Centrale Maths 1 MP 2005

Thème de l'épreuve Étude de certaines classes de fonctions parmi les fonctions bornées et continues par morceaux sur R
Principaux outils utilisés séries de Fourier, analyse réelle, suites et séries de fonctions, suites et séries d'intégrales, produits scalaires

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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n__>_ e...___... _ oe...30F<ËEË ...âä...

m8w om@Q:OE - ÆOEÈOEU mËeËoü

On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l'ensemble % des fonc--
tions bornées et continues par morceaux de IR dans C : c'est un espace vectoriel
sur C. Il est muni de la norme uniforme définie par

llxlloe = SüPlx(t)l
tE IR

Pour tout ou appartenant à IR , on note % la fonction définie sur IR par la
formule : eoe(t) : e""t.

On note U la fonction définie par U (t) = 1 si t > 0 , = 0 sinon. Tous les 
sous-espa--
ces vectoriels considérés seront des C -espaces vectoriels. On notera x* la 
conju--
guée complexe de x , c'est-à-dire la fonction : t+--> x(t) .

Partie I -

Soit x une fonction appartenant à 93 . On appelle moyenne de x , s'il existe, le
nombre

M(x) : lim MT(x) avec MT(x) : %fîx(t)dt (1)

T--->oe

On dira alors que la fonction x est moyennable.
I.A -

I.A.1) Montrer que MT est une forme linéaire sur % , que l'ensemble des
fonctions moyennables %1 est un sous-espace vectoriel de % , et que M est

une forme linéaire sur %1 . On notera de façon équivalente Mx ou M (x) cette
moyenne.

I.A.2) Vérifier que MT et M sont lipchitziennes pour ||.lloe.

I.B - Montrer que la moyenne est invariante par translation: si 1: EUR IR et
xE %] on pose xt(t) : x(t--t) , alors xT est moyennable et Mx : MJC:-

I.C -

I.C.l) Soit x une fonction de @ de période P ( P > 0 ). Montrer que pour tout
a E IR , f: +Px(t)dt : ffx(t)dt . En déduire que x est moyennable, et que M(x) 
est
égale àla moyenne sur n'importe quel intervalle de longueur P.

I.C.2) En particulier montrer que M(ew) : 0 pour m réel non nul, et
M(e0) : 1.

1.0.3) Montrer que si lim x(t) : c , alors x est moyennable et M (x) = c .

t-->oo

I.C.4) Soit x0 la fonction définie par x0(t) : U(t)e""""'. Vérifier que

x0 EUR % , calculer M T(x0) . Examiner le comportement de M T(x0) lorsque T --* 
oo ,
et en déduire que x0 n'est pas moyennable.

I.D - La fonction x est dite de carré moyennable si T l---) M T|xl2 admet une 
limite
lorsque T tend vers + oo . Cette limite est appelée moyenne quadratique de x :

Mlxl2 = Tlim MT(lx|2) ' (2)

On notera %2 l'ensemble des fonctions de @ de carré moyennable.

I.D.1) Montrer que toute fonction qui tend vers 0 à l'infini est aussi de
moyenne quadratique nulle.

I.D.2) Pour x,yE%2, donner une majoration de |MT(lxlz)--MT(IyIZ)\ et
|Mlxl2 -- M lyl2| en fonction de llxll.. , Ilylloe , llx -- yll.. -

I.D.3) Montrer, à l'aide de x0 et U , que %2 n'est pas un espace vectoriel.
LE - On dira que deux fonctions, x, y de %2 sont comparables si existe

 : M(xy*) : 7lim MT(xy*) (3)

LED Si E est un espace vectoriel inclus dans %2 , montrer que deux fonc-
tions x, y E E sont comparables (développer lx + y|2 et lx + iyl2 ). Il en 
résulte que
sur E , (x, y) »---->  est un « pseudo-produit scalaire » (il est 
linéaire à gauche,
semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier

Mlx+yl2 : Mlxl2+ Mlyl2+2Re  (4)

I.E.2) On dira que deux fonctions x, y EUR%2 , sont orthogonales si  = O 
.
Que vaut alors M lx + y|2 ?

