Centrale Maths 1 MP 2001

Thme de l'preuve Dnombrement et tude asymptotique des racines des lments d'une suite de polynmes convergeant vers l'exponentielle
Principaux outils utiliss suites et sries doubles, convergence domine, courbes paramtres

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrig

(tlcharger le PDF)

nonc complet

(tlcharger le PDF)

nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


. %.

_ | oemoo.. | oe...c

@ =_m N.. .....u

...?m .o... ... @ ...?3 ....:o@ .oe5v a...... m .o_ .m @ uoeoeEoe @@ am 33. 
sa ....oe:ofioec
...oeoem @@ oe:v_wo_a- ......N .m5fififioo flow--one.... oefi: .._oeoe .. 
oe5d ....oe....o. H. H

. Y ......mfl8  @@ .oeoe___ oeEfio.... oeE. q@ .moe Y
@ oe@QOE .oe> 95 pm...o . AN \5.. . SY oe...9fim 28qu m...... .OEEQNOE. 
D. --

... ..._oe : .o _w @. ..... E...... 38
.oQ oe5d oe:3  mfi......  @@ @.  @ fio_..._qu._ oe.... oevfl3m8 
oe....w... GE . U.--

.... _ .8-... .3m D 3%? ... umoe oe:v
_ -o_ooe.... flofioE  o...... :. 8- _ .m :. @ _oe__u m_o oeEQEooeEoA 
ns _moe

_
_ ....E + ...
... .OEQ : .o Sm oe_qm_ww . .. fio_qo._ E 25 ....oequ@D . m.--

" v3

oem uw oeNQE8 m.fifiofl :...... oe:vfi_oefioqow_fi_ oeE._ oefl: @ @@  @ 
... fio_..._

..:--8 n...... ..OEEED ....... w @  + w 3 88388 oeScfl :: oe.oean m 
__ooe. <.--
EQ 3.58 oe.....s oe... - \ m.....dOE
.N .D .N  .. .N 33...

.oeoeBU mm... ..Soe woeoe oe.2oe m3232oe%5 ..:--3. 335% oeoekoe--Q 
oe. oeoefl

.: 8A|
.... .. W &: ...oe...8.oe

_ on..
.....W "

oN@ ON
oew>a8 .. oe__oeoe . ...... oew_oe>Qoo .. .....
_ _ ..._

oe__@m 3 Z... ... .: B .oQ m

n=>_ w.@___u_

.mpoe>flov .:. 3.85% oefi_oe..._ @@ oe__oeoe oeA

...... oe...__E__ ...: E... .. .....  .: oefi5m . ...... ....oeBfioe ...S 
.o@

..5 w _. ....._ . 3 .5 oefifioo S .on_

. .oe:v oe:3 OE___moa

m...oeoe.... @@ QS oe__=m oe:: oe_oe_xoe. sv oeoeo...5oe GO .moeMoe--QES 
moe.5fifi @@ oe350@

3_5oe 95 . ..w$ ...x.. ..5 __ooe Amoe_m moe_ .oQ oewfiEofi oeofioe$>fi09 -m

.oeoew>...--8 oea_sm

oe:: oe...._oexoe ...oea Go m98fi88 So oe.... moe.fiSfi @@ mwfifl 3_5m 
358 @@ -N

. gmx.oexQ Qc.... @  . ..Q noe: .cQ :o... m....fifioe.

oefioeo ...Eoefioe 3_:m oe:: um A..5 :o A.....mv oeE._ 3 @@ oe__:m 
oed: um

m@MQSS m.oe.fifl8fi @@ A ..3 oe...__sm ...s Aoe__sm m:om 58 oefioexoe 
oe...__sm ...D -_
.oeoe@fioefioe@ mQ oe. : oe>fioe E o 2955 35328 EOE

.oe>_...__mom um oe:oe.... oeEQ _ o...... ..OE % moefio % oe.fiEofi :_... 
oe>voe =: .w
mo_oeo._oe :.oeoe.... mo oe:=m :o oea oe˩ oe... mdD .oewoe 20
.....8 & .oe ..oefioemmfi. ....EQ oeoe @ ...Eoewn3 .... ...w 
moeNoefifl8o moe.5qu moeq

. oe\... flo..... @@ @@ o oe:oeoe @@ 288 2 .3m ...--2

-SEDo.m..  ...Eoecfl8 m... ...m " ...... ..w m@NES 3.589... m2 . 8 .l : 
oe5doeA

.. .oe=m|

... 38.8... oo @@ _oe_o_wo_ ==.w oe_oe._ ...... .oeou oem fio.... 
.oeEB
.o.& 3... :... @@ = moefi. m.... .Eo.... oe_oe._ oe>:oe.&  o @@ o@ 
m......oeoe :: m....oefl
-fio flo oe:vfi .m>m mum@p N5oe moe_ Boe.@ _moe oefiwfio.& mo ...% 
n @@

EUR _ _ .c..m "..:
oeEQ 3... m......fio @@ oefifim a: oe .. w .. w ...... ...m... oefifim 

. .: H......m .

