Centrale Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Réseaux de C et action de SL2(Z) sur le demi-plan de Poincaré
Principaux outils utilisés nombres complexes, calcul matriciel

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Objectif du problème

Cette introduction est destinée à expliquer le type des résultats obtenus dans 
le
problème. Ce dernier ne commence qu'à partir du I.

Dans la démonstration en 1994 du « dernier théorème » de Fermat par Andrew
Wiles, les « courbes elliptiques » jouent un rôle central par le biais de 
l'action du
groupe SL2(Z) sur le demi-plan ouvert %: {2 EUR EUR : fm(z) > O} .

En effet, il se trouve que l'ensemble des courbes elliptiques sur le corps C 
est en
bijection (à un @ -isomorphisme près) avec l'ensemble des réseaux de C (à une
similitude près), lui même en bijection avec l'ensemble des orbites du demi-plan
% sous l'action de SL2(Z). Ce sont quelques propriétés de ces deux derniers
ensembles que nous proposons d'étudier dans ce problème.

Partie I - Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers

Soit %AZ) l'ensemble des matrices [" b} carrées d'ordre 2 à coefficients dans
l'anneau 2 des entiers relatifs. " d

Dans les parties I, II, III, les lettres a ,b , c , d désignent des éléments de 
2. On
pose:

10
[= .
2 lol

I.A - Démontrer que l'ensemble %2(Z) est un anneau.

LB -

I.B.1) Démontrer que l'ensemble GL2(Z) des éléments de %2(Z) inversi-

bles dans %2(Z) est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des uni-
tés de l'anneau %Z(Z) .

I.B.2) Montrer que

{a 3} EUR GL2(Z) si et seulement si lad--bcl : l .
c

I.C-Onpose
SL2(Z) : {{" "} EUR %Z(Z) : ad--bc : !} ;

cd

I.C.l) Montrer que SL2(Z) est un groupe pour la multiplication des matri-
ces

I.C.2) Déterminer l'ensemble des couples (c,d) & 2 x Z tels que la matrice

F 3 appartienne à SL2(Z).
C

1.0.3) Déterminer l'ensemble des couples (c,d) EUR 2 x 2 tels que la matrice

{3 fl appartienne à GL2(Z).
C

I.C.4) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple
(a,b) de Z >< Z pour qu'il existe une matrice

{" â appartenant à GL2(Z) ?
C

LD - Soient S et T les éléments de SL2(Z) définis par

S={O'l} et T={' '}.
10 01

Pour chacune des trois matrices T, S et TS , répondre aux questions suivantes :

I.D.1) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans
%2(C) ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu'une matrice de passage.

I.D.2) La matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans
% 2(1R) ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu'une matrice de passage.

LE - On cherche les matrices A de SL2(Z) telles que

A2=['0}=12.
01

I.E.l) Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans
%2(IR) et préciser les formes réduites diagonales possibles de A .

I.E.2) En déduire l'ensemble des matrices solutions A.

I.F -
On cherche les matrices A de SL2(Z) telles que

A2 = '1 ° .
0 --1
LED Soit A une telle matrice. Montrer que A est diagonalisable dans

%2( C) et calculer la trace Tr(A) de A .

I.F.2) Donner la forme générale des matrices solutions A en fonction des
trois paramètres a ,b , c et d'une relation liant ces trois paramètres.

LG -

I.G.1) Démontrer que si deux matrices U et V de %2(IR) sont semblables en
tant que matrices de %2(C) , alors elles sont semblables dans %fiIR) .

I.G.2) En déduire que les matrices A de SL2(Z) solutions de l'équation :

A2 = {"01 0} sont semblables dans %flR) àla matrice S : Ë' "(fl .

Partie II - Réseaux de @

On note % le demi-plan ouvert défini par % = {3 E C : I m(z) > O} .

