Centrale Maths 2 MP 2005

Thème de l'épreuve Localisation du spectre de matrices carrées à coefficients complexes
Principaux outils utilisés normes, calcul matriciel, polynômes, suites, compacité, produits scalaires hermitiens

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                    

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
  

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

n__>_ e......___... l __ 3355352 :...Ë......

33 83.95 - ÆOEÈOEQ mäqËoü

Notations : on désigne par K le corps des nombres réels IR ou des complexes
0 . Lorsque K = C et 2 E K , |zl est le module de z et i2 = --1 .Pour les 
entiers n
etpzl,onnotez '

0 K" le K-- espace vectoriel des vecteurs (zl, 22, ..., zn) avec zj E K pour

j = l, 2, ...n .
° Mn,p(K ) les matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K ; et
Mn(K) = M K). , ,

On identifie K" et M n' 1(K ) donc, en calcul matriciel un vecteur s'identifie 
avec
la matrice colonne ayant les mêmes éléments. Pour A E Mn, p(K ) , on note
A : (a,-j)1 Sisn, 1 Sjsp lorsqu'on veut préciser les éléments de A ; quand
le contexte est clair, on écrit simplement A : (aij) ou A : (Aij). Pour x E K" ,
Dx est la matrice diagonale dont les éléments diagonauxsont ceux de x . Pour
A E M ,,(K ) , OA désigne le spectre de A , c'est--à-dire l'ensemble des 
valeurs pro-
pres de A et p(A) : max {|M; ÀEoA} . Pour A E M,,(K) , 'A est la transposée de
A ;et pour A E Mn(C), A* : t ( c'est-à-dire A*ij : äji ). S,,(K) désigne le 
sous--
ensemble des matrice symétriques de Mn(K ). Pour K : IR, SZ(IR) et SÏ(IR)
sont respectiVement les sous-ensembles des matrices symétriques positives et
définies positives de S,,(IR) . On rappelle qu'une matrice symétrique A est 
posi-
tive (resp. définie positive) lorsque la forme quadratique qu'elle définit ne 
prend
que des valeurs positives (resp. strictement positives) sur IR"\{O} .

n,n<

Partie I -

LA - Dans cette partie, on munit C" de la norme (II Il...) soit
"Z||oe = maxj= l,...nlzjl° _

On définit l'application A E Mn( C) --> Noe(A) : maxi = 1, ___n 
EJE[1,2,...nllaül'
I.A.1) Montrer que A --> N °°(A) est une norme sur Mn(C) .

I.A.2)
a) Montrer que VA EUR Mn(C) , Vz & C" : ||A(Z)lloe s Noe(A)|lzlloe .

b) Montrer l'égalité

llA(Z)ll°°

Noe(A) = maxze(o'\{o}) llzlloe

c) Montrer que p(A) s Noe(A) .

I.A.3) Montrer que N 00 est une norme matricielle c'est-à-dire qu'elle vérifie :
VA et B & Mn( EUR) , Noe(AB) s Noe(A)Noe(B) .

I.A.4) Soit Q EUR Mn( EUR) une matrice inversible. On définit
A 5 Mn( @) --> NQ(A) = Noe(Q71AQ) .

a) Vérifier que N Q est une norme matricielle sur M n( 0) .

b) Montrer qu'il'existe une constante CQ telle que

VA & Mn( C) ôl--Noe(A) s NQ(A) s CQNoe(A) .
Q

LB -

Soit T E M n( @) une matrice triangulaire supérieure et s > 0 donné.

Montrer que l'on peut choisir une matrice diagonale D S E M n( C) avec

S = (s, 32, 33, ...s") EUR EUR" où 3 est un réel strictement positif telle que :

NDS(T) < p(T)+ e.

Étant donnés A E M n( 0) et a > 0 , montrer qu'il existe une norme matricielle 
N_EUR
telle que

N8(A)oe

Partie II -

Soit AEMn(C) fixée ; pour iE[l, 2, ...n] on pose : Li : 2je[1,2,...n]j=i|aijl
Ci : EjEUR[l,2,...n]j:ilajil°

On définit les sous--ensembles du plan complexe.:
GL(A) : U'Î Di(A) et Di(A) : {ZE C, |Z"aiil SLi}-

l=l

GC(A) : " D'i(A) et D',(A) = {zE o,|z_aü| SC,}.

i=l

On désigne par Ci(A) le cercle bordant le disque Di(A) .

