CCP Maths 1 MP 2007

Thème de l'épreuve Échanges de limites et d'intégrales
Principaux outils utilisés intégrabilité, théorèmes d'interversion, fonctions de plusieurs variables

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2007

.'u

EÜHEÜLIRE EÜH"IU"«IE FÜLTTEEHHIÛUEE--

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

>l<>l<>l<

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

Le sujet est composé d'un exercice et d'un problème indépendants.

EXERCICE

x + y
(l+x2)(l+y2)'
a. On pose F = [O, l]>< [O, 1], justifier que la fonction f est bornée sur F et 
y atteint sa borne

On considère la fonction f : R2 --> lR définie par : f (x, y) =

supérieure. On pose alors M = sup f (x, y).
(m)eF

b. Montrer que si la borne supérieure est atteinte en un point de l'ouvert Q = 
] 0,1 [><] 0,1 [

&
8 .

alors nécessairement M =

35

c. Déterminer le maximum de la fonction f sur la frontière de F et le comparer 
à Î (on pourra

utiliser la calculatrice).
Déterminer M.

1/6

PROBLÈME : ECHANGES DE LIMITES ET D'INTEGRALES

Toutes les fonctions de ce problème sont à valeurs réelles.

PARTIE PRELIMINAIRE

Les résultats de cette partie seront utilisés plusieurs fois dans le problème

1.

Fonction Gamma d'Euler
a. Soit x EUR ] O, + OO[ , montrer que la fonction ne e"f tx"1 est intégrable 
sur ] O, +oo[ .

On pose, pour x EUR ] O, + oo[ , F(x) = ! e"f tx"1 dt.
0

b. Déterminer, pour x EUR ] O, + OO[ , une relation entre F(x +1) et F(x) et en 
déduire F(n) pour
tout entier naturel non nul n.

Fonction zêta de Riemann

. . . +°° 1
On rappelle que la fonction zêta est définie sur ] l, + oo[ par 5 (x) = E x .
n
n--l
7z2 7z4
On connait ; (2) = ? , 5 (4) = % , on sait que pour p entier pair, Ç ( p) est 
de la forme q7zP

où q est un rationnel ; il a été démontré que certains Ç ( p) pour p entiers 
impairs sont

irrationnels mais on ne sait pas s'ils le sont tous.
On se propose de rechercher des valeurs approchées de ces réels Ç ( p) .

. +00 1 n 1
a. On note, pour n entier naturel non nul et x réel x > 1, Rn (x) = z kx = 5 
(x) -- z kx .
k=l

k=n+l

Prouver que, pour n entier naturel non nul et x réel x > 1, Rn (x) £ (lî .
x -- n

b. On fixe l'entier p 2 2 et un réel 8 >O. Indiquer une valeur de n pour 
laquelle on a

ïl

ZkLp--Ç(P)

£a.

c. Donner, en utilisant la calculatrice, une valeur approchée de 5 (7) à 10_6 
près.

PREMIERE PARTIE : SUITES DE FONCTIONS

Préliminaire: Dans les questions 3 à 5 suivantes, on n'utilisera pas pour les 
démonstrations le
théorème de convergence dominée, énoncé àla question 6.

3.

Théorème de convergence uniforme pour les suites de fonctions
Démontrer le théorème suivant que l'on notera TH 1 :
si ( fn) est une suite de fonctions continues sur le segment [a, b] qui 
converge uniformément

b
vers une fonction f sur [a, [9], alors, la suite de réels (! fn (x) dx) 
converge vers le réel

ij(x) dx.

2/6

b
On commencera par donner un sens à l'intégrale [ f(x) dx juste en énonçant un 
théorème.
a

Exemples et contre-exemples

a.

Déterminer une suite ( fn) de fonctions continues et affines par morceaux sur 
le segment

[O, 1] qui converge simplement mais non uniformément vers une fonction f sur 
[O, 1] et telle

l 1
que la suite de réels [[ fn (x) dx) ne converge pas vers le réel [ f(x) dx.
O 0

Remarque: on peut se contenter d'une vision graphique et, dans ce cas, il est 
inutile
d'exprimer fn (x) , mais on attend une justification des deux propriétés 
demandées.

