CCP Maths 2 MP 2005

Thème de l'épreuve Racines carrées de matrices
Principaux outils utilisés algèbre linéaire, réduction de matrices, polynômes, espaces vectoriels normés

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2005 MPM2007

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏE(HNIOUOES

EPREUVE SPEClFIQUE - F ILIERE MP

' MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

RACINES CARRÉES DE MATRICES

Notations

Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note :
M ,, (IR) la IR - algèbre des matrices carrées réelles de taille n.

Mm1 (IR) le IR - espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne.
GLfl (IR) le groupe des matrices inversibles de M " (IR) .
I" la matrice unité de M " (IR) .

[d l'application identité de IR".
Pour une matrice A de M n ( IR) , 'A est sa matrice transposée.

Sn (IR) le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M " (IR) .

S + (IR) l'ensemble des matrices symétriques positives de M " (IR) , 
c'est-à-dire des matrices A de

Il

Sn (IR) vérifiant : pour toute matrice X E M...] (IR), 'XAX Z 0.

Si x, ,x,,...,xn sont des réels, on note diag(x, ,x,,...,xn) la matrice 
diagonale de M " (IR) qui admet

pour coefficients diagonaux les réels x, ,x,,..., xn dans cet ordre.

Si p est un entier naturel non nul, on notera || IL0 la norme infinie sur IR" :

h"=maxl
oe [

lSiSp

' __ 17
Si x-(x,,...,xp)eIR ,

Si (: EUR IR" et r > 0, on note B,, (a, r) la boule ouverte de centre a et de 
rayon r pour la norme " ||æ .

Obiectifs

Soit A une matrice de M" (IR) , on dit qu'une matrice R de M" (IR) est une 
racine carrée de A si

R2 = A.
On note Rac(A) l'ensemble des racines carrées de A, c'est--à--dire

Rac(A) : {R E M,, (R), R' = A} .

Le problème propose de déterminer les racines carrées de A dans différents 
exemples, (on pourra
constater qu'une matrice peut admettre parfois une infinité de racines) et 
d'étudier quelques

propriétés topologiques de Rac(A) .

Les trois parties du problème sont indépendantes.
Les trois premiers exemples de la partie I sont tous indépendants.

I --- DÉTERMINATION DE Rac(A) DANS QUELQUES EXEMPLES

Exemple 1 : Cas où A possède n valeurs propres distinctes
On suppose que la matrice A e M " (IR) admet n valeurs propres réelles Â, < À, 
< < À" .

1. Justifier l'existence d'une matrice PeMÆR) inversible telle que A=PDP'l où

D : diag(À, ,À,,...,Àn ) , puis montrer que R est une racine carrée de A, si et 
seulement si la

matrice S : P"'RP est une racine carrée de D.

2. Racines carrées de D
Soit S une racine carrée de D.

a Montrer que DS : SD.
En déduire que la matrice S est diagonale.

b.
c. On note alors S : diag(s,,s,,...,sn). Que vaut si2 lorsque ie {l,...,n} ?
d.
e.

Que peut--on dire de Rac(A) si A admet une valeur propre strictement négative ?

Si on suppose que toutes les valeurs propres de A sont positives ou nulles, 
déterminer
les racines carrées de la matrice D. On pourra poser 8, EUR {--1,+l} pour i & 
{l,..., n} .

3. Écrire toutes les racines carrées de A à l'aide de la matrice P. Combien de 
racines carrées A
admet--elle ? (On discutera selon le signe des valeurs propres de A).

4. Application :

11 --5 5
Écrire les racines carrées de A: --5 3 --3 à l'aide de la matrice P que l'on
5 ---3 3

déterminera.

Exemple 2 : Cas où A est la matrice nulle de MH (IR)

Dans cet exemple, on cherche à déterminer les racines carrées de la matrice 
nulle.
Soit R E M n ( R), une racine carrée de la matrice nulle.

5. Soit f l'endomorphisme de R" dont R est la matrice dans la base canonique de 
R". On

note r le rang def.

