Centrale Maths 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Produit de convolution, transformée de Fourier et codimension finie
Principaux outils utilisés intégrale dépendant d'un paramètre, séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MP
4 heures

Calculatrices autorisées

2012

Mathématiques 1

Notations
On note :
C(R) le C-espace vectoriel des fonctions continues de R dans C.
Cb (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions bornées 
appartenant à C(R).
L1 (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions intégrables sur 
R et appartenant à C(R).
L2 (R) le sous-espace vectoriel de C(R) constitué des fonctions de carré 
intégrable sur R et appartenant à C(R).
Pour toute fonction f de Cb (R), on pose ëf ë = sup |f (t)|.
ÚtR
Pour toute fonction f de L1 (R), on pose ëf ë1 =
|f (t)| dt.
óRÚ
Pour toute fonction f de L2 (R), on pose ëf ë2 =

|f (t)|2 dt.

R

On admet que ces expressions définissent des normes sur les espaces en question.
Soit f une fonction complexe d'une variable réelle. Par définition, le support 
de f est l'adhérence de l'ensemble
Af = {x  R | f (x) Ó= 0}. On dit que f est à support compact si son support est 
un compact de R ; en d'autres
termes, f est à support compact si et seulement s'il existe un réel A > 0 tel 
que f soit nulle en dehors de
[-A, A].
Par définition, une approximation de l'unité est une suite de fonctions (fn )nN 
, continues par morceaux et
intégrables sur R, vérifiant les conditions suivantes :

n  N, fn est positive sur R ;

Ú

fn = 1 ;
n  N,
R
Ú -
Ú +

  > 0,
lim
fn = 0 et lim
fn = 0.
n+

n+

-

I Produit de convolution
Soit f , g  C(R). Lorsque la fonction t Ô f (t)g(x - t) est intégrable sur R, 
on pose
Ú
(f  g)(x) =
f (t)g(x - t) dt.
R

La fonction f  g est appelée produit de convolution de f par g.
I.A ­

Généralités

I.A.1) Dans chacun des deux cas suivants, montrer que f  g est définie et 
bornée sur R et donner une
majoration de ëf  gë pouvant faire intervenir ë · ë1 , ë · ë2 ou ë · ë .
a) f  L1 (R), g  Cb (R) ;
b) f , g  L2 (R).
I.A.2)

Soient f , g  C(R) telles que f  g(x) soit défini pour tout réel x. Montrer que 
f  g = g  f .

I.A.3)

Montrer que si f et g sont à support compact, alors f  g est à support compact.

I.B ­
Produit de convolution de deux éléments de L2 (R)
Pour toute fonction h de C(R) et tout réel , on définit la fonction T (h) en 
posant T (h)(x) = h(x - ) pour
tout x  R.
Dans cette sous-partie I.B, on suppose que f et g appartiennent à L2 (R).
I.B.1) Montrer qu'une fonction h est uniformément continue sur R si et 
seulement si lim ëT (h) - hë = 0.
0

I.B.2)

Pour tout réel , montrer que T (f  g) = (T (f ))  g.

I.B.3)

Pour tout réel , montrer que ëT (f  g) - f  gë 6 ëT (f ) - f ë2 × ëgë2 .

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Page 1/4

I.B.4)

En déduire que f  g est uniformément continue sur R dans le cas où f est à 
support compact.

I.B.5)

Montrer que f  g est uniformément continue sur R dans le cas général.

I.C ­

Continuité, dérivabilité, séries de Fourier

I.C.1)

On suppose que f  L1 (R) et g  Cb (R).

a) Montrer que f  g est continue.
b) Montrer que si g est uniformément continue sur R, alors f  g est 
uniformément continue sur R.
I.C.2) Soit k un entier naturel non nul. On suppose que g est de classe C k sur 
R et que toutes ses fonctions
dérivées, jusqu'à l'ordre k, sont bornées sur R.
Montrer que f  g est de classe C k sur R et préciser sa fonction dérivée 
d'ordre k.
I.C.3) Dans cette question I.C.3, on suppose que g est continue, 2-périodique 
et de classe C 1 par morceaux.
a) Énoncer sans démonstration le théorème sur les séries de Fourier applicable 
aux fonctions continues, 2périodiques et de classe C 1 par morceaux.
b) Montrer que f  g est 2-périodique et est somme de sa série de Fourier. 
Expliciter les coefficients de Fourier
de f  g à l'aide des coefficients de Fourier de g et d'intégrales faisant 
intervenir f .
I.D ­
Approximation de l'unité
Soit f  Cb (R) et soit (n ) une suite de fonctions approximation de l'unité.
I.D.1) Montrer que la suite (f  n )nN converge simplement vers f sur R.
I.D.2)

Montrer que si f est à support compact, alors la suite (f  n )nN converge 
uniformément vers f sur R.

