CCP Maths 1 MP 2005

Thème de l'épreuve Autour du théorème d'Abel pour les séries entières
Principaux outils utilisés séries numériques, séries entières

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2005 MPM 1004

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.
* * *
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à

prendre.
* * *

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants

PREMIER EXERCICE

Calculer les deux intégrales doubles suivantes :

a. ". (x+y)dxdy oùT={(x,y)eR2,xSl,y$l,x+y20}.
T

b. " |x+y|dxdyoùC=[--l, 1]X[_1, 1].
C

DEUXIÈME EXERCICE

Pour n entier naturel non nul, on considère l'équation différentielle linéaire
(En): xy'--ny= O.

1. Donner l'espace vectoriel des solutions de l'équation (E,,) sur chacun des 
intervalles
[=]--oe,0[etJ=]0,+oe[.

2. Dans le cas où n =1, déterminer uniquement par des considérations 
graphiques, l'espace
vectoriel des solutions de (E) sur R . Quelle est la dimension de cet espace 
vectoriel ?

3. Dans le cas où n 2 2, déterminer avec soin l'espace vectoriel des solutions 
de (En) sur R.
Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ?

PROBLÈME : Autour du théorème d'ABEL pour les séries entières

Dans tout le problème :
(a,, ),,EN est une suite de nombres réels telle que la série entière Eau x" de 
la variable réelle x ait

pour rayon de convergence 1.
On désigne alors par Za,, la série de terme général a,, et par f la fonction 
définie sur

+oo

l'intervalle ]--l, 1[ par : f(x) : Za,, x" .

n=0
On désigne par (®) et (QQ) les deux propriétés suivantes possibles de la suite 
(a,,) :

(?,) :la série E a,, converge.

(OE2): la fonction f admet une limite finie, notée lim f(x), lorsque x tend 
vers 1 par valeurs
x-->l°

inférieures.

]. GÉNÉRALITÉS

1. En utilisant des développements en série entière « usuels », donner dans 
chaque cas, un
exemple de suite (a,,) telle que :

a. (a,,) vérifie (®) et (®) ;
b. (a,,) ne vérifie pas (0%) et vérifie (QQ) ;
c. (a,,) ne vérifie ni (®) ni (OE2) ;

d. La série Za,, x" ne converge pas uniformément sur l'intervalle ]----1, ][ 
(justifier).

2. On suppose que la série Za,, est absolument convergente ; montrer alors que 
la fonction f
+oo

admet une limite finie lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures et que lim 
f(x) = a,, .
x-->l"
n=0

3. Exemple

(--1)"
n(n --- l)

Déduire de la question précédente la somme de la série z
1122

(on pourra utiliser une décomposition en éléments simples).

Il. THÉORÈME D'ABEL

4. On suppose dans cette question que la série Za,, converge.

On va montrer qu'alors la fonction f admet une limite finie lorsque x tend vers 
1 par valeurs
inférieures (théorème d'Abel).

+oo +00
On pose r,, : Z ak et pour tout x EUR [0,1], R,, (x) = z ak xk .
k=n+l k=n+l

a. Simplifier, pour tout x EUR [O, 1], Z(r,,+p_l --r,,+p)x"+p .
p=l

b. En déduire que, pour tout x E [O, l[, R,, (x) = r,, x"+l + x"+l (x ---- I)Z 
rn+pxp_l .

c. Soit un réel 8 > O , justifier qu'il existe un entier nO tel que pour tout 
entier n ?. no et tout

entier naturel p on ait lr r,,+p|2 < ---- , puis que:

pour tout entier n > no et pour tout réel x EUR [O, 1], |R,,(x)| < 8.
d. Conclure que la fonction f admet une limite lorsque x tend vers 1 par 
valeurs inférieures et

+00
que lim f(x) : Za,, .
x--H--
n=O

5. Que peut-on dire de la série Za,, si lim f(x) : +oo '?

x--H--

6. Exemple
Retrouver le développement en série entière en O de la fonction x t----> 
arctanx puis utiliser le

r \ ; - Tt ' , . , .
theoreme d'Abel pour ecr1re ---- comme somme d'une ser1e numer1que.

4

7. Application ,
On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est 
une série

absolument convergente.
a. Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est-elle une série 
convergente ?

