Centrale Maths 1 MP 2010

Thème de l'épreuve Construction d'une fonction continue surjective de [0;1] à valeurs dans un triangle plein
Principaux outils utilisés utilisation des complexes en géométrie, opérateur fonctionnel, topologie
Mots clefs décomposition en base 2

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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- version du 1er mars 2010 9h35

MATHÉMATIQUES I

n1

La notation {0, 1}N designera l'ensemble des suites (rn )n1 d'entiers naturels
tels que rn  {0, 1} pour tout entier naturel non nul n.
La norme de la convergence uniforme sur le C-espace vectoriel des applications
continues de [0, 1] dans C est notee || || .
La partie entiere du reel x est notee [x]. Si n est un entier naturel on posera,
pour tout reel x et tout entier naturel non nul n :
n
n-1
x].
rn (x) =
 [2 x] - 2 [2
1
k
On notera Z
l'ensemble des rationnels de la forme n ou k  Z et n  N.
2
2
On rappelle enfin que, si (Xn )n1 est une famille de parties de C indexees sur
a:
N , on T
Xn = {z  C / n  N , z  Xn }

Etablir que  = 0  1 .
Representer sur une meme figure 0 , 1 ,  .

I.A.2)

MP

c
b) En deduire une expression simple de (abc).

a) Demontrer que, si l'on fixe z  C et (a, b, c)  C3
c = max(|z - a|, |z - b|, |z - c|).
max{|z  - z| / z   abc}

I.B.2)

c = max{|z  - z| / (z, z  )  abc
c }
(abc)

2

d) Avec les memes notations prouver l'existence de :

b) Demontrer que K est convexe c'est a dire que, pour tout reel t  [0, 1] et 
tout
couple (u, v) d'elements de K, tu + (1 - t)v appartient a K.
c est un compact convexe de C muni de sa topologie
c) Etablir que, si (a, b, c)  C3 , abc
usuelle.

a) Demontrer que K est un compact de R3 pour sa topologie usuelle.

I.B.1)

I.B - (Diametre d'un triangle plein)

c) Demontrer que 0 est la composee d'une reflexion dont on precisera l'axe et 
d'une
homothetie de rapport strictement positif a preciser et dont le centre 
appartient a
l'axe de la reflexion. Prouver une propriete analogue pour 1 . Ces 
decompositions
sont-elles uniques ?
c par 0 et par 1 ? Determiner 0 ( )
I.A.4) Que vaut l'image d'un triangle plein abc
et 1 ( ).

z  - a = e2i (z - a)
b) Etablir une relation analogue a celle de la question precedente entre un 
complexe
z et son image z  par l'homothetie de centre a et de rapport  > 0.

a) Soit a  C et   R. Prouver que l'image z  du complexe z par la reflexion dont
l'axe est la droite passant par a et dirigee par ei verifie la relation :

I.A.3)

Filière

Partie I - Preliminaires geometriques
I.A.1)

I.A -

Page 1/3

L'objectif du probleme est la construction d'une application f continue de [0, 
1]
dans C dont l'image f ([0, 1]) est le triangle plein  et l'etude de quelques 
unes de
ses proprietes.

·

·

·

·

·

Dans tout le probleme l'ensemble C des nombres complexes est considere comme le
plan affine euclidien muni de son repere orthonorme canonique (0, 1, i) (ou i2 
= -1).
·
On notera K l'ensemble des triplets (, , ) de R3 constitues de trois reels
positifs ou nuls tels que  +  +  = 1.
c le "triangle plein" defini par :
·
Si (a, b, c)  C3 , on notera abc
c
abc = { a +  b +  c / (, , )  K}.
Dans tout le probleme on notera 0 , 1 et  les triangles pleins definis par :
[
0 = -10i.
c
1 = 01i.
[
 = -11i.
·
On notera egalement 0 et 1 les applications de C dans C definies par (en
notant z le conjugue du nombre complexe z) :
1+i
-1 + i
1-i
1+i
z+
z+
0 (z) =
et 1 (z) =
.
2
2
2
2

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 1er mars 2010 9h35

MATHÉMATIQUES I

n1

La notation {0, 1}N designera l'ensemble des suites (rn )n1 d'entiers naturels
tels que rn  {0, 1} pour tout entier naturel non nul n.
La norme de la convergence uniforme sur le C-espace vectoriel des applications
continues de [0, 1] dans C est notee || || .
La partie entiere du reel x est notee [x]. Si n est un entier naturel on posera,
pour tout reel x et tout entier naturel non nul n :
n
n-1
x].
rn (x) =
 [2 x] - 2 [2
1
k
On notera Z
l'ensemble des rationnels de la forme n ou k  Z et n  N.
2
2
On rappelle enfin que, si (Xn )n1 est une famille de parties de C indexees sur
a:
N , on T
Xn = {z  C / n  N , z  Xn }

Etablir que  = 0  1 .
Representer sur une meme figure 0 , 1 ,  .

