CCP Maths 1 MP 2009

Thème de l'épreuve Équation différentielle. Intégrale de Gauss. Théoreme du point fixe et applications.
Principaux outils utilisés équations différentielles linéaires d'ordre 1, intégrales doubles, fonctions continues dans un espace de Banach
Mots clefs espaces de Banach, applications contractantes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A

coucouas communs ronn e"t2 est intégrable sur IR+.

Dans la suite de cet exercice, on se propose de calculer :

+00 2
I:] e"t dt.
0

2. Soit f et g les fonctions définies sur ]R+ par :
a: t2 1 e--æ2(1+t2)
f(æ) =/Û e dt et g(:c) ==/Û W dt.

1/4

(a) Démontrer que les fonctions f et 9 sont de classe C' sur IR+ et déterminer 
leur dérivée.

1
(b) Prouver que pour tout a: réel positif on a : f(æ) : / a: e"æ2t2 dt.
o

En déduire que la fonction ga : 9 + f2 est constante de valeur --î--.

(c) Démontrer que pour tout a: > 0 réel on a : 0 { g(:c) { e"oe2.

(d) En déduire la valeur de I .

PROBLÈME : THÉORÈME DU POINT FIXE ET APPLICATIONS

Le but de ce problème est de démontrer le théorème du point fixe de PICARD, ce 
qui fait l'objet
de la partie I, et d'en voir plusieurs applications élémentaires dans les 
parties suivantes. Les

parties II, III et IV sont indépendantes entre elles.

Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé.

Une définition. Soit le E |O;1|. On dira qu'une application f : E ----> E est 
une contraction
stricte de rapport le lorsque pour tout (a:, y) EUR EZ, on a :

llf(OE) --- f(y)ll < k |le ---- 31"-

Une notation. Pour n entier naturel et f : E ----> E , on notera f" : E ----> E 
l'application définie

par :

f"(æ) : f o - - - 0 f (a:) avec la convention f0 = Id.
"'--\f--'J

n fois la fonction f

PARTIE I : Le théorème du point fixe de PICARD

Dans cette partie (E, || ||) est un espace de Banach et f : E --> E est une 
contraction stricte de

rapport k.
Pour @ E E on considère la suite (:un) définie par 1150 = a et æn+1 : f (:un) 
pour tout n entier

naturel.

1. Pour tout n entier naturel, on pose un : a:n+1 -- :un.
(a) Démontrer que pour tout n entier naturel, on a ||un+1|| { k ||un|| puis que

llunll < 16" llf(a) --- all--

En déduire que la série E un converge.

(b) Démontrer alors que la suite (Tn) converge vers un vecteur £ de E.
(c) Prouver que 6 est un point fixe de f c'est--à-dire que f (E) = EUR.

(d) Démontrer que f admet en fait un unique point fixe.

On vient donc de démontrer le résultat suivant :

THÉORÈME DU POINT FIXE DE PICARD : Dans un espace de Banach (E, || ||), une 
applica-
tion f : E ----+ E qui est une contraction stricte admet un unique point fixe 
et pour tout a

dans E la suite des itérés ( f"(a))nEUR1N converge vers ce point fixe.

2/4

PARTIE II : Exemples et contre-exemples

2. Sur la nécessité d'avoir une contraction stricte
On considère ici la fonction g : IR ----> IR définie par :

7r
g(t) : t + -2-- --- arctant.

(a) Démontrer que pour tout t réel, on a |g'(t)| < 1. En déduire que l'on a 
pour a: et y

réels :
|g(æ) -- 9(y)l < |æ ---- yl-

(b) La fonction g admet--elle un point fixe ? Est--elle une contraction stricte 
?

3. Un exemple
Soit f : IR ----> IR une fonction continue telle que, pour tout a: réel, on ait 
:

(a)

(b)
(6)

f(fv) = foÿ(flî) Où 9(OE) = 5 + 1-

u .
On considère la suite (un)nelN définie par 150 EUR IR et un+1 : ----53 + 1 pour 
tout n entier

naturel. Démontrer en utilisant le théorème de PICARD que cette suite converge 
vers
un réel EUR que l'on précisera.

Démontrer que pour tout n entier naturel et tout :1: réel, on a : f(g"(æ)) = f 
(a:)

En déduire que f est constante.