. n
a. Comparer Im f et Ker f pu1s montrer que r 5 --2--.

b. On suppose f non nul, donc r 21 . Soit (e.,...,er) une base de Im f que l'on 
complète
avec (e,.+,,...,en_,.) pour former une base de Ker f . Pour ie {l,...,r} , on 
note "; le
vecteur tel que f (ui) : e, .

Montrer que la famille B =(e,,... e ul,...,u,) est une base de R" puis écrire la

' n---r '

matrice de f dans la base B . On notera M , cette matrice.

6. 3. Déterminer les racines carrées dans M n (R) de la matrice nulle.

b. Application : déterminer dans M 4 ( IR) , les racines carrées de la matrice 
nulle.

Exemple 3 : Cas où A : In

7. Soit R une racine carrée de l'unité ] .
Il

a. Vérifier que R est une matrice inversible.
b. Montrer que R est semblable à une matrice diagonale que l'on décrira.

8. Déterminer Rac(lfl) . On pourra poser EUR,. EUR {--l,+l} pour ie{1,...,n} .

Exemple 4 : Cas où A est une matrice symétrique réelle
Dans cet exemple, toutes les matrices que l'on considérera appartiennent à M ,, 
(R) .

9. Une matrice symétrique admet-elle nécessairement une racine carrée ?

10. Montrer qu'une matrice symétrique positive admet au moins une racine carrée 
qui est elle
même symétrique et positive.

Remarque : On peut montrer l'unicité de cette racine carrée dans Sn+ (IR) mais 
ce ne sera pas utile

pour la suite du problème.

Il -- ÉTUDE TOPOLOGIQUE DE Rac(A)

Si A est une matrice de M,,(R) qui a pour coefficients (a.... )1<' , on définit 
une norme en

,_j$n

a,._jl . On munit M n ( R) de cette norme N.

posant N (A) = max

ISA/Sn

11. Fermeture de Rac(A)
Soit A une matrice de M ,, ( R) . Montrer que Rac(A) est une partie fermée de M 
,, ( R) .

12. Étude du caractère borné de Rac(ln)

a. Un exemple instructif
1

0
J. Calculer Sq2. Rac(l,) est-elle une
q _

Pour tout entier naturel q, on pose S q =(

partie bornée de M , (IR) ?
b. Rac(ln) est-elle une partie bornée de M n ( R) pour n 2 3 ?

c. Application : pour cette question, n 2 2 .
Montrer qu'il n'existe pas de norme " " « surmultiplicative » sur GL" (R) , 
c'est-à--

dire vérifiant pour tous A et B dans GL" ( R) , "AB" ?. "A""B" .

III -- ZÉROS DE FONCTIONS POLYNOMIALES. APPLICATION À LA DÉTERMINATION DE
L'INTÉRIEUR DE Rac(A)

Soit p un entier naturel non nul. On munit R" de la norme infinie " "oe .

On note FP l'ensemble des fonctions polynomiales sur R" , c'est-à-dire :

si Pe FP , il existe N un entier naturel et une famille de réels {a. lSi,,...,i 
< N } tels que

:, ..... t,,' p--

_ "l I'
V(x,,x,,...,xp)ell><...xIp, P(x,,x,,...,xp)-- z ail_____ipxl...xp.

lSt, ,...,1,,.<.N

Par exemple si p = 3 , P(x, ,x,,x,) : 5x12 + 3x,x,x3 + 4xî est une fonction 
polynomiale sur R' .

Si p = l , F, est l'ensemble des fonctions polynômes sur R .

Enfin, si Pe FP , on pose Z(P) : {(x,,x,,...,xp)e RP, P(x,,x2,...,xp)= O} (Z(P) 
est l'ensemble

des zéros de la fonction polynomiale P).

L'objectif de cette partie est d'étudier l'intérieur de Z (P), afin de 
déterminer l'intérieur de

Rac(A).

On rappelle que si Q est une partie de R" , un vecteur a de R" est un point 
intérieur à Q s'il
existe un nombre réel r strictement positif tel que B,, (a,r) (: Q et que 
l'intérieur d'une partie est

l'ensemble de ses points intérieurs.