I.A.2)

MP

c
b) En deduire une expression simple de (abc).

a) Demontrer que, si l'on fixe z  C et (a, b, c)  C3
c = max(|z - a|, |z - b|, |z - c|).
max{|z  - z| / z   abc}

I.B.2)

c = max{|z  - z| / (z, z  )  abc
c }
(abc)

2

d) Avec les memes notations prouver l'existence de :

b) Demontrer que K est convexe c'est a dire que, pour tout reel t  [0, 1] et 
tout
couple (u, v) d'elements de K, tu + (1 - t)v appartient a K.
c est un compact convexe de C muni de sa topologie
c) Etablir que, si (a, b, c)  C3 , abc
usuelle.

a) Demontrer que K est un compact de R3 pour sa topologie usuelle.

I.B.1)

I.B - (Diametre d'un triangle plein)

c) Demontrer que 0 est la composee d'une reflexion dont on precisera l'axe et 
d'une
homothetie de rapport strictement positif a preciser et dont le centre 
appartient a
l'axe de la reflexion. Prouver une propriete analogue pour 1 . Ces 
decompositions
sont-elles uniques ?
c par 0 et par 1 ? Determiner 0 ( )
I.A.4) Que vaut l'image d'un triangle plein abc
et 1 ( ).

z  - a = e2i (z - a)
b) Etablir une relation analogue a celle de la question precedente entre un 
complexe
z et son image z  par l'homothetie de centre a et de rapport  > 0.

a) Soit a  C et   R. Prouver que l'image z  du complexe z par la reflexion dont
l'axe est la droite passant par a et dirigee par ei verifie la relation :

I.A.3)

Filière

Partie I - Preliminaires geometriques
I.A.1)

I.A -

Page 1/3

L'objectif du probleme est la construction d'une application f continue de [0, 
1]
dans C dont l'image f ([0, 1]) est le triangle plein  et l'etude de quelques 
unes de
ses proprietes.

·

·

·

·

·

Dans tout le probleme l'ensemble C des nombres complexes est considere comme le
plan affine euclidien muni de son repere orthonorme canonique (0, 1, i) (ou i2 
= -1).
·
On notera K l'ensemble des triplets (, , ) de R3 constitues de trois reels
positifs ou nuls tels que  +  +  = 1.
c le "triangle plein" defini par :
·
Si (a, b, c)  C3 , on notera abc
c
abc = { a +  b +  c / (, , )  K}.
Dans tout le probleme on notera 0 , 1 et  les triangles pleins definis par :
[
0 = -10i.
c
1 = 01i.
[
 = -11i.
·
On notera egalement 0 et 1 les applications de C dans C definies par (en
notant z le conjugue du nombre complexe z) :
1+i
-1 + i
1-i
1+i
z+
z+
0 (z) =
et 1 (z) =
.
2
2
2
2

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 1er mars 2010 9h35

MATHÉMATIQUES I

n1

La notation {0, 1}N designera l'ensemble des suites (rn )n1 d'entiers naturels
tels que rn  {0, 1} pour tout entier naturel non nul n.
La norme de la convergence uniforme sur le C-espace vectoriel des applications
continues de [0, 1] dans C est notee || || .
La partie entiere du reel x est notee [x]. Si n est un entier naturel on posera,
pour tout reel x et tout entier naturel non nul n :
n
n-1
x].
rn (x) =
 [2 x] - 2 [2
1
k
On notera Z
l'ensemble des rationnels de la forme n ou k  Z et n  N.
2
2
On rappelle enfin que, si (Xn )n1 est une famille de parties de C indexees sur
a:
N , on T
Xn = {z  C / n  N , z  Xn }

Etablir que  = 0  1 .
Representer sur une meme figure 0 , 1 ,  .

I.A.2)

MP

c
b) En deduire une expression simple de (abc).

a) Demontrer que, si l'on fixe z  C et (a, b, c)  C3
c = max(|z - a|, |z - b|, |z - c|).
max{|z  - z| / z   abc}

I.B.2)

c = max{|z  - z| / (z, z  )  abc
c }
(abc)

2

d) Avec les memes notations prouver l'existence de :

b) Demontrer que K est convexe c'est a dire que, pour tout reel t  [0, 1] et 
tout
couple (u, v) d'elements de K, tu + (1 - t)v appartient a K.
c est un compact convexe de C muni de sa topologie
c) Etablir que, si (a, b, c)  C3 , abc
usuelle.

a) Demontrer que K est un compact de R3 pour sa topologie usuelle.