I.D.3)

Pour tout entier naturel n, on note hn la fonction définie sur [-1, 1] par
!
"n
1 - t2
hn (t) =
n

et nulle en dehors de [-1, 1], le réel n étant donné par la formule
Ú 1
!
"n
n =
1 - t2 dt.
-1

a) Montrer que la suite de fonctions (hn )nN est une approximation de l'unité.
6
5
1 1
b) Montrer que si f est une fonction continue à support inclus dans - , , alors 
f  hn est une fonction
2 2
6
5
6
5
3 3
1 1
polynomiale sur - ,
et nulle en dehors de l'intervalle - , .
2 2
2 2
c) En déduire une démonstration du théorème de Weierstrass : toute fonction 
complexe continue sur un segment
de R est limite uniforme sur ce segment d'une suite de fonctions polynomiales.
I.D.4) Existe-t-il une fonction g  Cb (R) telle que pour toute fonction f de L1 
(R), on ait f  g = f ?

II Transformée de Fourier
Pour toute fonction f  L1 (R), on appelle transformée de Fourier de f la 
fonction, notée f^, définie par
Ú
f (t)e-ixt dt.
x  R f^(x) =
R

II.A ­

Pour toute fonction f  L1 (R), montrer que f^ appartient à Cb (R).

II.B ­

Transformée de Fourier d'un produit de convolution

Soit f , g  L1 (R).
II.B.1) On suppose que g est bornée.
a) Montrer que f  g est intégrable sur R et déterminer

Ú

f  g en fonction de

R

Ú

R

f et

Ú

R

b) Montrer que f[
 g = f^ × g.
II.B.2) Un contre-exemple
Montrer qu'il existe deux fonctions f et g dans L1 (R) telle que f  g(0) ne 
soit pas défini.

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Page 2/4

g.

II.C ­ Sinus cardinal
On définit, pour tout entier naturel non nul n, la fonction kn par
I
|x|
kn (x) = 1 -
si |x| 6 n ;
n
kn (x) = 0
sinon.
II.C.1) Exprimer la transformée de Fourier kn (x) à l'aide de la fonction 
définie par
3
42
 sin x
si x Ó= 0 ;
(x) =
x

1
si x = 0.

II.C.2) Justifier que   L1 (R).
Ú
1
 = . On pose Kn =
On admet que
kn .
2
R
II.C.3) Montrer que la suite de fonctions (Kn )n>1 est une approximation de 
l'unité.
II.D ­

Inversion de Fourier
Soit f  L1 (R) telle que f^  L1 (R). Pour tout réel t et tout entier naturel 
non nul n, on pose
Ú
1
In (t) =
kn (x)f^(-x)e-itx dx.
2 R

II.D.1) Pour tout réel t et tout entier naturel non nul n, montrer que In (t) = 
(f  Kn )(t).
II.D.2) En déduire, pour tout réel t :
1
f (t) =
2

Ú

f^(x)eitx dx.

R

III Convolution et codimension finie
Dans cette partie, on suppose que g  Cb (R). On s'intéresse à la codimension 
dans L1 (R) du sous-espace
vectoriel
Ng = {f  L1 (R) | f  g = 0}.
On note Vg l'espace vectoriel engendré par les fonctions T (g) :
Vg = Vect (T (g))R
où, comme au I.B, on note T (g) la fonction x Ô g(x - ).
III.A ­ À toute fonction g de C(R), on associe la forme linéaire g sur L1 (R) 
définie par
Ú
f (t)g(-t)dt.
g (f ) =
R

Soit (g1 , . . . , gp ) une famille d'éléments de Cb (R).
III.A.1) Montrer que la famille (g1 , . . . , gp ) est libre si et seulement si 
la famille (g1 , . . . , gp ) est libre.
III.A.2) Soit E un espace vectoriel de dimension infinie et (fn )nN une famille 
de formes linéaires sur E. On
note
Ü
K=
Ker(fn ).
nN

Montrer que la codimension de K dans E est égale au rang de la famille (fn )nN 
dans l'espace dual E  (on
commencera par le cas où ce rang est fini).
III.A.3) Montrer que la codimension de Ng dans L1 (R) est égale à la dimension 
de Vg .
III.A.4)
a) Soit   R et soit g la fonction définie par g(t) = eit pour tout t  R. 
Déterminer la codimension de Ng
dans L1 (R).
b) Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe une fonction g de Cb (R) 
telle que Ng soit de codimension n
dans L1 (R).