4. Un système non linéaire dans IR2
On s'intéresse dans cette question au système :

Il

sin(oe + y)
3 + 2 arctan(æ -- y)

{ Ï.Ïj

On munit IR2 de la norme || ||1 définie par : ||(æ, y)||1 : |a:| + |y| et on 
considère l'application
w : IR2 ----+ IR2 définie par :

w(a:, y) = (à-- sin(a: + y), 1 + % arctan(æ ---- y)) .

Pourquoi l'espace vectoriel normé (IRZ, || |... est-il complet ?

Démontrer que pour tout a et () réels, on a :

|sinb -- sin al < lb ---- al et |arctanb -- arctanal < lb -- a] .

Prouver que @ est une contraction stricte de (IR2, || ...) dans (IRZ, |] nl).

En déduire que le système (S) admet une unique solution dans IR2.

: max(|ccl , |y|) qui en fait un

Ici IR2 est muni de la norme || |]OO définie par ||(iL',y)llOO

espace de Banach.
Déterminer ||@b (--1- ---1--) ---- rb(0,0)llæ.

2» 2
L'application @@ est-elle encore une contraction stricte pour la norme || ||OO ?

Quel commentaire peut--on faire ?

3/4

PARTIE III : Une équation intégrale

5. Soit F l'espace vectoriel des applications bornées de [O, I] dans IR. Pour f 
dans F on pose :

llflloe = sup lf(flî)l-

oeEUR|0;1]

On note aussi E l'espace vectoriel des applications continues de [O, I] dans IR.

(a) Démontrer soigneusement que || ||OO est une norme sur F. On admettra pour 
la suite
que (F, || ||oe) est un espace de Banach.

(b) Vérifier que E C F.

(o) Démontrer le résultat suivant du cours :
si (G, || ||) est un espace vectoriel normé et si (g,,) est une suite 
d'applications continues

de G dans G qui converge uniformément sur G vers une application g alors g est
continue.

(d) En déduire que (E, || "Go) est aussi un espace de Banach.

6. On considère une application continue K : |O; 1|2 --+ IR ainsi que g EUR E. 
Pour À réel, on note
 l'application qui a une fonction f de E associe la fonction définie par :

(f)(æ) )----À/0 K( (a: ,fy) y)dy pour tout a: dans [0,1].

(a) Justifier que l'application |K | est bornée et atteint ses bornes.

On oseM= max Kw, .
p (w,y)EURl0;ll2l ( y)|

(b) Démontrer que CI>( f ) est un élément de E.

(0) On suppose que |À| < M ". Vérifier que (I) est une contraction stricte de 
(E, || ||oe) et
en déduire qu'il existe une unique application f dans E telle que :

g(g;) ()),/01)+ K( (3: ,y)f y)dy pour tout a: dans [0,1].

PARTIE IV : Une application géométrique

7. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal on considère un vrai triangle 
ABC avec B

et G sur l'axe des abscisses.
Soit M un point de l'axe des abscisses. On note :

---- PM le projeté orthogonal de M sur (GA);
--- QM le projeté orthogonal de PM sur (AB);
---- RM le projeté orthogonal de QM sur (BG)

On obtient donc une application ga: IR ----+ IR qui a l' abscisse de M associe 
l' abscisse de RM.
On appelle @, b et c les mesures resoectives des angles BAG, ABC et BCA.

(a ) Pour M et M' points distincts de (BC), justifier l'égalité (lorsque M # G) 
:

PMPM' ----- ------------PMC ---- |cos c|
MM' "' MC _

(b) Démontrer que 

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CCP Maths 1 MP 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu par
Benoît Landelle (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).