.:
..

Z... ... .... B .o&

o@ :oe.5v oe.OESOEE _

.--.

GO ... @@ m98fi88 m@fio @@ oefifim.OE := _.....<.... &...<  ... m....oefi QO

.& ON...
_|. H
..N =

... @ _o..._ : oe=oe_oenoaxoe._ @@ ..
oe..S. .8....B @@ oeEˣQ w... .....w 239... :o . .. ?: mon .= 
....oe5fioe  .o@

_ m...:QE .........

QN o...Q:OE - OEOEQ OE=ouco

0035! IOOZ I!M 17 "P "!SJgA 9' OO'OI'E [mew dW 319... EUR "083 IOOZ VW

. %.

_ | oemoo.. | oe...c

@ =_m N.. .....u

...?m .o... ... @ ...?3 ....:o@ .oe5v a...... m .o_ .m @ uoeoeEoe @@ am 33. 
sa ....oe:ofioec
...oeoem @@ oe:v_wo_a- ......N .m5fififioo flow--one.... oefi: .._oeoe .. 
oe5d ....oe....o. H. H

. Y ......mfl8  @@ .oeoe___ oeEfio.... oeE. q@ .moe Y
@ oe@QOE .oe> 95 pm...o . AN \5.. . SY oe...9fim 28qu m...... .OEEQNOE. 
D. --

... ..._oe : .o _w @. ..... E...... 38
.oQ oe5d oe:3  mfi......  @@ @.  @ fio_..._qu._ oe.... oevfl3m8 
oe....w... GE . U.--

.... _ .8-... .3m D 3%? ... umoe oe:v
_ -o_ooe.... flofioE  o...... :. 8- _ .m :. @ _oe__u m_o oeEQEooeEoA 
ns _moe

_
_ ....E + ...
... .OEQ : .o Sm oe_qm_ww . .. fio_qo._ E 25 ....oequ@D . m.--

" v3

oem uw oeNQE8 m.fifiofl :...... oe:vfi_oefioqow_fi_ oeE._ oefl: @ @@  @ 
... fio_..._

..:--8 n...... ..OEEED ....... w @  + w 3 88388 oeScfl :: oe.oean m 
__ooe. <.--
EQ 3.58 oe.....s oe... - \ m.....dOE
.N .D .N  .. .N 33...

.oeoeBU mm... ..Soe woeoe oe.2oe m3232oe%5 ..:--3. 335% oeoekoe--Q 
oe. oeoefl

.: 8A|
.... .. W &: ...oe...8.oe

_ on..
.....W "

oN@ ON
oew>a8 .. oe__oeoe . ...... oew_oe>Qoo .. .....
_ _ ..._

oe__@m 3 Z... ... .: B .oQ m

n=>_ w.@___u_

.mpoe>flov .:. 3.85% oefi_oe..._ @@ oe__oeoe oeA

...... oe...__E__ ...: E... .. .....  .: oefi5m . ...... ....oeBfioe ...S 
.o@

..5 w _. ....._ . 3 .5 oefifioo S .on_

. .oe:v oe:3 OE___moa

m...oeoe.... @@ QS oe__=m oe:: oe_oe_xoe. sv oeoeo...5oe GO .moeMoe--QES 
moe.5fifi @@ oe350@

3_5oe 95 . ..w$ ...x.. ..5 __ooe Amoe_m moe_ .oQ oewfiEofi oeofioe$>fi09 -m

.oeoew>...--8 oea_sm

oe:: oe...._oexoe ...oea Go m98fi88 So oe.... moe.fiSfi @@ mwfifl 3_5m 
358 @@ -N

. gmx.oexQ Qc.... @  . ..Q noe: .cQ :o... m....fifioe.

oefioeo ...Eoefioe 3_:m oe:: um A..5 :o A.....mv oeE._ 3 @@ oe__:m 
oed: um

m@MQSS m.oe.fifl8fi @@ A ..3 oe...__sm ...s Aoe__sm m:om 58 oefioexoe 
oe...__sm ...D -_
.oeoe@fioefioe@ mQ oe. : oe>fioe E o 2955 35328 EOE

.oe>_...__mom um oe:oe.... oeEQ _ o...... ..OE % moefio % oe.fiEofi :_... 
oe>voe =: .w
mo_oeo._oe :.oeoe.... mo oe:=m :o oea oe˩ oe... mdD .oewoe 20
.....8 & .oe ..oefioemmfi. ....EQ oeoe @ ...Eoewn3 .... ...w 
moeNoefifl8o moe.5qu moeq

. oe\... flo..... @@ @@ o oe:oeoe @@ 288 2 .3m ...--2

-SEDo.m..  ...Eoecfl8 m... ...m " ...... ..w m@NES 3.589... m2 . 8 .l : 
oe5doeA

.. .oe=m|

... 38.8... oo @@ _oe_o_wo_ ==.w oe_oe._ ...... .oeou oem fio.... 
.oeEB
.o.& 3... :... @@ = moefi. m.... .Eo.... oe_oe._ oe>:oe.&  o @@ o@ 
m......oeoe :: m....oefl
-fio flo oe:vfi .m>m mum@p N5oe moe_ Boe.@ _moe oefiwfio.& mo ...% 
n @@

EUR _ _ .c..m "..:
oeEQ 3... m......fio @@ oefifim a: oe .. w .. w ...... ...m... oefifim 

. .: H......m .