I.B.1)

I.B - (Diametre d'un triangle plein)

c) Demontrer que 0 est la composee d'une reflexion dont on precisera l'axe et 
d'une
homothetie de rapport strictement positif a preciser et dont le centre 
appartient a
l'axe de la reflexion. Prouver une propriete analogue pour 1 . Ces 
decompositions
sont-elles uniques ?
c par 0 et par 1 ? Determiner 0 ( )
I.A.4) Que vaut l'image d'un triangle plein abc
et 1 ( ).

z  - a = e2i (z - a)
b) Etablir une relation analogue a celle de la question precedente entre un 
complexe
z et son image z  par l'homothetie de centre a et de rapport  > 0.

a) Soit a  C et   R. Prouver que l'image z  du complexe z par la reflexion dont
l'axe est la droite passant par a et dirigee par ei verifie la relation :

I.A.3)

Filière

Partie I - Preliminaires geometriques
I.A.1)

I.A -

Page 1/3

L'objectif du probleme est la construction d'une application f continue de [0, 
1]
dans C dont l'image f ([0, 1]) est le triangle plein  et l'etude de quelques 
unes de
ses proprietes.

·

·

·

·

·

Dans tout le probleme l'ensemble C des nombres complexes est considere comme le
plan affine euclidien muni de son repere orthonorme canonique (0, 1, i) (ou i2 
= -1).
·
On notera K l'ensemble des triplets (, , ) de R3 constitues de trois reels
positifs ou nuls tels que  +  +  = 1.
c le "triangle plein" defini par :
·
Si (a, b, c)  C3 , on notera abc
c
abc = { a +  b +  c / (, , )  K}.
Dans tout le probleme on notera 0 , 1 et  les triangles pleins definis par :
[
0 = -10i.
c
1 = 01i.
[
 = -11i.
·
On notera egalement 0 et 1 les applications de C dans C definies par (en
notant z le conjugue du nombre complexe z) :
1+i
-1 + i
1-i
1+i
z+
z+
0 (z) =
et 1 (z) =
.
2
2
2
2

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

pour tout entier naturel non nul p.

f (x) = r1  r2  . . . rp (f (xp ))

Inversement, soit x  [0, 1[.

Inversement, soit z   .

b) Plus generalement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de [0, 1] 
sur 
(on pourra utiliser un argument de connexite par arcs).
III.A.6)

a) Prouver que f n'est pas injective (on pourra utiliser la relation f (1-x) = 
-f (x)).

III.A.5)

a) Montrer qu'on peut definir deux suites (zn )n0 et (rn )n1 de la maniere 
suivante :
·
z0 = z
et, si n  1 :
·
si zn-1  0 alors rn = 0 et zn = (0 )-1 (zn-1 )
·
sinon rn = 1 et zn = (1 )-1 (zn-1 ).
Prouver que, pour tout entier n  N, zn appartient  .

P rn
= z (on pourra exprimer z en fonction de zn et des ri ).
b) Prouver que f
n
n=1 2
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe z (que l'on supposera
dans  ) et un reel  et qui renvoie une valeur approchee a  pres d'un antecedent 
de
z.

III.A.4)

1
 .
a) Montrer que f [0, 1]  Z
2
b) Montrer que f ([0, 1])   .

III.A.3)

a) Etablir que, pour tout entier naturel non nul n, rn (x)  {0, 1}.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul N et tout reel x  [0, 1[ :
N r (x)
 r (x)
P
P
[2N x]
n
n
=
puis x =
.
N
n
n
2
n=1 2
n=1 2
 
1
c) Montrer que si, en outre, x  Z
alors il existe N  N tel que rn (x) = 0 pour
2
tout entier naturel
. 
 
 n > N
1
1
1
pour tout
et f
. Reconnaitre 0  0 et en deduire f
d) Calculer f
2
4
2k
k  N.

III.A.2)

Filière MP

a) Pour (i, j)  {0, 1}2 , determiner l'expression complexe de i  j , la 
reconnaitre,
preciser son point fixe et l'image de  . Faire un dessin.
b) Soient r1 , r2 , . . . , rp des elements de {0, 1}. Prouver que  = r1  r2  · 
· ·  rp
possede un unique point fixe que l'on ne cherchera pas necessairement a exprimer
simplement.
c) Exhiber, a l'aide de l'application f , un point fixe de .
Page 2/3

rn
a) Montrer que la serie de terme general n converge et que sa somme x appartient
2
a [0, 1].
 r
P
n+p
, prouver la relation :
b) En posant pour tout entier naturel p, xp =
n
n=1 2

III.A - Image de f

III.A.1) Soit (rn )n1  {0, 1}N

Partie III - Proprietes de f

a) Prouver que la suite (fn ) converge uniformement sur [0, 1] vers une 
fonction f  E.
b) Prouver que T f = f .
c) Prouver que, pour tout x  [0, 1], f (x) = -f (1 - x) et interpreter 
geometriquement
cette relation.