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III.B ­ Hypothèse A
Soit g  Cb (R). On dit que g vérifie l'hypothèse A si g est une fonction de 
classe C  sur R, bornée et dont les
fonctions dérivées à tout ordre sont bornées sur R.
III.B.1) Montrer que, si Ng est de codimension finie dans L1 (R) et si g 
vérifie l'hypothèse A, alors g est solution
d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
III.B.2) En déduire l'ensemble des fonctions g vérifiant l'hypothèse A et 
telles que Ng soit de codimension finie
dans L1 (R).
III.C ­ Cas général
Soit g  Cb (R). On suppose que Ng est de codimension finie n dans L1 (R).
III.C.1) Montrer qu'il existe des réels 1 , 2 , . . . , n et des fonctions m1 , 
. . . , mn d'une variable réelle telles
que, pour tout réel ,
T (g) =

n
Ø

mi ()Ti (g).

i=1

III.C.2) Soit F un sous-espace de dimension finie, notée p, de C(R). Pour toute 
fonction f  C(R) et pour
tout réel x, on note ex (f ) = f (x).
a) Montrer qu'il existe des réels a1 , . . . , ap tels que (ea1 , . . . , eap ) 
soit une base de l'espace dual F  .
b) Si (f1 , . . . , fp ) est une famille d'éléments de F , montrer que Det(fi 
(aj ))16i,j6p est non nul si et seulement si
(f1 , . . . , fp ) est une base de F .
III.C.3) En appliquant la question III.C.2) à Vg , montrer que si g est de 
classe C k alors les fonctions
m1 , . . . , mn sont de classe C k .
III.C.4) Montrer que, pour tout entier naturel r non nul, Vhr g est de 
dimension finie (les fonctions hr sont
celles de la question I.D.3).
III.C.5) Montrer que pour r assez grand la dimension de Vhr g est égale à celle 
de Vg .
III.C.6) En déduire que les fonctions m1 , . . . , mn sont de classe C  .
III.C.7) Déterminer l'ensemble des fonctions g  Cb (R) telles que Ng soit de 
codimension finie dans L1 (R).
· · · FIN · · ·

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Centrale Maths 1 MP 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Louet (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent
Puyhaubert (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur agrégé).

L'épreuve est consacrée à l'étude d'une opération entre fonctions appelée 
convolution. Si sa définition générale n'est pas vraiment intuitive, elle se 
simplifie considérablement dans le cas de fonctions de N dans Z à support fini, 
qui est le contexte
dans lequel cette opération est utilisée en ingénierie, plus spécifiquement en 
traitement d'images où, par exemple, on peut lisser des défauts en remplaçant 
la valeur
d'un pixel par la moyenne des valeurs de 4 ou 8 pixels voisins. Dans ce 
problème,
cette opération n'est abordée que pour les fonctions continues de la variable 
réelle.
· La première partie est consacrée à l'étude du produit de convolution de deux
fonctions d'une variable réelle. On y étudie d'abord pour quels types de 
fonction
ce produit est bien défini et son comportement par rapport aux fonctions de
départ (continuité, uniforme continuité, dérivabilité), puis on établit le lien 
avec
les séries de Fourier dans le cas où l'une des fonctions est périodique. Enfin,
on utilise les résultats du début du problème et la notion d'approximation de
l'unité pour démontrer le théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur
un segment y est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales.
· La deuxième partie, dans le prolongement de la première, établit des 
propriétés
plus fines de la convolution et le lien avec la transformation de Fourier. Deux
questions délicates, étudiant l'intégrabilité de f g et l'effet de la 
transformation
de Fourier sur un produit de convolution, nécessitent d'appliquer soigneusement
le théorème de Fubini ; enfin, on termine en exploitant les résultats précédents
et en utilisant là encore la notion d'approximation de l'unité, afin de montrer 
la formule d'inversion de Fourier dans le cas d'une fonction intégrable de
transformée de Fourier intégrable.
· Dans la troisième partie, on aborde le thème de la codimension dans L1 (R)
de l'ensemble
{f  L1 (R) : f  g = 0}
où g est une fonction continue et bornée sur R. Il est donc question d'algèbre
linéaire en dimension finie et infinie. On fait le lien entre cet ensemble et la
dimension de l'espace vectoriel Vg engendré par les translatées de g. On 
envisage
dans un premier temps le cas d'une fonction g régulière ; puis, à l'aide d'un 
joli
raisonnement par l'absurde, on s'y ramène dans le cas général en étudiant le
comportement de Vgn , où (gn )nN est une approximation régulière de g.
Le sujet aborde donc des outils variés, essentiellement liés à l'analyse à une 
variable (intégrales à paramètres, séries de Fourier), mais aussi à l'algèbre 
linéaire. On y
aborde des résultats classiques comme la formule d'inversion de Fourier, et 
d'autres
plus originaux traitant d'algèbre linéaire dans l'espace vectoriel L1 (R). 
C'est un
très beau problème, mais il est particulièrement long et certaines questions 
sont
assez techniques.

