CCP Maths 1 MP 2016

Thème de l'épreuve Deux exercices et un problème sur la fonction digamma
Principaux outils utilisés développement en série entière, loi conjointe, sommes doubles, intégrales à paramètre, séries de fonctions

Corrigé

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SESSION 2016

MPMA102

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!

MATHEMATIQUES 1
Mardi 3 mai : 14 h - 18 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.!

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!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
"
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Les calculatrices sont interdites
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Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.
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1/4

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EXERCICE I
On considère l'équation différentielle (E) : x2 y + (x2 - x) y + 2 y = 0.
I.1. Existe-t-il des solutions non nulles de l'équation (E) développables en 
série entière sur un
intervalle ]-r, r[ (r > 0) de R?

EXERCICE II
II.1. Démontrer que la famille

i+ j
2i+ j

est sommable et calculer sa somme.

(i, j)N²

II.2. Soit X et Y deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé à 
valeurs dans N.
On suppose que la loi conjointe du couple (X,Y ) vérifie :
i+ j
pour tout (i, j)  N², P(X = i,Y = j)= P [(X = i)  (Y = j)] = i+ j+3 .
2
II.2.a. Vérifier que la relation ci-dessus définit bien une loi conjointe.
II.2.b. Démontrer que les variables aléatoires X et Y suivent une même loi.
II.2.c. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes?

PROBLÈME : Fonction Digamma
Partie préliminaire
III.1.
III.1.a. Soit x  ]0, + [, démontrer que la fonction t  e-t t x-1 est intégrable 
sur ]0, + [.
III.1.b. On note, pour tout x  ]0, + [, (x) =

 +

e-t t x-1 dt (fonction Gamma d'Euler).

0

Démontrer que pour tout x  ]0, + [, (x) > 0.
III.1.c. Démontrer que la fonction  est dérivable sur ]0, + [ puis exprimer  
(x) sous forme
d'intégrale.
III.2. Pour tout entier n  2, on pose un =

 n
1
n-1

1
dt - .
t
n

III.2.a. Utiliser un théorème du cours pour justifier simplement que la série

 un converge.
n2

III.2.b. Pour tout entier n  1, on pose Hn =

n

1

 k - ln(n).

k=1

Démontrer que la suite (Hn )n1 converge.
2/4

La limite de la suite (Hn )n1 sera notée  dans tout le sujet ( est appelée la 
constante d'Euler). Dans
 (x)
la suite de ce problème, on définit pour tout x  ]0, + [, (x) =
appelée fonction Digamma.
(x)

Expression de la fonction Digamma à l'aide d'une série
III.3. Pour x  ]0, + [ et pour tout entier
n1, on définit la fonction fn sur ]0, + [ telle que :
 nt 
pour tout t  ]0,n], fn (t) = 1 -
t x-1 et pour tout t  ]n, + [ , fn (t) = 0.
n
III.3.a. Démontrer que pour tout x < 1, ln(1 - x)  -x.
En déduire que pour tout entier n  1 , pour tout x  ]0, + [ et tout t  ]0, + [ 
, 0  fn (t)  e-t t x-1 .
III.3.b. En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que pour 
tout x  ]0, + [,
n
t n x-1
1-
t
dt.
(x) = lim
n+ 0
n
III.4. On pose, pour n entier naturel et pour x  ]0, + [, In (x) =

 1

(1 - u)n ux-1 du.

0

III.4.a. Après avoir justifié l'existence de l'intégrale In (x), déterminer, 
pour x > 0 et pour n  1,
une relation entre In (x) et In-1 (x + 1).
III.4.b. En déduire, pour n entier naturel et pour x  ]0, + [ une expression de 
In (x).
III.4.c. Démontrer que, pour tout x  ]0, + [, (x) = lim

n! nx

n+ n

(formule de Gauss).

