CCP Maths 2 MP 2004

Thème de l'épreuve Calcul fonctionnel sur Mn(R)
Principaux outils utilisés fonctions de la variable réelle, algèbre générale, algèbre linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2004 . MPMZOO7

CONCOURS COMMUN!» POlYTE(NNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

Fonctions de matrices

Notations :

1. Les lR-algèbres suivantes sont considérées au cours de ce texte :
> L'algèbre M ,, (IR) des matrices carrées réelles d'ordre n.

> Si 1 est un intervalle de R, d'intérieur non vide, on note CÏ° l'algèbre 
commutative des

fonctions de classe C°° de I dans R.
> L'algèbre des fonctions polynomiales de I dans IR est usuellement identifiée 
à l'algèbre

R[X].

2. On y rencontre aussi les R-espaces vectoriels suivants :
> L'espace des colonnes réelles à n lignes noté Mn,1 (R).

> L'espace RN[X]= {P eR[X]/degPî N}, où NEN.

3. Les notions de convergence dans M ,,,] (IR) et M ,, (R) sont relatives aux 
normes respectives :

> ||XH00 =Max|xk| , si X =t[xl,....,xn].

lSkSn

> ||M||=nMaxlm,--, , si M =[mÿ]15iSn.

19,an 15an

Objectifs du problème

Lorsque P EUR R[X ] et A EUR M ,, (R), on sait donner un sens à la matrice P(A) 
et l'on maîtrise bien
le calcul polynomial sur A qui en résulte. En particulier, si M est une matrice 
de M ,, (R), on

appelle POLYNÔME MINIMAL de M le polynôme unitaire P de plus bas degré tel que 
P(M ) = 0 ; il
est immédiat (et on l'admettra) qu'il s'agit du polynôme minimal de 
l'endomorphisme u de R"

dont M est la matrice dans la base canonique de IR" .
Dans un premier temps, ce texte propose de donner un sens à la matrice f (A) 
POUR TOUTE

FONCTION f DE CLASSE C°° , et cela moyennant des hypothèses convenables sur la 
matrice A.
Autrement dit, on apprend à maîtriser un certain calcul fonctionnel sur A.
Dans un second temps, on exploite ces résultats pour résoudre un système 
différentiel linéaire.

Notations fixées pour tout le problème :

> On considère une matrice A de M ,, (IR) et l'on SUPPOSE que son polynôme 
minimal HA peut
être écrit sous la forme: 1--1A(X)=(X--kl)m1 ...(X--À,)"" avec: er ; les M sont 
des

REELS distincts ; les mj sont dans N . On note alors m = 122 m j le degre de HA 
.
_J_r

> On considère aussi un intervalle ] de lR, d'intérieur non vide et contenant 
tous les X j .

La matrice A et l'intervalle [ sont particularisés dans les divers exemples 
traités au cours du
problème.

Préliminaires :

1. Établir que pourX dans M n,] (R) et M dans M ,, (R), on a : "MX"oo S "M 
IIHXHoe.

2. Soit % un sous--espace vectoriel de dimension d 21 de M ,, (R), et soit [3 
=(Bl,...,Bd) une

base de WL

a) Montrer que l'on définit une norme W sur M en posant W (M ): Max|xk

,si
lsksd

M : î:kak est la décomposition de l'élémentM de 914 sur la base B.
lsk.<.d
b) Justifier l'existence de constantes réelles strictement positives a et b 
vérifiant:

v M EUR %, a||M|| s W(M) sb||M|l.

c) 801t (M p )peN une suite d elements de M ; on note M p = 1<ëd xp(k)Bk la 
decomposfi10n

de M p sur B. Montrer que la suite (M ) converge vers 0 dans (M,, (R), || ||) 
si et

P peN

seulement si CHAQUE SUITE RÉELLE (xp(k))pe N (k =1,..., d ) converge vers 0.