II - Dans la suite on note E l'ensemble des applications g continues de [0, 1] 
dans C
telles que g(0) = -1 et g(1) = 1. Si g  E, on note T g l'application de [0, 1] 
dans C
definie par :

1
1
,1 .
et T g(x) = 1 (g(2x - 1)) si x 
T g(x) = 0 (g(2x)) si x  0,
2
2
II.1) Determiner l'unique element f0 de E qui soit affine.
II.2) Montrer que T g  E pour tout g  E.
II.3) Soient g1 et g2 deux elements de E. Prouver que :
1
||T g2 - T g1 || =  ||g2 - g1 || .
2
II.4) On definit maintenant une suite (fn )nN d'elements de E en choisissant f0
affine comme ci-dessus et fn+1 = T fn pour tout entier naturel n.

Partie II - Construction de l'application f

n1

I.B.3) Soit (rn )n1 un element de {0, 1}N . Pour chaque entier naturel non nul 
n,
on note n = Tr1  r2  · · ·  rn ( ).
Montrer que
n est reduit a un seul point appartenant a  .

MATHÉMATIQUES I

pour tout entier naturel non nul p.

f (x) = r1  r2  . . . rp (f (xp ))

Inversement, soit x  [0, 1[.

Inversement, soit z   .

b) Plus generalement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de [0, 1] 
sur 
(on pourra utiliser un argument de connexite par arcs).
III.A.6)

a) Prouver que f n'est pas injective (on pourra utiliser la relation f (1-x) = 
-f (x)).

III.A.5)

a) Montrer qu'on peut definir deux suites (zn )n0 et (rn )n1 de la maniere 
suivante :
·
z0 = z
et, si n  1 :
·
si zn-1  0 alors rn = 0 et zn = (0 )-1 (zn-1 )
·
sinon rn = 1 et zn = (1 )-1 (zn-1 ).
Prouver que, pour tout entier n  N, zn appartient  .

P rn
= z (on pourra exprimer z en fonction de zn et des ri ).
b) Prouver que f
n
n=1 2
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe z (que l'on supposera
dans  ) et un reel  et qui renvoie une valeur approchee a  pres d'un antecedent 
de
z.

III.A.4)

1
 .
a) Montrer que f [0, 1]  Z
2
b) Montrer que f ([0, 1])   .

III.A.3)

a) Etablir que, pour tout entier naturel non nul n, rn (x)  {0, 1}.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul N et tout reel x  [0, 1[ :
N r (x)
 r (x)
P
P
[2N x]
n
n
=
puis x =
.
N
n
n
2
n=1 2
n=1 2
 
1
c) Montrer que si, en outre, x  Z
alors il existe N  N tel que rn (x) = 0 pour
2
tout entier naturel
. 
 
 n > N
1
1
1
pour tout
et f
. Reconnaitre 0  0 et en deduire f
d) Calculer f
2
4
2k
k  N.

III.A.2)

Filière MP

a) Pour (i, j)  {0, 1}2 , determiner l'expression complexe de i  j , la 
reconnaitre,
preciser son point fixe et l'image de  . Faire un dessin.
b) Soient r1 , r2 , . . . , rp des elements de {0, 1}. Prouver que  = r1  r2  · 
· ·  rp
possede un unique point fixe que l'on ne cherchera pas necessairement a exprimer
simplement.
c) Exhiber, a l'aide de l'application f , un point fixe de .
Page 2/3

rn
a) Montrer que la serie de terme general n converge et que sa somme x appartient
2
a [0, 1].
 r
P
n+p
, prouver la relation :
b) En posant pour tout entier naturel p, xp =
n
n=1 2

III.A - Image de f

III.A.1) Soit (rn )n1  {0, 1}N

Partie III - Proprietes de f

a) Prouver que la suite (fn ) converge uniformement sur [0, 1] vers une 
fonction f  E.
b) Prouver que T f = f .
c) Prouver que, pour tout x  [0, 1], f (x) = -f (1 - x) et interpreter 
geometriquement
cette relation.

