Centrale Maths 1 MP 2010

- version du 1er mars 2010 9h35

MATHÉMATIQUES I

n1

La notation {0, 1}N designera l'ensemble des suites (rn )n1 d'entiers naturels
tels que rn  {0, 1} pour tout entier naturel non nul n.
La norme de la convergence uniforme sur le C-espace vectoriel des applications
continues de [0, 1] dans C est notee || || .
La partie entiere du reel x est notee [x]. Si n est un entier naturel on posera,
pour tout reel x et tout entier naturel non nul n :
n
n-1
x].
rn (x) =
 [2 x] - 2 [2
1
k
On notera Z
l'ensemble des rationnels de la forme n ou k  Z et n  N.
2
2
On rappelle enfin que, si (Xn )n1 est une famille de parties de C indexees sur
a:
N , on T
Xn = {z  C / n  N , z  Xn }

Etablir que  = 0  1 .
Representer sur une meme figure 0 , 1 ,  .

I.A.2)

MP

c
b) En deduire une expression simple de (abc).

a) Demontrer que, si l'on fixe z  C et (a, b, c)  C3
c = max(|z - a|, |z - b|, |z - c|).
max{|z  - z| / z   abc}

I.B.2)

c = max{|z  - z| / (z, z  )  abc
c }
(abc)

2

d) Avec les memes notations prouver l'existence de :

b) Demontrer que K est convexe c'est a dire que, pour tout reel t  [0, 1] et 
tout
couple (u, v) d'elements de K, tu + (1 - t)v appartient a K.
c est un compact convexe de C muni de sa topologie
c) Etablir que, si (a, b, c)  C3 , abc
usuelle.

a) Demontrer que K est un compact de R3 pour sa topologie usuelle.

I.B.1)

I.B - (Diametre d'un triangle plein)

c) Demontrer que 0 est la composee d'une reflexion dont on precisera l'axe et 
d'une
homothetie de rapport strictement positif a preciser et dont le centre 
appartient a
l'axe de la reflexion. Prouver une propriete analogue pour 1 . Ces 
decompositions
sont-elles uniques ?
c par 0 et par 1 ? Determiner 0 ( )
I.A.4) Que vaut l'image d'un triangle plein abc
et 1 ( ).

z  - a = e2i (z - a)
b) Etablir une relation analogue a celle de la question precedente entre un 
complexe
z et son image z  par l'homothetie de centre a et de rapport  > 0.

a) Soit a  C et   R. Prouver que l'image z  du complexe z par la reflexion dont
l'axe est la droite passant par a et dirigee par ei verifie la relation :

I.A.3)

Filière

Partie I - Preliminaires geometriques
I.A.1)

I.A -

Page 1/3

L'objectif du probleme est la construction d'une application f continue de [0, 
1]
dans C dont l'image f ([0, 1]) est le triangle plein  et l'etude de quelques 
unes de
ses proprietes.

·

·

·

·

·

Dans tout le probleme l'ensemble C des nombres complexes est considere comme le
plan affine euclidien muni de son repere orthonorme canonique (0, 1, i) (ou i2 
= -1).
·
On notera K l'ensemble des triplets (, , ) de R3 constitues de trois reels
positifs ou nuls tels que  +  +  = 1.
c le "triangle plein" defini par :
·
Si (a, b, c)  C3 , on notera abc
c
abc = { a +  b +  c / (, , )  K}.
Dans tout le probleme on notera 0 , 1 et  les triangles pleins definis par :
[
0 = -10i.
c
1 = 01i.
[
 = -11i.
·
On notera egalement 0 et 1 les applications de C dans C definies par (en
notant z le conjugue du nombre complexe z) :
1+i
-1 + i
1-i
1+i
z+
z+
0 (z) =
et 1 (z) =
.
2
2
2
2

