en particulier que Lm
est solution d'une équation fonctionnelle et on étudie ses racines et leur ordre
de multiplicité. On donne ensuite l'allure de la courbe représentative de Lm
sur [ 0 ; 1 ] et on termine par la résolution de systèmes à deux, trois et 
quatre
inconnues faisant intervenir la dérivée de Lm .
· La deuxième partie est consacrée à l'étude de projecteurs de R[X] et de Rn [X]
définis à partir des polynômes de Taylor et des polynômes Lm . Dans chaque
cas, on caractérise complètement le projecteur en donnant des bases de son
image et de son noyau.
· Dans la troisième partie, on étudie une application des polynômes Lm au
prolongement C 1 sur R d'un arc paramétré qui n'est a priori défini que sur
] - ; -1 ]  [ 1 ; + [. On s'intéresse ensuite à un exemple simple que l'on 
représente et dont on calcule le prolongement.
· La dernière partie commence par définir un système de coordonnées sur l'espace
affine E3 de dimension 3, c'est-à-dire que, étant donné quatre points A1 , A2 , 
A3
et A4 non coplanaires de E3 , on construit des fonctions (gi )i=1,...,4 telles 
que
M  E3

M=

4
P

gi (M) Ai

i=1

Ce système de coordonnées sert à l'étude d'une fonction G définie sur E3 à 
l'aide
de Lm et en particulier à la détermination de ses extrema sur le tétraèdre  de
sommets (Ai )16i64 . Finalement, on se restreint à m = 1 et on étudie la surface
d'équation G(M)
= 1 et ses intersections avec  et avec la boule de centre O

et de rayon 3.
Le problème ne présente pas de difficulté majeure et peut être presque 
entièrement
traité avec la seule connaissance du programme de première année, à l'exception 
des
calculs de différentielles de la quatrième partie. Il est par contre 
relativement long,
comme souvent à Centrale, et peut difficilement être résolu en totalité dans le 
temps
imparti.
Ce sujet, consacré à l'étude de polynômes, fait essentiellement appel à des
notions d'algèbre linéaire simple (surtout liée aux projecteurs) dans la 
deuxième
partie puis de calcul différentiel dans la dernière partie, qui est surtout 
géométrique.
Cette dernière présente quelques points délicats ; pour s'en sortir, il est 
important de
bien se représenter la géométrie dans l'espace des objets manipulés.

Indications
I.

Une fonction polynomiale

I.A.2 Effectuer le changement de variable u = 1 - t dans la définition de Lm (1 
- x).
I.B.1 Utiliser la positivité de la fonction t 7 tm (1 - t)m sur [ 0 ; 1 ].

I.C.1 Montrer que Lm (x) admet une unique racine m-ième.
II.

Les polynômes de Taylor

II.A Exprimer l'image d'un polynôme P =  i (X - a)i par Tn,a en fonction de
ses coefficients i .
II.B Utiliser le résultat de la question I.A.3 pour exprimer U uniquement en 
fonction de Lm (X) ou de Lm (1 - X). Utiliser alors le résultat de la question 
II.A.

II.C.1 Utiliser le résultat de la question II.B.

II.C.2 Montrer que Im  = Lm (X) Rm [X] + Lm (1 - X) Rm [X] en utilisant le 
résultat
de la question II.B. Remarquer que Lm (X)  Lm (1 - X) = 1 et s'en servir pour
prouver que Ker  = Xm+1 (1 - X)m+1 Rn-2 m-2 [X].
III.

Un raccord

III.A.1 Utiliser le polynôme L1 (X).
III.A.2 Utiliser le polynôme L2 (X).
III.B Établir un résultat analogue à celui de la question II.B.
III.C.3 Résoudre l'équation x3 (t) = 0.
IV.

Une animation

IV.A.2 Montrer qu'il y a une sous-famille libre de cardinal trois.
IV.B.2 Comme les Ai sont non coplanaires, M s'écrit comme barycentre de ces 
points.
Utiliser alors le résultat de la question précédente pour calculer les gi (M).
IV.B.3 Utiliser le résultat de la question I.A.2.
IV.C.1 Montrer que  est l'image d'un compact par une application continue.
IV.C.2 Se ramener à une fonction de deux variables réelles en exprimant l'un des
poids en fonction des deux autres. Utiliser alors la convexité de Lm et le
résultat de la question I.C.2.
IV.C.3 Utiliser le résultat de la question IV.B.1 pour montrer que la 
différentielle de
g est nulle.
IV.C.4 Utiliser le résultat de la question I.C.3.
IV.D.3 Pour déterminer   , utiliser le résultat de la question IV.C.5.
 -

IV.D.4 Représenter le plan x = -y dans le repère orthonormé (O, (-
i --
 )/ 2, k ).

