CCP Maths 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Commutant d'une matrice. Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques.
Principaux outils utilisés réduction de matrices, polynômes de matrices, matrices symétriques, déterminants

Corrigé

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SESSION 2011 MPM2006

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et d la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Les candidats peuvent utiliser la calculatrice pour faire leurs calculs et 
donner directement la
réponse sur la copie.

Ce sujet est composé d'un exercice et d'un problème qui sont indépendants.

1/4

EXERCICE
Commutant d'une matrice

Pour A E M3(R), on note C(A) : {M EUR M;,(R)/ÀM : MA} le commutant de la 
matrice A.

1. Démontrer que pour A E Mg(R), C(A) est un espace vectoriel.

1 4 --2
2. Démontrer, en détaillant, que la matrice A = 0 6 --3 est semblable a la 
matrice
--1 4 0

T = . Pour cela, on donnera une matrice de passage que l'on notera P.

GOOD
ONO
N)+--*O

3. Déterminer le commutant C (T ) de la matrice T. Déterminer sa dimension.

4. Démontrer que l'application M |--> P_1M P est un automorphisme d'espaces 
vectoriels de
M;,(R).
Que peut--on en déduire pour la dimension de C(A) ?
5. (a) Existe--t--il un polynôme annulateur de A de degré inférieur ou égal a 2 
?
(b) Démontrer alors que C(A) : vect {lg, A, A2} .
(c) En déduire que C(A) est l'ensemble des polynômes en A.
Ce résultat reste--t--il vrai pour toute matrice A E Mg(R) ?

PROBLÈME
Inégalités sur les déterminants de matrices symétriques

Dans ce problème, on note pour n entier naturel non nul :
-- S,, l'ensemble des matrices symétriques de M,.(R),
-- S,",Ï l'ensemble des matrices symétriques positives de M,.(R),

-- S,",Î+ l'ensemble des matrices symétriques définies positives de M,.(R).

1
On admet ue si a: , a: ,..., a:,, sont n réels ositifs, l " a:,- > (" it,-) ".
q 1 2 P "ë _ E
1. Question préliminaire
On rappelle qu'une matrice S appartient a S,," , si S appartient a S,, et si, 
pour toute matrice
X EUR M...flR), on a tXSX Z O.
Démontrer qu'une matrice S de S,, est élément de S,",Ï si et seulement si 
toutes les valeurs
propres de S sont positives.

2/4

PARTIE I

l
2. Soit S E S,",Ï. Démontrer que " det S S -- trace S.
n

3. Application : soit M EUR MAR).
(a) Démontrer que tMM EUR S,",Î.

1 n n n 77.
(b) Si M : (m,-j), en déduire l'inégalité (det JW)2 S (E) (ZZmÎj) .

i=1 j=1
PARTIE II : Théorème de réduction simultanée

4. On se donne deux matrices A E S,",Ï+ et B E Sn . On note 13 la base 
canonique de R" et, dans
cette base, A est la matrice d'un produit scalaire gp. On note l'espace 
euclidien E : (R",gp).

Soit 13' une base orthonormée de E et B la matrice de passage de la base 13 
vers la base 13' .
(a) Justifier que I,, : ËRAR.

(b) On note C : ÉRBR, justifier qu'il existe une matrice orthogonale Q et une 
matrice
diagonale D telle que tQCQ : D.

(c) Déterminer, en fonction des matrices R et Q, une matrice inversible P telle 
que :

A : 'PP et B : 'PDP (théorème de réduction simultanée)

l l

Démontrer qu'une matrice inversible P telle que la matrice 'PBP soit diagonale 
n'est
pas nécessairement une matrice orthogonale.

(cl) Dans cette question, on prend l'exemple de la matrice B = < 1 1 ).

On pourra, par exemple, utiliser la forme quadratique canoniquement associée à 
la
matrice B.

