CCINP Maths 1 MP 2011

SESSION 2011 MPM1002

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené a prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants.

Exercice 1

233"

On considère la série de fonctions 5 2--1 .
n _

n22

1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.

2 'n
L1 . Déterminer S sur ] -- Ra Rl-

2. On note S la fonction somme de la série Z 2
n _

7122

3. Démontrer que S (a:) admet une limite lorsque 3: tend vers 1 par valeurs 
strictement inférieures

et déterminer cette limite.

Exercice 2

On considère l'équation différentielle (E) 2æy' -- 3y : JE.

1. Résoudre (E) sur ]O,+oo[.

2. Déterminer l'ensemble des solutions de (E) sur l'intervalle [O, +oo[.

1/4

Problème

AUTOUR DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE

Dans tout ce problème, on note :

-- Î(lR+, IR) l'ensemble des applications de IR+ dans IR;

-- E l'ensemble des fonctions f : lR+ --> IR, continues, telles que, pour tout 
a: > () réel, la
fonction 15 |--> f (t)e_oe' soit intégrable sur lR+;

-- F l'ensemble des fonctions continues et bornées sur lR+.

Pour tout f dans E, on appelle transformée de LAPLACE de f et on note L'( f) la 
fonction
définie pour tout a: > () réel par :

--l--OO

£(f)(ff) = f (fie--"" dt -

0

1. Question préliminaire
Soient & EUR IR et f : [a, +oo[--> IR une fonction continue par morceaux. Pour 
tout a: dans

[a, +oo[, on pose :
F(a:) =/ f(t)dt.
On considère les propositions suivantes :

(i) f est intégrable sur [a, +oo[;

(ii) F admet une limite finie en +oo.

Donner, sans démonstration, toutes les implications possibles entre (1) et (ii) 
lorsque :
(a) f est positive sur [a, +oo[;

(b) f n'est pas positive sur [a, +oo[.
PARTIE I : Exemples et propriétés

2. (a) Démontrer que E est un sous--espace vectoriel de .7--"(lRJF7 IR).
(b) Démontrer que F est un sous--espace vectoriel de E.

(c) Justifier que L' est une application linéaire de E dans .7--"(lRÏ, IR), 
espace vectoriel des

applications de ]O, +oo[ dans IR.

3. (a) On considère la fonction U : IR+ --> IR définie par U(t) : 1. Déterminer 
L'(U )
(b) Soit A > () réel. On considère la fonction hÀ : [O, +oo[--> IR définie pour 
tout t > () réel

par :
hÀ(ÎÎ) : EUR_Àt

Démontrer que hÀ est dans E et déterminer £(hÀ).

2/4

4. Soient f dans E et n dans lN. On considère g,, : t |--> t"f(t) de [O, +oo[ 
dans IR.
Pour 33 > O, justifier de l'existence de A > 0 tel que ine--"' { e_OEît pour 
tout t > A.

En déduire que g,, est un élément de E.

5. Transformée de Laplace d'une dérivée
Soit f dans E de classe C', croissante et bornée sur [D, +oo[. Démontrer que f' 
est encore

dans E et que l'on a :

V9?" EURl07 +oo[, £(f')(ff) = âî£(f)(fi) -- f(0) -

6. Régularité d'une transformée de Laplace
(a) Démontrer que pour tout f dans E, la fonction L'(f) est de classe C1 sur 
]0, +oo[ et
que l'on a L'(f)' : --L'(g1) où gl a été définie a la question 4.

(b) Démontrer que pour tout f dans E, la fonction L'(f) est de classe COO sur 
]0, +oo[ et
pour a: > 0 et n EUR lN, déterminer £(f)(")(oe) a l'aide d'une transformée de 
Laplace.

PARTIE II : Comportements asymptotiques de la transformée de
LAPLACE

Dans toute cette partie, f est un élément de E.

7. On suppose dans cette question que f est dans F.
(a) Déterminer la limite en +00 de £(f).

(b) Théorème de la valeur initiale
On suppose, de plus, que f est de classe C1 et croissante sur IR+, avec ]" 
bornée sur
lR+.
Démontrer que lim æ£(f)(æ) : f(0).

a:-->--l--oo

8. Théorème de la valeur finale
On suppose dans cette question que tlim f (75) = EUR où EUR est un réel. Soit 
(an)nEUR]N une suite
--> 00

de réels strictement positifs qui converge vers 0.

(a) Démontrer que f appartient a F.

+00
(b) Soit n un entier naturel. Démontrer que a,,£(f)(a...) : / h,,(oe) da: où 
ii,, est la
0

fonction définie sur [D, +oo[ par hn(âî) : e_OEf (£).
@

TL

(c) En déduire, a l'aide du théorème de convergence dominée, que lim a,,L'( f 
)(an) : EUR.
"nf--> 00

(d) Lorsque EUR # O, déterminer un équivalent de L'( f )(OE) en 0.

+00
9. Dans cette question, on suppose que f est intégrable sur IR+ et on pose 
R(a:) : f (75) dt

pour tout a: dans [D, +oo[.

3/4

(a) Démontrer que R est une fonction de classe C1 sur [D, +oo[ et déterminer R' 
.
En déduire que, pour tout a: > () réel, on a : L'(f)(a:) : R(O) -- æ£(R)(æ).

(b) On fixe 8 > O.
Justifier de l'existence de A réel positif tel que pour tout t > A, on ait 
lR(t)l { EUR.

En déduire que, pour tout a: > 0, on a :
A
\£<æ> -- R<0>\ < x / \R\ d...
0

(c) Démontrer que L'( f ) se prolonge par continuité en 0 (on précisera la 
valeur en 0 de ce

prolongement).

PARTIE III : Application

10. Calcul de l'intégrale de Dirichlet
' t
Ici f est la fonction définie par f(0) : 1 et f(t) : % pour t > () réel.

(3) Démontrer que la fonction F : IR+ --> IR définie par F (a:) = / f (75) dt 
admet une
0

limite réelle EUR en +oo.
(n--l--1)7r
(b) En considérant la série Zun où u,, = / \ f (t)l dt, démontrer que f n'est 
pas
TL>O n7r

intégrable sur IR+.

(c) Soit 33 > O. Démontrer, en détaillant les calculs, que pour tout X > 0 on a 
:

X
l
/0 (sint)e_oe'dt=--1+OE2(e_OEX(oesinX+cosX)--l) .

Démontrer que la fonction 15 |--> (sin t) e_"'t est intégrable sur lR+.

--l--oo
Déterminer alors / (sin t) e_oe' dt.
0

(d) Déterminer, pour a: > 0, une expression simple de L'( f )(QÎ) et en déduire 
EUR.
Pour cela, on pourra utiliser le résultat suivant (la démarche de la preuve 
étant identique

a celle de la question 9) :

Lorsque f dans E vérifie lim / f(t) dt : EUR EUR IR, alors linàL'(f)(oe) : EUR.
0 OE-->

oe-->--l--oo

On notera que, par rapport a la question 9, on a remplacé l'hypothèse f 
intégrable sur

IR+ par l'hypothèse lim / f(t) dt : EUR EUR IR.
oe-->--l--oo 0

Fin de l'énoncé

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