I. Une fonction polynomiale
I.A.1 Commençons par calculer I1 et I2 en utilisant l'expression de Im donnée
par l'énoncé.
I1 =
Ainsi,

(1 !)2
1
=
3!
6

et

I2 =

(2 !)2
1
=
5!
30

Z
1 x
t (1 - t) dt
I1 0
Z x
=6
(-t2 + t) dt

x  R

L1 (x) =

0

L1 (x) = 6 -
d'où

x  R

x
0

L1 (x) = -2 x3 + 3 x2

x  R

De même,

t3
t2
+
3
2

1
L2 (x) =
I2

Z

x

Z 0x

t2 (1 - t)2 dt

(t4 - 2 t3 + t2 ) dt
x
0 5
t4
t3
t
-2 +
L2 (x) = 30
5
4
3 0
= 30

soit

x  R

L2 (x) = 6 x5 - 15 x4 + 10 x3

En utilisant la définition de Lm , on voit immédiatement que Lm (1) = 1 (cette
égalité servira à la question suivante), ce qui permet de vérifier rapidement
les calculs effectués ci-dessus : on a bien L1 (1) = L2 (1) = 1.
I.A.2 Soit m un entier plus grand que 1. Effectuons le changement de variable
u = 1 - t dans l'intégrale définissant Lm (1 - x).
Z 1-x
1
x  R
Lm (1 - x) =
tm (1 - t)m dt
Im 0
Z x
1
=-
(1 - u)m um du
Im 1
Z 1
1
Lm (1 - x) =
(1 - u)m um du
Im x
Ainsi, d'après la relation de Chasles,
Lm (x) + Lm (1 - x) =

1
Im

Z

0

1

tm (1 - t)m dt

Comme Im =

Z

0

1

tm (1 - t)m dt, on obtient
x  R

Lm (x) + Lm (1 - x) = 1

En appliquant cette égalité en x = 1/2, il vient
 
1
1
=
Lm
2
2
I.B.1 Commençons par étudier les zéros de Lm . Comme primitive d'une fonction
continue (ici, polynomiale), Lm est C 1 et sa dérivée est donnée par
x  R

Lm (x) =

1 m
x (1 - x)m
Im

Les racines de Lm sur R sont donc 0 et 1, chacune ayant pour multiplicité m.

Soit P un polynôme sur R et  un réel. On dit que  est racine de P de
multiplicité k si
i  {0, . . . , k - 1}

P(i) () = 0

et

Ceci est équivalent à la caractérisation
Q  R[X]

Q() 6= 0

et

que nous avons utilisée dans cette question.

P(k) () 6= 0

P(X) = (X - )k Q(X)

Cherchons les valeurs d'annulation de Lm sur [ 0 ; 1 ]. Comme tm (1 - t)m > 0 
pour
tout t  ] 0 ; 1 [, alors, pour tout x > 0, Lm (x) est l'intégrale d'une 
fonction positive
non identiquement nulle sur [ 0 ; x ]. Ainsi,
x  R+

Lm (x) > 0

Comme Lm (0) = 0, le seul zéro de Lm est donc x = 0. De plus, la multiplicité de
cette racine pour Lm est 1 plus sa multiplicité pour Lm . Finalement,
L'unique racine de Lm dans [ 0 ; 1 ] est 0, de multiplicité m + 1.

Étant donnée l'expression de Lm , il est clair que Lm (x) = Lm (1 - x) pour
tout x réel. Il existe donc une constante C telle que
x  R+

Lm (x) + Lm (1 - x) = C

Pour x = 0, on obtient C = 1. Ceci nous donne une autre preuve du résultat de 
la question précédente. C'est en général la manière la plus simple
de prouver qu'une fonction de classe C 1 vérifie une équation fonctionnelle :
on la dérive puis on utilise la valeur de la fonction en un point bien choisi
pour calculer la constante d'intégration.