% = (a, B) étant une base de C considéré commeplan vectoriel réel, on appelle

réseau engendré par % l'ensemble A = la + 26 : {ua + v[3; (u,v) EUR 22} .

%

Pour simplifier les notations, un réseau sera généralement désigné par la lettre
A, sans préciser quelle base % de @ l'engendre.

II.A -
II.A.1) De quelle structure algébrique est doté un réseau A ?
II.A.2) Démontrer que tout réseau A peut être engendré par une base

% = (a,[3) de @ telle que %E%.

II.A.8) Démontrer que pour tout quadruplet (a, b, c,d) EUR 24 et pour tout 2 
EUR 03
tel que cz+d=0,ona

Im : ad--bc

Im(z).
CZ+d lcz+d\2

II.B -
II.B.1) Démontrer que si deux bases @ : (oe1,oe2) et Æ)" : (oe1',oe2') de 0 tel-
les que

& EUR % et (3--1 EUR %

°°2 °° 2

engendrent le même réseau A , alors il existe une matrice

{" bi! ESL2(Z) telle que lîoe } = 'la b} |É"'1} .
c d oe'2 c d (02

II.B.2) Étudier la réciproque.

II.C - On considère un réseau A engendré par une base % : (001,002) de EUR telle
que

(l)
--le%
'"2

Déterminer l'ensemble des couples (c,d)El2 tels quefi' : (oel',oe2') avec

oe'1 : 3oe1+5oe2 et °oe'2 : cool +doe2 soit une base de C engendrant également 
le
réseau A.

ILD - Pour tout complexe 1: EUR C\]R on note AT le réseau engendré par la base
(1,1) de @. On suppose que 17 EUR % . Trouver la condition nécessaire et 
suffisante
pour qu'un élément t' E % vérifie AT, : AT.

Partie III - Similitudes directes de centre 0 laissant stable
un réseau

Si A est un réseau et 2 un nombre complexe, on pose zA : {zp ; (p & A)} .

On dit que deux réseaux A et A' sont semblables s'il existe kEUR 43* tel que
A' : XA.

III.A -
III.A.1) Démontrer que tout réseau A est semblable à un réseau AT où 1: EUR % .

III.A.2) Démontrer que deux réseaux At et-AT, , où (15,15') E%x % , sont sem-
blables si et seulement si il existe une matrice

a b , _ a1:+b
L d} ESL2(Z)_ telle que t _ cr+d°

La fin de la partie III montre qu'il existe des similitudes directes de centre 
0,
autres que des homothéties, laissant stable un réseau donné A.

III.B - Soit A un réseau.

III.B.1) Indiquer, sans faire de démonstration, le lien existant entre 
l'ensemble

S(A) : {2 EUR EUR ; zA (: A} et l'ensemble des similitudes directes (: de 
centre O lais-
sant stable le réseau A, c'est-à-dire telles que 0(A) C A.

III.B.2) Quel est l'ensemble des homothéties de centre O laissant stable le
réseau A '? En déduire l'ensemble S(A) n IR.

III.B.3) De quelle structure algébrique est doté l'ensemble S(A) ?
III.B.4) % : (ml, (02) étant une base de C, on pose

_ '°1
17 _ 072 . Comparer les ensembles S (A %) et S(At).

III.B.5) Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre les ensembles S(AT) et 
A,: ?
III.C - 1: étant un complexe de C\IR , on considère le réseau At engendré par la
base (1,1) de (D.

HI.C.1) On suppose que l'ensemble S (AT) n'est pas réduità 2. Montrer que 1:
est alors racine d'un polynôme du second degré à coefficients dans 2.

111.02) Réciproquement, on suppose que 17 est racine non réelle d'un polynôme
P(X ) : uX2 + vX + w du second degré à coefficients u , v , w dans 2.

a) Montrer que S (Ar) n'est pas contenu dans ]R.
b) Que dire des ensembles S(At) et AT si u = 1 ?