II.A -
II.A.1) Soit
4 + 3i i 2 --'1
A = i . -- 1.+ i 0 . O'
1 + L ----z 5 + 6z 2z
1 ---2i 2i --5--5i

Représenter dans le plan complexe G L(A) et GC(A) .

II.A.2) On se propose de montrer l'inclusion ('A C G L(A) n GC(A) .

a) Soit M = (m),--]-- E Mn(C) telle que le système linéaire MZ : 0 a une 
solution
non nulle. '

Montrer que
3pEUR[1,2,...n] |mpplst.

b) Soient A E Mn( C) et >» & oA . Utiliser II.A.2-a) et montrer que >» E G L(A) 
.

c) Conclure en justifiant l'inclusion GA C GC(A) .

II.A.3) On suppose que AEM,,(C) a une valeur propre M sur le bord de
GL(A) ... et soit x un vecteur propre associé à M .

a) Montrer que si pour k & [l, 2, ...-n] on a |xk| : llxll°° , alors M EUR 
Ck(A) .

Cj(A).

b) On suppose de plus que aij : 0V(i, j) . Montrer que M E H; = 1

1. Un point 2 appartient au bord de G L(A) si et seulement si 2 E G L(A) et

lz--aii| >.Li i = l, 2, ....n

II.A.4) Soit pEIR". On note p>O lorsque p : (pl,p2, ....pn) et pJ->O pour
j = 1, 2, ...n . Soient A & Mn(C) et Dp matrice diagonale avec p > 0 .Déterminer
GL(D_1AD).

II.A.5)
a) Déduire de II.A.2) et II.A.4) l'inégalité

n
. l
p(A) S Lnfp>0(maxi = 1,2,...n__ 2 p]laijl) °

b) Soit la matrice

7 --16 8
--16 7 --8].

8 --8 --5

14 :

i) Montrer que le majorant de p(A) donné par II.A.5)-a est supérieur ou égal
\ 83

& Î .

ii) Donner une valeur approchée de p(A) (on pourra utiliser la calculatrice).

II.B - Applications
II.B.1) Soit A E Mn(C) telle que
ViE[l,2,...n] laiil>Li°
On dit que A est strictement diagonale dominante (SBD).

a) Montrer que si A est SDD alors A est inversible.

b) Si A est SDD et si de plus Vi ail-' est réel et strictement négatif, montrer 
que
pour tout XE oA , Re(k) < 0 .

c) Si A est une matrice réelle symétrique et SDB, énoncer une condition suffi--
sante pour qu'elle soit définie, positive.

II.B.2) Soit B diagonalisable. Montrer qu'il existe une constante Koe(B) telle
que

VE & Mn( @) , vi & % +E, axi & 03 [X-- ail 5 Koe(B)Noe(E) .

Partie III -

Cette partie est indépendante de la Partie II, à l'exception de III .B.3.

HLA - Préliminaire

Cn[X ] est le C-- espace vectoriel des polynômes de degré 5 n à coefficients 
com-
plexes. Soit t--> Pt une application de [O, 1] dans Cn[X ] :

Pt(X) : x" + Eÿ=1cj(t)X""j
où les n applications t--> cj(t) sont des fonctions continues de [O, 1] dans @.
On note Zt l'ensemble des racines de Pt qui est un sous--ensemble de @.
III.A.1) Montrer qu'il existe R > 0 tel que

VtE[O, ]] ZtCD(O,R).

III.A.2) Soit to fixé et XOEZtO. Montrer que la proposition (P) suivante est
vraie

(P) Ve>0,3n >O,tht--tol  0 , ]t--n,t+n [D [O, 1] CE.

iii) Soit k --> (tk)k ___1 2 une suite d'éléments de E qui converge vers
a E [0,1] ; montrer que a EE.

On admettra que les seules parties à la fois ouvertes et fermées dans [O, 1] 
sont
@ et [O, 1].

iv) En déduire que E = [0,1]. Conclure.