.:
..

Z... ... .... B .o&

o@ :oe.5v oe.OESOEE _

.--.

GO ... @@ m98fi88 m@fio @@ oefifim.OE := _.....<.... &...<  ... m....oefi QO

.& ON...
_|. H
..N =

... @ _o..._ : oe=oe_oenoaxoe._ @@ ..
oe..S. .8....B @@ oeEˣQ w... .....w 239... :o . .. ?: mon .= 
....oe5fioe  .o@

_ m...:QE .........

QN o...Q:OE - OEOEQ OE=ouco

0035! IOOZ I!M 17 "P "!SJgA 9' OO'OI'E [mew dW 319... EUR "083 IOOZ VW

. %.

_ | oemoo.. | oe...c

@ =_m N.. .....u

...?m .o... ... @ ...?3 ....:o@ .oe5v a...... m .o_ .m @ uoeoeEoe @@ am 33. 
sa ....oe:ofioec
...oeoem @@ oe:v_wo_a- ......N .m5fififioo flow--one.... oefi: .._oeoe .. 
oe5d ....oe....o. H. H

. Y ......mfl8  @@ .oeoe___ oeEfio.... oeE. q@ .moe Y
@ oe@QOE .oe> 95 pm...o . AN \5.. . SY oe...9fim 28qu m...... .OEEQNOE. 
D. --

... ..._oe : .o _w @. ..... E...... 38
.oQ oe5d oe:3  mfi......  @@ @.  @ fio_..._qu._ oe.... oevfl3m8 
oe....w... GE . U.--

.... _ .8-... .3m D 3%? ... umoe oe:v
_ -o_ooe.... flofioE  o...... :. 8- _ .m :. @ _oe__u m_o oeEQEooeEoA 
ns _moe

_
_ ....E + ...
... .OEQ : .o Sm oe_qm_ww . .. fio_qo._ E 25 ....oequ@D . m.--

" v3

oem uw oeNQE8 m.fifiofl :...... oe:vfi_oefioqow_fi_ oeE._ oefl: @ @@  @ 
... fio_..._

..:--8 n...... ..OEEED ....... w @  + w 3 88388 oeScfl :: oe.oean m 
__ooe. <.--
EQ 3.58 oe.....s oe... - \ m.....dOE
.N .D .N  .. .N 33...

.oeoeBU mm... ..Soe woeoe oe.2oe m3232oe%5 ..:--3. 335% oeoekoe--Q 
oe. oeoefl

.: 8A|
.... .. W &: ...oe...8.oe

_ on..
.....W "

oN@ ON
oew>a8 .. oe__oeoe . ...... oew_oe>Qoo .. .....
_ _ ..._

oe__@m 3 Z... ... .: B .oQ m

n=>_ w.@___u_

.mpoe>flov .:. 3.85% oefi_oe..._ @@ oe__oeoe oeA

...... oe...__E__ ...: E... .. .....  .: oefi5m . ...... ....oeBfioe ...S 
.o@

..5 w _. ....._ . 3 .5 oefifioo S .on_

. .oe:v oe:3 OE___moa

m...oeoe.... @@ QS oe__=m oe:: oe_oe_xoe. sv oeoeo...5oe GO .moeMoe--QES 
moe.5fifi @@ oe350@

3_5oe 95 . ..w$ ...x.. ..5 __ooe Amoe_m moe_ .oQ oewfiEofi oeofioe$>fi09 -m

.oeoew>...--8 oea_sm

oe:: oe...._oexoe ...oea Go m98fi88 So oe.... moe.fiSfi @@ mwfifl 3_5m 
358 @@ -N

. gmx.oexQ Qc.... @  . ..Q noe: .cQ :o... m....fifioe.

oefioeo ...Eoefioe 3_:m oe:: um A..5 :o A.....mv oeE._ 3 @@ oe__:m 
oed: um

m@MQSS m.oe.fifl8fi @@ A ..3 oe...__sm ...s Aoe__sm m:om 58 oefioexoe 
oe...__sm ...D -_
.oeoe@fioefioe@ mQ oe. : oe>fioe E o 2955 35328 EOE

