CCP Maths 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Calcul de distances entre une matrice et certaines parties de Mn(R)
Principaux outils utilisés diagonalisation, produits scalaires, théorème du rang, trace, théorème de décomposition polaire, théorème de Courant et Fischer
Mots clefs vecteurs propres, matrices symétriques et antisymétriques, matrices orthogonales

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2008 _ | MPMZO7

CONCOURS COMMUNS POlYTECHNlOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

Calculs de distances entre une matrice et certaines parties de %(R)

Notations

Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note :

WZ(R) : la R--algèbre des matrices carrées réelles d'ordre n.

% 1(IR) : le lR--espace vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne.

Pour une matrice A de Wfl(lR), 'A est sa matrice transposée, rang (A) son rang 
et Tr (A) sa trace.
[" : la matrice unité de %(lR).

SZ(R) : le sous--espace vectoriel des matrices symétriques de %(R).

Ân(lR) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de %(lR).

3 :(lR) : l'ensemble des matrices positives de SZ(R) c'est-à--dire des matrices 
A de SZ(lR)
vérifiant : pour toute matrice X & Wnl(lR), 'X A X Z O.

GLfl(R) : le groupe des matrices inversibles de %(R).

Q(R) : le groupe des matrices réelles orthogonales c'est-à--dire des matrices M 
de %(R)
vérifiant : 'M M : In .

Pour p entier naturel, Ap est l'ensemble des matrices de %(R) de rang-supérieur 
ou égal à p et

Vp est l'ensemble des matrices de %(lR) de rang inférieur ou égal à p.

Obiectifs

Le but du sujet est de calculer la distance (par la norme de Schur définie à la 
question 113.) d'une
matrice à :

dans la partie II., SZ(IR) et Â(R) par le théorème de projection orthogonale,

dans la partie III., Q(IR) par le théorème de décomposition polaire,

dans la partie IV., Ap par des notions de densité,

dans la partie V., Vp par le théorème de Courant et Fischer.

La partie I. traite un exemple qui sera utilisé dans les différentes parties.

Remarque : dans le texte, le mot «positif» signifie « supérieur ou égal à 0 >>.

1. Exercice préliminaire

l 2 l
1. Soit la matrice F = --2 ---1 --1 de %Z(IR), on pose H = 'F F .
--l --1 --2

Diagonaliser la matrice H et déterminer une matrice P de Q(R) et une matrice 
diagonale D à

termes tous positifs telles que D2 = P"1 H P.

2. On pose S =PDP" & 3 ;(IR), montrer que la relation F =U S définit une matrice
U EUR Q(R) et calculer cette matrice.

11. Calcul dela distance deA à 5j(iæ) et à Jdn(n)

3. Soit A et B deux matrices de %(R), on pose (A IB) : Tr ('A B) .
Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur WZ(IR).

1
La norme associée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée : "A" = ((A 
|A))î.

Dans tout le sujet, si H est une partie non vide de Wfl(lRä), la distance d'une 
matrice A de WZ(R) à
la partie n est le réel d(A, H) = inf |A--M||.

MeH

4. Montrer que WZ(R) : S:(IR) @ Ân(lR) et que cette somme directe est 
orthogonale.

5. Si A est une matrice de %(IR), montrer que d (A, SZ(IR))= "%(A--'A) et 
déterminer de même

d(A, ÆR»

6. Calculer d (F, Â(R)) où F est la matrice exemple de la partie I.

III. Calcul de la distance de A à Q(R)

A. Théorème de la décomposition polaire

7. Montrer qu'une matrice S de SZ(R) appartient à 3 : (R) si et seulement si 
toutes les valeurs
propres de S sont positives ou nulles.

8. Si A est une matrice de Wfi(lR) montrer que la matrice 'A A EUR 3 : (R).

9. Soit A une matrice de WZ(R), on suppose qu'il existe une matrice diagonale
D=diag (d1 , d,, ..., d") à termes positifs telle que 'A A : Dz.