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

- version du 1er mars 2010 9h35

MATHÉMATIQUES I

n1

La notation {0, 1}N designera l'ensemble des suites (rn )n1 d'entiers naturels
tels que rn  {0, 1} pour tout entier naturel non nul n.
La norme de la convergence uniforme sur le C-espace vectoriel des applications
continues de [0, 1] dans C est notee || || .
La partie entiere du reel x est notee [x]. Si n est un entier naturel on posera,
pour tout reel x et tout entier naturel non nul n :
n
n-1
x].
rn (x) =
 [2 x] - 2 [2
1
k
On notera Z
l'ensemble des rationnels de la forme n ou k  Z et n  N.
2
2
On rappelle enfin que, si (Xn )n1 est une famille de parties de C indexees sur
a:
N , on T
Xn = {z  C / n  N , z  Xn }

Etablir que  = 0  1 .
Representer sur une meme figure 0 , 1 ,  .

I.A.2)

MP

c
b) En deduire une expression simple de (abc).

a) Demontrer que, si l'on fixe z  C et (a, b, c)  C3
c = max(|z - a|, |z - b|, |z - c|).
max{|z  - z| / z   abc}

I.B.2)

c = max{|z  - z| / (z, z  )  abc
c }
(abc)

2

d) Avec les memes notations prouver l'existence de :

b) Demontrer que K est convexe c'est a dire que, pour tout reel t  [0, 1] et 
tout
couple (u, v) d'elements de K, tu + (1 - t)v appartient a K.
c est un compact convexe de C muni de sa topologie
c) Etablir que, si (a, b, c)  C3 , abc
usuelle.

a) Demontrer que K est un compact de R3 pour sa topologie usuelle.

I.B.1)

I.B - (Diametre d'un triangle plein)

c) Demontrer que 0 est la composee d'une reflexion dont on precisera l'axe et 
d'une
homothetie de rapport strictement positif a preciser et dont le centre 
appartient a
l'axe de la reflexion. Prouver une propriete analogue pour 1 . Ces 
decompositions
sont-elles uniques ?
c par 0 et par 1 ? Determiner 0 ( )
I.A.4) Que vaut l'image d'un triangle plein abc
et 1 ( ).

z  - a = e2i (z - a)
b) Etablir une relation analogue a celle de la question precedente entre un 
complexe
z et son image z  par l'homothetie de centre a et de rapport  > 0.

a) Soit a  C et   R. Prouver que l'image z  du complexe z par la reflexion dont
l'axe est la droite passant par a et dirigee par ei verifie la relation :

I.A.3)

Filière

Partie I - Preliminaires geometriques
I.A.1)

I.A -

Page 1/3

L'objectif du probleme est la construction d'une application f continue de [0, 
1]
dans C dont l'image f ([0, 1]) est le triangle plein  et l'etude de quelques 
unes de
ses proprietes.

·

·

·

·

·

Dans tout le probleme l'ensemble C des nombres complexes est considere comme le
plan affine euclidien muni de son repere orthonorme canonique (0, 1, i) (ou i2 
= -1).
·
On notera K l'ensemble des triplets (, , ) de R3 constitues de trois reels
positifs ou nuls tels que  +  +  = 1.
c le "triangle plein" defini par :
·
Si (a, b, c)  C3 , on notera abc
c
abc = { a +  b +  c / (, , )  K}.
Dans tout le probleme on notera 0 , 1 et  les triangles pleins definis par :
[
0 = -10i.
c
1 = 01i.
[
 = -11i.
·
On notera egalement 0 et 1 les applications de C dans C definies par (en
notant z le conjugue du nombre complexe z) :
1+i
-1 + i
1-i
1+i
z+
z+
0 (z) =
et 1 (z) =
.
2
2
2
2

Les calculatrices sont autorisees

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- version du 1er mars 2010 9h35

MATHÉMATIQUES I

n1

La notation {0, 1}N designera l'ensemble des suites (rn )n1 d'entiers naturels
tels que rn  {0, 1} pour tout entier naturel non nul n.
La norme de la convergence uniforme sur le C-espace vectoriel des applications
continues de [0, 1] dans C est notee || || .
La partie entiere du reel x est notee [x]. Si n est un entier naturel on posera,
pour tout reel x et tout entier naturel non nul n :
n
n-1
x].
rn (x) =
 [2 x] - 2 [2
1
k
On notera Z
l'ensemble des rationnels de la forme n ou k  Z et n  N.
2
2
On rappelle enfin que, si (Xn )n1 est une famille de parties de C indexees sur
a:
N , on T
Xn = {z  C / n  N , z  Xn }

Etablir que  = 0  1 .
Representer sur une meme figure 0 , 1 ,  .