 (x + k)

k=0
n

III.5. Pour tout entier n  1, on note toujours Hn =

1

 k - ln(n).

k=1

n 
1 n 
x  -x 
x
En remarquant que pour n  1 et x  ]0, + [, x  1 +
= e x Hn  1 +
e k , démontrer
n k=1
k
k
k=1
n 
x  -x 
1
x
e k (formule de Weierstrass).
= x e lim  1 +
que pour tout x  ]0, + [,
n+
(x)
k
k=1

III.6.
III.6.a. En déduire que la série

x x
ln
1
+
-
converge simplement sur ]0, + [ .

k
k
k1
+ 

x x
ln
1
+
- . Démontrer que l'application

k
k
k=1
1

g est de classe C sur ]0, + [ et exprimer g (x) comme somme d'une série de 
fonctions.

+ 
1
1
-1
- + 
-
III.6.c. En déduire que, pour tout x  ]0, + [, (x) =
. On rappelle
x
k+x
k=1 k
 (x)
.
que pour tout x  ]0, + [, (x) =
(x)
III.6.b. On pose, pour tout x  ]0, + [, g(x) =

3/4

III.7.
III.7.a. Que vaut (1)? En déduire la valeur de l'intégrale

 +

e-t ln(t) dt.

0

III.7.b. Calculer, pour tout x  ]0, + [, (x + 1) - (x) puis démontrer que, pour 
tout entier
n-1
1
n  2, (n) = - +  .
k=1 k
III.7.c. On pose, pour tout (x,y)  ]0, + [2 et k entier naturel, jk (y) =
Démontrer que la série

1
1
-
.
k+y+1 k+y+x

 jk converge uniformément sur ]0, + [.
k0

En déduire lim ((x + n) - (1 + n)).
n+

III.8. Déterminer l'ensemble des applications f définies sur ]0, + [ et à 
valeurs réelles vérifiant
les trois conditions :
· f (1) = - ,
1
· pour tout x  ]0, + [, f (x + 1) = f (x) + ,
x
· pour tout x  ]0, + [, lim ( f (x + n) - f (1 + n)) = 0.
n+

Autour de la fonction Digamma
III.9. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n.
On effectue un premier tirage d'un boule dans l'urne et on adopte le protocole 
suivant :
si on a tiré la boule numéro k, on la remet alors dans l'urne
avec k nouvelles boules toutes numérotées k.

On effectue ensuite un deuxième tirage d'une boule.
On note X (respectivement Y ) la variable aléatoire égale au numéro de la boule 
choisie au premier
tirage (respectivement au deuxième tirage).
III.9.a. Déterminer la loi de la variable aléatoire X ainsi que son espérance 
E(X).
III.9.b. Déterminer
 la loi de la variable aléatoire
 Y et vérifier que pour tout entier naturel non
1
k
nul k, P(Y = k) =
.
(2n + 1) - (n + 1) +
n
n+k
III.9.c. Calculer l'espérance E(Y ). On pourra utiliser, sans démonstration, que
n
1-n
k2
 n(n + k) = 2 + n ((2n + 1) - (n + 1)).
k=1
Fin de l'énoncé
4/4

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 16 1213 ­ D'après documents fournis

Par exemple, si on a tiré la boule numéro 3, on remet quatre boules de numéro 3 
dans l'urne (la boule
tirée plus 3 nouvelles boules numéro 3).

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 MP 2016 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thomas Ragel (ENS Lyon) ; il a été relu par Damien
Garreau (ENS Ulm) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

L'épreuve comporte deux exercices et un problème indépendants.
Dans le premier exercice, on cherche les solutions développables en série 
entière
d'une équation différentielle.
Dans le second exercice, on étudie les lois conjointes et marginales de deux 
variables aléatoires. On fait intervenir la notion de famille sommable.
Le problème est consacré à la fonction digamma définie par (x) =  (x)/(x)
pour x  ] 0 ; + [, où , fonction qui généralise la factorielle, est définie par
Z +
x  ] 0 ; + [
(x) =
e -t tx-1 dt
0