On note A1 , A, ,..., An les matrices de W" 1(IR) qui forment les colonnes de 
la matrice A.

a. Pour tout couple (i, j) d'entiers naturels compris entre 1 et n, évaluer 'A, 
A]...
En particulier, si i est un entier pour lequel d, = O , que vaut A, ?

b. Montrer que l'on peut trouver une base orthonormée (E,, E,, ..., En) de 
Wn,l(lRä) (par
rapport au produit scalaire canonique (X, Y ) ='X Y de % 1(R)) telle que, pour 
tout entier

naturel i entre 1 et n, A, : di E, .

c. En déduire qu'il existe une matrice E de Q(lRä) telle que A = E D.

10. Soit A et B deux matrices de WZ(]R) vérifiant 'A A : 'B B .
a. Montrer qu'il existe une matrice diagonale D à termes positifs et une 
matrice orthogonale P

telles que: P"1 'AAP : P"1 'BBP = D2 .
b. Montrer qu'il existe une matrice U de Q(R) telle que A = U B.

1 ]. Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire :
Pour toute matrice A de %(R), il existe une matrice U de Q(R) et une matrice S 
de 3 : (IR)
telles que A = U S .

(Remarque : on peut également établir l'unicité de la matrice S de 5 : (IR) et 
même l'unicité

de la matrice U de Q(R) si A est de plus inversible dans cette décomposition 
mais ce ne sera
pas utile pour la suite du problème).

B. Calcul de d(A, Q(R))

12. Montrer que, pour toute matrice M de %(R) et pour toute matrice Q de Q(R),
IlM Qll=llQ M ll=llM ll-

13. Dans la suite de cette partie, soit A une matrice de WZ(R), soit U E Q(R) 
et S e 3 : (IR) telles

que A=U S ; il existe une matrice diagonale D et une matrice P de @(lR) telles 
que

S = P D P"] .

a. Montrer que, pour toute matrice Q de Q(R), [|A--Q" ="S --U"Q" et en déduire 
que
d(A, Q(R» = d(S, O.(R»

b. Montrer que d(A, Q(R))= d(D, Quan.

14. On note D=diag(7... k,, ..., À").

a. Montrer que pour toute matrice Q de Q(R), |D ---- Q"2 = z 73; -- 2 Tr (D Q) 
+ n .
i=1

b. Montrer que pour toute matrice Q de QUE), Tr (D Q) 5 EL .
i=l

c. Conclure que d (D, Q(R)) : "D -- In

15. Montrer que d(A, @(R))= "A -- U".

16. Calculer d(F, Q(R)) où F est la matrice exemple de la partiel.

IV. Calcul de la distance deA à Ap

17. Un résultat de densité.
a. Soit M un élément de Wfl(lR), montrer qu'il existe un réel oc > 0 tel que 
pour tout réel ?»

vérifiant 0 < k < on , la matrice M -- À In est inversible.
b. En déduire que GLn(R) est dense dans WZ(lR).

18. Soit A un élément de %(R), déterminer, pour tout entier naturel p S n , d 
(A, Ap ).

V. Calcul de la distance de A à Vp

A. Théorème de Courant et Fischer

Soit A une matrice de 501%). On notera Xl ZX, 2...an ses valeurs propres, on 
notera
D=diag(k,, k,, ..., À"), P la matrice de Q(R) vérifiant A = P D 'P et C1, C2, 
...,Cn les matrices

de 742 l(IR) formant les colonnes de la matrice P.

Si k est un entier entre 1 et n, on note LP, l'ensemble des sous-espaces 
vectoriels de W" ](11%) de
dimension k. Nous allons montrer que :

. 'X A X
k, = max mm
Fe'l'k XeF--{O} 'X X

(théorème de Courant et Fischer).