. Si ( fn) est une suite de fonctions continues sur le segment [O, 1], 
démontrer qu'il est

l l
possible que la suite de réels [[ fn (x) dx) converge vers le réel [ f(x) dx 
sans que la
0 O

convergence de la suite de fonctions ( fn) ne soit uniforme sur [O, 1].

Cas d'un intervalle quelconque
a. Montrer à l'aide de la suite de fonctions ( fn )n21 définies sur I = [O, + 
oo[ par

--X

x"e

fn(X)=

que le TH 1 n'est pas vrai si on remplace l'intervalle [a, b] par un intervalle 
] non borné.

n !

Remarque : on pourra utiliser la formule de Stirling sans la démontrer.

b. Nous allons prouver que le TH 1 est vrai sur un intervalle borné ] .

On considère ( fn) une suite de fonctions continues et intégrables sur ] 
intervalle borné, qui

converge uniformément vers une fonction f sur I .
i. Justifier l'existence d'un entier naturel p tel que, pour tout réel x EUR I ,

[ f (x)[ S 1 + | f p (x)[ et en déduire que f est intégrable sur I .
ii. Montrer que la suite de réels [[ fn (x) dx) converge vers le réel [ f(x) 
dx. On notera
[ [

EUR (I ) la longueur de l'intervalle ] .

6. Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions
On rappelle le théorème suivant que l'on notera TH 2 :
si ( fn) est une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle ] 
qui converge

simplement sur 1 vers une fonction f continue par morceaux sur I et s'il existe 
une fonction ça
continue par morceaux et intégrable sur ] telle que, pour tout entier naturel n 
et tout réel x EUR I :

[fn (x)[ £ ça(x) alors, la fonction f est intégrable sur I et la suite de réels 
[[ fn (x) dx) converge
[

vers le réel [ f(x) dx.
[

3/6

a. Rappeler pourquoi il est inutile de vérifier, lorsqu'on utilise ce TH 2, que 
les fonctions fn

sont intégrables sur I et justifier que f est intégrable sur [.
b. Exemples
i. Montrer à l'aide d'un exemple simple que ce théorème peut être pratique sur 
un
segment ] sur lequel la suite de fonctions ( fn) ne converge pas uniformément 
vers la
fonction f .

. x
+oe sm(;)

ii. Calculer lim 2
n-->+oo 0 1 + X

DEUXIÈME PARTIE : SÉRIES DE FONCTIONS

7.

Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions
Justifier, simplement, à l'aide du TH 1 le théorème suivant que l'on notera TH 
3 :

si E fn est une série de fonctions continues sur le segment [et, b] qui 
converge uniformément

b
sur [a, b], alors, la série de réels 2 ! fn (x) dx converge et :

ÎjâY.dx=jj Îf. 1, l'intégrale ! ; 1dt en fonction de F(x) 
et 5 (x) .
0 e --
+00 +00 t6
b. En déduire la valeur de J ; 1dt et une valeur approchée de J ; 1dt.
() EUR _ 0 e _

Fin de l'énoncé.

6/6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Laetitia Borel (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