5. Démontrer l'inégalité << det(A + B) 2 det A + det B >> dans les deux cas 
suivants :

(a) A E S,",Ï+ et B E S+ en utilisant le théorème de réduction simultanée. On 
pourra

n7

remarquer ici que, avec tous les À,- Z O, H(l + À,-) 2 (l + NA,-).
' i=1

z=1
(b) A E S,,Î et B E S,",Ï, en démontrant d'abord que A + B E S,," et en 
considérant les cas
où les matrices sont dans S,",Ï sans être dans S,",Ïf

6. Soient A et B deux matrices de S,",Ï+ et t E {0,1]. On note B une matrice 
inversible et
D : diag()... À2, - - - , )...) une matrice diagonale dans le théorème de 
réduction simultanée.

(a) Exprimer det(tA + (1 -- t)B) en fonction de det P, 15 et les À,-.
(b) En utilisant la fonction ln, démontrer que pour tout ?) entier compris 
entre 1 et n,
t+ (1 -- t)À,- z À,1_t.
(c) Démontrer que det(tA + (1 -- t)B) Z (det A)' (det B)1_t.
7. Si A est une matrice de S,",Ï+ et B une matrice de S,",Ï , on démontre de 
même par le théorème

de réduction simultanée (par la convexité de la fonction a: |--> ln(l + e"')) 
le résultat suivant
qui est admis :

:l+--*

(det(A + B))% 2 (det A)% + (det B) .

3/4

(a) Démontrer que S,",Î+ est dense dans S,",Ï .

(b) Démontrer l'inégalité ci--dessus pour A et B deux matrices de S,",Ï .

PARTIE III : Théorème de Choleski

8. Si A est une matrice de S,",Ï+, il est possible, par le procédé 
d'orthonormalisation de Schmidt,
de trouver une matrice triangulaire supérieure inversible a coefficients 
diagonaux positifs T,
vérifiant A : tTT (décomposition de Oholeski).

On ne demande pas de prouver ce résultat.

(a) On se propose de démontrer que cette matrice T est unique.
Si on pose A : tT1T1 : tT2T2, démontrer que T1T2_1 : I,, et conclure.
On pourra admettre que si T est l'ensemble des matrices triangulaires 
supérieures
inversibles de M,,(R), (T, .) est un groupe.

(b) Exemple : si A = (a,-,), où pour tout couple (i, ]) d'entiers compris entre 
1 et n,
a,,-- = min(i, j ), donner la décomposition de Oholeski de la matrice A.

On ne demande pas de vérifier que A est une matrice de S,",Ïf

9. Un peu d'informatique
Pour une matrice A de Sÿ+, écrire un algorithme en français permettant de 
trouver la matrice
T de la décomposition de Oholeski.
Entrer cet algorithme dans la calculatrice (on ne demande pas le programme sur 
la copie)
puis, pour chacun des cas suivants, donner la matrice T :

49 14 --14 1 6 %
Al: 14 26 --8 ,Ag= 6 % 6 ,

--14 --8 21 % 6 %

1 6 --2 1 2 3
AB: 6 1 --1 etA4= 2 26 26

--2 --1 6 3 26 70

10. Inégalité d'Hadamard
(3) Soit S = (S,-,) E S,",Ï+, démontrer que det S $ US,-,- .
i=1
(b) Application : démontrer que pour toute matrice inversible M EUR M,,(R), M = 
(a,-,),

...... g (fi (m))' .