"III.B.3) Déduire de la Partie II et de la Partie III des propriétés du spectre 
de
la matrice A définie dans la question II.A.1)

Partie IV - (indépendante de II et III)

Rappels : sur M,,(C) on définit le produit hermitien et la norme associée ou
norme de Frobenius N 2 :

Pour A et B & M,,(C) , = Tr(AB*) et
N2(A) : A/  :

IV, A -
IV.A.l) Vérifier que N 2 est bien une norme matricielle sur M n( 0) .

Étant donnés A et B & Mn, p(C) , on définit leur H-- produit noté
A XHBE Mn'p(C) par (A XHB)ij : aijbij(i : l, 2, ...n j = 1, 2, ...p) .

IV.A.2)

,a) Si A et B E M...,(C) , et si D & Mn(C) et A E Mp(C) sont des matrices diago-
nales, établir les égalités :

D(A x HB)A = (DAA) x HB : (DA) x H(BA).
Donner deux égalités semblables pour D(A x HB)A .
b) Soient A et B E Mn,p(C) , et x & cp , établir l'égalité : (ADjB),, : [(A x 
ÈB)x}i
c) Si A et BEURMn,p(C) , yE EUR" , xEUR Cp montrer que

y*(A x HB)x = Tr(DËADJB).

On pourra introduire la matrice colonne e : t(1, 1, 1) , utiliser les questions 
a)
et b) en remarquant que D ye : y

d) En déduire que x*(A x HË)x : .

IV.B - Dans la suite on suppose K : IR , toutes les matrices sont à coefficients
réels.

IV.B.1) Soit S E S$(IR) , montrer qu'il existe T E Mn(IR) telle que S : tTT.
Que peut-on dire de T si S E SÏ(IR) ?

IV.B.2) Soient A et B & SZ(IR) , montrer que A x HB EUR S$(IR) . Que peut--on 
dire
si A et B eSÏ(IR) ?

IV.B.3) On se propose d'obtenir un encadrement des valeurs propres de A x HB
quand A et B & S$(IR) .

a) On désigne par kmin(A) (resp. Àmin(B )) la plus petite valeur propre de A

(resp. B ) et par kmax(A) (resp. Àmax(B)) la plus grande.

(B)In et A x H(B _). (B)In) ESÂ(]R).

b) Soit MA x HB ) une valeur propre de (A x HB) et x un vecteur propre pour

cette valeur propre (llacll2 : l) . Évaluer tx(A x HB --- MA x HB)In)x et en 
déduire
MA x HB) 2 À (B) . (mËn ati)

Montrer que les matrices B -- Amin ...

min

c) Montrer que aii 2 kmin(A) et en déduire la minoration

MA >< HB) z kmin(A)kmin(B) .

d) Établir de même la majoration
MA x HB) s xmax(A)x...(B) .

ooo FIN ooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 2 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Vincent Nesme (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet porte sur la localisation du spectre de matrices carrées à coefficients
complexes. Une matrice A étant donnée, il s'agit de déterminer un sous-ensemble 
de C
dans lequel on est sûr de trouver une valeur propre de A. Cette détermination 
peut
ensuite servir à initialiser un algorithme de calcul approché des racines du 
polynôme
caractéristique de A. C'est pourquoi il est souhaitable de trouver un ensemble 
le plus
petit possible, et même un ensemble ne contenant qu'une seule valeur propre de 
A.