Le sujet est constitué d'un exercice assez calculatoire, et d'un problème un peu
long mais sans difficulté majeure. L'exercice consiste à déterminer le maximum 
d'une
fonction de deux variables sur un carré, en distinguant le bord et l'intérieur 
du carré.
Le problème porte sur les inversions d'une limite et d'une intégrale, puis 
d'une somme
infinie et d'une intégrale, en distinguant différents cas pour l'intervalle 
d'intégration :
intervalle fermé borné, intervalle borné, intervalle non borné.
· La partie préliminaire reprend les grands classiques, les fonctions  et . 
Tout ce
qu'on peut en dire, c'est qu'il faut savoir le faire.
· La première partie commence par une question de cours. On demande ensuite
des exemples qui mettent en lumière des conditions suffisantes, sans être 
nécessaires, pour l'inversion de la limite et de l'intégrale sur un segment. On 
passe
ensuite au cas d'un intervalle quelconque, avec un contre-exemple, puis on 
établit une extension du théorème d'inversion au cas d'un intervalle borné mais 
pas
fermé. La partie se termine par une application du théorème de convergence
dominée. À noter une question « ouverte », et même très ouverte, puisqu'on
demande un exemple « intéressant » (notion quelque peu subjective) 
d'application.
· La deuxième partie, consacrée aux séries de fonctions, commence également
par une question de cours sur les séries de fonctions, suivie d'une autre sur
les séries de Fourier, illustrant une application de la convergence uniforme à
une intégrale sur un segment. On traite une application de la version séries
de fonctions du théorème de convergence dominée. La question 10 est très
intéressante d'un point de vue mathématique puisqu'elle met en évidence une
condition suffisante mais non nécessaire, confusion très répandue qu'il est bon
d'éviter.
· Les trois dernières questions portent sur le théorème de convergence monotone
et sur une application de ce théorème à divers calculs d'intégrales.
C'est un excellent problème de révision d'analyse, à faire absolument pour avoir
les idées claires avant les écrits, car il propose essentiellement un panorama 
didactique
des applications directes du cours.

Indications
Exercice
a Penser au cours de topologie : que peut-on dire de l'ensemble F ?
Problème
1.a Utiliser un équivalent pour le problème en 0 et penser aux croissances 
comparées pour le problème en +.

1.b Faire une intégration par parties.

2.a Majorer le terme général de la série par une intégrale en s'aidant d'un 
dessin.
3 Commencer par écrire la définition de la convergence uniforme.
4 Cette question est assez délicate, comme souvent le sont les contre-exemples.
Essayer d'interpréter graphiquement, avec une fonction affine par intervalles,
de telle sorte que les calculs d'intégrales reviennent au calcul de l'aire d'un
triangle.
5.a Utiliser une intégration par parties.
5.b.i Penser que l'inégalité triangulaire a deux côtés.
5.b.ii Adapter la démonstration faite à la question 3.
6.b.i L'exemple sera plus intéressant si les intégrales des fonctions fn ne 
sont pas
évidentes à calculer.
6.b.ii Appliquer le théorème de convergence dominée, chercher une fonction 
dominante avec une inégalité simple de la trigonométrie.
7 Appliquer (TH1) à la suite des sommes partielles de la série.
8 Chercher une conséquence de la formule de Parseval pour la série de terme
général |bn |2 .

9.a Chercher une propriété des séries convergentes qui permette de majorer le
terme |an | |xn | /n! sur un segment.
Z +
|an | xn e -x
dx, utiliser une intégration par parties.
9.b Pour calculer
n!
0
10.a Penser à une caractérisation de la convergence uniforme utilisant le reste 
de la
série. Calculer explicitement l'intégrale de la valeur absolue de la fonction.

10.b Séparer les sommes de séries entre sommes partielles de rang N et restes,
puis faire la différence.
11 Si une série est à termes positifs, la suite des sommes partielles est 
croissante
et en cas de convergence elle est majorée par la somme de la série.
12.a En remarquant que 0 < e -t < 1, utiliser le développement en série entière 
au
1
voisinage de 0 de la fonction u 7
.
1-u
13 Adapter la méthode utilisée à la question précédente.

Exercice
a La fonction (x, y) 7 x + y est continue de R2 dans R car elle est bilinéaire.
Les fonctions (x, y) 7 x et (x, y) 7 y sont linéaires par rapport à la première,
respectivement deuxième, variable. On en déduit, par composition et somme, que 
les
fonctions
et