.oe>_...__mom um oe:oe.... oeEQ _ o...... ..OE % moefio % oe.fiEofi :_... 
oe>voe =: .w
mo_oeo._oe :.oeoe.... mo oe:=m :o oea oe˩ oe... mdD .oewoe 20
.....8 & .oe ..oefioemmfi. ....EQ oeoe @ ...Eoewn3 .... ...w 
moeNoefifl8o moe.5qu moeq

. oe\... flo..... @@ @@ o oe:oeoe @@ 288 2 .3m ...--2

-SEDo.m..  ...Eoecfl8 m... ...m " ...... ..w m@NES 3.589... m2 . 8 .l : 
oe5doeA

.. .oe=m|

... 38.8... oo @@ _oe_o_wo_ ==.w oe_oe._ ...... .oeou oem fio.... 
.oeEB
.o.& 3... :... @@ = moefi. m.... .Eo.... oe_oe._ oe>:oe.&  o @@ o@ 
m......oeoe :: m....oefl
-fio flo oe:vfi .m>m mum@p N5oe moe_ Boe.@ _moe oefiwfio.& mo ...% 
n @@

EUR _ _ .c..m "..:
oeEQ 3... m......fio @@ oefifim a: oe .. w .. w ...... ...m... oefifim 

. .: H......m .

.:
..

Z... ... .... B .o&

o@ :oe.5v oe.OESOEE _

.--.

GO ... @@ m98fi88 m@fio @@ oefifim.OE := _.....<.... &...<  ... m....oefi QO

.& ON...
_|. H
..N =

... @ _o..._ : oe=oe_oenoaxoe._ @@ ..
oe..S. .8....B @@ oeEˣQ w... .....w 239... :o . .. ?: mon .= 
....oe5fioe  .o@

_ m...:QE .........

QN o...Q:OE - OEOEQ OE=ouco

0035! IOOZ I!M 17 "P "!SJgA 9' OO'OI'E [mew dW 319... EUR "083 IOOZ VW

8 8888

.oefi.8ng 28893 3 8833 8 835383 .83 882888 8.583 28

QWW-- 8T:

" || 8_8 :w_ 888 8:
... ..._.=N-8.zm " ...wo 8883 88.8... 8.888w $.m.E
... " _.-.N_ 95 8 3:88 2 % ......E ...... .... &... 8 _ . _N_ 25 

...
. N 98388 83888 85 m8> 888288 8888 88888 88... 853 88 888338 8G .

=Q

&
E
88 88888 98 fiooe m ... : 8588 9588 .883 888 828...-- m98388 88 8888 98
A. 3 88 28588 888838 88888888 88888988 888 98 A5: fiooe .m--.OE
 8...8 m......K 35 ....88.............. 8.883 28

& VO ...3

fig 88883A|13 Im3_+aAN|8NV " 8

N'

... flow--8388 8-- 88883 . 83 888--383 8... 98388 88888 98 N fioOE Q.OE.E
_8 .=w_ 838 95389888 afi......88f83860 - H....--

3oqm 83An...| ; o

... +3
_
... 888% 888...-- 88 8888 8... 88 9382 8... 883

_+3AMMVH un 88 oe 83AWI_VW--.u 36
...

... 8.88%

8888 88 88888 8838 8882 8-- 888888 ... _ uoeOE 883388 8G AN.D.3H

" oeOE 38 58883 8888 8-- 888382 8-- 8888D 3.D.:
. ... w _m_ 98 38...-- N 98388
...8 m8> 888888 88 88388 8.588... 88 33 8888 88... 883888 80 . D.:

OE.V _N-- ...A ...... ...N.--v... >

... 88 88 . Z A : 38,888 8888

88 .883 95 38...-- 2 88588 888 ...8 8888 m . _ A ...... 88 .883 95 883 .... A 
_m_ .

fi83.mB8m = 88 N 88888 883 8888 8888 8 .883 888 888888 8H AN.O.=

gw_N_ 8T=

ml 38 8:

: :......

... HOEQwEHOE...--@D

OE 83.8.l

ou......
&
Q. 2I_V W

... ....w _m_ 8838 ...9. 8 983
-88 83888 88 .883 858 83882 . ... v .... v o 98 388 3888 88 .... fioOE Q.D.OE

& Nl--
w @ OEu-...l

- D....--
. & SN m : .
...... 8383 8  88 888888 883 88E3NOE
@ n a o  a ,
%.... ...E...... W H ......N ...... W " GQ...OE
8 Q

8838 88802 AU 88883 83 883 8838 888 8 :: 58

@
WMV: :|. I =
A... Ex.... .. cc 8
... 883 898 = 8898--83 8-- 883888 80
:A3_m @
ou.\ . QI
@ ; vQ ...
:w3w:m Awl_V:ulll H3=
. T......
ou...; _

... 8883 Go 88888 888 3 .883 - m....--

.8 am 8838 8888 88 8838
88 88 88858 888 8 888 88 ...... =& 88 =: _ = w & .883 95 835.--
: ......   ... 3. <. ...--