I.A.2)

MP

c
b) En deduire une expression simple de (abc).

a) Demontrer que, si l'on fixe z  C et (a, b, c)  C3
c = max(|z - a|, |z - b|, |z - c|).
max{|z  - z| / z   abc}

I.B.2)

c = max{|z  - z| / (z, z  )  abc
c }
(abc)

2

d) Avec les memes notations prouver l'existence de :

b) Demontrer que K est convexe c'est a dire que, pour tout reel t  [0, 1] et 
tout
couple (u, v) d'elements de K, tu + (1 - t)v appartient a K.
c est un compact convexe de C muni de sa topologie
c) Etablir que, si (a, b, c)  C3 , abc
usuelle.

a) Demontrer que K est un compact de R3 pour sa topologie usuelle.

I.B.1)

I.B - (Diametre d'un triangle plein)

c) Demontrer que 0 est la composee d'une reflexion dont on precisera l'axe et 
d'une
homothetie de rapport strictement positif a preciser et dont le centre 
appartient a
l'axe de la reflexion. Prouver une propriete analogue pour 1 . Ces 
decompositions
sont-elles uniques ?
c par 0 et par 1 ? Determiner 0 ( )
I.A.4) Que vaut l'image d'un triangle plein abc
et 1 ( ).

z  - a = e2i (z - a)
b) Etablir une relation analogue a celle de la question precedente entre un 
complexe
z et son image z  par l'homothetie de centre a et de rapport  > 0.

a) Soit a  C et   R. Prouver que l'image z  du complexe z par la reflexion dont
l'axe est la droite passant par a et dirigee par ei verifie la relation :

I.A.3)

Filière

Partie I - Preliminaires geometriques
I.A.1)

I.A -

Page 1/3

L'objectif du probleme est la construction d'une application f continue de [0, 
1]
dans C dont l'image f ([0, 1]) est le triangle plein  et l'etude de quelques 
unes de
ses proprietes.

·

·

·

·

·

Dans tout le probleme l'ensemble C des nombres complexes est considere comme le
plan affine euclidien muni de son repere orthonorme canonique (0, 1, i) (ou i2 
= -1).
·
On notera K l'ensemble des triplets (, , ) de R3 constitues de trois reels
positifs ou nuls tels que  +  +  = 1.
c le "triangle plein" defini par :
·
Si (a, b, c)  C3 , on notera abc
c
abc = { a +  b +  c / (, , )  K}.
Dans tout le probleme on notera 0 , 1 et  les triangles pleins definis par :
[
0 = -10i.
c
1 = 01i.
[
 = -11i.
·
On notera egalement 0 et 1 les applications de C dans C definies par (en
notant z le conjugue du nombre complexe z) :
1+i
-1 + i
1-i
1+i
z+
z+
0 (z) =
et 1 (z) =
.
2
2
2
2

Les calculatrices sont autorisees

Épreuve :

Concours Centrale - Supélec 2010

pour tout entier naturel non nul p.

f (x) = r1  r2  . . . rp (f (xp ))

Inversement, soit x  [0, 1[.

Inversement, soit z   .

b) Plus generalement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de [0, 1] 
sur 
(on pourra utiliser un argument de connexite par arcs).
III.A.6)

a) Prouver que f n'est pas injective (on pourra utiliser la relation f (1-x) = 
-f (x)).

III.A.5)

a) Montrer qu'on peut definir deux suites (zn )n0 et (rn )n1 de la maniere 
suivante :
·
z0 = z
et, si n  1 :
·
si zn-1  0 alors rn = 0 et zn = (0 )-1 (zn-1 )
·
sinon rn = 1 et zn = (1 )-1 (zn-1 ).
Prouver que, pour tout entier n  N, zn appartient  .