II - Dans la suite on note E l'ensemble des applications g continues de [0, 1] 
dans C
telles que g(0) = -1 et g(1) = 1. Si g  E, on note T g l'application de [0, 1] 
dans C
definie par :

1
1
,1 .
et T g(x) = 1 (g(2x - 1)) si x 
T g(x) = 0 (g(2x)) si x  0,
2
2
II.1) Determiner l'unique element f0 de E qui soit affine.
II.2) Montrer que T g  E pour tout g  E.
II.3) Soient g1 et g2 deux elements de E. Prouver que :
1
||T g2 - T g1 || =  ||g2 - g1 || .
2
II.4) On definit maintenant une suite (fn )nN d'elements de E en choisissant f0
affine comme ci-dessus et fn+1 = T fn pour tout entier naturel n.

Partie II - Construction de l'application f

n1

I.B.3) Soit (rn )n1 un element de {0, 1}N . Pour chaque entier naturel non nul 
n,
on note n = Tr1  r2  · · ·  rn ( ).
Montrer que
n est reduit a un seul point appartenant a  .

MATHÉMATIQUES I

pour tout entier naturel non nul p.

f (x) = r1  r2  . . . rp (f (xp ))

Inversement, soit x  [0, 1[.

Inversement, soit z   .

b) Plus generalement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de [0, 1] 
sur 
(on pourra utiliser un argument de connexite par arcs).
III.A.6)

a) Prouver que f n'est pas injective (on pourra utiliser la relation f (1-x) = 
-f (x)).

III.A.5)

a) Montrer qu'on peut definir deux suites (zn )n0 et (rn )n1 de la maniere 
suivante :
·
z0 = z
et, si n  1 :
·
si zn-1  0 alors rn = 0 et zn = (0 )-1 (zn-1 )
·
sinon rn = 1 et zn = (1 )-1 (zn-1 ).
Prouver que, pour tout entier n  N, zn appartient  .

P rn
= z (on pourra exprimer z en fonction de zn et des ri ).
b) Prouver que f
n
n=1 2
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe z (que l'on supposera
dans  ) et un reel  et qui renvoie une valeur approchee a  pres d'un antecedent 
de
z.

III.A.4)

1
 .
a) Montrer que f [0, 1]  Z
2
b) Montrer que f ([0, 1])   .

III.A.3)

a) Etablir que, pour tout entier naturel non nul n, rn (x)  {0, 1}.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul N et tout reel x  [0, 1[ :
N r (x)
 r (x)
P
P
[2N x]
n
n
=
puis x =
.
N
n
n
2
n=1 2
n=1 2
 
1
c) Montrer que si, en outre, x  Z
alors il existe N  N tel que rn (x) = 0 pour
2
tout entier naturel
. 
 
 n > N
1
1
1
pour tout
et f
. Reconnaitre 0  0 et en deduire f
d) Calculer f
2
4
2k
k  N.

III.A.2)

Filière MP

a) Pour (i, j)  {0, 1}2 , determiner l'expression complexe de i  j , la 
reconnaitre,
preciser son point fixe et l'image de  . Faire un dessin.
b) Soient r1 , r2 , . . . , rp des elements de {0, 1}. Prouver que  = r1  r2  · 
· ·  rp
possede un unique point fixe que l'on ne cherchera pas necessairement a exprimer
simplement.
c) Exhiber, a l'aide de l'application f , un point fixe de .
Page 2/3

rn
a) Montrer que la serie de terme general n converge et que sa somme x appartient
2
a [0, 1].
 r
P
n+p
, prouver la relation :
b) En posant pour tout entier naturel p, xp =
n
n=1 2

III.A - Image de f

III.A.1) Soit (rn )n1  {0, 1}N

Partie III - Proprietes de f

a) Prouver que la suite (fn ) converge uniformement sur [0, 1] vers une 
fonction f  E.
b) Prouver que T f = f .
c) Prouver que, pour tout x  [0, 1], f (x) = -f (1 - x) et interpreter 
geometriquement
cette relation.

II - Dans la suite on note E l'ensemble des applications g continues de [0, 1] 
dans C
telles que g(0) = -1 et g(1) = 1. Si g  E, on note T g l'application de [0, 1] 
dans C
definie par :

1
1
,1 .
et T g(x) = 1 (g(2x - 1)) si x 
T g(x) = 0 (g(2x)) si x  0,
2
2
II.1) Determiner l'unique element f0 de E qui soit affine.
II.2) Montrer que T g  E pour tout g  E.
II.3) Soient g1 et g2 deux elements de E. Prouver que :
1
||T g2 - T g1 || =  ||g2 - g1 || .
2
II.4) On definit maintenant une suite (fn )nN d'elements de E en choisissant f0
affine comme ci-dessus et fn+1 = T fn pour tout entier naturel n.

Partie II - Construction de l'application f

n1

I.B.3) Soit (rn )n1 un element de {0, 1}N . Pour chaque entier naturel non nul 
n,
on note n = Tr1  r2  · · ·  rn ( ).
Montrer que
n est reduit a un seul point appartenant a  .