.88 88 8.888 888 :: 88583 888888 :

8888 88...8. 88888 88 88% - \\ 8.88%

m.. N-8N T. N 98388 8858883888-- 83 883 3 88 8885 888 82958 . EUR....
88 888383 88888 98 88 3 83.88 8-- 888888888 88888 ... 888
.... 8888888 88388 85 8 38338.-- 888 3898 893338 88338 883 8D - .--

. m... .88 88888 83 _D 888838 88 888 8  @ 88d 8>:83

Σ-... " sr
... 88.89.8388 88285 83 @ ... 8 888
-m.8... 88... 88--88 88 . 2853 88 8383 8 888 | _ 88 888838 98 8 8880 Am....
88 8588 88 5 88.89.8358 m.88_8> 883 o .l ...... 8888-- El s::... "  @
883 88888 a 80588 8... 88 8 88 8388 828388 88 888D . h.--

\ 888: m 

8 8888

.oefi.8ng 28893 3 8833 8 835383 .83 882888 8.583 28

QWW-- 8T:

" || 8_8 :w_ 888 8:
... ..._.=N-8.zm " ...wo 8883 88.8... 8.888w $.m.E
... " _.-.N_ 95 8 3:88 2 % ......E ...... .... &... 8 _ . _N_ 25 

...
. N 98388 83888 85 m8> 888288 8888 88888 88... 853 88 888338 8G .

=Q

&
E
88 88888 98 fiooe m ... : 8588 9588 .883 888 828...-- m98388 88 8888 98
A. 3 88 28588 888838 88888888 88888988 888 98 A5: fiooe .m--.OE
 8...8 m......K 35 ....88.............. 8.883 28

& VO ...3

fig 88883A|13 Im3_+aAN|8NV " 8

N'

... flow--8388 8-- 88883 . 83 888--383 8... 98388 88888 98 N fioOE Q.OE.E
_8 .=w_ 838 95389888 afi......88f83860 - H....--

3oqm 83An...| ; o

... +3
_
... 888% 888...-- 88 8888 8... 88 9382 8... 883

_+3AMMVH un 88 oe 83AWI_VW--.u 36
...

... 8.88%

8888 88 88888 8838 8882 8-- 888888 ... _ uoeOE 883388 8G AN.D.3H

" oeOE 38 58883 8888 8-- 888382 8-- 8888D 3.D.:
. ... w _m_ 98 38...-- N 98388
...8 m8> 888888 88 88388 8.588... 88 33 8888 88... 883888 80 . D.:

OE.V _N-- ...A ...... ...N.--v... >

... 88 88 . Z A : 38,888 8888

88 .883 95 38...-- 2 88588 888 ...8 8888 m . _ A ...... 88 .883 95 883 .... A 
_m_ .

fi83.mB8m = 88 N 88888 883 8888 8888 8 .883 888 888888 8H AN.O.=

gw_N_ 8T=

ml 38 8:

: :......

... HOEQwEHOE...--@D

OE 83.8.l

ou......
&
Q. 2I_V W

... ....w _m_ 8838 ...9. 8 983
-88 83888 88 .883 858 83882 . ... v .... v o 98 388 3888 88 .... fioOE Q.D.OE

& Nl--
w @ OEu-...l

- D....--
. & SN m : .
...... 8383 8  88 888888 883 88E3NOE
@ n a o  a ,
%.... ...E...... W H ......N ...... W " GQ...OE
8 Q

8838 88802 AU 88883 83 883 8838 888 8 :: 58

@
WMV: :|. I =
A... Ex.... .. cc 8
... 883 898 = 8898--83 8-- 883888 80
:A3_m @
ou.\ . QI
@ ; vQ ...
:w3w:m Awl_V:ulll H3=
. T......
ou...; _

... 8883 Go 88888 888 3 .883 - m....--

.8 am 8838 8888 88 8838
88 88 88858 888 8 888 88 ...... =& 88 =: _ = w & .883 95 835.--
: ......   ... 3. <. ...--

.88 88 8.888 888 :: 88583 888888 :

8888 88...8. 88888 88 88% - \\ 8.88%

m.. N-8N T. N 98388 8858883888-- 83 883 3 88 8885 888 82958 . EUR....
88 888383 88888 98 88 3 83.88 8-- 888888888 88888 ... 888
.... 8888888 88388 85 8 38338.-- 888 3898 893338 88338 883 8D - .--

. m... .88 88888 83 _D 888838 88 888 8  @ 88d 8>:83

Σ-... " sr
... 88.89.8388 88285 83 @ ... 8 888
-m.8... 88... 88--88 88 . 2853 88 8383 8 888 | _ 88 888838 98 8 8880 Am....
88 8588 88 5 88.89.8358 m.88_8> 883 o .l ...... 8888-- El s::... "  @
883 88888 a 80588 8... 88 8 88 8388 828388 88 888D . h.--

\ 888: m 

%... &&

ooo Zur--H ou.

