Centrale Maths 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Exemples d'études de fonctions matricielles et applications
Principaux outils utilisés normes matricielles, séries entières, séries de fonctions vectorielles, intégration de fonctions vectorielles

Corrigé

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Mathématiques 1 < d. Si i 
et j sont deux entiers entre 1 et d, on
note A...- le coefficient placé ligne i et colonne j dans la matrice A. On 
rappelle que A0 = I d. On note Tr(A) la
trace de la matrice A.

Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V.

I Une norme utile sur Md(lR)

I.A -- Montrer que, pour tout polynôme P E C|X|, l'application fP : A l--> P(A) 
est une fonction continue
de Md(lR) dans MAC).

LB -- Montrer que l'application (A, B) l--> Tr('A x B) est un produit scalaire 
sur l'espace Md(lR).
Dans toute la suite du problème, on note || - || la norme associée à ce produit 
scalaire.
I.C -- Pour tous entiers i, j entre 1 et d et toute matrice A E Md(lR), 
comparer |A...-| et "A".

I.D -- Montrer que: V(A, B) E Md([R)2, ||A >< B|| < ||A|| - ||B||.
LE -- Pour 71 E N* et A E Md([R), comparer "A"" et "A"".

II Séries entières de matrices

Dans cette partie, on se donne une série entière à coefficients complexes E 
ana" de rayon de convergence R

n>O
strictement positif, éventuellement égal à +00.

+00
II.A -- Soit 3 = {A E Md([R), ||A|| < R}. Montrer que l'application cp : A |--> 
 0 telle que :
r--1
Vn & N. 2 lÀ;...l < CIIA"II
k=0

II.B.4) En déduire que, pour tout entier 1»: entre 0 et (r -- 1), la série z 
anÀkln est absolument convergente
n>O

dans C.
II.B.5) Conclure qu'il existe un unique polynôme P E [R|X| tel que ga(A) = P(A) 
et degP < 7'.

0 --1 --1
1
II.B.6) Déterminer ce polynôme P lorsque A = (--1 0 --1) et an = -- pour tout n 
E N.

|
1 1 2 "'
II. C -- Trouver une condition nécessaire et suffisante sur la série entière î: 
ana" pour qu'il existe P E [R|X|
n>0
tel que

VA EUR Md([R), 

vaut An_1.

III.B.3) On considère le polynôme caractéristique

et
XA(X) = det(A -- X - rd) : Zaka
I--c=O

Montrer que pour R assez grand :

27r

xA = -- / 'xA = f<2æ> + f(2y) (Iv-1)

M
I V.A -- Soit 04 un nombre strictement inférieur a ? et F la primitive de f 
s'annulant en 04. Montrer que
M
pour tous 55 et y dans }--oo, ? {, avec y # oz, on a :

F(oe + y) -- F(a: + a) -- âF(2y) + âF(2a)

f(2oe)=2 y--a

I V.B -- En déduire que la fonction f est de classe C'" sur ]--oo, M [

IV. C -- Montrer que f " = 0, puis que l'ensemble des solutions continues de 
l'équation (IV.1) forme un [IQ--espace
vectoriel, dont on déterminera une base.

2014--02-15 17:39:12 Page 2/3 OE=C BY-NC-SA

V Étude d'une autre fonction matricielle

Dans cette partie, on se donne une fonction EUR : IR --> IR et on définit une 
fonction fEUR : Md(lR) --> Md(lR) telle que

VA & Md(lR), fg(A) = (EUR IR telles que

VA EUR Md(lR), A inversible à fEUR(A) inversible (V.1)

V.A -- Déterminer les fonctions continues EUR vérifiant la condition (V.l) 
lorsque d = 1.
On se place dorénavant dans le cas d > 2.

On se donne une fonction continue EUR de IR dans IR vérifiant (V.1).