Ce sujet est constitué de deux exercices et d'un problème indépendants.
· Dans le premier exercice, on résout l'équation différentielle suivante :
2x
x y + y = 
1 - x4

On montre en particulier qu'elle admet une unique solution maximale. Cet
exercice pourrait être posé lors d'une interrogation orale en début de première
année. Étonnamment, le rapport du jury signale que le premier exercice est
« celui qui a été le moins abordé ».
· Le second exercice propose de calculer la valeur de l'intégrale de Gauss
Z +
2
e -t dt
0

en utilisant des intégrales à paramètres. Il fait intervenir des intégrales sur 
un
segment de fonctions de classe C 1 sur R2 , ce qui donne l'occasion d'appliquer,
entre autres, le théorème de dérivation sous le signe somme.
· Le problème est consacré au théorème de Picard dans un espace de Banach
(E, k k) : si f : E  E est une application strictement contractante 
(c'est-à-dire
k-lipschitzienne pour un certain k < 1), alors elle admet un unique point fixe.
­ La première partie démontre le théorème.
­ La deuxième examine des exemples et contre-exemples.
­ Les deux dernières parties montrent des applications de ce théorème, l'une
en analyse et l'autre en géométrie.
Les parties comportent plusieurs questions de cours. Les autres questions sont
très détaillées et ne présentent aucun piège : il suffit de se laisser guider 
par
l'énoncé.
Un candidat correctement préparé n'aura guère de mal à traiter intégralement ce
sujet plutôt facile dans le temps imparti. Il fallait donc le jour de l'épreuve 
commencer
par feuilleter l'énoncé dans son intégralité, pour le classer parmi les sujets 
« faciles »,
être rapide et rédiger soigneusement.

Indications
Exercice 1
2 Soit f une telle solution de (E) ; calculer f (0) puis, à l'aide de la 
question 1,
déterminer les expressions de f sur ] -1 ; 0 [ et sur ] 0 ; 1 [ nécessaires à 
la continuité.
Vérifier ensuite que la fonction obtenue est bien continue et dérivable en 0.

Exercice 2
2

1 Au voisinage de l'infini, dominer la fonction t 7- e -t par une fonction 
intégrable sur R+ .
2.a Ne pas oublier l'hypothèse de domination pour la dérivation sous le signe 
intégral.
Le rapport du jury insiste lourdement sur ce point.
2.b Effectuer un changement de variable pour obtenir la nouvelle expression de 
f .
Ensuite, calculer  .
2.d Déterminer lim g(x), puis utiliser les résultats des questions 2.b et 2.c.
x+

Problème
1.b Calculer les sommes partielles de la série

P

un .

1.c Ne pas oublier d'établir la continuité de f .

1.d Considérer deux points fixes et utiliser la propriété de contraction 
stricte.
3.c Combiner les résultats des questions 3.a et 3.b.
4.b Penser aux accroissements finis.
4.c Utiliser la question 4.b.
4.d Exploiter les résultats des questions 4.a et 4.c.
5.a Se servir de la définition de la borne supérieure pour vérifier proprement 
l'homogénéité et la sous-additivité de k k .
5.c Soit x0  G. Pour tous x  G et n  N, on peut écrire

g(x) - g(x0 ) = g(x) - gn (x) + gn (x) - gn (x0 ) + gn (x0 ) - g(x0 )
Utiliser ensuite lim kgn - gk = 0 ainsi que la continuité des applications gn .
n+

5.d Mettre à profit les questions 5.b et 5.c.
6.c Vérifier que l'on se trouve dans le cadre d'application du théorème de 
Picard.
7.a Appliquer le théorème de Thalès aux triangles rectangles PM CM et PM CM .
7.b Utiliser de façon répétée le résultat de la question précédente.

Exercice 1
1 Commençons par résoudre l'équation (E) sur ] 0 ; 1 [.
· L'équation homogène associée est xy  + y = 0, ce qui équivaut à y  + y/x = 0.
On sait que l'ensemble de ses solutions sur ] 0 ; 1 [ est la droite vectorielle
engendrée par la fonction
 Z x 
dt
1
h : x 7- exp -
= exp (- ln x) =
t
x
1
· Utilisons la méthode de variation de la constante et cherchons une solution
particulière de l'équation différentielle (E) sous la forme y : x 7- (x)/x,
où  est une fonction dérivable sur ] 0 ; 1 [. Pour tout x  ] 0 ; 1 [, on a alors

 (x) (x)
(x)
xy  (x) + y(x) = x
- 2
+
=  (x)
x
x
x
2x
= 2x × Arcsin  (x2 )
d'après (E)
1 - x4
Ainsi, la fonction  : x 7- Arcsin (x2 ) convient. En conséquence, l'équation (E)
admet pour solution particulière la fonction y0 : x 7- Arcsin (x2 )/x.
· On en déduit par superposition des solutions que
d'où