I.E.3) Écrire l'inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).

I.F - Soit P un réel strictement positif. Montrer que l'ensemble des fonctions 
P -

périodiques de % est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et
comparables.

LG - Soit
N

93 = {x : x(t)= 2 cke""k' NEIN,ckE C,oekEIR distincts}
k=l

l'ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé
dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques).

Montrer que 95 est stable par produit de fonctions, et que l'application
(x, y) l----->  définit un produit scalaire sur 93 .
N

N
. . , . 2 2
En part1cuher, pour x = 2 ckeoek , etabhr que M lxl : 2 |ck| .
k = 1 k = 1

I.H - Soit une suite xn EUR %1 qui converge uniformément vers x EUR % .
I.H.l) Montrer l'existence de m : lim M (xn) (utiliser1.A.2).

n-->oe

I.H.2) En déduire que x E %1 et M (x) = m (pour EUR > 0 , on choisira n tel que
"x --xn||ü0 < & et |m -- M(xn)| < e ).

I.I - Soit une suite xn & %2 qui converge uniformément vers x EUR % .
1.1.1) Montrer que K = sup {||xn||oe, lelloe(n E N)} < + oo.

1.1.2) Montrer que lim M l'"an : m2 existe.

n-->oo

1.1.3)2 En suivant la méthode du I.H.2), en déduire que x6 %2 et
Mlxl : m2.

Partie II -

On appelle @ l'ensemble des limites uniformes sur IR de suites de fonctions
appartenant à ? .

II.A - Montrer les propriétés suivantes :
11.A.1) Q est un espace vectoriel inclus dans %1 n%2 , et fermé pour Il."°° .

11.A.2) Toutes les fonctions de @ sont comparables, et continues.
11.A.3) Si x EÊ , alors V't EUR IR xT EÊ .

II.A.4) Si 2 |ck| < + ce et (ok EUR IR , la série de fonctions
k = 0

x = 2 Ckewk converge normalement sur [R et x EÊ .
k = 0

II.A.5) Æ est stable par produit des fonctions.

II.A.6) Soit x,xEÊ , à valeurs réelles, et y : IR--> C continue. Montrer que

y ox EÊ (le montrer d'abord lorsque y est une fonction polynomiale à coeffi-
cients complexes).

II.B - Les coefficients de Fourier--Bakr de x E @ sont définis, pour une 
fréquence
oeEIR, par c(oe) :  .

Si Pn est une suite de @ convergeant uniformément vers x , la réunion 9 des
fréquences présentes dans chacun des Pn est un ensemble fini ou dénombrable
que l'on énumère donc selon le cas 9 : {oek, 0 sk s m} ou 9 : {oek, le E IN} .On
pose

Pn : 2cn,k e...)! et d(n) : max{k : cn,k : O} , « degré » de Pn .

Montrer que pour tout réel oe,c(oe) existe et vaut c(oe) : lim . En
déduire que : " "' °°

si oe$£2 alors c(oe) : 0 , et pOur tout k , c(oek) : ck : lim cn,k.

n---->oo

II.C - Si Q est fini, montrer que

m . , m
x(t) : 2 ckemkt. En déduire la formule de Parseval : Mix!2 : E |ck|2,
k=0 k=0

II.D - On se propose d'établir la formule de Parseval dans le cas où 9 est 
infini.
On construit la suite nj définie par "o = O, nk : min(n : d(n)>d(nk_l)). Soit
qk(t) : Pnk(t) , on a donc dk : d(nk) suite strictement croissante vers +00 (le 
fait
que la suite n j existe est admis).