I -- Une relation d'équivalence sur Cî°

On convient de dire que des fonctions f et g de C}'° «coïncident sur le spectre 
de A » lorsque :

Vj & {l,...,r}, Vk & {O,...,mj --1}, f(k)(Àj)= g(k)(Àj--). Ce que l'on résume 
par la notation fîg.
Un exemple: si HA (X): X2 (X+l) la notation fîg signifie: f(0)= g(0), 
f'(0)=g'(0) et
f(--1)=g(--1)-

3. Soient [ dans N*, X dans Ietfdans C}'° vérifiant: f(k)(k) = 0 pour k : 
0,1,2,...,EUR --1.
(x--uÿ4
(EUR -- 1)!
b) En déduire à l'aide d'un changement de variable, l'existence d'une fonction 
h vérifiath :
(1) Vx EUR ], f(x) = (x --x)f h(x)
(2) h e Cf

a) Établir l'identité : \7'x & ], f (x)= [; f (£)(u) du .

4. Soient f et gdans C}'° .
a) Onsuppose: 3heC'f', f=g+hHA.

En considérant les dérivées successives de f -- g , établir que f Î g.

b) On suppose f Î g ; en exploitant le 3. justifier l'existence de h dans C}'° 
vérifiant :

5. Soient P et Q dans R [X] ; prouver que les conditions suivantes sont 
équivalentes :
(1) P ÎQ
(2) BHER[X], P=Q+HUA.

Il --- Définition de la matrice f (A)

A. On considère l'application (p de R... - 1 [X] vers R'" qui associe à un 
polynôme P le m-uplet :

)......,...,(P"°r>)ogkrS...,_l)--

6. Établir le caractère bijectif de (p .

7. Soit f dans C}'0 ; justifier l'existence d'un et d'un seul polynôme Pf de 
IR[X ], de degré
inférieur ou égal à (m --1) et tel que : f ÎPf° On convient alors de DÉFINIR la 
matrice f (A)

en posant : f(A) : PflA).

B. Quelques exemples

N
8. On suppose ici que f est polynomiale et l'on écrit : Vx & ], f(x) : Zakxk .
, k=0
En effectuant une division euclidienne, montrer qu'avec la définition de la 
question 7, on

N
obtient le résultat naturel : f ( A) = z akAk .
k=O

5 --4
4 --3
a) Calculer H A(X )

b) Calculer la matrice f (A) dans chacun des cas suivants :
(1) f(x) : ax + b , les réels a et b étant donnés.

(2) f(x) = sin(nx)
(3) f(x) = (x --1)2 g(x) , où la fonction g est donnée dans C,".

9. ICI:A={ }eMfiR)etl=R

III -- Le calcul systématique de f (A)

A. Une formule générale

10. En exploitant l'isomorphisme linéaire (p du [LA, justifier l'existence et 
l'unicité de
polynômes QLk (] 5 j S r,O _<_ k 5 m]. -- ]) vérifiant:

pour TOUTE fonction f de C}'° , on a : Pf : Z 2 f ...(À j)QJ-,k

lSer OSkSmj--l

On considère alors les matrices dites «associées >> à A :

ZM = Q...A) (1 £er, OSkSmj--l).

1 1. Montrer que les diverses matrices Z j, k sont linéairement indépendantes 
et que :

VfEURCÎO»f(/Ï)= Z Zf(k)(}'j)zj,k

15er OSkSmj--l

B. Deux exemples

5 --4
4 ---3

a) Justifier l'existence de matrices ZI et 22 de M2 (R) telles que :

Vf EUR C}'°a f(A)=f(l)Zl+f'(l)Zz-

b) EN DÉDUIRE le calcul de Z] et 22.

12.ICI:A={ }etl=Rî.

13.

c) Calculer les matrices A2004,\/Â et plus généralement A" pour ou dans lili.

