CCP Maths 2 MP 2016

Thème de l'épreuve Interpolation de Hermite et polynômes de Hermite
Principaux outils utilisés algorithmique, réduction, interpolation polynomiale, polynômes orthogonaux

Corrigé

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SESSION 2016

MPMA206

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
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MATHEMATIQUES 2
Jeudi 5 mai : 8 h - 12 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont autorisées
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Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
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EXERCICE I :

INFORMATIQUE

Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif à 
la rédaction et notamment à l'indentation du code. Cet exercice étudie deux 
algorithmes permettant le calcul du pgcd (plus
grand commun diviseur) de deux entiers naturels.
I.1. Pour calculer le pgcd de 3705 et 513, on peut passer en revue tous les 
entiers 1,2,3, · · · ,512,513
puis renvoyer parmi ces entiers le dernier qui divise à la fois 3705 et 513. Il 
sera alors bien le plus grand
des diviseurs communs à 3705 et 513. Écrire une fonction gcd qui renvoie le 
pgcd de deux entiers
naturels non nuls, selon la méthode décrite ci-dessus. On pourra éventuellement 
utiliser librement
l'instruction min(a,b) qui calcule le minimum de a et b. Par exemple gcd(3705, 
513) renverra
57.
I.2. L'algorithme d'Euclide permet aussi de calculer le pgcd. Voici une 
fonction Python nommée
euclide qui implémente l'algorithme d'Euclide.
def euclide(a,b):
"""Donn\'ees: a et b deux entiers naturels
R\'esultat: le pgcd de a et b, calcul\'e par l'algorithme d'Euclide"""
u = a
v = b
while v != 0:
r = u % v
u = v
v = r
return u

Écrire une fonction «récursive» euclide_rec qui calcule le pgcd de deux entiers 
naturels selon
l'algorithme d'Euclide.
I.3. On note (Fn )nN la suite des nombres de Fibonacci définie par :
F0 = 0, F1 = 1, n  N, Fn+2 = Fn+1 + Fn .
I.3.a. Écrire les divisions euclidiennes successivement effectuées lorsque l'on 
calcule le pgcd de
F6 = 8 et F5 = 5 avec la fonction euclide.
I.3.b. Soit n  2 un entier. Quel est le reste de la division euclidienne de 
Fn+2 par Fn+1 ? On pourra
utiliser librement que la suite (Fn )nN est strictement croissante à partir de 
n = 2. En déduire, sans
démonstration, le nombre un de divisions euclidiennes effectuées lorsque l'on 
calcule le pgcd de Fn+2
et Fn+1 avec la fonction euclide .
I.3.c. Comparer pour n au voisinage de +, ce nombre un , avec le nombre vn de 
divisions euclidiennes effectuées pour le calcul du pgcd de Fn+2 et Fn+1
gcd. On pourra utiliser
 par la fonction
n
librement que Fn est équivalent, au voisinage de +, à  / 5 où  = (1 + 5)/2 est 
le nombre d'or.
I.4. Écrire une fonction fibo qui prend en argument un entier naturel n et 
renvoie le nombre de
Fibonacci Fn . Par exemple, fibo(6) renverra 8.
I.5. En utilisant la fonction euclide, écrire une fonction gcd_trois qui 
renvoie le pgcd de trois
entiers naturels. Par exemple, gcd_trois(18, 30, 12) renverra 6.
2/5

EXERCICE II
Pour tout entier naturel non nul n, on note Mn (K) l'algèbre des matrices 
carrées d'ordre n à coefficients dans le corps K.
Dans cet exercice, A est une matrice de Mn (R) telle que A3 + A2 + A = 0.
II.1. Démontrer que les valeurs propres complexes de A prennent au maximum 
trois valeurs distinctes que l'on précisera.
II.2. Justifier que A est diagonalisable dans Mn (C).
II.3. Démontrer que si A est inversible alors det(A) = 1.