P rn
= z (on pourra exprimer z en fonction de zn et des ri ).
b) Prouver que f
n
n=1 2
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe z (que l'on supposera
dans  ) et un reel  et qui renvoie une valeur approchee a  pres d'un antecedent 
de
z.

III.A.4)

1
 .
a) Montrer que f [0, 1]  Z
2
b) Montrer que f ([0, 1])   .

III.A.3)

a) Etablir que, pour tout entier naturel non nul n, rn (x)  {0, 1}.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul N et tout reel x  [0, 1[ :
N r (x)
 r (x)
P
P
[2N x]
n
n
=
puis x =
.
N
n
n
2
n=1 2
n=1 2
 
1
c) Montrer que si, en outre, x  Z
alors il existe N  N tel que rn (x) = 0 pour
2
tout entier naturel
. 
 
 n > N
1
1
1
pour tout
et f
. Reconnaitre 0  0 et en deduire f
d) Calculer f
2
4
2k
k  N.

III.A.2)

Filière MP

a) Pour (i, j)  {0, 1}2 , determiner l'expression complexe de i  j , la 
reconnaitre,
preciser son point fixe et l'image de  . Faire un dessin.
b) Soient r1 , r2 , . . . , rp des elements de {0, 1}. Prouver que  = r1  r2  · 
· ·  rp
possede un unique point fixe que l'on ne cherchera pas necessairement a exprimer
simplement.
c) Exhiber, a l'aide de l'application f , un point fixe de .
Page 2/3

rn
a) Montrer que la serie de terme general n converge et que sa somme x appartient
2
a [0, 1].
 r
P
n+p
, prouver la relation :
b) En posant pour tout entier naturel p, xp =
n
n=1 2

III.A - Image de f

III.A.1) Soit (rn )n1  {0, 1}N

Partie III - Proprietes de f

a) Prouver que la suite (fn ) converge uniformement sur [0, 1] vers une 
fonction f  E.
b) Prouver que T f = f .
c) Prouver que, pour tout x  [0, 1], f (x) = -f (1 - x) et interpreter 
geometriquement
cette relation.

II - Dans la suite on note E l'ensemble des applications g continues de [0, 1] 
dans C
telles que g(0) = -1 et g(1) = 1. Si g  E, on note T g l'application de [0, 1] 
dans C
definie par :

1
1
,1 .
et T g(x) = 1 (g(2x - 1)) si x 
T g(x) = 0 (g(2x)) si x  0,
2
2
II.1) Determiner l'unique element f0 de E qui soit affine.
II.2) Montrer que T g  E pour tout g  E.
II.3) Soient g1 et g2 deux elements de E. Prouver que :
1
||T g2 - T g1 || =  ||g2 - g1 || .
2
II.4) On definit maintenant une suite (fn )nN d'elements de E en choisissant f0
affine comme ci-dessus et fn+1 = T fn pour tout entier naturel n.

Partie II - Construction de l'application f

n1

I.B.3) Soit (rn )n1 un element de {0, 1}N . Pour chaque entier naturel non nul 
n,
on note n = Tr1  r2  · · ·  rn ( ).
Montrer que
n est reduit a un seul point appartenant a  .

MATHÉMATIQUES I

pour tout entier naturel non nul p.

f (x) = r1  r2  . . . rp (f (xp ))

Inversement, soit x  [0, 1[.

Inversement, soit z   .

b) Plus generalement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de [0, 1] 
sur 
(on pourra utiliser un argument de connexite par arcs).
III.A.6)

a) Prouver que f n'est pas injective (on pourra utiliser la relation f (1-x) = 
-f (x)).

III.A.5)

a) Montrer qu'on peut definir deux suites (zn )n0 et (rn )n1 de la maniere 
suivante :
·
z0 = z
et, si n  1 :
·
si zn-1  0 alors rn = 0 et zn = (0 )-1 (zn-1 )
·
sinon rn = 1 et zn = (1 )-1 (zn-1 ).
Prouver que, pour tout entier n  N, zn appartient  .

