Centrale Maths 2 MP 2002

Thme de l'preuve tude de quadriques en dimension 3
Principaux outils utiliss algbre bilinaire et groupe orthogonal
Mots clefs espace euclidien, endomorphisme orthogonal

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


MA Sujets 2()()2:Bon  tirer:MP Math Il X.l().()l--4 version du 28 mars 2002 M: 
Il

Gouno=OE OOE:OE .. OES...OE.OEQ NN

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 2 MP 2002 -- Corrig
Ce corrig est propos par Tristan Poullaouec (Professeur agrg) ; il a t 
relu
par Benot Chevalier (ENS Ulm) et Jean Starynkvitch (ENS Cachan).

Ce sujet traite des quadriques de R3 et des automorphismes orthogonaux qui les
laissent invariantes ; il comporte deux parties indpendantes.
 Dans la premire partie, on tudie une quadrique donne explicitement, ses 
symtries et diffrentes proprits des automorphismes orthogonaux qui la 
laissent
globalement invariante.
On utilise principalement les proprits de base du groupe orthogonal (il laisse
invariant le produit scalaire), la connaissance des rotations et, dans la partie
I.D, la notation matricielle des formes quadratiques.
 Dans la seconde partie, on dfinit une forme quadratique f sur R3 via la 
donne
d'un endomorphisme symtrique U ; on s'attache d'abord  dterminer les 
endomorphismes tels que les surfaces de niveau de f soient des surfaces de 
rvolution
autour d'un axe donn, puis on classifie les diffrentes surfaces f -1 ({1}) 
(image
rciproque de {1} par f ) envisageables.
On utilise dans cette partie  peu prs les mmes notions que dans la premire,
ainsi que certaines proprits des endomorphismes symtriques (caractrisation,
diagonalisabilit).
Ce sujet ne prsente pas de difficult particulire : les questions sont assez 
directes
et ne ncessitent pas l'usage d'astuces remarquables ; une bonne connaissance 
des
notions du cours suffit donc pour en venir  bout. En outre, il est d'une 
longueur
tout  fait raisonnable.

Indications
Partie I
I.A.1 Penser aux symtries. Noter qu'on demande des exemples et non une liste
exhaustive.
I.A.4 Utiliser la question I.A.2.
I.B.1 De mme qu' la question I.A.1, on ne demande que quelques exemples.
On peut remarquer (pour la suite) que si   O(E) laisse Dk invariant,
alors elle laisse aussi son orthogonal Pk invariant.
I.B.2.b Noter que  est une isomtrie.
I.C.2.a Aucune dmonstration n'est demande, mais une justification est tout de
mme bienvenue. On peut regarder l'action sur k et utiliser la question
I.B.2.c.
I.C.2.b Utiliser la question I.C.2.a.
I.C.3.b.i Utiliser la question I.C.3.a.
I.C.3.b.iii Utiliser l'ingalit de Cauchy-Schwarz.
I.C.4 Utiliser les questions I.C.2.c et I.C.3.b.
I.D.1 Raisonner par double inclusion : on peut calculer q  (k) et k(k)k2 pour
le sens C  K, et montrer que  est une isomtrie du plan Pk pour l'autre
sens.
I.D.2.b Pas de dmonstration demande, mais une justification. . .
I.D.3 Remarquer, via l'expression matricielle, que q s'crit q(u) = hu, ui.
I.D.4 Appliquer la relation de commutation  k.
I.D.5 Utiliser les questions I.D.4, I.D.3 et I.D.1.

Partie II
II.B Utiliser la quesion II.A.
II.C.1 Au choix, s'inspirer des mthodes de polarisation ou utiliser la 
diagonalisabilit des endomorphismes symtriques.
II.C.4 Utiliser les questions II.A et II.C.1.
II.D.3 Utiliser les questions II.C.4 et II.D.2.
II.E.2 Utiliser la forme polaire de f .
II.E.3 Utiliser les questions II.A et II.D.3.

I.

tude d'un cas particulier
I.A

Une tude de Q0

I.A.1 On remarque aisment que pour tout rel t, (-t)2 = t2 . Par dfinition
(x, y, z)  Q0  x2 + y 2 - z 2 = 0
donc

(x, y, z)  Q0  (-x, y, z)  Q0  (x, -y, -z)  Q0

et Q0 admet Pi et Di respectivement comme plan et axe de symtrie. De mme pour
Pj , Pk , et Dj , Dk .
Enfin, comme (x, y, z)  Q0 si et seulement si (-x, -y, -z)  Q0 , Q0 admet
l'origine O(0, 0, 0) pour centre de symtrie.
Comme l'nonc ne demandait pas une liste complte d'lments de symtrie
de Q0 , on s'est content de donner ici quelques exemples simples. On en verra
d'autres dans la suite du problme. . .
I.A.2 Pj est le plan vectoriel orthogonal  j : on a donc
n
o
Pj = (x, y, z)  R3 y = 0
n
o
d'o
Q0  Pj = (x, y, z)  R3 q(x, y, z) = 0 et y = 0
n
o
et
Q0  Pj = (x, 0, z)  R3 x2 - z 2 = 0
soit comme

x2 - z 2 = 0  x = z

ou

x = -z

on en dduit que l'intersection du plan Pj avec Q0 consiste en la runion des 
deux
droites D1 = Di+k et D2 = Di-k d'quations respectives x = z et x = -z.
En voici une reprsentation spatiale :

j
k

O

D2

i
D1

Pj

I.A.3.a Considrons un vecteur quelconque u = (x, y, z)  E. Soit   R. R est
une isomtrie vectorielle et prserve donc la norme. En outre, c'est une 
rotation d'axe
Dk donc elle fixe k et prserve la troisime coordonne z.
De ce fait, si l'on note R (u) = (x , y  , z  ), on a
kR (u)k2 = kuk2
ie

x2 + y 2 + z 2 = x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 = x2 + y 2

d'o
soit

et

et

z = z
z = z

et
z = z

q  R (u) = x2 + y 2 - z 2 = x2 + y 2 - z 2 = q(u)

Ainsi, pour tout u dans Q0 et pour tout rel , on a q  R (u) = q(u) = 0 soit
R (u)  Q0 , donc

I.A.3.b On a montr
soit

  R

R (Q0 )  Q0

  R

R (Q0 )  Q0

  R

donc

R- (Q0 )  Q0

R (R- (Q0 ))  R (Q0 )  Q0

d'o, comme R- = R-1
 ,

Q0  R (Q0 )  Q0

et finalement

  R

R (Q0 ) = Q0

I.A.4 L'ensemble Q0 tant invariante par toutes les rotations vectorielles R , 
c'est
une surface de rvolution d'axe Dk . Elle est alors engendre  comme toutes les
surfaces de rvolution  par son intersection avec un plan contenant l'axe : Pj 
fait ici
l'affaire.
Il nous suffit donc de considrer Q0  Pj , qui  voir la question I.A.2  est 
l'union
de deux droites scantes (et mme orthogonales) en O et qui engendre par 
rvolution
autour de Dk le cne Q0 de sommet O et de demi-angle /4.

D2
k

Q0
i

O

j

D1