MATHÉMATIQUES I

pour tout entier naturel non nul p.

f (x) = r1  r2  . . . rp (f (xp ))

Inversement, soit x  [0, 1[.

Inversement, soit z   .

b) Plus generalement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de [0, 1] 
sur 
(on pourra utiliser un argument de connexite par arcs).
III.A.6)

a) Prouver que f n'est pas injective (on pourra utiliser la relation f (1-x) = 
-f (x)).

III.A.5)

a) Montrer qu'on peut definir deux suites (zn )n0 et (rn )n1 de la maniere 
suivante :
·
z0 = z
et, si n  1 :
·
si zn-1  0 alors rn = 0 et zn = (0 )-1 (zn-1 )
·
sinon rn = 1 et zn = (1 )-1 (zn-1 ).
Prouver que, pour tout entier n  N, zn appartient  .

P rn
= z (on pourra exprimer z en fonction de zn et des ri ).
b) Prouver que f
n
n=1 2
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe z (que l'on supposera
dans  ) et un reel  et qui renvoie une valeur approchee a  pres d'un antecedent 
de
z.

III.A.4)

1
 .
a) Montrer que f [0, 1]  Z
2
b) Montrer que f ([0, 1])   .

III.A.3)

a) Etablir que, pour tout entier naturel non nul n, rn (x)  {0, 1}.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul N et tout reel x  [0, 1[ :
N r (x)
 r (x)
P
P
[2N x]
n
n
=
puis x =
.
N
n
n
2
n=1 2
n=1 2
 
1
c) Montrer que si, en outre, x  Z
alors il existe N  N tel que rn (x) = 0 pour
2
tout entier naturel
. 
 
 n > N
1
1
1
pour tout
et f
. Reconnaitre 0  0 et en deduire f
d) Calculer f
2
4
2k
k  N.

III.A.2)

Filière MP

a) Pour (i, j)  {0, 1}2 , determiner l'expression complexe de i  j , la 
reconnaitre,
preciser son point fixe et l'image de  . Faire un dessin.
b) Soient r1 , r2 , . . . , rp des elements de {0, 1}. Prouver que  = r1  r2  · 
· ·  rp
possede un unique point fixe que l'on ne cherchera pas necessairement a exprimer
simplement.
c) Exhiber, a l'aide de l'application f , un point fixe de .
Page 2/3

rn
a) Montrer que la serie de terme general n converge et que sa somme x appartient
2
a [0, 1].
 r
P
n+p
, prouver la relation :
b) En posant pour tout entier naturel p, xp =
n
n=1 2

III.A - Image de f

III.A.1) Soit (rn )n1  {0, 1}N

Partie III - Proprietes de f

a) Prouver que la suite (fn ) converge uniformement sur [0, 1] vers une 
fonction f  E.
b) Prouver que T f = f .
c) Prouver que, pour tout x  [0, 1], f (x) = -f (1 - x) et interpreter 
geometriquement
cette relation.

II - Dans la suite on note E l'ensemble des applications g continues de [0, 1] 
dans C
telles que g(0) = -1 et g(1) = 1. Si g  E, on note T g l'application de [0, 1] 
dans C
definie par :

1
1
,1 .
et T g(x) = 1 (g(2x - 1)) si x 
T g(x) = 0 (g(2x)) si x  0,
2
2
II.1) Determiner l'unique element f0 de E qui soit affine.
II.2) Montrer que T g  E pour tout g  E.
II.3) Soient g1 et g2 deux elements de E. Prouver que :
1
||T g2 - T g1 || =  ||g2 - g1 || .
2
II.4) On definit maintenant une suite (fn )nN d'elements de E en choisissant f0
affine comme ci-dessus et fn+1 = T fn pour tout entier naturel n.

Partie II - Construction de l'application f

n1

I.B.3) Soit (rn )n1 un element de {0, 1}N . Pour chaque entier naturel non nul 
n,
on note n = Tr1  r2  · · ·  rn ( ).
Montrer que
n est reduit a un seul point appartenant a  .

MATHÉMATIQUES I

· · · FIN · · ·

Page 3/3

III.B - Derivabilite de f
III.B.1) Supposons que f soit derivable sur [0, 1].
Soient x  [0, 1], (n )n1 et (n )n1 deux suites d'elements de [0, 1], 
convergentes
vers x et telles que n  x  n et n < n pour tout n.
f (n ) - f (n )
Montrer que la suite de terme general
converge vers f  (x).
n - n
III.B.2) Soit x  [0, 1]
a) Si x  [0, 1[, en choisissant :

P
r1 (x)
1
rn (x)
n =
,
+ · · · + n et n = n +
k
2
2
2
k=n+1
prouver que f n'est pas derivable en x.
b) Prouver que f n'est pas derivable en 1.

d) Montrer que l'ensemble X des complexes z qui sont point fixe de la composee
d'un nombre fini d'applications 0 et 1 est dense dans  .