i=1 k=1

Fin de l'énoncé

4/4

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CCP Maths 2 MP 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Didier Lesesvre (ENS Cachan) ; il a été relu par
Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet est composé d'un exercice et d'un problème, tous deux d'algèbre.
L'exercice porte sur l'étude du commutant d'une matrice particulière. Il est 
l'occasion de revoir la méthode de trigonalisation d'une matrice et d'appliquer 
quelques
résultats de la théorie de la réduction des endomorphismes.
Le problème, quant à lui, mène à la preuve de plusieurs résultats puissants et
utiles d'algèbre linéaire (décomposition de Choleski, réduction simultanée) et 
les
met en oeuvre pour obtenir des inégalités très générales portant sur les traces 
et
les déterminants de certaines classes de matrices. Il est constitué de trois 
parties,
qui peuvent être traitées sans encombre de manière indépendante en admettant les
résultats des questions précédentes, qui sont tous clairement énoncés dans le 
sujet.
Plus précisément :
· La première partie est une introduction regroupant plusieurs résultats sur les
matrices symétriques, qui sont utiles dans les deux parties suivantes. On y 
rencontre en particulier l'idée qui consiste, pour toute matrice M, à 
considérer t MM
qui est symétrique positive. Les résultats sur les matrices positives induisent,
par ce procédé, des propriétés valables pour toutes les matrices.
· La deuxième partie est dédiée au théorème de réduction simultanée et à son 
utilisation pour obtenir des inégalités entre déterminants de matrices 
symétriques.
· La dernière partie porte sur la décomposition de Choleski. Il est facile de 
prouver
que pour toute matrice T inversible, t TT est une matrice symétrique définie
positive. Le théorème de Choleski énonce une réciproque : toute matrice 
symétrique définie positive peut s'écrire sous cette forme. Le sujet propose 
une preuve
de l'unicité de cette décomposition, sa mise en application sur un exemple
concret de matrice, l'écriture d'un algorithme calculant cette décomposition
pour des matrices de taille 3 et une preuve d'une inégalité d'Hadamard.
Ce sujet aborde des thèmes intéressants et profonds, qui aboutissent à des 
résultats
importants. Il reste cependant très abordable car les raisonnements à suivre 
sont
décomposés en détail par l'énoncé. Il demande toutefois une bonne maîtrise des 
techniques de réduction et une bonne compréhension du cours sur les formes 
quadratiques.

Indications
Exercice
1 Vérifier simplement le caractère non vide et la stabilité par combinaison 
linéaire.
Les plus malins peuvent remarquer que C(A) est le noyau d'un endomorphisme.
2 On cherche à prouver que A est semblable à une matrice triangulaire 
supérieure,
c'est-à-dire que l'on cherche à la trigonaliser. Appliquer les méthodes 
habituelles.
3 Une matrice M qui commute avec T stabilise les sous-espaces propres de T.
4 Il s'agit de l'application de changement de base. Vérifier à la main qu'elle 
est
linéaire et bijective. Deux espaces isomorphes ont même dimension.
5.a S'il existe un polynôme annulateur de degré inférieur ou égal à 2, alors il 
est de
degré 1 ou 2. Prouver que dans chacun des cas c'est impossible.
5.b L'une des inclusions est évidente. On conclut par un argument de dimension.
5.c Déterminer la dimension de l'espace des polynômes en A en fonction du degré
de son polynôme minimal.
Problème
1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale. Écrire la 
définition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres.
2 Se servir de l'inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de 
problème.
3.a Prouver la symétrie et la positivité séparément, en revenant aux 
définitions.
3.b Appliquer à la matrice t MM le résultat obtenu à la question 2.
4.a Écrire le produit scalaire canonique dans la base B  .
4.b La matrice C est symétrique réelle dans B  : appliquer le théorème spectral.
4.c Conclure à l'aide de ce qui précède : P = t (RQ)-1 .
4.d Trouver un changement de coordonnées simplifiant l'expression de la forme
quadratique associée à B.
5.a Appliquer la réduction simultanée à A et B, puis réécrire det(A + B) en 
gardant
à l'esprit que le déterminant d'un produit est le produit des déterminants.
5.b Prouver que la somme est symétrique positive en revenant aux définitions.
Si l'on n'est pas dans le cas précédent, c'est que A et B ne sont pas 
inversibles :
elles ont donc un déterminant nul.
6.a Développer à l'aide de la réduction simultanée.
6.b Se servir de la concavité du logarithme népérien.
6.c Conjuguer les deux questions qui précèdent pour obtenir le résultat.
1
7.a Si A est symétrique positive, que peut-on dire de An = A + In ?
n
7.b Prendre deux suites de matrices symétriques définies positives convergeant 
respectivement vers A et B, et leur appliquer l'inégalité donnée au début de la
question 7.
8.a Prouver que T1 T2 -1 est triangulaire supérieure et orthogonale, ainsi que 
sa
transposée. En déduire qu'elle est diagonale. Conclure à l'aide de 
l'orthogonalité.
8.b Revenir à la définition du produit matriciel et écrire explicitement 
l'équation
à résoudre.
9 Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
10.a Appliquer la décomposition de Choleski.
10.b Utiliser le résultat précédent avec la matrice symétrique définie positive 
t MM.