19. Soit X un vecteur de Wn,,(lR) de coordonnées (x,,x,,...,xn) dans la base 
orthonormée
(C,,C,,...,CJ de W...(R). Calculer en fonction des x, et X, (i compris entre 1 
et n):

'C, A EUR,

'X A X et 'X X et pour k entier entre 1 et n, ,
Ck Ck

20. Soitkentier entre 1 et n, on pose F, =vect{C,, C,, ...,C, }.

X A X 2 X, et déterminer min XA X

'X X XeFk-{O} 'X X '

Montrer que pour tout X non nul de F , ,

21. Soit F & W,,
a. montrer que dim(Fñvect{C,, C..., ...,Cn})Zl.

b. Si Xest un vecteur non nul de F (\ vect{ C, , C,+1 , ..., Cn }, montrer que

22. Conclure.

B. Calcul de d(A,Vp)

Dans toute cette partie : A est une matrice de WAR) de rang r et p est un 
entier naturel, p < r .

23. Montrer qu'il existe deux matrices E et P de Q(R) et une matrice diagonale 
D à termes
positifs telles que A = E D P. En déduire que le rang de la matrice 'A A est 
encore r.

(On pourra utiliser les résultats de la question 9.)

24. Si on note les valeurs propres de la matrice symétrique réelle 'A A de rang 
r:

u, 2 u, _>_ Z ur > 0 et u... = = un : 0 , si on pose D=diag(Æ, ./u,_ , ..., u, 
, O, ..., O) ,
si pour 1 .<. ! S n on note M, la matrice de WZ(lR) dont la l--ième colonne est 
celle de la matrice

E E Q(lR) de la question 23., tous les autres termes de M, étant nuls, on a 
clairement:

E D = EJE, M,.
[=]
Montrer alors qu'il existe une famille orthonormale (R,, R,, ..., R") de 
matrices de %(R)

(pour le produit scalaire (A |B) =Tr('A B) de %(R)), toutes de rang un, et 
telles que

A=ëÆR,=ÂÆR,.

25.

26.

27.

28.

P
Avec les notations de la question 24, on pose N = z \/p_, R, .
l=l
Montrer que rang(N ) S p puis que d(A, Vp)s ,/u... + ...+ p., .

Soit M une matrice de rang p ( p < r) , on note on1 Z ou, 2 2 an 2 0 les 
valeurs propres de la

matrice '(A -- M) (A -- M) et on pose G : KerM (\ Im('A A).
Soit k un entier compris entre l et r -- p.

a. Montrer que dim G 2 r -- p .
b. Soit F un sous-espace vectoriel de G de dimension k, montrer que :

. 'X tA A X
ak 2 mm --.
XeF--{O} ' X X
c. On note (V], V,, ..., Vn) une base de R" formée de vecteurs propres de la 
matrice 'A A, le
vecteur V, étant associé à la valeur propre u, de telle sorte que : u, 2 p, 2 
?. ur > 0 et

"r+1='"=pn =O'
Montrer que dim (G nvect{ V,, V,, ..., Vk+p } ) 2 k.
(1. En déduire que ock 2 pm,.

En déduire d (A, Vp ).

Calculer, pour p E {O, 1, 2, 3}, yp : d (F, Vp) où F est la matrice exemple de 
la partiel.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 2 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Alexis Devulder (ENS Ulm) et David Lecomte (Université de Stanford).