· Dans la partie I, on montre que la suite de matrices Ak kN tend vers 0 si et
seulement si le rayon spectral de A est strictement inférieur à 1, en utilisant 
la
norme infinie sur Mn (C).
· Dans la partie II, A est localisé dans une union de disques dont les centres
et les rayons se déterminent facilement à partir des coefficients de A.
· La partie III est une étude plus fine de l'ensemble déterminé dans la partie 
II,
dans le but d'isoler certaines valeurs propres de A.
· La partie IV porte sur un encadrement du spectre de la matrice A ×H B,
obtenue en multipliant A et B coefficient par coefficient, à l'aide des spectres
de A et de B.
La difficulté de ce sujet est très hétérogène. Si le début de la partie I est 
tout à fait
classique, la question I.C exige une bonne connaissance du cours et une certaine
autonomie. Il en est de même dans les parties II et III : au milieu de 
questions où
le candidat est bien guidé, mais les questions II.A.5, II.B, III.A.2 et 
III.B.2.b
nécessitent une bonne habileté technique. Enfin, de l'aisance avec le calcul 
matriciel est nécessaire pour venir à bout de la partie IV.
Bref, il faut faire preuve de pugnacité pour profiter de ce sujet, au demeurant 
très
intéressant.
Hélas, les concepteurs du sujet n'ont pas fait preuve de beaucoup de rigueur
dans le choix et dans l'usage des notations. En utilisant des notations 
inhabituelles
ou à contre-emploi, les auteurs de l'énoncé rendent obscures des notions qui 
n'ont
d'habitude rien de mystérieux. Ceci ajoute beaucoup à la difficulté des 
questions.

Indications
Partie I
I.A.2.b Si k est le numéro de la ligne telle que

n
P

|akj | = N (A), étudier l'image

j=1

par A du vecteur w défini par
j  {1, . . . , n}
et

wj = 0
|akj |
wj =
akj

si

akj = 0

sinon

I.A.3 Utiliser la question I.A.2.b.
I.B Remarquer que T = {tii ; i  {1, . . . , n}} et introduire t = max |tij |.
16i6j6n

Puis démontrer et utiliser le fait que A est trigonalisable.

I.C Justifier d'abord
que  Ak = (A)k ; pour cela prouver que le spectre

de Ak est k |   A . Ensuite la question I.A.2.c permet de prouver
une implication. Pour l'autre, fixer  > 0 et à l'aide des questions I.B
et I.A.4.b majorer N (A) par C((A)k +) (C étant une constante réelle).
Partie II
II.A.2.c
II.A.3.a
II.A.5.b.i
II.B.2

t

Utiliser A.
À l'aide de la question II.A.2.a, prouver que µ  Dk (A).
Remarquer que pour trois réels a, b et c, 3 max {a, b, c} > a + b + c.
Si B = P-1 DP, démontrer le résultat avec D et E = PEP-1 . Utiliser
ensuite la question I.A.4.b.
Partie III

III.A.1 Si z est une racine de Pt , montrer que |z| 6 max

nP
n

j=1

o
kcj k, 1 .

III.A.2 Après avoir écrit (non (P)), poser  = 1/m. En associant un réel tm à ,
minorer |Ptm (X0 )| et étudier sa limite quand m tend vers l'infini.
III.B.2.b.ii Introduire les polynômes caractéristiques des matrices A(t) et 
justifier
qu'ils vérifient les hypothèses du préliminaire. Fixer t dans E,  dans
A(t)  D1 (A) et prendre  < mini{2,...,n} d(, Di (A)). Justifier que
le réel  fourni par la question III.A.2 satisfait à la condition demandée.
III.B.2.b.iii Associer à la suite (tk )kN une suite (k )kN de valeurs propres
de A(tk ). Justifier que cette suite est bornée et lui appliquer le théorème de 
Bolzano-Weierstrass.
Partie IV
IV.B.1 S peut s'écrire P DP avec P une matrice orthogonale ( t P = P-1 ) et D
une matrice diagonale à coefficients positifs.
t
t
IV.B.1 Écrire A = T T et B = U U, et prouver ensuite que
2
t
t
x(A ×H B)x = N2 (TDx U)
-1

t

IV.B.3.b Évaluer plutôt x(A ×H (B - min (B)I))x en introduisant la matrice
A = diag(a11 , a22 , . . . , ann ).
IV.B.3.c Pour prouver que aii > min (A), étudier la matrice In ×H (A- min (A)I).