1 -1 1
la: A: 2 --2 1 eM3(R)etl=R.
1 --1 0

a) Présenter sous forme factorisée le polynôme H A(X ) La matrice A est-elle
diagonalisable dans M3 (R) '?

b) Calculer les matrices Z j k « associées » àA.

IV -- Un calcul fonctionnel sur la matrice A

A.

14.

15.

16.

17.

18.

Quelques identités bien naturelles

Soient f et g dans C}'° et on dans R.
a) Que valent Paf et Pf+g '?

b) Justifier l'existence d'un polynôme H de R [X] tel que : Pfg : Png + H H A .

a) Montrer que l'application S: f |--> f (A) de C? dans M ,, (IR) est un 
morphisme de

R-algèbres.
b) Quel est son noyau ?

On considère les fonctions cosinus et sinus de R dans IR, puis les fonctions fl 
:xl--> x/)_c et

f2 : x +--> l de Ri dans lR. On peut ainsi DÉFINIR les matrices cos A, sin A, 
et même \/Z et --ä
x

si les )Lj sont dans R:. .

a) En exploitant le morphisme S, calculer (cos A)2 + (sin A)2 .

b) On suppose ici que les 7Lj sont strictement positifs. Reconnaître : (Ü)2 et 
à:.

. Le spectre de f(A)

Montrer que l'ensemble noté MA = { f (A)/ f E Cf} est une sous-algèbre 
COMMUTATIVE de
M ,, (IR) et préciser sa dimension.

Montrer que si un élément de MA est inversible dans M n (R) alors son inverse 
est aussi dans

MA.

19. Soit f dans C'" ; établir l'équivalence des énoncés suivants :
(l) f(A) est inversible dans Mn (R).

(2) Vj EUR {1,...,r} f(7yi)i ()

20. Si M est une matrice de M n (R), on note A M l'ensemble de ses valeurs 
propres RÉELLES.

En exploitant la question 19 comparer les ensembles : A A et A A A) où f est 
donnée dans C,".

V -- Application à la résolution d'un système différentiel

une suite de fonctions de C'}0 et f dans C}'°. Établir l'équivalence des énoncés

21. Soient ( f,,)

pe N
suivants :

(l) La suite de matrices ( f p(A))

pe N converge dans M n (R) vers j (A) .

(2) Pour chaque j (15 j 5 r) et chaque k (0 5 k 5 m j --l), la suite réelle 
(fp(k)(Àj))peN

converge vers f (k)(k j ).

Lorsque la condition (2) est réalisée, on convient de dire que la suite de 
fonctions ( p)peN

«converge vers f sur le spectre de A >>.

+oe£

22. Pour ! réel, on considère la fonction f, :x |--> e" de R dans lR. Montrer 
que : f,(A) : 2%AÀ
£=0 --

Il s'agit donc précisément de la matrice usuellement notée exp (t A).

23. En exploitant les résultats acquis à ce stade du problème, résoudre le 
système différentiel :

Ë--=x--y+z

âzt
--y=2x--2 +2
5%" '
_a=x_

dt y

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Sébastien Gadat (Enseignant-chercheur à l'Université) et Benoît Chevalier (ENS 
Ulm).