Ce sujet traite exclusivement d'algèbre linéaire. Il propose de calculer de 
diverses
manières la distance d'une matrice à plusieurs sous-ensembles classiques de Mn 
(R).
Il est composé de cinq parties dont chacune (à l'exception de la première) 
permet
de calculer une distance à un sous-ensemble particulier. La norme utilisée 
dérive du
t
produit scalaire qui, à deux matrices A et B, associe la trace de la matrice A 
B.
· La première partie est un exercice préliminaire. Il s'agit simplement d'un 
exercice de diagonalisation de matrice. Les résultats ne serviront par la suite 
qu'à
répondre aux toutes dernières questions de chaque partie.
· La deuxième commence par la détermination de la distance d'une matrice à
l'ensemble des matrices symétriques et à celui des matrices antisymétriques.
C'est la partie la plus facile. Elle demande simplement de montrer quelques
relations d'orthogonalité pour aboutir au résultat.
· La troisième introduit un théorème très important d'algèbre linéaire qui 
servira
pour toute la suite du problème (on peut cependant très bien poursuivre le
problème en admettant son résultat). On s'en sert alors pour calculer la 
distance
d'une matrice à l'ensemble des matrices orthogonales. On manipule beaucoup de
matrices orthogonales et de matrices symétriques dans cette partie ; il est donc
nécessaire de bien connaitre le cours sur ce sujet avant de l'aborder.
· La quatrième est très courte et plutôt facile. Elle sert plus à se reposer 
avant
la dernière partie qu'à tester des connaissances.
· La dernière partie est la plus difficile à aborder. Là encore, le sujet 
commence par démontrer un théorème général d'algèbre linéaire. La démonstration
t
est assez bien amenée et ne nécessite que quelques calculs de la forme X AX,
où X est un vecteur colonne et A une matrice symétrique (on se ramènera
souvent à une matrice diagonale), ainsi que quelques raisonnements sur les
dimensions. Enfin, on se sert de ce théorème pour calculer la distance d'une
matrice de rang r à l'ensemble des matrices de rang au plus p < r.
La dernière partie peut sembler difficile, mais il suffit d'avoir les idées 
claires
pour s'en sortir (les preuves ne nécessitent aucune dextérité particulière).
Ce sujet est très intéressant (et assez long). Il est varié et utilise presque 
tous les
principaux théorèmes d'algèbre linéaire. Il est vivement conseillé d'y jeter un 
coup
d'oeil et de s'accrocher.

Indications
I.

Exercice préliminaire

1 Commencer par calculer H et son polynôme caractéristique H . Déterminer
ensuite les valeurs propres de H en factorisant ce polynôme (on pourra 
commencer par chercher une racine entière évidente).
t

2 Poser U = S-1 et montrer que U U est égale à l'identité.
II.

Calcul de la distance de A à Sn (R) et à An (R)

4 Introduire l'application linéaire T qui à une matrice associe sa transposée et
calculer T2 . En déduire que T est diagonalisable et chercher ses sous-espaces
propres.
5 Utiliser le théorème de projection orthogonale.
III.

Calcul de la distance de A à On (R)

t

7 Si S appartient à Sn+ , exprimer X AX pour un vecteur propre de S afin d'en
déduire que les valeurs propres sont positives. Dans l'autre sens, commencer par
t
écrire que S est diagonalisable dans le groupe orthogonal, puis exprimer X AX
pour tout vecteur X, en fonction des valeurs propres de A et d'une matrice P
de diagonalisation.
9.b Utiliser le fait que l'on puisse compléter toute famille orthonormée de 
vecteurs
en une base orthonormée de l'espace tout entier.
10.b Utiliser le résultat de la question 9 et la relation de la question 
précédente.
12 Combiner les propriétés des matrices orthogonales avec les propriétés de la 
trace,
notamment Tr(AB) = Tr(BA) pour toutes matrices A et B.
13.a Utiliser dans un premier temps le résultat de la question précédente.
Pour le reste, on pourra montrer que pour toute matrice A et toute matrice 
orthogonale :
d(A, On (R)) = d(A, On (R)) = d(A, On (R))
14.a Développer ||D - ||2 .

14.b Montrer dans un premier temps que pour tout matrice  = (i,j )i,j[[ 1 ; n ]]
orthogonale et pour tous indices i et j, i,j est de valeur absolue inférieure à 
1.
14.c Remarquer que la majoration précédente est une égalité pour une certaine 
matrice .
15 Utiliser le résultat de la question 12.