V.B -- Montrer

..., b, c, d) 6 R4, ad # bc @ £EUR # EUREUR

& b 0 0
c d 0 0
On pourra considérer la matrice c d
Ï 5 Ici--2
c d
V. O' -- En déduire que la fonction EUR est injective, puis qu'elle est 
strictement monotone sur IR.
V.D -- Montrer que la fonction EUR ne s'annule pas sur IR*.

V.E -- Le but de cette question est de montrer {(D) = O.
V.E.1) Montrer que si £(O) # 0, alors il existe 04 > 0 tel que £(0)EUR(2) : 
EUR(1)EUR(d).
V.E.2) Oonclure.

V.F -- Soit 77 = EUR _1 : I --> IR la fonction réciproque de la bijection EUR : 
IR --> I . Montrer que la où cela est défini
2
(UMD) = 77(OE2)77(y2)
V. G -- On suppose dans cette question que la fonction 77 prend des valeurs 
strictement positives sur Ifi]0, +oo[.

V.G.1) Montrer que la fonction f : lno 77 o exp vérifie l'équation (IV.1) sur 
un intervalle ]--oo, M [, avec M
(éventuellement infini) a préciser en fonction de l'intervalle ] .

V.G.2) En déduire que sur l'intervalle ] 0 ]0, +oo[ la fonction 77 est de la 
forme
77 : 513 H K1oe0'1

avec deux constantes K1 > 0 et 041 > O.

V.G.3) Montrer que sur l'intervalle ] 0 ]--oo, 0[ la fonction 77 est de la forme
77 : :C H K2(--oe)0'2
avec deux constantes K2 < 0 et 042 > O.

V.G.4) Montrer que I : IR puis que la fonction 77 est une fonction impaire.

V.H -- En déduire dans le cas général que, si EUR : IR --> IR est une fonction 
continue vérifiant la condition (V.1),
alors elle est impaire et sa restriction à |Rï est de la forme 55 H Coe5, avec 
C # 0 et 3 > O.

V.I -- Pour À EUR IR, calculer le déterminant de la matrice A,\ E Md(lR) ne 
comportant que des 1 hors de la
diagonale et que des À sur la diagonale.

V.J -- En déduire toutes les fonctions continues EUR : IR + IR vérifiant (V.1).

oooFlNooo

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Centrale Maths 1 MP 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sadik Boujaida (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Christophe Fiszka (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE).

Cette épreuve possède un thème central, les fonctions matricielles, qui sont 
ici des
applications à valeurs dans Md (R) et dont la variable est une matrice de Md 
(R). On y
évoque, par exemple, les matrices cos(A) et sin(A). Les outils utilisés font 
appel au
cours d'algèbre, bien sûr, mais aussi à celui d'analyse. Ses cinq parties ont 
les thèmes
suivants, dans l'ordre :
· On étudie certaines propriétés de la norme euclidienne canonique de Md (R),
notamment son caractère sous-multiplicatif.
P
· Lorsque an z n est une
P série entière à coefficients complexes, on démontre que
la série de fonctions an An , où A  Md (R), admet une somme bien définie
et continue sur un domaine
précisé. On prouve en outre que, lorsqu'elle existe,
P
la somme de la série an An est un polynôme en A.
2
· On justifie une relation « trigonométrique
+ cos2 A = Id sur les maP» sini  A
-n n
trices et, en utilisant la série de fonction (Re ) A de la variable réelle ,
on démontre le théorème de Cayley-Hamilton.