Partie IV - Action du groupe I' des homographies associées à
SL2(Z) sur l'ensemble %

Dans cette dernière partie, on étudie l'action de ce groupe F sur l'ensemble % .
On introduit au [V.D un sous-ensemble fondamental 97 de % . On montre aux
questions IV.E et [VF que F est engendré par les homographies s et t associées
aux matrices S et T introduites au I.D et qu'un système de représentants des
orbites de F est constitué par les points de 97 .

À toute matrice
A = a b
c d

de SL2(Z) on associe l'application g : %--> C définie par : V1:JEÏÎ g(17) : 
Îîîâ .

IV.A-

IV.A.1) Montrer que l'on a g(% C % . On identifie dorénavant g avec l'appli--
cation de % vers % qu'elle induit. Lorsque la matrice A parcourt SL2(Z) ,
l'application correspondante g de % vers % décrit un ensemble noté F . Dans
la suite de cette question on s'intéresse aux propriétés de la surjection

SL2(Z)-->F
@:
{ A|-->g

IV.A.2) Montrer que (A) o (A') : ®(AA'). En déduire que la loi 0 de com-
position des applications est une loi interne sur F .

IV.A.3) Pour tout A E SL2(Z) , montrer que (A) est une bijection de % sur
% et que l'on a [(A)Î1 : (MA--') . En déduire que (F, o ) est un groupe.
IV.A.4) Montrer que [CD(A) : id% :> [A = : 12] .

IV.A.5) _

a) Résoudre l'équation (A') : (A). '

b) En utilisant les matrices S et T définies en LD, vérifier que le groupe (F, 
o )
n'est pas commutatif.

IV.B-

IV.B.1) Montrer que le cercle %(oe, R) de centre ou E C et de rayon R > 0 a pour
équation '

lzl2 -- (oeâ + (Î)Z) + loel2 : R2 .
À quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est--il inclus dans % ?
IV.B.2) On appelle s l'application de % vers % associée àla matrice

s = {0-1 l

1 0
définie au I.D, c'est-à-dire l'élément s : (S ) de F. Déterminer l'image par 
3
d'un cercle %(oe, R) inclus dans % .

IV.C-

IV.C.1) Trouver l'image par 3 d'une droite @ incluse dans % , c'est-à--dire
d'une droite @ d'équation y = [5 , avec [5 > O.

IV.C.2) Trouverl'image par 3 d'une demi-droite @+ d'équation

x=a , ' .
{ 0 ,ou aEURIR,1ncluse dans %.
y>

IV.D - On introduit le sous-ensemble 97 de % , défini par

ÿ={tEUR%îlïl21,lRê(ï)lfiâ}.

On appelle t l'application de % vers % associée àla matrice

T=làîl

définie au LD, c'est--à-dire l'élément t : (T ) de F . Représenter 
graphiquement
l'ensemble 97 et ses images t(97) et t"(% par les applications t et t_1 .

IV.E - On note G le sous-groupe de F engendré par l'ensemble {s, t} . Soit 1: un
élément de % .

IV.E.1) Montrer qu'il existe un élément go E G tel que
(Vg EUR G)1m(g(ï))S Im(g0(t)).

IV.E.2) On pose alors 1:' : g0(1:). Démontrer qu'il existe un entier m EUR 2 tel
que

\ Re)l s à .

IV.E.3) Vérifier que ltm(r')l z 1 et en conclure que tm(t') EJOÏ.

IV.F - On peut démontrer le résultat suivant, que l'on admettra ici : si 1: 697 
et

si pour un élément g E F , avec g : id , on a g(r) 597 alors 1: est un point 
fron-
tière de 97 , autrement dit on a

Re(1)==â0ülrl=l.

En utilisant ce résultat ainsi que ceux de la section IV.E, démontrer que G = F 
.

Indication : on pourra considérer un point "E intérieur à F (c'est-à-dire 17 E 
F )
et son image g(1:) par g E F.