PROBLÈME III
Les deux premières parties du problème sont indépendantes. La deuxième partie 
étudie un exemple
d'interpolation de Hermite et la troisième partie quelques propriétés d'une 
famille de polynômes qui
portent le nom de ce même mathématicien.
On note R [X] l'algèbre des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier 
naturel n, Rn [X] le
sous-espace vectoriel de R [X] constitué des polynômes de degré inférieur ou 
égal à n. On note R (X)
le corps des fractions rationnelles à coefficients réels.
Pour tout polynôme P  R [X], on note P le polynôme dérivé de P et, pour tout 
entier naturel n, on
note P(n) le n-ième polynôme dérivé de P. Pour tout entier naturel non nul n, 
on note Mn (R) l'algèbre
des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.

Première partie : questions préliminaires
Soit n un entier naturel non nul.
III.1. Soit P et Q deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
III.1.a. Démontrer que si P et Q n'ont aucune racine complexe commune, alors P 
et Q sont
premiers entre eux (on pourra raisonner par l'absurde).
III.1.b. On suppose que P et Q sont premiers entre eux. En utilisant le 
théorème de Gauss, démontrer que si P et Q divisent un troisième polynôme R à 
coefficients complexes, alors il en est de
même du polynôme PQ.
III.2. Soit (Pi )1in une famille de polynômes non nuls de R [X]. On considère 
le polynôme
n
P
P  R [X] et la fraction rationnelle Q  R (X) définis par P =  Pi et Q = .
P
i=1
n

Pi
Démontrer par récurrence que Q =  .
i=1 Pi
3/5

Deuxième partie : interpolation de Hermite
Soit I un intervalle non vide de R, p un entier naturel non nul, (xi )1ip une 
famille d'éléments de I
distincts deux à deux et (ai )1ip et (bi )1ip deux familles de réels 
quelconques.
III.3. Définition du polynôme interpolateur de Hermite
III.3.a. Soit P  R [X] et a  R. En utilisant la formule de Taylor, démontrer 
que :
si P(a) = P (a) = 0 alors (X - a)2 divise P.
III.3.b. En utilisant la question préliminaire III.1, démontrer que 
l'application  de R2p-1 [X] vers
définie par

(P) = P(x1 ),P(x2 ), . . . ,P(x p ),P (x1 ),P (x2 ), . . . ,P (x p )

R2p

est une application linéaire bijective de R2p-1 [X] sur R2p .

III.3.c. Démontrer qu'il existe un unique polynôme PH  R2p-1 [X] tel que, pour 
tout entier i
vérifiant 1  i  p, on a PH (xi ) = ai et PH (xi ) = bi .
Le polynôme PH est appelé polynôme d'interpolation de Hermite.
III.4. Étude d'un exemple
Déterminer le polynôme d'interpolation de Hermite (défini à la question III.3) 
lorsque p = 2, x1 = -1,
x2 = 1, a1 = 1, a2 = 0, b1 = -1 et b2 = 2 (si, au cours de ses calculs, le 
candidat a besoin d'inverser
une matrice, il pourra le faire sans justification à l'aide de sa calculatrice).
III.5. Une formule explicite
p

Pour tout entier i tel que 1  i  p, on considère le polynôme Qi = 
j=1
j=i

X -xj
xi - x j

2

.

III.5.a. Soit i un entier vérifiant 1  i  p. Calculer Qi (xk ) pour tout entier 
k tel que 1  k  p et
démontrer qu'on a
p
2

Qi (xk ) = 0 si k = i et Qi (xi ) = 
j=1 xi - x j
j=i

On pourra utiliser la question préliminaire III.2.
III.5.b. Démontrer que le polynôme P défini par la formule

p 

P =  1 - Qi (xi )(X - xi ) ai + (X - xi )bi Qi
i=1

est le polynôme d'interpolation de Hermite défini à la question III.3.
III.5.c. Retrouver le polynôme de la question III.4 en utilisant cette formule.