· On démontre que les fonctions continues sur un intervalle de la forme ] - ; M 
[
et qui vérifient l'équation fonctionnelle 2f (x + y) = f (2x) + f (2y), pour 
tout
2
(x, y)  ] - ; M/2 [ , sont les fonctions affines.
· On détermine les applications continues  : R  R telles que

 A = (ai,j )  Md (R)
A est inversible = (ai,j ) i,j est inversible

Globalement, le sujet n'exige pas une connaissance profonde du cours. Par 
contre,
c'est un bon moyen pour affûter son sens de la logique et de la rigueur 
mathématique.
En outre, fait assez rare dans les sujets de concours pour être souligné, ce 
problème
comporte des questions qui traitent de séries de fonctions d'une variable 
vectorielle,
ainsi que des intégrales de fonctions de la variable réelle mais à valeurs dans 
l'algèbre Md (C). La partie III propose, en utilisant ces outils, de démontrer 
le théorème
de Cayley-Hamilton, rien de moins.
Les deux dernières parties, indépendantes du reste du sujet, ne nécessitent que
des connaissances normalement acquises en première année de prépa et peuvent de
ce fait être utilisées très tôt dans l'année de spé. Il y est question des 
propriétés
usuelles des fonctions continues, d'équations fonctionnelles, de calcul de 
déterminants
et de manipulation de matrices inversibles.

Indications
Partie I
I.A Examiner les applications composantes, dans la base canonique de Md (R),
de l'application A 7 P(A).
I.B Écrire les expressions de Tr (t AB) et de Tr (t AA) en fonctions des 
coefficients
peut être d'une grande aide, dans cette question et dans les suivantes.
I.D Appliquer d'abord l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour obtenir une majora2
tion de (AB)j,j
et additionner ensuite pour former une majoration de kABk2 .
Partie II
II.A Utiliser le théorème de continuité de la somme d'une série de fonctions. 
Prêter
attention au fait qu'il s'agit ici d'une série de fonctions dont la variable est
vectorielle (ce n'est pas une « série entière »).
II.B.1 Penser au polynôme minimal de A, ou bien considérer la partie de N :

k  N | (Id , A, . . . , Ak ) est liée

II.B.2 Remarquer que Ar est une combinaison linéaire de Id , A, . . . , Ar-1 et 
raisonner ensuite par récurrence sur n > r.
II.B.3 Constater que (Id , A, . . . , Ar-1 ) est une base de R[A] et utiliser 
l'équivalence
des normes sur R[A].
II.B.5 Il y a une erreur
Pdans l'énoncé. Il faut prendre P dans C[X] et non dans R[X].
Constater que an An est la somme d'un nombre fini de séries convergentes.
II.B.6 Exprimer A2 en fonction de A permet de conclure rapidement.
II.C Analyser, quand ils sont définis, les éléments (xId ) où x  R.
Partie III
III.A.1 Citer le résultat sur la convergence absolue du produit de Cauchy de 
deux
séries absolument convergentes.
III.A.2 Penser à justifier la convergence absolue des séries qui représentent e 
iA et e iB
pour pouvoir utiliser le résultat de cours rappelé en III.A.1.
III.A.3 Exprimer de façon rigoureuse e iA et e -iA en fonction de cos A et sin 
A. Penser
à justifier que cos(A) et sin(A) commutent.
P
III.B.1 Justifier que la série (Re i  )-n An converge pour R assez grand et 
utiliser
ses sommes partielles pour déterminer l'expression de (Re i  Id - A)-1 comme
somme d'une série.
III.B.2 Appliquer un résultat sur l'intégration terme à terme d'une série de 
fonctions
au développement de la question précédente.
III.B.3 Constater, lorsque c'est possible, que A (z)(A - zId )-1 = t Com(A - 
zId ) et
que les coefficients de Com(A - zId ) sont des fonctions polynomiales de z.
Partie IV
Z y
IV.A Écrire F(x + y) - F(x + ) =
f (x + t) dt.

IV.B Justifier par récurrence que f est de classe C k pour tout k  N.
IV.C Dériver deux fois la relation 2f (x + y) = f (2x) + f (2y) en alternant les
variables. Dériver une autre relation fonctionnelle de f peut aussi aboutir.