000 FIN ooo

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Centrale Maths 2 MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Jean
Starynkévitch (ENS Cachan) et David Lecomte (Université de Stanford).

L'objectif de ce problème assez long est de présenter quelques-unes des 
propriétés
des réseaux de C (sous-ensembles de C de la forme Z + Z, où (, ) est une base
de C sur R) et d'étudier l'action de SL2 (Z) sur le demi-plan, dit de Poincaré, 
constitué
des nombres complexes dont la partie imaginaire est strictement positive. Ceci 
joue
un rôle très important dans la théorie des « courbes elliptiques », qui sont un 
outil
fondamental en théorie des nombres. Les parties sont liées entre elles et 
s'enchaînent
bien, quitte à admettre au besoin des résultats des parties précédentes.
· La première partie est consacrée à l'étude de M2 (Z) et plus particulièrement
SL2 (Z) et GL2 (Z), dont on montre différentes caractérisations. Elle traite
globalement de calcul matriciel et de diagonalisation.
· Les deux parties suivantes établissent tous les résultats de base sur les 
réseaux,
qui seront réutilisés par la suite. La troisième partie considère plus 
particulièrement les similitudes directes laissant stable un réseau.
· Dans la dernière partie, on établit le lien entre toutes les précédentes en
démontrant des propriétés de l'action de SL2 (Z) sur les réseaux.
En conclusion, ce problème contient quelques questions difficiles, mais il est 
assez
original et constitue une bonne introduction à une théorie importante en 
mathématiques.

Indications
Partie I
I.B.2 Utiliser la formule donnant l'inverse de la matrice A en fonction de son
déterminant et de sa comatrice.
I.C.2 Faire la différence entre la relation reliant c et d et une relation 
équivalente
avec c et d connus. Utiliser ensuite le théorème de Gauss.
I.C.4 Penser au théorème de Bézout.
I.D.1 Calculer les polynômes caractéristiques des différentes matrices.
I.E.1 Le polynôme X2 - 1 annule A. Que peut-on en déduire ?
I.F.1 Considérer le polynôme X2 + 1, annulateur de A, et se rappeler de la forme
générale du polynôme caractéristique d'une matrice 2 × 2.
I.F.2 Utiliser les relations connues sur la trace et le déterminant de A.
I.G.1 Si U = PVP-1  GL2 (C), écrire P = A + iB avec A et B deux matrices
réelles. En déduire que le polynôme D(X) = det(A + XB) n'est pas identiquement 
nul et qu'il existe donc un réel x tel que D(x) 6= 0. Conclure.
I.G.2 Utiliser la question précédente.
Partie II
II.A.1 Montrer qu'un réseau est un groupe additif.
II.B.1 Exprimer 1  et 2  dans la base B.
II.B.2 Montrer le résultat par double inclusion en exprimant la condition pour
que 1 , 2  B  .
II.C Utiliser les résultats démontrés dans la première partie.
II.D Utiliser la question II.B.
Partie III
III.A.2 Utiliser la question II.B.
III.B.4 Montrer que S(B ) = S( ).
III.B.5 Montrer que S( )   .
III.C.1 Considérer un élément z  S( ) r Z et exprimer que z , z   .
III.C.2.a Montrer que u  S( ).
III.C.2.b Montrer que S( ) =  .
Partie IV
IV.A.1 Utiliser le résultat de la question II.A.3.
IV.A.4 Si (A) = idH , en particulier (A) fixe i et 1 + i. Qu'en déduit-on sur 
les
coefficients de A ?
IV.A.5.a Combiner les questions IV.A.2 et IV.A.4.
IV.B.2 Injecter l'image de z par s dans l'équation de la question IV.B.1.
IV.C.1 Si z = x + i est un point de la droite D, alors il existe   ] -/2 ; /2 [
tel que x =  tan . Simplifier alors l'expression de s(z) à l'aide de formules
de trigonométrie. Reconnaître une figure géométrique simple.