MATHÉMATIQUES I

Filière MP

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Maths 1 MP 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Glorieux (ENS Lyon) et Guillaume Batog (ENS
Cachan) ; il a été relu par Céline Chevalier (ENS Cachan).

Ce sujet original a pour but de construire une fonction continue f de [ 0 ; 1 ]
dans C dont l'image est un triangle plein. Il se compose de trois parties de 
difficulté
progressive.
· La première commence par des préliminaires géométriques, un peu déroutants,
où l'on exploite la représentation complexe des réflexions et des homothéties.
On étudie en particulier deux transformations du plan complexe qui permettent
de définir f avant de poursuivre par l'étude du diamètre d'un triangle du plan.
· La deuxième partie consiste à construire la fonction f comme la limite des 
itérés
d'un opérateur fonctionnel. Elle se traite indépendamment de la première.
· La dernière partie étudie quelques propriétés de la fonction f ainsi 
construite :
surjectivité, non-injectivité, dérivabilité nulle part. Elle mélange des 
questions
techniques, calculatoires et de réflexion. Un programme informatique est 
également demandé pour calculer une valeur approchée d'un antécédent de f .
Ce sujet est long mais bien construit. Les deux premières parties prennent du
temps, et c'est là que se faisait la différence entre les copies. La topologie 
apparaît
ponctuellement tout au long du sujet, dans un large spectre : compacité, 
convexité,
suites de Cauchy, continuité, connexité par arcs, densité. C'est la seule 
partie du
programme de seconde année nécessaire pour traiter ce sujet, qui constitue un 
bon
entraînement général aux épreuves d'analyse de Centrale.

Les conseils du jury
Le rapport du jury pointe plusieurs faiblesses dans les copies qui ont
été lourdement sanctionnées. Il est conseillé aux candidats d'être au point
sur les compétences de base suivantes : calculer dans le corps des complexes
(produit, conjugaison), déterminer la somme d'une série géométrique, établir
la convergence d'une série par comparaison ou connaître la partie entière et
l'inégalité fondamentale x 6 x < x + 1 pour tout réel x.
Concernant la rédaction des démonstrations, le jury demande « d'éviter
les expressions telles que clairement ou immédiatement ; elles ne dissimulent
pas l'absence de preuve et agacent les correcteurs ». Invoquez les théorèmes au
programme ou indiquez clairement les arguments permettant d'écrire telle ou
telle affirmation. Par exemple, pour justifier la continuité d'une application,
« de petits mots tels que linéaire en dimension finie, polynôme, théorème
de composition... ont été appréciés. » Enfin, soyez honnête : « évitez, lorsque
vous ne savez pas répondre à une question, de prétendre qu'il y a une erreur
dans l'énoncé »...

Indications
Partie I
I.A.3.a Se ramener au cas où a = 0 et l'axe de symétrie est celui des abscisses.
I.A.3.c Chercher une relation vérifiée par 0 et 1 de la forme
z  = a +  e 2i (z - a)
I.A.4 Calculer les images des sommets du triangle.
I.B.1.a Rappelons que les compacts pour la topologie usuelle de Rn sont 
exactement les fermés bornés.
I.B.1.c C'est l'image d'un compact par une application continue bien choisie.
I.B.2.a Voici une égalité bien utile, où z  C et z  = a+b+c avec + + = 1 :
|z - z  | = |(z - a) + (z - b) + (z - c)|
c utiliser l'inégalité
I.B.2.b Pour z  C et z   abc,
n
o
c
|z - z  | 6 max max(|z  - a|, |z  - b|, |z  - c|) | z   abc

I.B.3 Vérifier que (e
n )n>1 est une suite décroissante (pour l'inclusion) de triangles
compacts de C.
Partie II
II.2 Ne surtout pas oublier de montrer que Tg est continue.
II.3 Calculer le maximum de Tg2 - Tg1 sur [ 0 ; 1/2 ] et [ 1/2 ; 1 ] séparément.

II.4.a Montrer que (fn )nN est de Cauchy dans l'espace complet (E, k · k ).

II.4.c Montrer par récurrence sur n que fn (1 - x) = -fn (x) pour x  [ 0 ; 1 ].
Partie III
III.A.1.b Pour p  N fixé, établir que fxp = rp+1 (f (xp+1 )).