Indications
Partie I
I.A.1.b Se souvenir que si deux fonctions sont de carré intégrable, leur 
produit est
intégrable et l'on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
I.A.3 Remarquer que si |x| est assez grand, f (t)g(x - t) est nul pour tout t.
I.B.1 Écrire la définition de l'uniforme continuité et celle de la limite.
I.B.4 Commencer par montrer qu'une fonction continue à support compact est
uniformément continue sur R. Majorer alors kT (f ) - f k2 en fonction de
kT (f ) - f k et du support (compact) de f , puis utiliser la question I.B.1.
I.B.5 Cette question est difficile.  > 0 étant fixé, il faut introduire 
manuellement
une fonction fe à support compact qui coïncide avec f sur un intervalle
[ -A ; A ] assez grand pour que l'intégrale de |f 2 | en dehors de cet 
intervalle
soit plus petite que , puis appliquer la question précédente à fe.
I.C.1.a Appliquer directement le théorème de continuité sous le signe intégrale.
I.C.1.b Utiliser la question I.B.1.
I.C.2 Appliquer k fois le théorème de dérivabilité sous le signe intégrale.
I.C.3.b Développer g en série de Fourier dans l'intégrale définissant f  g(x), 
permuter l'intégration et la sommation et calculer le coefficient de Fourier de
la fonction obtenue.
Z
I.D.1 L'intégrale de n valant 1, on peut écrire f (x) =

f (x)n (t) dt. Majorer

R

ensuite |f  n (x)- f (x)| en coupant l'intégrale obtenue selon que |t| 6  ou
|t| >  ( étant fixée de sorte que |f (x - t) - f (x)| soit « petit » si |t| 6 ).
I.D.2 Même démarche à la question précédente, mais  vient ici de l'uniforme
continuité de f .
I.D.3.b Si x et t sont dans [ -1/2 ; 1/2 ] alors hn (x - t) est un polynôme en 
x et t.
I.D.3.c Commencer par prolonger f en une fonction continue sur R à support
compact, puis se ramener à l'intervalle [ -1/2 ; 1/2 ].
Partie II
II.B.1.a Appliquer le théorème de Fubini à la fonction (t, x) 7 f (t)g(x-t) sur 
R×R.
Pour montrer que f  g est intégrable sur R, on majore toutes ses intégrales
sur les segments [ -B ; B ] en faisant tendre A vers + dans l'expression
!
Z
Z
B

A

-B

-A

|f (t)g(x - t)| dt

dx

II.B.1.b Appliquer la question I.B.1.a aux fonctions
u 7 f (u) e -ixu

et

u 7 g(u) e -ixu

4
3
II.B.2 Considérer la fonction valant, pour chaque
 - (n - 1/n )) sur
 n  N, n 3(x
3
4
3
n - 1/n ; n , -n (x - (n + 1/n )) sur n ; n + 1/n et nulle en dehors
de ces intervalles.
II.D.1 Il faut là encore appliquer le théorème de Fubini, la fonction de deux 
variables étant, à t fixé, (u, x) 7 f (u)kn (x)e -ix(u+t) .
II.D.2 Montrer que les deux membres de la question précédente convergent 
simplement vers ceux de l'égalité cherchée. Attention, f n'étant pas supposée
bornée, on ne peut pas lui appliquer directement la question I.D.1.

Partie III
III.A.1 Commencer par montrer l'équivalence g = 0  g = 0.
III.A.2 Si F est un supplémentaire de K dans E et (f1 , . . . , fp ) une base 
extraite
de (fn )nN , considérer l'application
x 7 (f1 (x), . . . , fp (x))