IV.C.2 Si  > 0 et z = +iy est un point de la droite D+ , il existe   ] 0 ; /2 [ 
tel que
y =  tan . Utiliser à nouveau la trigonométrie pour simplifier l'expression
de s(z).
Se ramener à ce cas si  < 0.

a b
IV.E.1 Poser
g =
G
f (g) = |c + d|
c d

et
 = Inf f (g) | g  G

Si  > , alors par définition I = g  G | f (g) <  n'est pas vide.
Montrer, par un argument de comptage, que f ne prend qu'un nombre fini
de valeurs sur I . En déduire qu'elle atteint son minimum sur cet ensemble.
Conclure à l'aide de la question II.A.3.
IV.E.3 La transformation t ne modifie pas la partie imaginaire d'un nombre 
complexe, si bien que

g  G
Im g tm (  ) 6 Im tm (  )
Utiliser cette propriété dans le cas particulier où g = s.

IV.F Soient g   et  un point intérieur à F . D'après la question IV.E, on peut
amener g( ) dans F à l'aide d'une transformation de G. Conclure à l'aide
du résultat admis par l'énoncé.

I.

Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients entiers

I.A Montrons que l'ensemble M2 (Z) est un sous-anneau de M2 (R).
· L'élément neutre de M2 (R) est I2 et se trouve dans M2 (Z).
· Si A et B sont deux matrices à coefficients entiers, la matrice A - B 
s'obtient
en procédant, coordonnée par coordonnée, à la soustraction des coefficients
de B aux coefficients de A. Puisque Z est un groupe additif, A - B est aussi
à coefficients entiers.
· À nouveau, soient A et B dans M2 (Z). On sait que les coefficients de AB
s'obtiennent par somme de produits des coefficients de A et B. Comme Z
est un anneau, AB est aussi à coefficients entiers.
Ces trois propriétés montrent que M2 (Z) est un sous-anneau de M2 (R) ; en 
particulier
M2 (Z) est un anneau.
Il est très souvent plus simple, comme ici, de montrer qu'un ensemble est un
sous-anneau d'un autre ensemble que l'on sait être un anneau, plutôt que
d'essayer de démontrer directement que c'est un anneau. Il en va de même
pour les groupes, corps, algèbres, etc.
I.B.1 Démontrons que GL2 (Z) est un sous-groupe de GL2 (R).
· Si A est inversible dans M2 (Z), il existe B dans M2 (Z) telle que
AB = BA = I2
Puisque le produit dans M2 (Z) est induit par le produit matriciel dans M2 (R),
on en déduit d'une part que A est une matrice inversible dans M2 (R) et d'autre
part que l'inverse de A dans GL2 (Z) n'est autre que l'inverse de A au sens
du produit matriciel dans GL2 (R). Il est de plus à coefficients entiers.
Cette dernière constatation est importante car on peut parler maintenant sans 
ambiguïté de l'inverse A-1 de A, sans avoir à préciser s'il
s'agit d'inverse au sens de M2 (Z) ou de M2 (R).
En particulier,

GL2 (Z)  GL2 (R)

· I2 est dans GL2 (Z) puisqu'il s'agit de l'élément neutre de M2 (Z) pour la 
multiplication.
· Soient A et B dans GL2 (Z). Alors A-1 et B-1 sont aussi dans M2 (Z) comme on
l'a vu plus haut. Puisque cet ensemble est un anneau, d'après la question I.A,
il vient
AB-1  M2 (Z)
Finalement,

et

BA-1  M2 (Z)

I2 = (AB-1 )(BA-1 ) = (BA-1 )(AB-1 )

ce qui montre que AB-1 se trouve dans GL2 (Z).
Ces trois propriétés assurent que GL2 (Z) est un sous-groupe de GL2 (R) et
GL2 (Z) est un groupe multiplicatif.