P rn
= z (on pourra exprimer z en fonction de zn et des ri ).
b) Prouver que f
n
n=1 2
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe z (que l'on supposera
dans  ) et un reel  et qui renvoie une valeur approchee a  pres d'un antecedent 
de
z.

III.A.4)

1
 .
a) Montrer que f [0, 1]  Z
2
b) Montrer que f ([0, 1])   .

III.A.3)

a) Etablir que, pour tout entier naturel non nul n, rn (x)  {0, 1}.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul N et tout reel x  [0, 1[ :
N r (x)
 r (x)
P
P
[2N x]
n
n
=
puis x =
.
N
n
n
2
n=1 2
n=1 2
 
1
c) Montrer que si, en outre, x  Z
alors il existe N  N tel que rn (x) = 0 pour
2
tout entier naturel
. 
 
 n > N
1
1
1
pour tout
et f
. Reconnaitre 0  0 et en deduire f
d) Calculer f
2
4
2k
k  N.

III.A.2)

Filière MP

a) Pour (i, j)  {0, 1}2 , determiner l'expression complexe de i  j , la 
reconnaitre,
preciser son point fixe et l'image de  . Faire un dessin.
b) Soient r1 , r2 , . . . , rp des elements de {0, 1}. Prouver que  = r1  r2  · 
· ·  rp
possede un unique point fixe que l'on ne cherchera pas necessairement a exprimer
simplement.
c) Exhiber, a l'aide de l'application f , un point fixe de .
Page 2/3

rn
a) Montrer que la serie de terme general n converge et que sa somme x appartient
2
a [0, 1].
 r
P
n+p
, prouver la relation :
b) En posant pour tout entier naturel p, xp =
n
n=1 2

III.A - Image de f

III.A.1) Soit (rn )n1  {0, 1}N

Partie III - Proprietes de f

a) Prouver que la suite (fn ) converge uniformement sur [0, 1] vers une 
fonction f  E.
b) Prouver que T f = f .
c) Prouver que, pour tout x  [0, 1], f (x) = -f (1 - x) et interpreter 
geometriquement
cette relation.

II - Dans la suite on note E l'ensemble des applications g continues de [0, 1] 
dans C
telles que g(0) = -1 et g(1) = 1. Si g  E, on note T g l'application de [0, 1] 
dans C
definie par :

1
1
,1 .
et T g(x) = 1 (g(2x - 1)) si x 
T g(x) = 0 (g(2x)) si x  0,
2
2
II.1) Determiner l'unique element f0 de E qui soit affine.
II.2) Montrer que T g  E pour tout g  E.
II.3) Soient g1 et g2 deux elements de E. Prouver que :
1
||T g2 - T g1 || =  ||g2 - g1 || .
2
II.4) On definit maintenant une suite (fn )nN d'elements de E en choisissant f0
affine comme ci-dessus et fn+1 = T fn pour tout entier naturel n.

Partie II - Construction de l'application f

n1

I.B.3) Soit (rn )n1 un element de {0, 1}N . Pour chaque entier naturel non nul 
n,
on note n = Tr1  r2  · · ·  rn ( ).
Montrer que
n est reduit a un seul point appartenant a  .

MATHÉMATIQUES I

pour tout entier naturel non nul p.

f (x) = r1  r2  . . . rp (f (xp ))

Inversement, soit x  [0, 1[.

Inversement, soit z   .

b) Plus generalement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de [0, 1] 
sur 
(on pourra utiliser un argument de connexite par arcs).
III.A.6)

a) Prouver que f n'est pas injective (on pourra utiliser la relation f (1-x) = 
-f (x)).

III.A.5)

a) Montrer qu'on peut definir deux suites (zn )n0 et (rn )n1 de la maniere 
suivante :
·
z0 = z
et, si n  1 :
·
si zn-1  0 alors rn = 0 et zn = (0 )-1 (zn-1 )
·
sinon rn = 1 et zn = (1 )-1 (zn-1 ).
Prouver que, pour tout entier n  N, zn appartient  .