13. Questions préliminaires :
a. Soit a : (a,,...,ap)e R" et r > 0. Montrer que Bao (a,r) peut s'écrire comme 
produit

de p intervalles.

b. Soient F et G deux parties de R". On suppose que F et G sont d'intérieur 
vide,
montrer que F 0G est encore d'intérieur vide.

14. Exemples d'ensemble des zéros de fonctions polynomiales
a. Dans cette question p = 1. Soit P une fonction polynôme sur IR . Dans quel 
cas Z (P)

est-il infini ? Justifier votre réponse.
b. Dans cette question p = 2 . On considère P(xl,x2) : 2x, --x2 --1 et Q(x, 
,x2) = x,2 --x2 .

Représenter graphiquement dans le plan R2 les ensembles Z (P) et Z (Q).
Z (P) et Z (Q) sont--ils infinis ?

15. Intérieur de l'ensemble des zéros d'une fonction polynomiale
Soit P & FP .

a. Soient I,,12,...,I p des parties infinies de R . Montrer par récurrence que 
si la fonction

polynomiale P s'annule sur [] >< 12 x >< Ip , alors P est la fonction nulle.

b. En déduire que si P s'annule sur une partie d'intérieur non vide, P est la 
fonction nulle.
c. Si l'on suppose que P n'est pas la fonction nulle, que vaut l'intérieur de Z 
(P) ?

16. Application à l'étude de l'intérieur de Rac(A)

Dans cette question, on confondra les espaces vectoriels Mn (R) et R" . Par 
exemple, on

. , , , o 2 .
prendra la liberte d ecr1re que pour M e M " ( R), M = (m,. ,)l<_ _< EUR R" , 
sans se souc1er de
'- _uj_n

l'ordre des termes.
Soit A une matrice de MH (R).

, . , 2 . . .
a. Ecrire Rac(A) sous forme d un sous--ensemble de R" purs montrer qu'il ex1ste 
des

éléments P],PZ,...,P. de I'n2 tels que Rac(A)=ûZ(P,).

n"

h. Déterminer l'intérieur de Rac(A).

Fin de l'énoncé

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CCP Maths 2 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par Guillaume
Dujardin (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet aborde le thème des racines carrées de matrices. Il porte 
essentiellement
sur l'étude de leur existence et sur les propriétés topologiques de l'ensemble 
qu'elles
constituent. Il est composé de trois parties indépendantes.
· La première partie permet de déterminer les racines carrées de quelques
matrices simples. Elle fait appel à des notions de base en algèbre linéaire,
et plus précisément sur la réduction des matrices.
· La deuxième porte sur l'étude de quelques propriétés topologiques des racines
carrées de matrices : forment-elles un ensemble fermé ? borné ?
· Enfin, la troisième partie propose de déterminer l'intérieur de l'ensemble des
racines carrées de matrices en introduisant un ensemble bien choisi de
polynômes dont on étudie les racines.
Dans l'ensemble, le sujet est de longueur raisonnable et ne présente pas de 
grande
difficulté. Il a l'avantage d'être assez complet car il fait appel à des outils 
d'algèbre
(la réduction de matrices et les polynômes) et de topologie (les espaces 
vectoriels
normés).

Indications
Première partie
2.b Utiliser le résultat de la question précédente.
2.d Exploiter le calcul de la question précédente.
3 On pourra utiliser les résultats des questions 1, 2.d et 2.e.
4 Appliquer le résultat de la question précédente. Puis, pour rendre les 
calculs plus
aisés, remarquer que A est symétrique et possède des valeurs propres simples.
5.a Penser à la formule du rang.
5.b Garder à l'esprit que cette base de Im f est aussi une famille de vecteurs
de Ker f .
6.a Utiliser le résultat de la question précédente.
6.b Quelles sont les valeurs possibles de r ?
7.b Trouver un polynôme annulateur de R.
8 Utiliser la question précédente.
9 Utiliser la question 2.d.
10 On s'inspirera de la réponse à la question 3.
Deuxième partie
11 Écrire Rac(A) comme l'ensemble des zéros d'une fonction bien choisie.
12.b S'inspirer de la preuve de la question précédente.
12.c Se souvenir de la question 7.a.
Troisième partie
13 Penser à la définition de la norme infinie sur Rp .
15.a Utiliser la question 14.a.
15.b Utiliser les questions 13.a puis 15.a.
15.c Utiliser la question précédente.
16.b Appliquer le résultat des questions 13.b et 15.c.