III.A.2.d Calculer l'expression (0  0 )m et l'utiliser avec la relation de la 
question III.A.1.b pour déterminer f (1/2k ) (distinguer suivant la parité de 
k).
III.A.3.a Utiliser les résultats des questions III.A.2.c et III.A.1.b.
N r
P
n
III.A.4.c L'objectif est de calculer
avec les rn définis à la question précédente
2n
n=1
à partir de x.
III.A.5.b Vérifier d'abord que f -1 est continue.
III.A.6.d Pour z   fixé, considérer une suite (yn )nN de points fixes pour 
chacune
des fonctions r1 (z)  · · ·  rn (z) et montrer que f (yn ) ---- z.
n

III.B.2.a Remarquer que les suites (n )n>1 et (n )n>1 satisfont les hypothèses 
de la
question précédente et montrer que le taux d'accroissement
f (n ) - f (n )
n - n
est divergent.

I. Préliminaires géométriques
I.A.1 Montrons chacune des inclusions de l'égalité demandée. Soit z appartenant
à  , montrons qu'il appartient à 0 ou 1 . Par définition de  , il existe (, , ) 
 (R+ )3
vérifiant  +  +  = 1 et
z =  × (-1) +  × 1 +  × i = ( - ) + i 
Deux cas se présentent.
· Cas 1 :  -  > 0. Choisissons
 = 2
Ainsi,

 =  - 

 = 

z =   + i   =  × 0 +   × 1 +   × i

appartient à 1 car ( ,   ,   ) appartient à K.
· Cas 2 :  -  < 0. Dans ce cas, prenons
 =  - 
Ainsi,

 = 2 

 = 

z = - + i   =  × (-1) +   × 0 +   × i

appartient à 0 car ( ,   ,   ) appartient à K.
En conclusion,

  1  0

Montrons l'autre inclusion, en commençant par 0   . Considérons x0 appartenant 
à 0 et montrons qu'il appartient à  . Il existe donc (, , )  K tel que
x0 = - +  i. On doit l'écrire sous la forme
x0 = - +   +   i
avec ( ,   ,   )  K. En particulier, on doit prendre   =  (égalité des parties
imaginaires). Il reste à choisir  et   . En posant

et
 =
2
2

on obtient
 +   +   =  + + +  =  +  +  = 1
2
2

et
- +   +   i = - - + +  i = x0
2
2
donc x0   puis 0   . De la même manière, 1   d'où   1  0 . Finalement,
 =  +

 = 1  0
I.A.2 Les triangles 0 et 1 se trouvent de part et d'autre de l'axe des 
imaginaires
purs dans le triangle  , dont les côtés sont représentés en gras sur la figure 
ci-dessous.
Im (z)
i

0

1
Re (z)

-1

0

1

I.A.3.a Considérons le changement de variable u = e -i  (z - a) pour se ramener
au cas où a = 0 et  = 0, c'est-à-dire à la réflexion suivant l'axe des réels. 
L'image u
du complexe u par cette réflexion vérifie
u = u
e -i  (z  - a) = e -i  (z - a)

d'où

z  - a = e 2i (z - a)

c'est-à-dire

I.A.3.b Considérons le changement de variable u = z - a pour se ramener au cas
où a = 0, c'est-à-dire à l'homothétie de centre O et de rapport  > 0. L'image u 
du
complexe u par cette homothétie vérifie
u =  u
z  - a =  (z - a)

On en déduit que

I.A.3.c D'après les deux questions précédentes, l'image z  d'un complexe z par 
la
composée d'une réflexion et d'une homothétie, dont le centre a appartient à 
l'axe de
la réflexion, vérifie les relations
z  - a =  (z - a)

et

z -a = e

donc

2i

(z 

z = a+ e

(homothétie)

- a)

2i

(réflexion)

(z - a)

Déterminons a,  et  pour que 0 (z) s'exprime sous cette forme. Remarquons que
le point a est fixé par cette transformation. Soit a un tel point fixe pour 0 :
a = 0 (a) =

-1 + i
1+i
a +
2
2

En remplaçant a par 0 (a) dans le membre de droite, on obtient

1+i 1+i
-1 + i
-1 + i
a=
a +
+
2
2
2
2

-1 - i
-1 + i
1+i 1-i
=
a+
+
2
2
2
2
1
i
-1 + i
= a- +
2
2
2
a-1
a=
2
Nécessairement, a = -1 et c'est le seul point fixe de 0 . Cherchons à présent 
deux
réels  et  tels que
z  C

0 (z) + 1 =  e 2i (z + 1)

Soit z  C. D'après l'énoncé,

1+i
-1 + i
1+i
2 2i/8
0 (z) + 1 =
z +
+1=
(z + 1) =
e
(z + 1)
2
2
2
2

La transformation
0 est la composée d'une homothétie de centre a = -1 et

de rapport 2/2 avec une réflexion d'axe passant par a et dirigé par e i /8 .