4/5

Troisième partie : polynômes de Hermite
Soit (Hn )nN la famille de polynômes définie par H0 = 1 et, pour tout n  N, 
Hn+1 = XHn - Hn .
III.6. Démontrer que, pour tout n  N, Hn est un polynôme unitaire de degré n.

= (n + 1)Hn .
III.7. Démontrer que, pour tout n  N, Hn+1

Pour tous polynômes P et Q à coefficients réels, on pose
P | Q =

 +
-

P(x)Q(x) f (x)dx,

 2
 +
x
1
f (x)dx = 1.
. On rappelle que
la fonction f étant définie sur R par f (x) =  exp -
2
2
-
III.8. Un produit scalaire sur R [X]
III.8.a. Justifier, pour tous polynômes P et Q dans R [X], l'existence de 
l'intégrale qui définit
P | Q.
III.8.b. Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur R [X].
III.9. Une famille orthogonale
Dans la suite, R[X] est muni de ce produit scalaire et de la norme associée 
notée  . .

III.9.a. Démontrer que, pour tout P  R [X] et pour tout n  N, P | Hn  = P(n) | 
H0 .
III.9.b. En déduire que, pour tout n  N, la famille (H0 ,H1 ,...,Hn ) est une 
base orthogonale de
Rn [X].
III.9.c. Calculer Hn  pour tout n  N.
III.9.d. Soit P = X 3 + X 2 + X + 1. Préciser les polynômes H1 , H2 et H3 puis 
déterminer quatre
3

réels ai (0  i  3) tels que P =

 aiHi. En déduire la distance d du polynôme P au sous-espace
i=0

R0 [X] des polynômes constants, c'est-à-dire la borne inférieure de P - Q quand 
Q décrit R0 [X].
III.10. Étude des racines des polynômes Hn
Soit n  N. On note p le nombre de racines réelles (distinctes) d'ordre impair 
du polynôme Hn ,
a1 , a2 , ..., a p ses racines et S le polynôme défini par
p

S = 1 si p = 0 et S =  (X - ai ) sinon.
i=1

III.10.a. Démontrer que, si p < n, alors S | Hn  = 0.
III.10.b. Démontrer que, pour tout x  R, S(x)Hn (x)  0.
III.10.c. En déduire que Hn a n racines réelles distinctes.
Fin de l'énoncé
5/5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 MP 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Sélim Cornet (ENS Cachan) et Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur à
l'université).

Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants.
· On commence par un exercice d'informatique qui étudie le calcul du pgcd de
deux entiers naturels ainsi que la suite de Fibonacci (Fn )nN . On compare le
nombre de divisions euclidiennes nécessaires au calcul du pgcd de Fn+1 et Fn+2
avec l'algorithme d'Euclide puis avec un algorithme testant tous les nombres
inférieurs ou égaux à Fn+1 pour voir s'ils conviennent.
· Le deuxième exercice, très court, porte sur la réduction et les polynômes 
annulateurs. Les deux premières questions sont des applications directes du 
cours.
· Le problème porte sur les polynômes et les espaces euclidiens.
La première partie permet d'établir des résultats préliminaires (vus en cours)
sur l'arithmétique des polynômes ainsi qu'une formule permettant de décomposer 
P /P en une somme lorsque P est un produit de polynômes non nuls.
La deuxième partie est consacrée à l'interpolation de Hermite. Étant donné un
entier naturel non nul p et des réels distincts x1 , . . . , xp , on démontre 
l'existence
et l'unicité d'un polynôme PH appartenant à R2p-1 [X] tel que les valeurs de PH
et de PH  soient imposées en x1 , . . . , xp . On calcule ce polynôme sur un 
exemple
et on démontre une formule explicite pour PH dans le cas général.
La troisième partie traite de la famille (Hn )nN des polynômes de Hermite.
On démontre plusieurs de ses propriétés, en particulier son orthogonalité pour
un produit scalaire bien choisi. On établit également que, pour tout n  N,
le polynôme Hn admet exactement n racines réelles.
Ce sujet est abordable et de longueur raisonnable. Le problème contient de 
nombreuses questions classiques sur les polynômes et l'algèbre euclidienne, 
qu'il est important de bien maîtriser. En particulier, de nombreux sujets de 
concours portent
sur des familles de polynômes orthogonaux et les raisonnements effectués dans la
troisième partie sur les polynômes de Hermite (intégration par parties pour 
l'orthogonalité, étude des racines...) peuvent s'adapter à ces autres familles.
À l'exception de la question I.2 qui nécessite l'écriture d'une fonction 
récursive,
l'exercice I peut être traité en première année. L'exercice II suppose d'avoir 
terminé
le chapitre sur la réduction. Pour traiter le problème, il faut avoir étudié 
l'algèbre
euclidienne, les polynômes et les intégrales généralisées.