............-...Vzg

... 8 T = 3532 38 .$fiofim
.oe>m um oe:... oem ... o =m @@ moefio % 3.5qu @... =Z ......qu GO . 
D.>H

8AI

...=| . ... ... ...u &
% - "+...-...- =% EUR.?- 5% w ... 

... moeNoe--QES m.oe>

m.... J...... .m ...oeoeofi .En % moeoeoe @@ 6558 d:wfi.a- ...N 
EEE--o.... oefi:
pm \ 5 65EUR oeoe@o@.& E @@  NO.--...... GB...U ... m...... m....fim . 
m.>--
....... oeEoe>Boefi--oe:w fi5m...- mo E oeEEcO

.OE.m--.E Qo.oeoe3@ @... @ m8 B d:oQ @@

QWw_ 84|t

A=3.T.__ e &:

... oe5v ....oefiofim
.: v ...oe w ...? 33 3 ...w nem ...oe  .......=N ...... oe : oE ...... 
C mafia - .
... ...... _  _ Z <>--

oe8oeoQ oeoe &......ng % w. mm...... %EOE - % oe....6OE

... u ......
l Pn . Q 8 Al :
% - A... - @ __ ...... ... ...
Q
... m@N--QfiOu m.oe--> ...... ... oe... .m 558.88 .En _D
3920 @@ ...m5fiBfiou ......UBQ- p...N flow--umo." oe... pm \ 6 ...m5...... 
mw am AN.O.H=

...u&
| W mfl......:
@ | ..._...__...oe _ ....

2

... oe:v ....oe>:o.fl .fi :ofi N ... & fiooe Q.D....E
& ... ... :: . QE

n< OE

& ::
oe......... w _ m_
... oe5@ :oe

Qm w _a=oe_

... _MQ B.oQ ...m:
S ....:o@ &:v  & ....oeSfloe...-- .m oeufioemp ....oea ...>:o.fi . 
....:oe noeo_mo .m.E...

OH...N
....l...+Q.oe.fiW " _+Q...::+Qvl
&

...   - e N ...... $ ... ... N :  ... :.m.E
& 5% m@1 HQE--n32 - ...:----

oua

&&...+Qoe w H A8V=.\

8

... o5U @@ o @@ moefioe...o> : oe.SGoe oe-......m dm mEoe...o--oe>m umoe

.:
3- @ - 1 8
3 
... & oe:oe... oeE> oe... @@ : ...EBofi E 33 ....Eflofiw - <.--=
... .m.fi
...fimoefi  ...... wifi-@@ @ o ...... =@ m......--  =OE oeE...Q @... 
oesv oe:oe...oe.-- flo EOE
&...N Q " & W

... oe:v oeooe @@
...moefi moeoe ... oe:82oe--... Q:...--  ... ...e  ...fi=w m...... 
3358 3  8od nO

... H &
EUR EUR 5 mi
A.=Nloe& N H & w UOE>OE mH--OPO...C & QW w " m.
=
_ " &
&...: l &...:
am W | m
=
... En son

 Z... w & .oQ 625 GO .: mon ...oe.B ....oeBfioe a: um : ....oeBQ 
oefioeoe 358 mfi

oeoe3md mm...... :....aOE - N oe....dOE

... mm:0: w 

00151 IOOZ l!--...2 17 "P '--10!519A 9' ()0'OI'S ! q19W dW 319... ? u0HOOZ VW

%... &&

ooo Zur--H ou.

............-...Vzg

... 8 T = 3532 38 .$fiofim
.oe>m um oe:... oem ... o =m @@ moefio % 3.5qu @... =Z ......qu GO . 
D.>H

8AI

...=| . ... ... ...u &
% - "+...-...- =% EUR.?- 5% w ... 

... moeNoe--QES m.oe>

m.... J...... .m ...oeoeofi .En % moeoeoe @@ 6558 d:wfi.a- ...N 
EEE--o.... oefi:
pm \ 5 65EUR oeoe@o@.& E @@  NO.--...... GB...U ... m...... m....fim . 
m.>--
....... oeEoe>Boefi--oe:w fi5m...- mo E oeEEcO

.OE.m--.E Qo.oeoe3@ @... @ m8 B d:oQ @@

QWw_ 84|t

A=3.T.__ e &:

... oe5v ....oefiofim
.: v ...oe w ...? 33 3 ...w nem ...oe  .......=N ...... oe : oE ...... 
C mafia - .
... ...... _  _ Z <>--

oe8oeoQ oeoe &......ng % w. mm...... %EOE - % oe....6OE

... u ......
l Pn . Q 8 Al :
% - A... - @ __ ...... ... ...
Q
... m@N--QfiOu m.oe--> ...... ... oe... .m 558.88 .En _D
3920 @@ ...m5fiBfiou ......UBQ- p...N flow--umo." oe... pm \ 6 ...m5...... 
mw am AN.O.H=

...u&
| W mfl......:
@ | ..._...__...oe _ ....