P rn
= z (on pourra exprimer z en fonction de zn et des ri ).
b) Prouver que f
n
n=1 2
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe z (que l'on supposera
dans  ) et un reel  et qui renvoie une valeur approchee a  pres d'un antecedent 
de
z.

III.A.4)

1
 .
a) Montrer que f [0, 1]  Z
2
b) Montrer que f ([0, 1])   .

III.A.3)

a) Etablir que, pour tout entier naturel non nul n, rn (x)  {0, 1}.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul N et tout reel x  [0, 1[ :
N r (x)
 r (x)
P
P
[2N x]
n
n
=
puis x =
.
N
n
n
2
n=1 2
n=1 2
 
1
c) Montrer que si, en outre, x  Z
alors il existe N  N tel que rn (x) = 0 pour
2
tout entier naturel
. 
 
 n > N
1
1
1
pour tout
et f
. Reconnaitre 0  0 et en deduire f
d) Calculer f
2
4
2k
k  N.

III.A.2)

Filière MP

a) Pour (i, j)  {0, 1}2 , determiner l'expression complexe de i  j , la 
reconnaitre,
preciser son point fixe et l'image de  . Faire un dessin.
b) Soient r1 , r2 , . . . , rp des elements de {0, 1}. Prouver que  = r1  r2  · 
· ·  rp
possede un unique point fixe que l'on ne cherchera pas necessairement a exprimer
simplement.
c) Exhiber, a l'aide de l'application f , un point fixe de .
Page 2/3

rn
a) Montrer que la serie de terme general n converge et que sa somme x appartient
2
a [0, 1].
 r
P
n+p
, prouver la relation :
b) En posant pour tout entier naturel p, xp =
n
n=1 2

III.A - Image de f

III.A.1) Soit (rn )n1  {0, 1}N

Partie III - Proprietes de f

a) Prouver que la suite (fn ) converge uniformement sur [0, 1] vers une 
fonction f  E.
b) Prouver que T f = f .
c) Prouver que, pour tout x  [0, 1], f (x) = -f (1 - x) et interpreter 
geometriquement
cette relation.

II - Dans la suite on note E l'ensemble des applications g continues de [0, 1] 
dans C
telles que g(0) = -1 et g(1) = 1. Si g  E, on note T g l'application de [0, 1] 
dans C
definie par :

1
1
,1 .
et T g(x) = 1 (g(2x - 1)) si x 
T g(x) = 0 (g(2x)) si x  0,
2
2
II.1) Determiner l'unique element f0 de E qui soit affine.
II.2) Montrer que T g  E pour tout g  E.
II.3) Soient g1 et g2 deux elements de E. Prouver que :
1
||T g2 - T g1 || =  ||g2 - g1 || .
2
II.4) On definit maintenant une suite (fn )nN d'elements de E en choisissant f0
affine comme ci-dessus et fn+1 = T fn pour tout entier naturel n.

Partie II - Construction de l'application f

n1

I.B.3) Soit (rn )n1 un element de {0, 1}N . Pour chaque entier naturel non nul 
n,
on note n = Tr1  r2  · · ·  rn ( ).
Montrer que
n est reduit a un seul point appartenant a  .

MATHÉMATIQUES I

pour tout entier naturel non nul p.

f (x) = r1  r2  . . . rp (f (xp ))

Inversement, soit x  [0, 1[.

Inversement, soit z   .

b) Plus generalement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de [0, 1] 
sur 
(on pourra utiliser un argument de connexite par arcs).
III.A.6)

a) Prouver que f n'est pas injective (on pourra utiliser la relation f (1-x) = 
-f (x)).

III.A.5)

a) Montrer qu'on peut definir deux suites (zn )n0 et (rn )n1 de la maniere 
suivante :
·
z0 = z
et, si n  1 :
·
si zn-1  0 alors rn = 0 et zn = (0 )-1 (zn-1 )
·
sinon rn = 1 et zn = (1 )-1 (zn-1 ).
Prouver que, pour tout entier n  N, zn appartient  .