(x, y) 7 1 + x2

(x, y) 7 1 + y 2

sont continues. La fonction (x, y) 7 xy est continue de R2 dans R en tant que 
fonction
bilinéaire, ce qui entraîne par composition que la fonction
(x, y) 7 (1 + x2 )(1 + y 2 )

est continue. Cette fonction n'étant jamais nulle, il en résulte, par passage à 
l'inverse
et produit, que la fonction
x+y
(x, y) 7
(1 + x2 )(1 + y 2 )
est continue sur R2 . L'ensemble F = [ 0 ; 1 ] × [ 0 ; 1 ] est compact, puisque 
c'est un
sous-ensemble fermé borné de R2 , espace vectoriel de dimension finie. Une 
fonction
continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes, donc
f est bornée sur F et atteint sa borne supérieure.
Il faut veiller à énoncer précisément les hypothèses du théorème d'existence 
d'un maximum : le rapport du jury signale de fréquentes confusions
entre fermé et compact.
Pour cette première question, la démonstration de la continuité a été
détaillée, ainsi qu'il est souhaitable de le faire au moins une fois dans une
copie. On peut par contre par la suite se contenter d'évoquer les « théorème
généraux ».
b Si la borne supérieure est atteinte en un point de l'ouvert  = ] 0 ; 1 [ × ] 
0 ; 1 [,
c'est un extremum local d'une fonction de classe C 1 (toujours par les théorèmes
généraux), donc la condition nécessaire pour qu'une fonction admette un extremum
local en un point doit être vérifiée, c'est-à-dire que le gradient de f doit 
être nul.
Pour tout couple (x, y) de ,
f
1 + x2 - 2x (x + y)
1 - x2 - 2xy
(x, y) =
=
2
2
x
(1 + x2 ) (1 + y 2 )
(1 + x2 ) (1 + y 2 )
f
1 - y 2 - 2xy
(x, y) =
2
y
(1 + x2 ) (1 + y 2 )
La condition de nullité du gradient est donc équivalente à

1 - x2 - 2xy = 0
1 - y 2 - 2xy = 0
Le système est équivalent à

y 2 = x2
1 - x - 2xy = 0
2

· 1

er

cas :

x=y
1 - x2 - 2x2 = 0

x=y
1 - 3x2 = 0

3
=y
ce qui donne
x=
3

Remarquons néanmoins que seul
3/3, 3/3 appartient à .

x = -y
e
· 2 cas :
1 + x2 = 0
+
-

ce qui est impossible.
La condition nécessaire d'existence

 d'un
 extremum local
est vérifiée au seul point
3/3, 3/3 de .
Comme

f 3/3, 3/3 =

2 3 9
3 3
=
2 =
3 16
8
(1 + 1/3)

2 3/3

3 3
Le seul maximum local, donc global, possible sur l'ouvert  est
.
8
c Étudions maintenant la restriction de f aux quatre segments qui forment la
frontière de F :
· y = 0, x varie de 0 à 1. Pour tout x  [ 0 ; 1 ], posons
x
g1 (x) = f (x, 0) =
1 + x2
g1 (x) =

1 + x2 - 2x2
2

(1 + x2 )

=

1 - x2

2

(1 + x2 )

g1 (x) est donc positive sur [ 0 ; 1 ]. La fonction g1 est croissante, le 
maximum
est atteint en 1 et vaut
1
g1 (1) =
2
· x = 1, y varie de 0 à 1. Pour tout y  [ 0 ; 1 ], posons
g2 (y) = f (1, y) =

g2 (y) =

1+y
2 (1 + y 2 )

1 + y 2 - 2y (1 + y)
2

2 (1 + y 2 )

=

1 - 2y - y 2
2

2 (1 + y 2 )

g2 (y) = 0 est équivalent à y 2 + 2y- 1 = 0. Le discriminant réduit  est égal
+ 2. Il y a une seule solution dans l'intervalle
à 2, donc les solutions
sont -1 -

[ 0 ; 1 ] qui est 2 - 1. g2 (y) est positif sur l'intervalle 0 ; 2 - 1 et 
négatif sur

l'intervalle
2 - 1 ; 1 , donc g2 admet un maximum au point 2 - 1, égal à

2
2
2

=
g2 ( 2 - 1) = 

2  =
2 1+2-2 2+1
4 2- 2
2 1+
2-1