2

... oe:v ....oe>:o.fl .fi :ofi N ... & fiooe Q.D....E
& ... ... :: . QE

n< OE

& ::
oe......... w _ m_
... oe5@ :oe

Qm w _a=oe_

... _MQ B.oQ ...m:
S ....:o@ &:v  & ....oeSfloe...-- .m oeufioemp ....oea ...>:o.fi . 
....:oe noeo_mo .m.E...

OH...N
....l...+Q.oe.fiW " _+Q...::+Qvl
&

...   - e N ...... $ ... ... N :  ... :.m.E
& 5% m@1 HQE--n32 - ...:----

oua

&&...+Qoe w H A8V=.\

8

... o5U @@ o @@ moefioe...o> : oe.SGoe oe-......m dm mEoe...o--oe>m umoe

.:
3- @ - 1 8
3 
... & oe:oe... oeE> oe... @@ : ...EBofi E 33 ....Eflofiw - <.--=
... .m.fi
...fimoefi  ...... wifi-@@ @ o ...... =@ m......--  =OE oeE...Q @... 
oesv oe:oe...oe.-- flo EOE
&...N Q " & W

... oe:v oeooe @@
...moefi moeoe ... oe:82oe--... Q:...--  ... ...e  ...fi=w m...... 
3358 3  8od nO

... H &
EUR EUR 5 mi
A.=Nloe& N H & w UOE>OE mH--OPO...C & QW w " m.
=
_ " &
&...: l &...:
am W | m
=
... En son

 Z... w & .oQ 625 GO .: mon ...oe.B ....oeBfioe a: um : ....oeBQ 
oefioeoe 358 mfi

oeoe3md mm...... :....aOE - N oe....dOE

... mm:0: w 

00151 IOOZ l!--...2 17 "P '--10!519A 9' ()0'OI'S ! q19W dW 319... ? u0HOOZ VW

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Maths 1 MP 2001 -- Corrig
Ce corrig est propos par Sbastien Gadat (ENS Cachan) ; il a t relu par
Vincent Perrier (ENS Lyon) et Vincent Puyhaubert (ENS Cachan).

Le but de ce problme est de dterminer le comportement des racines du polynme
tronqu Pn dfinissant l'exponentielle complexe lorsque le degr n du polynme 
tend
vers +.
 La premire partie tudie une courbe polaire dfinie implicitement comme tant
la fonction rciproque d'une fonction tudie pralablement (I.C).
On constate alors que cette fonction vrifie une quation diffrentielle, que 
l'on
tablit  la question I.E ; la fin de la partie propose un trac approch de la
courbe polaire obtenue.
 La partie II utilise des outils classiques d'analyse (suites doubles 
sommables,
formules de Taylor) pour dmontrer des proprits asymptotiques sur le module
des n,k dfinis  partir des racines du polynme Pn .
 Paralllement, pour achever l'tude du comportement asymptotique des n,k
on montre dans la troisime partie que les arguments des n,k se rpartissent
uniformment sur [ 0 ; 2 ]. On dira alors que les arguments sont quirpartis.
 Enfin, la dernire partie, plus originale, propose de trouver un quivalent du
nombre de racines de Pn dont la partie relle est positive. Elle utilise 
astucieusement les rsultats dmontrs dans la partie prcdente.

Indications

Partie I
I.C Utiliser la fonction u et remarquer que r = u-1 (cos).
I.D Justifier que l'on peut procder par dichotomie.
I.E Utiliser astucieusement la formule de la question I.C ou appliquer le 
thorme
de drivation d'une compose de fonctions.

1
I.G Montrer que l'image de  est le cercle C 0,
.
e
Partie II
II.A Revenir  la dfinition des n,k et tudier le polynme driv Pn .
II.C.1 Appliquer le thorme de convergence domine pour les sries rappel dans
l'nonc.
II.D.2 Pour la limite de p , appliquer le thorme de convergence domine pour 
les
intgrales. Pour celle de p , encadrer ln p par des intgrales.
II.E.1 Appliquer la formule de Taylor avec reste intgral  la fonction z 7 ezt 
entre
0 et p.
II.E.2 Utiliser la formule de la question II.E.1 avec les zn,k .
II.E.3 Raisonner par l'absurde et extraire de la sous-suite construite une 
sous-suite
convergente ; aboutir ainsi  une contradiction avec la question II.E.2.
Partie III
III.A Utiliser le dveloppement de Qn en produit de monmes du premier degr
1
ainsi que le dveloppement en srie entire de
.
1-z
III.B.1 Transformer l'galit prcdente et utiliser l'unicit du dveloppement 
en
srie entire.
III.B.2 Pour la majoration des Sn,p , utiliser le dveloppement en srie de 
e-pzn,k .
III.C.1 Revenir  la dfinition de la limite et utiliser la majoration obtenue 
 la
question III.B.2 .
III.C.2 Utiliser le dveloppement en srie de Fourier de f et la relation entre 
la
rgularit de f et la vitesse de dcroissance de ses coefficients de Fourier.
Partie IV
IV.A Raisonner de nouveau par l'absurde et procder  une extraction. Utiliser
alors la dfinition de r donne  la question I.C pour obtenir une 
contradiction.
IV.B Appliquer le rsultat de la question III.C.3 et remarquer que f est 
uniformment continue sur R.
IV.C Utiliser la limite prcdente avec une fonction  plateau  modifie qui 
possde
les proprits de rgularit voulues. Passer ensuite  la limite pour obtenir la
fonction crneau et la formule finale.