Ce problème traite d'un calcul fonctionnel sur les matrices : il s'agit, en 
partant
d'une fonction f supposée de classe C  sur un intervalle contenant le spectre 
d'une
matrice A, de définir convenablement une matrice f (A), définition qui prolonge 
celle
de polynôme d'une matrice.
Le sujet commence par quelques préliminaires, qui démontrent divers résultats
qui seront utilisés plus loin.
· La première partie est purement de l'analyse (manipulation de fonctions C 
sur un intervalle). Elle introduit une relation d'équivalence nécessaire à la 
suite
du problème.
· La deuxième partie définit de manière non ambiguë une matrice f (A), à partir
d'une matrice A et d'une fonction f de la variable réelle. Notamment, il est
démontré que cette définition prolonge bien celle, déjà connue, de polynôme
d'une matrice.
· La troisième partie donne quelques arguments dans le but de pouvoir calculer
facilement f (A), en offrant par la suite l'occasion d'appliquer ces arguments
sur des exemples.
· La quatrième partie élabore quelques propriétés générales naturelles sur les
objets définis, notamment le fait que l'application f 7 f (A) est un morphisme
d'algèbres, ainsi que des conditions d'inversibilité.
· La dernière partie traite cette fois de propriétés analytiques (une certaine
condition de continuité de l'application A 7 f (A)), et en déduit que
l'exponentielle d'une matrice est également définie de manière non ambiguë.
La dernière question est une application à la résolution d'un système 
différentiel.
Ce problème, dont l'enjeu est véritablement intéressant, est plutôt long et 
moyennement difficile. Il est original, bien qu'il fasse intervenir nombre 
d'outils classiques,
en algèbre comme en analyse. Il constitue en conséquence un excellent sujet de
révision. Il doit être fait dans l'ordre, car les parties ne sont pas 
indépendantes.
Toutefois, les résultats utiles pour poursuivre le problème sont donnés par 
l'énoncé,
exceptées les applications des résultats théoriques établis.

Indications
Préliminaires
1
2.a
2.b
2.c

Revenir aux définitions des normes de l'énoncé.
Revenir à la définition d'une norme.
Penser à l'équivalence des normes en dimension finie.
Utiliser la question précédente.
I.

3.a
4.a
4.b
5

Une relation d'équivalence sur C 
I

Penser à la formule de Taylor avec reste intégral.
Utiliser la formule de Leibnitz.
Faire une récurrence sur le nombre r de racines du polynôme A .
Montrer que P - Q est divisible par chaque (X - j )mj .
II.

Définition de la matrice f (A)

6 Montrer que  est linéaire et injective à l'aide de la question 5.
7 Utiliser de manière adéquate la bijectivité de  établie à la question 
précédente.
8 Effectuer la division euclidienne de f par A et vérifier que le reste est bien
égal à Pf .
9.a Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton, ainsi que le fait que A n'est pas 
une
matrice scalaire (ce qui permet de minorer le degré du polynôme minimal).
III.

Le calcul systématique de f (A)

10 Prendre l'image réciproque par  de la base « canonique » de Rm .
11 Constater que (Qij ) est une base de Rm [X], et que l'application P 7 P(A) 
est
un isomorphisme de Rm [X] dans R[A]  Mn (R).
13.a Calculer le polynôme caractéristique de A. Montrer alors, en utilisant le 
théorème du rang pour traiter la valeur propre double, qu'il s'agit ­ au signe 
près ­
du polynôme minimal de A.
13.b Utiliser la même méthode d'identification qu'à la question précédente.
IV.

Un calcul fonctionnel sur la matrice A

14.b
15.a
15.b
17
18

Utiliser la formule de Leibnitz, ainsi que la question 5.
Utiliser la question précédente.
Utiliser la question 4.b.
Montrer que MA = R[A].
Montrer que si B est un élément inversible de Mn (R), alors B-1 est un polynôme
en B.
19 Trigonaliser A. En déduire une expression de det f (A).
20 Déduire de la trigonalisation de A une expression du polynôme caractéristique
de f (A).
V.