II.D.1) On pose
N oo

SN : 2 ckeoek. Calculer M|x--SN|2 et en déduire que 2 |c,,|2 s Mlxl2.
k=0 k=0

II.D.2) Pour tout k 2 0 , montrer que x -- S dk est orthogonal au sous-espace 
vec--

toriel Ek engendré par les em , où 0 s jd s dk. En déduire que
w]

M|x-- qk|2 lex-- Sdk|2-- =M--lxl jEÛ |cj|2

II.D.3) Déduire alors de la convergence uniforme sur IR de Pn vers x que

lim M|x-- ku2 =O

k---+oo

En conclure que

lim M|x s ,,2| = @, M|x12 : 2 gck|2 (5)

n--->OO

Partie III -

Pour une fonction x EUR % , la fonction de corrélation de x est définie (si cela
existe) par

"EEIR Yx('t) :  : qlim MT(xx*r) (6)

où * est la conjugaison complexe.

On appellera fonction stationnaire une fonction x pour laquelle Vr & IR , yx(r)
existe.

III.A - Montrer qu'une fonction stationnaire appartient à %2 .
III.B - Montrer que |yx(t)| s Yx(0) , et que yx(--r) : Yx(1î)*.

III.C - Si x est stationnaire, montrer qu'il en est de même de y : ewx et que,
pour tout t appartenant à IR , on a y y(17) : yx(t)elm

III.D -

III.D.1) Si x appartient à @ , montrer que x est stationnaire. On note {oek, ck}
ses fréquences et coefficients de Fourier--Bohr, et Sn le polynôme trigonométri-
que défini par :

n
k = 0

III.D.2) Pour tout 17,1: EUR IR , calculer y Sn(r) .

III.D.3) Montrer que Yx est la somme de la série de fonctions

+00
2
k20 lckl eoek

normalement convergente sur IR et que Yx appartient à @ (on majorera
|yx(t)-- Ys (r)] en fonction de M|x-- Sn}2 ).

III.E - Soit x une fonction l--périodique de % .

III.E.1) Montrer qu'elle est stationnaire, et que Yx est aussi 1-- périodique.
III.E.2) On note

ak : fÂx(t)e

--2inktdt, k EZ

les coefficients de Fourier complexes de x. Montrer que les coefficients de 
Fou--
rier de Yx sont ck : ]ak|2.

III.F - Soit E(t) la partie entière de t et F(t) : t--E(t) sa partie 
fractionnaire.
La fonction x1 définie par x1(t) : e"2maF(t) où a est un réel irrationnel, est 
une

fonction 1-- périodique de % , de coefficients de Fourier complexes ak .

III.F.l) Calculer les ak . Que vaut

oo

}; |ak|2 ?

k=--OO

III.F.2) Calculer yxl(t) pour 17 E [O, 1[ et vérifier que ny est continue sur 
IR.
III.F.3) En déduire que ny EÊ . Calculer

+00

2 (-1)k _
Jt2(a +k)2

k:-oo

ooo FIN ooo

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Centrale Maths 1 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Vidick (ENS Ulm) ; il a été relu par Guillaume
Dujardin (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE).

Le problème est consacré à l'étude de certains sous-ensembles de l'espace 
vectoriel
des fonctions continues par morceaux sur R et à valeurs dans C, ainsi qu'à une
généralisation du processus de construction des séries de Fourier à des 
fonctions non
nécessairement périodiques. Il est composé de trois parties.
· Dans la première partie, on étudie d'abord deux formes linéaires sur l'espace
vectoriel B des fonctions continues par morceaux et bornées sur R. Ces formes
linéaires servent à définir les espaces M1 des fonctions moyennables et M2 des
fonctions de carré moyennable dont on étudie certaines propriétés ; on montre
en particulier que M1 est un espace vectoriel mais pas M2 . On introduit ensuite
un pseudo-produit scalaire sur M2 et on montre finalement que M1 et M2 sont
fermés dans (B, k · k ).
Q des limites
· La deuxième partie est consacrée à l'étude de l'espace vectoriel O
uniformes de polynômes trigonométriques. On montre en particulier que, sous
Q est stable par produit, composition et passage à la limite
certaines conditions, O
Q à l'aide
uniforme. On définit ensuite les coefficients de Fourier-Bohr de x  O
du produit scalaire défini dans la première partie, et on prouve une formule de
Parseval.