Il est divisé en 9 questions principales que l'on peut regrouper en 4 parties :
· Les questions III.1 et III.2 sont des préliminaires. On y étudie quelques 
propriétés élémentaires de la fonction  et de la série harmonique. On calcule
notamment la dérivée de  au moyen du théorème de dérivation sous le signe
intégrale.
· Dans les questions III.3, III.4 et III.5, on cherche à exprimer la fonction  
sous
différentes formes afin d'en déduire une expression de  dans la question III.6.
La question III.3 fait appel au théorème de convergence dominée.
· Les questions III.7 et III.8 sont les plus difficiles du sujet. Elles 
permettent de
caractériser la fonction digamma. Ces deux questions illustrent bien le 
raisonnement d'analyse-synthèse.
· Le problème se termine par une question de probabilités. On s'intéresse au
tirage de deux boules avec une remise qui dépend de la première boule tirée.
L'expression de la fonction digamma trouvée à la question III.7.b permet de
simplifier l'expression des probabilités obtenues.
Ce sujet fait appel à la majeure partie du programme d'analyse de spé, 
notamment les grands théorèmes d'analyse (convergence dominée, dérivation sous 
le signe
intégrale) et les notions de convergence uniforme, de série entière et de 
famille sommable. La difficulté reste contenue et elle est croissante, ce qui 
est parfait pour se
préparer aux concours.

Indications
Exercice I
I.1 Raisonner par analyse-synthèse. Dans l'analyse, se donner une solution f
de (E) développable en série entière, écrire f et ses dérivées sous forme de
sommes de séries entières et injecter ces expressions dans l'équation. Utiliser
l'unicité du développement en série entière de la fonction nulle pour conclure.
Exercice II
II.1 D'abord, penser à faire une partition. Ensuite, calculer
+

P

+

k xk

puis

P

k(k + 1)xk-1

k=1

k=1

Une autre solution consiste à calculer, pour tout i  N,
P i+j
i+j
j=0 2

P P i+j
i+j
i=0 j=0 2

+ +

+

puis

II.2.c Regarder si les événements (X = 0) et (Y = 0) sont indépendants.
Problème
III.1.b Utiliser le fait que fx est strictement positive et que, sur un 
segment, une
fonction continue admet un minimum.
III.1.c Appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale à l'aide 
d'une
domination uniforme des dérivées sur un segment.
III.3.a Utiliser un argument de convexité ou faire une étude de fonction.
III.3.b Appliquer le théorème de convergence dominée.
III.4.a Effectuer une intégration par parties.
III.4.b Calculer I0 (x + n) et faire une récurrence.
III.4.c Effectuer le changement de variable u = t/n.
III.6.b Montrer la convergence normale de la série sur tout segment.
III.6.c Dériver l'expression de g de la question III.5 et combiner ce résultat 
avec
l'expression de g  obtenue à la question III.6.b.
III.7.c Montrer la convergence normale de la série de fonctions. Utiliser 
ensuite le
théorème de la double limite.
III.8 Remarquer que les propriétés 1 et 2 suffisent à prouver III.7.b. Ensuite, 
exprimer f (x) en fonction de f (x + n) en sommant la propriété 2, et faire 
apparaître f (1 + n) afin d'utiliser la propriété 3. Enfin, se servir de 
l'expression
de la question III.6.c.
III.9.b Il y a une erreur d'énoncé : il faut démontrer le résultat pour tout k  
[[ 1 ; n ]]
et non pour tout k  N .
Utiliser le système complet d'événements (X = i)i[[ 1 ; n ]] . Ensuite, calculer
P(Y = k | X = i) en distinguant i = k et i 6= k.