III.A.3

III.A.4.b

III.B.1.a
III.B.1.b

III.C.2.a

définie sur F, et montrer qu'elle est injective. Puis montrer que la famille
(f1 |F , . . . , fp |f ) est libre dans F .
L'énoncé est ici mal fait : il faut utiliser la question précédente avec la
famille (T (g) )R , mais celle-ci est indexée sur R et non sur N. Le mieux
est de signaler que le résultat de III.A.2 reste valable dans ce cas.
Poser gj (t) = e ij t , 1 6 i 6 n, où les e ij sont deux à deux distincts ; il 
faut
d'abord montrer que (g1 , . . . , gn ) est libre, puis l'exploiter pour prouver 
que
si g = g1 + · · · + gn , Vg est de dimension n. On utilise ici plusieurs fois 
les
déterminants de Vandermonde.
Utiliser la définition de la dérivée pour montrer que la dérivée de g est limite
uniforme de fonctions qui sont dans Vg , qui est un espace de dimension finie.
Redémontrer que les solutions d'une équation différentielle linéaire à 
coefficients constants sont sommes de fonctions produits d'un polynôme et d'une
exponentielle.
Si (1 , . . . , p ) est une base de F, la famille (ea1 , . . . , eap ) a pour 
matrice
M = (i (aj ))16i,j6p

dans la base duale (1 , . . . , p  ). On est donc amené à trouver (a1 , . . . , 
ap )
tel que det M soit non nul. Il faut les construire par récurrence.
III.C.2.b La matrice (fj (ai ))16i,j6p est celle de (f1 , . . . , fp ) dans la 
base antéduale
associée à (ea1 , . . . , eap ).
III.C.3 Montrer que (m1 (), . . . , mp ()) est image d'un vecteur de classe C k 
par
rapport à  par l'inverse de la matrice dont on vient de calculer le 
déterminant, qui ne dépend pas de . Pour résoudre les questions suivantes, il
faudra de plus montrer (ce qui n'est pas demandé dans l'énoncé) que les k
dérivées des fonctions m1 , . . . , mn sont bornées.
III.C.5 Cette question est particulièrement difficile. En raisonnant par 
l'absurde,
on trouve une suite de vecteurs (1 (k), . . . , n (k))kN de norme 1 et une
suite (rk )kN d'entiers, strictement croissante, telle que, pour tout k  N

1 (k)hrk  T1 (g) + · · · + n (k)hrk  Tn (g) = 0
puis en passant à la limite par compacité, on trouve une combinaison linéaire 
non triviale nulle de T1 (g), . . . , Tn (g).
III.C.6 Pour r  N , hr est de classe C r-1 . En déduire que hr  g l'est 
également, puis montrer que les fonctions mi pour 1 6 i 6 n sont chacune une
combinaison linéaire des fonctions
 7- (hr  g)(ai - )
pour un certain n-uplet de réels (a1 , . . . , an ). En déduire non seulement
que les fonctions m1 , . . . , mn sont de classe C  , mais qu'elles vérifient
l'hypothèse A.
III.C.7 Montrer à l'aide de la question précédente que g vérifie l'hypothèse A.

I. Produit de convolution
I.A

Généralités

I.A.1.a Soit x  R. On a pour tout réel t l'inégalité :
|f (t)g(x - t)| 6 |f (t)| kgk
qui, comme f  L1 (R), est intégrable par rapport à la variable t. Ainsi, la 
fonction
t 7 f (t)g(x - t) est intégrable sur R et
Z
Z
f (t)g(x - t) dt 6 |f (t)g(x - t)| dt
R

R

6

Z

R

pour tout x  R. Finalement,

|f (t)| dt kgk

La fonction f  g est bien définie et bornée sur R,
et l'on a la majoration kf  gk 6 kf k1 kgk .
En toute rigueur, pour pouvoir parler de la norme infinie de f  g, il faudrait
montrer que cette fonction est continue sur R (ou étendre la définition de
la norme infinie aux fonctions seulement bornées), mais ce résultat étant
demandé ultérieurement (question I.C.1), il ne semble pas attendu ici.
ZI.A.1.b Soit x  R. La fonction g est de carré intégrable sur R ; dans 
l'intégrale
g 2 (u) du, on effectue le changement de variable affine u = x - t qui montre 
que
R

t 7 g(x - t)2 est intégrable sur R et que l'on a l'égalité :
Z
Z
g(x - t)2 dt = g(u)2 du
R

R

soit kg(x - ·)k2 = kgk2 . Alors le produit de f et g(x - ·) est intégrable (car 
les deux
fonctions sont de carré intégrable) sur R et l'on a par l'inégalité de 
Cauchy-Schwarz :
rZ
rZ
Z
f (t)g(x - t) dt 6
|f (t)|2 dt
|g(x - t)|2 dt
R

R

R

La fonction f  g est bien définie et bornée sur R,
et on l'a la majoration kf  gk 6 kf k2 kgk2 .
I.A.2 Pour tout x  R, le changement de variable affine x - t = u donne :
Z
Z
f (t)g(x - t) dt = f (x - u)g(u) du
R

soit

R

f g =gf