P rn
= z (on pourra exprimer z en fonction de zn et des ri ).
b) Prouver que f
n
n=1 2
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe z (que l'on supposera
dans  ) et un reel  et qui renvoie une valeur approchee a  pres d'un antecedent 
de
z.

III.A.4)

1
 .
a) Montrer que f [0, 1]  Z
2
b) Montrer que f ([0, 1])   .

III.A.3)

a) Etablir que, pour tout entier naturel non nul n, rn (x)  {0, 1}.
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul N et tout reel x  [0, 1[ :
N r (x)
 r (x)
P
P
[2N x]
n
n
=
puis x =
.
N
n
n
2
n=1 2
n=1 2
 
1
c) Montrer que si, en outre, x  Z
alors il existe N  N tel que rn (x) = 0 pour
2
tout entier naturel
. 
 
 n > N
1
1
1
pour tout
et f
. Reconnaitre 0  0 et en deduire f
d) Calculer f
2
4
2k
k  N.

III.A.2)

Filière MP

a) Pour (i, j)  {0, 1}2 , determiner l'expression complexe de i  j , la 
reconnaitre,
preciser son point fixe et l'image de  . Faire un dessin.
b) Soient r1 , r2 , . . . , rp des elements de {0, 1}. Prouver que  = r1  r2  · 
· ·  rp
possede un unique point fixe que l'on ne cherchera pas necessairement a exprimer
simplement.
c) Exhiber, a l'aide de l'application f , un point fixe de .
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rn
a) Montrer que la serie de terme general n converge et que sa somme x appartient
2
a [0, 1].
 r
P
n+p
, prouver la relation :
b) En posant pour tout entier naturel p, xp =
n
n=1 2

III.A - Image de f

III.A.1) Soit (rn )n1  {0, 1}N

Partie III - Proprietes de f

a) Prouver que la suite (fn ) converge uniformement sur [0, 1] vers une 
fonction f  E.
b) Prouver que T f = f .
c) Prouver que, pour tout x  [0, 1], f (x) = -f (1 - x) et interpreter 
geometriquement
cette relation.

II - Dans la suite on note E l'ensemble des applications g continues de [0, 1] 
dans C
telles que g(0) = -1 et g(1) = 1. Si g  E, on note T g l'application de [0, 1] 
dans C
definie par :

1
1
,1 .
et T g(x) = 1 (g(2x - 1)) si x 
T g(x) = 0 (g(2x)) si x  0,
2
2
II.1) Determiner l'unique element f0 de E qui soit affine.
II.2) Montrer que T g  E pour tout g  E.
II.3) Soient g1 et g2 deux elements de E. Prouver que :
1
||T g2 - T g1 || =  ||g2 - g1 || .
2
II.4) On definit maintenant une suite (fn )nN d'elements de E en choisissant f0
affine comme ci-dessus et fn+1 = T fn pour tout entier naturel n.

Partie II - Construction de l'application f

n1

I.B.3) Soit (rn )n1 un element de {0, 1}N . Pour chaque entier naturel non nul 
n,
on note n = Tr1  r2  · · ·  rn ( ).
Montrer que
n est reduit a un seul point appartenant a  .

MATHÉMATIQUES I

· · · FIN · · ·

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III.B - Derivabilite de f
III.B.1) Supposons que f soit derivable sur [0, 1].
Soient x  [0, 1], (n )n1 et (n )n1 deux suites d'elements de [0, 1], 
convergentes
vers x et telles que n  x  n et n < n pour tout n. f (n ) - f (n ) Montrer que la suite de terme general converge vers f  (x). n - n III.B.2) Soit x  [0, 1] a) Si x  [0, 1[, en choisissant : P r1 (x) 1 rn (x) n = , + · · · + n et n = n + k 2 2 2 k=n+1 prouver que f n'est pas derivable en x. b) Prouver que f n'est pas derivable en 1. d) Montrer que l'ensemble X des complexes z qui sont point fixe de la composee d'un nombre fini d'applications 0 et 1 est dense dans  . MATHÉMATIQUES I Filière MP