Exercice
Commutant d'une matrice
1 Le commutant C(A) de A est l'ensemble des matrices qui commutent avec A.
Prouvons qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de M3 (R). Pour commencer, il 
est
non vide car il contient la matrice nulle. On établit « manuellement » la 
stabilité par
combinaison linéaire en vérifiant que si deux matrices M et N commutent avec A,
il en va de même de leurs combinaisons linéaires : si  est un réel, alors
(M + N)A = MA + NA
= AM + AN
(M + N)A = A(M + N)

(MA = AM, NA=AN)

ce qui signifie que M + N est également dans C(A).
C(A) est un sous-espace vectoriel de M3 (R).
On peut remarquer, plus simplement, que le commutant de A est le noyau
de l'application linéaire M 7 AM - MA, c'est donc un sous-espace vectoriel.
2 Il s'agit du problème de trigonalisation d'une matrice. Pour ce faire, on 
commence
par calculer le polynôme caractéristique de A pour en déduire ses valeurs 
propres :
A (X) = det(A - X I3 )

=

1-X
4
-2
0
6 - X -3
-1
4
-X

=

1-X
4
3-X
0
6-X 3-X
-1
4
3-X

(C3  C1 + C2 + C3 )

= (3 - X)

1-X
0
-1

4
1
6-X 1
4
1

(multilinéarité)

= (3 - X)

2-X
0
-1

0
0
6-X 1
4
1

(L1  L1 - L3 )

1
0
= (3 - X)(2 - X) 0 6 - X
-1
4
= (3 - X)(2 - X)

6-X
4

0
1
1

1
1

A (X) = (3 - X)(2 - X)2

(multilinéarité)

(développement L1 )

La matrice A admet donc 2 et 3 comme valeurs propres. La valeur propre 3 est de
multiplicité 1 dans le polynôme caractéristique, donc le sous-espace propre 
associé
à la valeur propre 3 est de dimension 1. Quant à la valeur propre 2, elle peut 
être
associée à un sous-espace propre de dimension 1 ou 2.
Recherchons des bases de vecteurs propres pour les deux espaces propres en
résolvant les systèmes d'équations associés. Commençons par trouver un vecteur 
de
la droite propre associée à 3 :

 x + 4y - 2z = 3x
6y - 3z = 3y avec X = t (x y z)
AX = 3X 

-x + 4y
= 3z

 4y - 2z = 2x

3y - 3z = 0

4y - 3z = x

z=x

y=z

L1  L1 - L3

-x + 4y = 3z
AX = 3X

x=y=z

La droite propre recherchée est donc celle des vecteurs ayant les trois mêmes 
coordonnées. En particulier, le vecteur

t
e1 = 1 1 1
est une base de la droite propre correspondant à la valeur propre 3. Raisonnons
de même pour la valeur propre 2 :

 4y - 2z = x
4y - 3z = 0
AX = 2X 

4y - 2z = x

x = 4y - 2z

4y = 3z

-x + 4y = 2z

4y = 3z
AX = 2X 
x =z
On obtient un espace propre de dimension 1 associé à la valeur propre 2, 
engendré par

t
e2 = 4 3 4
Complétons ce système de deux vecteurs en une base en choisissant un troisième
vecteur. Notons, en toute généralité

t
e3 = x y z
Pour que la matrice A soit semblable à la matrice T, on veut que Ae3 = 2e3 + e2 
:

 x + 4y - 2z = 2x + 4
6y - 3z = 2y + 3
Ae3 = 2e3 + e2 

-x + 4y
= 2z + 4

x = 4y - 2z - 4

4y = 3z + 3

x = z-1
Ae3 = 2e3 + e2 
4y = 3(z + 1)