· Dans la dernière partie, on étudie la fonction de corrélation de x  B et on
montre en particulier certaines propriétés sur ses coefficients de Fourier-Bohr.
On termine par l'étude d'une fonction 1-périodique et le calcul de ses 
coefficients
de Fourier, donnant lieu à l'évaluation de la somme d'une série alternée.
Les notions du programme abordées concernent essentiellement les chapitres sur
l'intégration et les séries de Fourier. Ses principales difficultés sont sa 
longueur et
l'exotisme des espaces et objets étudiés, peu familiers aux élèves des classes 
préparatoires, comme les coefficients de Fourier-Bohr. Des difficultés peuvent 
également
être rencontrées lors de l'utilisation de théorèmes d'approximation et pour 
l'étude
de la convergence de certaines suites de fonctions. Les questions font souvent 
appel,
de manière indirecte, à des résultats démontrés dans d'autres questions, et il 
est parfois difficile de bien saisir toute l'utilité des résultats algébriques 
que l'on démontre
dans les premières questions de chaque partie. Nous vous conseillons, à chaque 
question, de replacer mentalement le résultat démontré dans la perspective de 
l'énoncé,
surtout si la preuve se faisait de manière presque automatique (par exemple 
certaines
preuves de structure), de manière à penser à l'utiliser le moment venu.

Indications
Partie I.
I.A.2 Majorer |MT (x) - MT (y)| en utilisant l'inégalité de la moyenne.
I.B Utiliser la relation de Chasles pour faire apparaître l'intégrale sur une 
période
et majorer les autres termes.
I.C.1 Découper [ 0 ; T ] en intervalles de longeur P plus un reste, et faire 
tendre T
vers l'infini.
I.C.3 Utiliser le théorème de convergence dominée.
I.C.4 Montrer que MT (x0 )  e i ln(1+T) /(1 + i).
T

I.D.1
I.D.2
I.D.3
I.F
I.G
I.H.1
I.I.1
I.I.2

Utiliser la question I.C.3.
Factoriser x2 - y 2 selon l'identité remarquable x2 - y 2 = (x + y)(x - y).
Considérer la fonction x0 + U.
Utiliser la question I.C.1.
Montrer que P  M2 puis utiliser la question I.E.1.
La suite (xn )nN est de Cauchy.
La suite (kxn - xk )nN est convergente donc bornée.
Utiliser la question I.D.2.
Partie II.

Q est inclus dans M1  M2 .
II.A.1 Utiliser les questions I.H et I.I pour montrer que O
II.A.2 Utiliser la question I.E.1.
II.A.3 Si P est un polynôme trigonométrique, alors P est aussi un polynôme 
trigonométrique.
II.A.6 Utiliser le théorème d'approximation de Weierstrass.
II.B Considérer |c() - hPn , e i| et utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

II.D.1 Montrer hx, SN i = M |SN |2 en utilisant les polynômes Pn .
Partie III.
III.A
III.B
III.D.1
III.D.3

Choisir  = 0.
Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et la question I.B.
Utiliser la question II.A.2
Écrire |hx, x i - hSn , (Sn ) i| = |hx - Sn , x i + hSn , x - (Sn ) i| et 
majorer
en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Z 1
III.E.2 Montrer que x ( ) =
x(t) x(t -  ) dt.
0

III.F.2 Découper l'intégrale entre 0 et  , puis entre  et 1, pour pouvoir 
explicitement
évaluer F(t -  ).
III.F.3 Utiliser la convergence simple de la série de Fourier de x1 en t = 1/2.