Partie V
V.B Calculer les déterminants de A et de f (A). Pour le deuxième, simplifier les
lignes de la 3ème à la d ème en utilisant des opérations élémentaires avec la
deuxième ligne.
V.E.1 Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur [ 0 ; 2 ], sans 
omettre de
discuter selon la monotonie de .
V.F Utiliser l'implication : (a)(d) = (b)(c) = ad = bc et choisir 
convenablement a, b, c et d en fonction de x et y.
V.G.1 Déterminer l'ensemble des éléments dont l'image par la fonction 
exponentielle
est dans l'intervalle I  ] 0 ; + [.
V.G.2 Utiliser les résultats des questions IV.C et V.G.1.
V.G.3 Penser à faire intervenir la fonction 1 : x 7 -(-x), et justifier que la
fonction réciproque 1 de 1 vérifie les mêmes hypothèses que .
V.G.4 Noter I = ] a ; b [ et justifier que  tend vers + en b en utilisant 
l'expression de . Constater que (-x)2 = (x)2 et que  est strictement négative
sur ] - ; 0 [.
V.H Utiliser les questions précédentes lorsque  est positive sur ] 0 ; + [. 
Considérer la fonction 1 = - lorsque  est négative sur ] 0 ; + [.
V.I Ajouter toutes les lignes à la première et utiliser la nouvelle ligne pour 
simplifier la matrice.
V.J Discuter selon que d = 2 ou d > 2. Dans le cas d > 2 utiliser la question 
V.H
et l'implication
f (A ) non inversible = A non inversible
en choisissant judicieusement le paramètre .

I. Une norme utile sur l'espace M d (R)
I.A Soit un polynôme P  C[X]. Pour toute matrice A de Md (R) les coefficients
de P(A) s'expriment de manière polynomiale en fonction de A. Ce qui signifie que
les applications composantes, dans la base canonique de Md (R), de l'application
A 7 P(A) sont des fonctions polynomiales. Ainsi,
Pour tout P  C[X], l'application A 7 P(A) de Md (R) dans Md (C) est continue.
I.B D'abord, on constate que pour tout entier j compris entre 1 et d
(t AB)j,j =

d
P

Ak,j Bk,j

k=1

Tr (t AB) =

ce qui mène à

P

Ak,j Bk,j

(1)

16k,j6d

Maintenant, on vérifie que
· pour tout A  Md (R), l'application B 7 Tr (t AB) est linéaire par linéarité de
la trace et de la transposition ;

2
· pour tout (A, B)  (Md (R)) , Tr (t AB) = Tr t (t AB) = Tr (t BA) ;
P
2
· pour tout A  Md (R), Tr (t AA) =
Aj,k
> 0;
16j,k6d

t

· enfin, si A 6= 0, Tr ( AA) > 0, car dans l'écriture précédente de Tr (t AA), 
l'un
au moins des coefficients Aj,k est non nul.

Ainsi,

L'application (A, B) 7 Tr (t AB) est un produit scalaire de Md (R).
Ce produit scalaire est appelé produit scalaire canonique de Md (R). Noter
la similitude de l'écriture (1) avec l'expression du produit scalaire canonique
de Rd . La norme associée est définie par

P
2
 A  Md (R)
kAk = Tr (t AA)
=
Ai,j
16i,j6d

Cette norme est appelée norme de Schur (ou de Frobenius) de Md (R). Si
on note également k.k la norme euclidienne canonique de Md,1 (R) et si
(E1 , E2 , . . . , Ed ) désigne la base canonique de Md,1 (R) alors on constate 
que
(AE1 , AE2 , . . . , AEd ) est la famille des vecteurs colonnes de A et que
 d
P
kAk =
kAEj k2
(2)
j=1

Si X =

t

x1

x2

· · · xd est un vecteur de Md,1 (R) alors
 d
2
d
d
P
P
P
kAXk2 =
(AX)2j =
Aj,k xk

j=1

j=1

k=1

et via l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout j compris entre 1 et d,
 d
2  d
 d

d
P
P 2
P 2
P
2
Aj,k
xk = kXk2 Aj,k
Aj,k xk
6
k=1

k=1

k=1

k=1