I.

tude d'une courbe plane

I.A En crivant z = ei on obtient directement l'expression trigonomtrique de
 = ze-z :
 = e- cos  ei(- sin )
I.B La fonction u est continue sur ] 0 ; 1 ] et drivable sur ] 0 ; 1 [, de 
drive u (t) =
ln t
- 2 strictement positive sur ] 0 ; 1 [. Voici le tableau de ses variations :
t
0

1

u

+

u

1

-

u est une bijection continue et strictement croissante de ] 0 ; 1 ] sur ] - ; 1 
] ; par
suite, u-1 est aussi continue et strictement croissante. On en dduit que u est 
un
homomorphisme croissant de ] 0 ; 1 ] sur ] - ; 1 ].
Puisque u ne s'annule pas sur ] 0 ; 1 [ , u-1 est de classe C 1 sur ] - ; 1 [.
I.C La bijectivit de u entrane :
y  ] - ; 1 ] ! ty  ] 0 ; 1 ]
De plus, par dfinition de u, ty vrifie ty e
y = cos , on conclut que :

-yty

  R ! r()  ] 0 ; 1 ]

y = u(ty )

= 1/e . En considrant le cas particulier

r()e-r() cos  =

1
e

I.D On vrifie que r(0) = 1 et que r (/2) = 1/e. En effet, ces deux valeurs
satisfont l'galit de la question I.C et ce sont les seules d'aprs l'unicit 
dmontre
prcdemment.
Pour calculer une valeur approche de r(), il suffit de remarquer que r() =
u-1 (-1). On peut alors utiliser un algorithme de recherche dichotomique pour 
trouver
une valeur approche de u-1 (-1)  10-6 prs en vertu de la croissance de u-1 :
r() = 0, 278464
I.E La fonction r peut aussi s'crire : r = u-1  cos d'aprs la question I.C. 
On en
dduit que r est continue, 2-priodique et paire.
Sur ] 0 ; 2 [, cos est de classe C 1 ,  valeurs dans [ -1 ; 1 [ ; par 
composition, r est
aussi de classe C 1 sur ] 0 ; 2 [.
Drivons la formule r() = u-1 (cos ) par rapport   : r () = -(sin )w (cos )
avec w = u-1 . Par consquent,
  ] 0 ; 2 [

r () =

sin r()2
r2 sin 
=
ln(r())
r cos  - 1

I.F Pour tout h > 0, un calcul immdiat donne :

(1)

v(h) =

Comme ln(1 - h) = -h -

-h - ln(1 - h)
1-h

h2
+ o h2 , on en dduit que
2
v(h) =

h2
+ o h2
2

On remarque ensuite que u(r()) = cos . En posant h() = 1 - r(), la formule
prcdente se rcrit
1 - cos  = v(h())
D'aprs l'tude effectue aux questions I.C et I.D, lim h() = 0. De plus,
0

1 - cos  =

2
+ o 2
2

et

v(h()) =

h()2
+ o h()2
2

h() tant toujours positif, h() =  + o (), d'o le rsultat annonc :
r() = 1 -  + o ()
r est de classe C 1 sur ] 0 ; 2 [ et lim+ r () = -1 d'aprs l'quivalent 
dmontr
0

prcdemment ; r est donc prolongeable en une fonction de classe C 1 sur [ 0 ; 
2 [. Or
la parit de r donne lim- r () = 1 et d'aprs sa 2-priodicit, lim - r () = 1 
: en
0

consquence, r est de classe C 1 par morceaux sur R.

2

Cette question peut paratre dstabilisante dans la mesure o la fonction r
est dj C 1 sur les intervalles ] 2k ; 2(k + 1) [. Ici, il semble qu'il faille 
dmontrer, en plus, que r admet des drives premires  gauche
p et  droite en
chaque point 2k. Ainsi, au sens de l'nonc, la fonction |  | n'est pas C 1
par morceaux sur R.

I.G Soit  la courbe d'quation polaire  = r(), c'est--dire

 = r()ei |   [ 0 ; 2 ]
Notons  la fonction z 7 ze-z et cherchons () :
n
o
i
() = r()ei e-r()e |   [ 0 ; 2 ]

= r()e-r() cos  ei(-sin r()) |   [ 0 ; 2 ]