Exercice I
I.1 Analyse : soient r > 0 et f une solution de (E), développable en série 
entière
sur ] -r ; r [. Soit une suite (an )n>0 telle que
+

x  ] -r ; r [

P

f (x) =

an xn

n=0

La fonction f est C  sur son disque ouvert de convergence. D'après le théorème 
de
dérivation terme à terme d'une série entière sur son intervalle ouvert de 
convergence,
la fonction f est de classe C  sur ] -r ; r [ et, pour tout x  ] -r ; r [,
+

P

f  (x) =

+

n an xn-1

et

f  (x) =

n=0

P

n(n - 1)an xn-2

n=0

Soit x  ] -r ; r [. La fonction f étant solution de l'équation différentielle, 
on a
0 = x2 f  (x) + (x2 - x)f  (x) + 2 f (x)
+

=

P

+

n(n - 1)an xn +

n=0
+

=

P

n=0

P

+

n an xn+1 -

n=0

P

+

n an xn +

n=0

P

2 an xn

n=0

+

P
(n(n - 1) - n + 2)an xn +
(n - 1)an-1 xn

n=1

+

0 = 2a0 +

((n(n - 2) + 2)an + (n - 1)an-1 ) xn

P

n=1

Cette égalité étant vraie sur un intervalle réel centré en 0, on en déduit par 
unicité
du développement en série entière que
a0 = 0

et

n  N

an =

-(n - 1)an-1
n(n - 2) + 2

Par récurrence sur n  N, on obtient que an = 0 pour tout n  N donc que f est
identiquement nulle.
Synthèse : Réciproquement, la fonction nulle est solution de (E).
Pour tout r > 0, la fonction nulle est l'unique solution de (E) développable en 
série entière sur ] -r ; r [.

Exercice II
2

II.1 On partitionne N en une réunion d'ensembles finis :
[
N2 =
{(i, j)  N2 | i + j = k}
kN

Soit k  N. Comme Card({(i, j)  N | i + j = k}) = k + 1, on a
X k
k(k + 1)
=
2k
2k
i+j=k

La famille (i + j)/2i+j (i,j)N2 est sommable si et seulement si k(k + 1)/2k kN
l'est en vertu du théorème de sommation par paquets. On remarque que
 4
k(k + 1)
k
k2
=
O
---- 0
2k
2k k+

P
Ainsi, k(k + 1)/2k =
o 1/k 2 . Or la série
1/k 2 converge absolument, donc la

i+j
famille (i + j)/2
est sommable et
(i,j)N2
+ +
X
Xi+j

i=0 j=0

=

2i+j

+
+
X
X k
X
k(k + 1)
=
k
2
2k

k=0 i+j=k

k=0

+

On a

P

x  [0;1[

xk =

k=0

1
1-x

P k
De plus, la série entière
x a un rayon de convergence égal à 1, donc sa somme
est de classe C  sur [ 0 ; 1 [ et elle est dérivable terme à terme. Par 
conséquent,
en dérivant la somme une première fois, on obtient
+
X

x  [ 0 ; 1 [

k xk-1 =

k=1

1
(1 - x)2

puis, en la dérivant une seconde fois, il vient
+
X

x  [ 0 ; 1 [

k(k + 1)xk-1 =

k=1

+
X

k(k - 1)xk-2 =

k=2

2
(1 - x)3

En utilisant la relation ci-dessus, on a
+ +
X
X i+j

i=0 j=0

Finalement,

i + j 
2i+j

2i+j

+

=

(i,j)N2

1 X k(k + 1)
1
=
=8
k-1
2
2
(1 - 1/2)3
k=1

est sommable et sa somme vaut 8.

Calculons la double somme sans considérer de partition. Soit i  N. La suite
(i + j)/2i+j jN est négligeable devant 1/j 2 jN donc elle est sommable.
Calculons sa somme
+
+
+
X
i+j
iX 1
1 X j
=
+
2i+j
2i j=0 2j
2i+1 j=0 2j-1
j=0
i
1
1
1
= i
+
2 (1 - 1/2) 2i+1 (1 - 1/2)2
+
X
i+j
i
2
= i-1 + i
i+j
2
2
2
j=0

De même, la famille i/2i-1 + 2/2i iN est sommable et

+ 
+ +
X
X i+j
X
i
2
=
+ i
2i+j
2i-1
2
i=0 j=0
i=0
=

+
X

i=0

+ +

i
2i-1

+
X
1
+2
i
2
i=0

XX i + j
1
1
=
+2
=8
i+j
2
2
(1
-
1/2)
1
-
i=0 j=0