Indications
Exercice I
I.2 Utiliser, comme dans euclide, que pgcd (a, b) = pgcd (b, r) lorsque b est 
non
nul et que r est le reste de la division euclidienne de a par b. Le cas d'arrêt
est b = 0.
I.5 Se rappeler l'associativité du pgcd.
Exercice II
II.2 Se souvenir des caractérisations de la diagonalisabilité du cours faisant 
appel
aux polynômes annulateurs.
II.3 Observer qu'avec l'hypothèse supplémentaire de cette question, on peut 
restreindre les valeurs propres possibles et noter que le polynôme 
caractéristique
de A est à coefficients réels.
Problème III
III.1.a Utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss.
III.3.b Pour l'injectivité, démontrer que si P  Ker , alors
en se servant des questions III.3.a et III.1.

p
Q

(X - xi )2 divise P

i=1

III.5.b Grâce à l'unicité du polynôme interpolateur, il suffit de vérifier que 
le polynôme proposé P est dans R2p-1 [X] et vérifie (P) = (a1 , . . . , ap , b1 
, . . . , bp ).
III.6 Procéder par récurrence.
III.7 Procéder de nouveau par récurrence.
III.9.a Faire encore une démonstration par récurrence, en faisant appel à une 
intégration par parties.
III.9.b Que vaut Hk () lorsque  > k ?
III.9.c Utiliser les questions III.9.a et III.6 pour calculer ||Hn ||.

III.9.d Calculer le projeté orthogonal de P sur R0 [X] à l'aide d'une base 
orthonormale de R0 [X].
III.10.a Utiliser la question III.9.b.
III.10.b On pourra se servir de la forme factorisée de Hn dans R[X] pour 
exprimer
le produit S Hn .
III.10.c Montrer par l'absurde que p = n et conclure.

Exercice I : informatique
I.1 En suivant l'algorithme donné dans l'énoncé, on peut procéder de la manière
suivante pour écrire la fonction gcd : on initialise à 1 une variable p puis, 
pour chaque
entier i compris entre 2 et Min (a, b), on teste s'il divise à la fois a et b. 
Si oui, on met i
dans p. Ainsi, en sortie de boucle, p sera le dernier diviseur commun à a et b 
trouvé
et donc le pgcd de a et b.
def gcd(a,b):
"""Données : deux entiers naturels non nuls a et b
Résultat : le pgcd de a et b"""
p = 1
for i in range(2,min(a,b)+1):
if a%i == 0 and b%i == 0:
p = i
return p
I.2 Écrivons une version récursive de l'algorithme d'Euclide itératif rappelé 
dans
l'énoncé. Il suffit de simuler une itération de la boucle while, à savoir le 
remplacement
des valeurs de u et v par v et u%v, puis de continuer à l'aide d'un appel 
récursif, jusqu'à
ce que v devienne égal à 0, qui est le cas d'arrêt de la fonction récursive.
def euclide_rec(u,v):
"""Données : deux entiers naturels u et v
Résultat : le pgcd de u et v"""
if v == 0: # cas d'arrêt
return u
return euclide_rec(v,u%v) # appel récursif
Comme l'algorithme itératif donné dans l'énoncé, l'algorithme récursif proposé 
ici est basé sur la propriété suivante, où r(a, b) désigne le reste de la
division euclidienne de a par b lorsque b est non nul.
(
a
si b = 0
pgcd (a, b) =
r(a, b) si b 6= 0
I.3.a Pour k > 1, on note Uk , Vk et Rk les valeurs prises par les variables u, 
v et r
à la sortie de la k-ième itération de la boucle while. Avant le premier passage 
dans
la boucle, u et v valent respectivement 8 et 5. La deuxième ligne du tableau 
indique
la division euclidienne (DE) réalisée pour calculer Rk .
k
DE
Rk
Uk
Vk