Application à la résolution d'un système différentiel

21 Utiliser les questions 11 et 2.c.
22 C'est une application de la question précédente.

Préliminaires
1 Revenons aux définitions de l'énoncé. Soit X = (xi )16i6n un élément de Mn,1 
(R),
et M = (mij )16i,j6n une matrice dans Mn (R). On a alors, par définition,
n
P
MX = (yi )16i6n
avec
yi =
mij xj .
j=1

Compte tenu des définitions données par l'énoncé des normes
kMk = n Max |mij |
et
kXk = Max |xi |
16i,j6n

il vient

|yi | 6
6

16i6n

n
P

|mij | |xj |
j=1
n kMk
P
j=1

n

kXk = kMk kXk

Ceci étant vrai quel que soit l'indice i, on obtient, en prenant le maximum :
kMXk 6 kMk kXk
2.a Pour répondre à la question, revenons à la définition d'une norme, et 
montrons
que N vérifie chacune des propriétés d'une norme :
Rappelons brièvement la définition d'une norme. Si E est un espace vectoriel,
une application N : E  R+ est une norme sur E si elle vérifie, pour tout
  R, x, y  E les propriétés suivantes : N(x) = || N(x) (homogénéité),
N(x + y) 6 N(x) + N(y) (inégalité triangulaire) et [N(x) = 0  x = 0]
(séparation).
· Définition : pour commencer, remarquons que N est bien définie sur M
(car la décomposition d'un élément de M dans la base  existe et est unique),
et est bien à valeurs réelles positives.
En général, lorsque des normes « exotiques » apparaissent dans un
énoncé, il importe toujours de démontrer que la définition de la norme
est bien sans ambiguïté. Cela est d'ailleurs parfois le plus difficile
à établir, en particulier sur les espaces vectoriels de dimension infinie.
· Homogénéité : soient   R et X un élément de l'espace vectoriel M,
d
P
que l'on décompose dans la base  sous la forme X =
xk k . On a alors
k=1
d
P

naturellement la décomposition dans cette base de  X =

k=1

permet d'écrire le calcul ci-dessous :
N (X) = Max | xk |
16k6d

= Max || |xk |
16k6d

= || Max |xk |
16k6d

N (X) = || N (X)
Ainsi, N est homogène.

(xk )k , ce qui

· Inégalité triangulaire : soient X =

d
P

xk k et Y =

k=1

d
P

yk k deux éléments de

k=1

M (décomposés dans la base ). La décomposition dans cette base 
d
P
de X + Y est alors X + Y =
(xk + yk )k . L'inégalité triangulaire vérifiée
k=1

par la valeur absolue sur R justifie le calcul suivant. Pour k  [[ 1 ; d ]], on 
a
|xk + yk | 6 |xk | + |yk | 6 N (X) + N (Y)
En prenant le maximum sur les k, il vient : N (X + Y) 6 N (X) + N (Y) ; ainsi,
N vérifie l'inégalité triangulaire.
d
P
· Séparation : soit X =
xk k  M tel que N (X) = 0. Cela signifie que
k=1

Max |xk | = 0, c'est-à-dire que pour tout k, xk = 0, et donc X = 0. Ainsi,

16k6d

N sépare bien les vecteurs de M.
En conclusion, on a bien montré que
N est une norme sur M.
2.b L'application M  M 7 kMk est la restriction d'une norme sur Mn (R)
à l'espace vectoriel M. Il s'agit donc d'une autre norme sur M. Le sous-espace
de Mn (R) M est dimension finie d. Or, en dimension finie, toutes les normes 
sont
équivalentes. Il s'agit donc simplement d'une application directe de ce résultat
à l'espace vectoriel M et aux normes N et k k.
a, b > 0

M  M

akMk 6 N (M) 6 bkNk

2.c L'équivalence des normes N et k k implique en particulier qu'une suite Mn
d'éléments de M tend vers 0 pour l'une des normes si et seulement si elle tend 
vers 0
pour l'autre norme. Ainsi, on a les équivalence suivantes :
(Mn (R),k k)

Mp ------- 0
p+

 kMp k ---- 0
p+

 N (Mp ) ---- 0
p+

(Mn (R),k k)

Mp ------- 0
p+

Max |xp (k)| ---- 0

16k6d

p+

La famille des indices k étant finie, on en déduit
(Mn (R),k k)

Mp ------- 0
p+

k  [[ 1 ; d ]]

xp (k) ---- 0
p+