IV.

Calcul de la distance de A à p

17.a Utiliser le fait qu'un polynôme n'admet qu'un nombre fini de racines.
17.b Montrer que pour tout  strictement positif, il existe une matrice M 
inversible
telle que la norme de A - M soit inférieure à .
V.

Calcul de la distance de A à p

19 Remarquer que, P étant une matrice orthogonale, les vecteurs colonnes de P
forment une famille orthogonale de vecteurs propres pour A.
20 Utiliser les expressions obtenues dans la question précédente.
21.a Utiliser la propriété :
dim(E + F) = dimE + dimF - dim(E  F)
21.b Raisonner comme à la question 20.
23 Utiliser le théorème de décomposition polaire.
24 Montrer dans un premier temps que la famille (Ml )l[[ 1 ; n ]] est 
orthonormée.
25 Calculer ||A - N||.

26.a Même indication qu'à la question 21.a.
26.b Appliquer le théorème de Courant et Fisher. Remarquer ensuite que F est 
inclus
dans le noyau de M et donc que pour tout vecteur X de F, on a MX = 0.
t

26.c Remarquer que Vect(V1 , . . . , Vk+p ) est inclus dans l'image de A A et 
utiliser
alors la même indication qu'à la question 21.a.
26.d Utiliser le résultat de la question 26.b et raisonner comme à la question 
20.
27 Déduire de la question précédente une minoration de la norme de ||A- M|| pour
toute matrice de rang p strictement inférieure au rang de A.

I.

Exercice préliminaire

1 Dans un premier temps, on commence par

6
t
H =  =  5
5

calculer H. Un calcul rapide donne

5 5
6 5 
5 6

Calculons le polynôme caractéristique H de cette matrice :

6-
5
5
6-
5  = -3 + 182 - 33 + 16
H () = det  5
5
5
6-
On remarque que 1 est une racine de ce polynôme. Une division euclidienne donne
alors
H () = ( - 1)(-2 + 17 - 16) = -( - 1)2 ( - 16)
On sait que H est symétrique réelle, donc diagonalisable dans le groupe 
orthogonal
(c'est-à-dire diagonalisable, avec une matrice de passage orthogonale). Par 
conséquent, la dimension de chacun de ses sous-espaces propres est exactement 
égale
à la multiplicité de la valeur propre comme racine du polynôme caractéristique.
Pour diagonaliser H, il ne reste qu'à trouver une base orthonormée de chacun de
ses sous-espaces propres.
On rappelle que deux sous-espaces propres d'une matrice symétrique A sont
nécessairement orthogonaux. Par conséquent, si l'on dispose d'une base 
orthonormée de chacun des sous-espaces propres de A, alors la réunion de ces 
bases
reste une famille libre et orthonormée, et constitue une base orthonormée de
Mn,1 (R) tout entier.
Commençons par chercher le sous-espace propre associé à la valeur propre 16.
t
Soit X = (x1 , x2 , x3 ) un vecteur propre de H associé à cette valeur. On a

0
-10
5
5
x1
-10
5   x2  =  0 
(H - 16 I3 ) X =  5
x3
0
5
5
-10
On vérifie par conséquent que X est solution si et seulement si x1 = x2 = x3 .
Le sous-espace propre est donc bien de dimension 1 et une base en est le vecteur
t
X = (1, 1, 1). Comme on veut trouver une base orthonormée, on pose
 
1
1  
1
X1 = 
3
1
Cherchons maintenant une base orthonormée du sous-espace propre associé à la
t
valeur propre 1 (de dimension 2 car 1 est racine double). Si X = (x1 , x2 , x3 
) est un
vecteur propre de H associé à 1, on a

5 5 5
x1
0
(H - I3 ) X =  5 5 5   x2  =  0 
5 5 5
x3
0