Partie I.
I.A.1 Soit T un réel fixé. MT est une application bien définie de l'espace 
vectoriel B
dans C. Pour conclure que c'est une forme linéaire, il reste à vérifier la 
linéarité, c'està-dire que pour tous x, y  B et tous , µ  C,
Z
1 T
x(t) + µy(t) dt
MT (x + µy) =
T 0
Z
Z
1 T
1 T
=
x(t) dt +
µy(t) dt
T 0
T 0
MT (x + µy) = MT (x) + µMT (y)
par linéarité de l'intégrale.
MT est donc une forme linéaire de B dans C.
Montrons que M1 est un sous-espace vectoriel de B. Il est non vide (il contient
la fonction nulle). Soient x, y  M1 et , µ  C. Alors, par linéarité du passage 
à la
limite, la limite de
MT (x + µy) = MT (x) + µMT (y)
lorsque T tend vers l'infini est finie et vaut M(x) + µM(y). Donc x + µy  M1 ,
et M1 est stable par combinaisons linéaires. On a également montré que M était
linéaire ; comme elle est bien définie de M1 dans C c'est une forme linéaire.
M1 est un sous-espace vectoriel de B et M est une forme linéaire sur M1 .
I.A.2 Soient T un réel fixé et x, y  B.
Z
1 T
x(t) - y(t) dt
T 0
Z
1 T
6
|x(t) - y(t)| dt
T 0
Z T
1
6 kx - yk
1 dt
T
0

|MT (x) - MT (y)| =

|MT (x) - MT (y)| 6 kx - yk
MT est donc lipschitzienne de rapport 1 de B muni de la norme k · k dans C muni
de la norme canonique.
Fixons x, y  M1 . Alors, en passant à la limite lorsque T tend vers l'infini 
dans
l'inégalité précédente, on obtient
|M(x) - M(y)| 6 kx - yk
M est donc lipschitzienne de rapport 1 de M1 muni de la norme k · k dans C muni
de la norme canonique.
I.B Soient x  M1 et   R un réel fixé. Effectuons le changement de variable
u = t -  dans l'intégrale définissant MT (x ) :
Z
Z
1 T
1 T-
MT (x ) =
x(t -  ) dt =
x(u) du
T 0
T -

Découpons cette intégrale à l'aide de Chasles pour faire apparaître MT (x) :
1
T

Z

T-

x(u) du =

-

1
T

Z

0

x(u) du +

-

1
T

T

Z

x(u) du +

0

1
T

Z

T-

x(u) du

T

L'astuce consiste à faire apparaître la quantité souhaitée grâce à la relation 
de
Chasles. Il ne faut pas hésiter à l'utiliser même lorsque, comme ici, les points
en lesquels on coupe l'intégrale (0 et T) ne sont pas entre les bornes 
d'intégration (- et T -  ). On effectuera la même manipulation dans la question
suivante.
L'inégalité de la moyenne permet de majorer la première et la dernière de ces 
intégrales en valeur absolue :
Z
| |
1 0
x(u) du 6
kxk
T -
T
et de même,
1
T

Z

T-

| |
kxk
T

x(u) du 6
T

Ainsi ces deux intégrales tendent vers 0 lorsque T tend vers l'infini, à  fixé. 
x est
donc moyennable, et en passant à la limite dans l'égalité ci-dessus, on a 
montré :
x  M1

  R

Mx = Mx

I.C.1 Soit a  R. D'après la relation de Chasles,
Z a+P
Z 0
Z P
Z
x(t) dt =
x(t) dt +
x(t) dt +
a

0

a

a+P

x(t) dt

P

Or, en effectuant le changement de variable u = t - P dans la troisième 
intégrale,
on obtient :
Z a+P
Z a
Z a
Z 0
x(t) dt =
x(t - P) dt =
x(t) dt = - x(t) dt
P

0

0

a

car x est P-périodique. D'où
Z

a  R

a+P

x(t) dt =

P

Z

x(t) dt

0

a

Soit maintenant T un réel plus grand que P, notons nT = T/P. L'idée est de
découper l'intervalle [ 0 ; T ] en nT intervalles de longueur P sur lesquels 
l'intégrale
sera la même, plus un reste qui sera négligeable en moyenne lorsque T sera très 
grand
devant P. Appliquons la relation de Chasles pour obtenir
n -1Z (k+1)P
 Z T
Z T
T
P
x(t) dt =
x(t) dt +
x(t) dt
0

k=0

=

k=0

Z

0

T

x(t) dt = nT

Z

0

nT P

kP

n -1Z
T
P

P

x(t) dt +

0

P

x(t) dt +

Z

Z

T

x(t) dt

nT P

T

x(t) dt

nT P