 (x) = 

Les solutions sur l'intervalle ] 0 ; 1 [ de l'équation (E) sont
Arcsin (x2 ) + 
toutes les fonctions f : x 7-
, avec   R.
x
Les calculs sont similaires sur l'intervalle ] -1 ; 0 [ : l'ensemble des 
solutions de
l'équation homogène associée à (E) est encore engendré par la fonction inverse,
la fonction y1 : x 7- Arcsin (x2 )/x est aussi une solution de (E), si bien que
Les solutions sur l'intervalle ] -1 ; 0 [ de l'équation (E) sont
Arcsin (x2 ) + µ
toutes les fonctions gµ : x 7-
, avec µ  R.
x
2 Cherchons maintenant les solutions de (E) sur ] -1 ; 1 [, c'est-à-dire les 
fonctions
continues et dérivables sur l'intervalle ] -1 ; 1 [ qui vérifient l'équation 
(E) sur celui-ci.
· Soit f une telle fonction.

­ Elle est solution de (E) donc en 0,
0 × f  (0) + f (0) =

2×0
=0
1 - 04

soit f (0) = 0.
­ La fonction f est aussi solution de (E) sur ] -1 ; 0 [ donc
Arcsin (x2 ) + µ
 µ  R  x  ] -1 ; 0 [
f (x) =
x
d'où
 x  ] -1 ; 0 [
µ = xf (x) - Arcsin (x2 )

Comme f est continue sur ] -1 ; 1 [, on a lim f (x) = f (0). De plus, on sait
x0

que lim x2 = 0 et lim Arcsin (y) = 0. On en déduit par composition,
x0

y0

somme et produit de limites que
µ = lim- xf (x) - Arcsin (x2 ) = 0
x0

­ Enfin, f est solution de (E) sur ] 0 ; 1 [ donc
Arcsin (x2 ) + 
x
d'où
x  ]0;1[
 = xf (x) - Arcsin (x2 )
et comme précédemment, on en déduit que
  R x  ]0;1[

f (x) =

 = lim+ xf (x) - Arcsin (x2 ) = 0
x0

Ainsi, si f est une solution de (E) sur ] -1 ; 1 [, c'est nécessairement la
fonction

2

 Arcsin (x ) si x  ] -1 ; 0 [  ] 0 ; 1 [
x
f : x 7-

0
si x = 0

· Réciproquement, considérons la fonction f déterminée ci-dessus.

­ Elle est de classe C 1 sur ] -1 ; 0 [ et sur ] 0 ; 1 [ en tant que composée de
fonctions usuelles C 1 sur les intervalles considérés.
­ On sait que Arcsin y  y et lim x2 = 0, d'où Arcsin (x2 )  x2 soit
y0

x0

x0

Arcsin (x2 )
f (x) =
 x
x0
x
x6=0
Ainsi

lim f (x) = 0 = f (0)

x0

et donc f est continue en 0.
­ En outre, on a pour tout x  ] -1 ; 0 [  ] 0 ; 1 [
f (x) - f (0)
f (x)
=
 1
x-0
x x0
et donc

lim

x0

f (x) - f (0)
=1
x-0

ce qui montre que f est dérivable en 0 et que f  (0) = 1.
Par conséquent, la fonction est continue et dérivable sur l'intervalle ] -1 ; 1 
[.
On pouvait aussi, à partir de
Arcsin (y) = y + o (y)
y0

et

lim x2 = 0

x0

établir sur ] -1 ; 0 [  ] 0 ; 1 [ le développement limité

Arcsin (x2 )
= x + o (x)
x0
x
Ce développement limité à l'ordre 1 en 0 est valable sur ] -1 ; 1 [ puisque
f (0) = 0. De ce fait, f est continue et dérivable en 0, et f  (0) = 1.
Quoiqu'il en soit, il ne faut surtout pas oublier de montrer que la fonction f 
est non seulement continue, mais aussi dérivable en 0 : le rapport du
jury signale à cet effet que « les rares candidats ayant attaqué le recollement
des solutions ont manqué de rigueur dans la rédaction et se sont contentés
d'un recollement par continuité ».
f (x) =