Partie I
I.A.1 Vérifions que N satisfait aux trois propriétés d'une norme. Soit A  Mn 
(C).
D'abord, si N (A) = 0, alors
max

n
P

i=1,...,n j=1

donc

|aij | = 0

i  {1, . . . , n}

n
P

|aij | = 0

j=1

donc

(i, j)  {1, . . . , n}2

|aij | = 0

Ainsi, si N (A) = 0 alors A = 0. Ensuite, soit   C
n
P

N ( A) = max

| aij | = max ||

i=1,...,n j=1

i=1,...,n

donc

n
P

n
P

|aij | = || max

i=1,...,n j=1

j=1

|aij |

N ( A) = || N (A)

Enfin, soit B  Mn (C). Comme
n
P

i  {1, . . . , n}

|aij + bij | 6

j=1

n
P

|aij | +

j=1

n
P

|bij |

j=1

on peut affirmer que N (A + B) 6 N (A) + N (B). Finalement
N est une norme sur Mn (C).
I.A.2.a Soient A  Mn (C) et z  Cn . D'après la définition du produit matriciel,
n
P
pour i  {1, . . . , n}, la ie coordonnée de A(z) s'écrit
aij zj . Or
j=1

n
P

j=1

aij zj 6

n
P

|aij | |zj | 6 kzk

j=1

n
P

|aij | 6 N (A)kzk

j=1

On a utilisé le fait que |zj | 6 kzk (par définition de kzk ) et que

n
P

|aij | 6 N (A)

j=1

(par définition de N (A)). On peut maintenant affirmer que
max

n
P

i=1,...,n j=1

soit

aij zj 6 N (A)kzk

kA(z)k 6 N (A)kzk

I.A.2.b Si la matrice A est nulle, l'égalité que l'on cherche à démontrer est 
évidente.
Supposons donc A non nulle. D'après la question précédente,
kA(z)k
6 N (A)
kzk

kA(z)k
n
Donc N (A) est un majorant de l'ensemble
, z  C r{0} . Pour montrer
kzk
que N (A) est le maximum de cet ensemble, il suffit de trouver un élément w
kA(w)k
de Cn r {0} tel que
= N (A).
kwk
z  Cn r {0}

Le réel N (A) est le maximum de l'ensemble fini

nP
n

j=1

donc k  {1, . . . , n} tel que

n
P

o
|aij | , i  {1, . . . , n} . Il existe

|akj | = N (A). Introduisons maintenant le vecteur w

j=1

de Cn défini par

j  {1, . . . , n}
et

wj = 0
|akj |
wj =
akj

si

akj = 0

sinon

Comme la matrice A est non nulle, alors w est non nul. Chacune de ses 
coordonnées
est soit nulle, soit de module 1. Donc kwk = 1. Or, la k e coordonnée de A(w) 
est
n
P

akj

j=1
akj 6=0

n
P
|akj |
=
|akj | = N (A)
akj
j=1

Cette coordonnée doit être inférieure à kA(w)k . On vient donc de prouver que
N (A) 6 kA(w)k , mais d'après la question I.A.2.a, N (A) > kA(w)k . Ainsi
kA(w)k
kA(w)k = N (A), ou encore
= N (A).
kwk
Finalement

N (A) =

kA(z)k
r{0} kzk

max
n

zC

I.A.2.c Soient   A et z un vecteur propre associé à . Comme z est un vecteur
propre, il est non nul par hypothèse. De plus A(z) = z : avec la question 
I.A.2.a, on
a
kA(z)k
|| =
6 N (A)
kzk
Ainsi, max || 6 N (A) et donc
A

(A) 6 N (A)
I.A.3 Soient A et B deux matrices dans Mn (C). D'après la question I.A.2.b,
on peut trouver un vecteur z non nul qui réalise le maximum de kAB(z)k /kzk,
c'est-à-dire tel que
N (AB) =

kAB(z)k
kzk

En appliquant la question I.A.2.a d'abord à A et B(z), et ensuite à B et z, on 
trouve
kAB(z)k 6 N (A)kB(z)k 6 N (A)N (B)kzk
ainsi
Finalement

kAB(z)k
6 N (A)N (B)
kzk
N (AB) 6 N (A)N (B)

I.A.4.a Vérifions d'abord que NQ est une norme. Soit A  Mn (C).
· Si NQ (A) = 0 alors Q-1 AQ = 0 et donc A = 0.

· Pour   C, NQ (A) = N Q-1 AQ = || N Q-1 AQ = || NQ (A).