I. Détermination de Rac(A) dans
quelques exemples simples
1 La matrice A est réelle de taille n et possède exactement n valeurs propres 
réelles
distinctes ; elle est donc diagonalisable, c'est-à-dire
P  GLn (R)

A = PDP-1

où D = diag(1 , . . . , n ).
Supposons que R soit une racine carrée de A. Comme
P  GLn (R)
on a

A = PDP-1

S2 = P-1 RP

2

= P-1 RPP-1 RP
= P-1 R2 P
car R  Rac(A)

= P-1 AP
S2 = D

Autrement dit, S est une racine carrée de D.
Réciproquement, si la matrice S est une racine carrée de D, alors
2
R2 = PSP-1
= PSP-1 PSP-1
= PS2 P-1
car S  Rac(D)

= PDP-1
R2 = A
donc R est une racine carrée de A. Finalement,
R  Rac(A)

S  Rac(D)

2.a Soit S une racine carrée de D. Il vient que
DS = S2 S = SS2 = SD
Les matrices S et D commutent.
2.b Pour toute matrice M, notons mij son coefficient (i, j). Le coefficient (i, 
j)
de la matrice DS - SD s'écrit
n
n
P
P
dik skj -
sik dkj = (i - j ) sij
k=1

k=1

Par ailleurs, les valeurs propres 1 , . . . , n sont deux à deux distinctes, 
donc
2

(i, j)  {1, . . . , n}

i 6= j = sij = 0

La matrice S est donc diagonale.

2.c S est une racine carrée de D donc S2 = D. Or S est diagonale, si bien que
i  {1, . . . , n}

si 2 = i

2.d Soit R une racine carrée de A. D'après la question 1, S = P-1 RP est
alors une racine carrée de D = diag(1 , . . . , n ). De plus, d'après la 
question 2.c,
S est forcément diagonale et ses coefficients diagonaux vérifient
i  {1, . . . , n}
Ainsi,

i  {1, . . . , n}

si 2 = i
i > 0

Une condition nécessaire pour qu'il existe une racine carrée de A est que toute 
valeur
propre de A soit positive ou nulle. La contraposée s'écrit alors
Si A admet une valeur propre strictement
négative alors Rac(A) est l'ensemble vide.
2.e Soit S une racine carrée de D. D'après la question 2.c,
i  {1, . . . , n}
donc

i  {1, . . . , n}

si 2 = i

i  {-1; 1}

si = i i

n
Réciproquement, soient (1 , . . . , n )  {-1; 1} et S = diag(1 1 , . . . , n n 
).
Le carré de S est

S2 = diag 1 2 1 , . . . , n 2 n = D
Ainsi,

n
Rac(D) = S  Mn (R) | (i )16i6n  {-1; 1}

S = diag 1 1 , . . . , n n

3 Si A admet une valeur propre strictement négative alors, d'après la question 
2.d,
Rac(A) est vide.
Sinon, considérons R une matrice de Mn (R). D'après la question 1, S = P-1 RP
est une racine carrée de D si et seulement si R est une racine carrée de A, donc

Rac(A) = PSP-1 S  Rac(D)
où Rac(D) est donné par la question précédente. Comme 1 < 2 < . . . < n ,
· soit 1 est nul, auquel cas Rac(A) possède exactement 2n-1 éléments ;

· soit 1 n'est pas nul, auquel cas Rac(A) possède exactement 2n éléments.
En conclusion,

 0
2n-1
card Rac(A) =
 n
2

si une valeur propre de A est strictement négative
si 0 est la plus petite valeur propre de A
sinon