1
8=5×1+3
F6 = F5 × 1 + F4
3
5
3

2
5=3×1+2
F5 = F4 × 1 + F3
2
3
2

3
3=2×1+1
F4 = F3 × 1 + F2
1
2
1

4
2=1×2+0
0
1
0

On sort de la boucle à la quatrième itération puisque V4 vaut 0 et on renvoie 
alors U4
qui vaut 1.
On observe que pour n  {2 ; 3 ; 4}, le reste de la division euclidienne de Fn+2
par Fn+1 est Fn , mais que ce n'est pas vrai pour n = 1.

I.3.b On vérifie par une récurrence double immédiate que Fn est un entier pour
tout n  N. En admettant, comme l'invite l'énoncé, que la suite (Fn )n>2 est 
strictement croissante, on peut écrire, pour tout entier n > 2,
Fn+2 = Fn+1 × 1 + Fn

et

0 6 Fn < Fn+1

Par unicité du quotient et du reste de la division euclidienne, il s'ensuit que
Pour tout n > 2, le reste de la division euclidienne de Fn+2 par Fn+1 est Fn .
Le résultat admis dans l'énoncé, la stricte croissance de (Fn )n>2 , se démontre
aisément par récurrence. Notons P(n) les inégalités 0 < Fn < Fn+1 , pour
tout n > 2.
· P(2) est vraie puisque 0 < F2 = 1 < F3 = 2.

· P(n) = P(n + 1) : soit n > 2, supposons P(n) vraie et démontrons
P(n + 1). Alors Fn+1 > Fn > 0 d'où Fn+1 > 0 et
Fn+2 - Fn+1 = Fn > 0
donc P(n + 1) est vraie.
· Conclusion : pour tout n > 2, P(n) est vraie, d'où Fn+1 > Fn .
Pour n > 3, après un tour de boucle, les valeurs u = Fn+2 et v = Fn+1 sont
remplacées par u = Fn+1 et v = Fn . Par conséquent, il vient la relation de 
récurrence
n > 3

un = un-1 + 1

En remarquant que u2 = 2 à l'aide du tableau de la question précédente, on 
conclut
n > 2

un = n

I.3.c Soit n > 2. Le nombre vn de divisions euclidiennes effectuées par la 
fonction
gcd pour calculer le pgcd de Fn+2 par Fn+1 est égal à 2 × ( Min (Fn+2 , Fn+1 ) 
- 1)
soit 2 × Fn+1 - 2 puisqu'on réalise deux divisions euclidiennes pour chaque 
passage
dans la boucle for. En admettant que

n
1+ 5
Fn  
où
=
n+
2
5
2
on obtient l'équivalent
vn   n+1
n+
5

un
5 n
Par conséquent,

+
n

vn
2 n+1
un
= 0 donc
Comme  > 1, cela entraîne par croissances comparées que lim
n+ vn
Quand n  +, un = o(vn ).
Rappelons ici comment retrouver l'équivalent de Fn en + donné par
l'énoncé. La suite (Fn )n>0 est solution d'une équation de récurrence linéaire
double à coefficients constants, d'équation caractéristique associée
(EC)
Les solutions de (EC) sont

r2 - r - 1 = 0