(_ 11)"

ni

(On pourra examiner le cas u,, : v,,= pour n > 1).

b. Soit E u,,, E v,, deux séries de nombres réels, on pose pour n entier 
naturel,
Il

W,, = E uk v,,_k et on suppose que les trois séries E u,,, E v,, et E W,, 
convergent.
k=O

+oe +oe oe
Montrer, à l'aide du théorème d'Abel, qu'alors 2 W,, =Z u,, E v,,
n=O n=O n=O

III. RÉCIPROQUE DU THÉORÈME D'ABEL

8. Justifier que la réciproque du théorème d'Abel est fausse.

On cherche à rajouter une condition (Q) à la condition (QE) de telle sorte que 
si (an) vérifie

(OE2) et (Q) , alors elle vérifie (® ).

9. On prend pour (Q) la propriété : pour tout entier n, a,, Z 0.

Montrer que si (a,,) vérifie les propriétés (0132) et (Q) , alors elle vérifie 
la propriété ((Pl)

II

(on pourra montrer que 2 ak S lim f(x) ).

k=0 .r--->l--
Si on prend pour (Q) la propriété :
la suite (a,,) vérifie a,, =O(%) (la suite (a") est dominée par la suite 
(--1--) au voisinage de
n

+00),

on obtient le théorème de Littlewood dont on admettra la démonstration pour 
l'appliquer dans la
partie suivante.

rv. SÉRIES HARMONIQUES TRANSFORMÉES

Désormais, on admet et on pourra utiliser le théorème de Littlewood :
si la fonction f admet une limite finie lorsque x tend vers 1 par valeurs 
inférieures et que

1 , .
a,, =O ----- alors la ser1e a,, converge.

n

Pour p entier naturel non nul, on considère une suite (s,,),,zl périodique de 
période p formée
d'éléments del'ensemble {--1, l}.

l

10. Donner, en justifiant leur valeur, les rayons de convergence des Séries 
entières ES,, x"' et
1121
E....
n
[121
+00 +00
8 _
On pose, pour x E ]--l, 1[ : f(x) : Z--ÏÎ--x" et g(x) : ES,, x" 1 .
n=l n=l
, . . 8 . . . x
11. Etablir que la série Z--;-- converge 51 et seulement SI la fonction f : x 
|----> ( g(t) dt admet
0

nZl

une limite finie lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures.

12. Montrer que g est une fraction rationnelle à déterminer.

13. Retrouver, uniquement par les deux questions précédentes, que la série 
harmonique Z-ä--

n21

(__1)"

n

diverge et que la série alternée E converge en précisant sa somme.

nZl

p
14. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur la somme E si 
pour que la

[=]

Que peut--on en conclure dans les cas où la période p est un entier impair '?

15. Exemple
Dans le cas où la suite (en)... est périodique de période 6 avec

+oo

, . 8

al =1, 82 =1, 83 =1, 84 =--l, 85 =--l, 86 =--1 , determ1ner --É'--
n=l

(il est demandé de détailler les calculs).

Fin de l'énoncé.

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CCP Maths 1 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (ENS Cachan) ; il a été relu par
Hicham Qasmi (ENS Lyon) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Cette épreuve d'analyse est composée de deux exercices et un problème, qui sont
indépendants les uns des autres.
Le premier exercice est consacré au calcul de deux intégrales de fonctions 
continues
sur des parties élémentaires du plan et ne présente aucune difficulté 
particulière.
Le second exercice est consacré à la résolution sur R d'une équation 
différentielle
scalaire linéaire du premier ordre non résolue et sans second membre. On se 
ramène
à une équation résolue en travaillant sur ] - ; 0 [ et ] 0 ; + [, puis on 
étudie le
raccordement des solutions en 0. On calcule notamment la dimension de l'espace 
des
solutions sur R tout entier.
Le thème principal du problème est le théorème d'Abel pour les séries entières.
Ce problème est composé de quatre parties dépendantes les unes des autres.
· La première partie porte sur quelques généralités qui font utiliser les 
définitions
et les résultats de base du cours sur les séries numériques et les séries 
entières.
On est amené à chercher quelques exemples de séries entières ayant des 
propriétés données parmi les fonctions développables en série entière 
classiques.
· La deuxième partie aborde la démonstration (largement guidée) du théorème
d'Abel annoncé et propose l'étude d'un exemple et de deux applications de
ce théorème, dont une identité sur le produit de Cauchy convergent de deux
séries convergentes.
· La troisième partie démontre que la réciproque du théorème d'Abel est fausse.
Sous des hypothèses plus restrictives, un théorème de Littlewood (admis) que
l'on sera ensuite amené à utiliser constitue toutefois une forme de réciproque.
· Enfin, la quatrième partie introduit les séries harmoniques transformées.
On s'intéresse à un critère de convergence adapté avant de donner un moyen
théorique de calculer leurs sommes. Un exemple explicite de calcul de somme
fait d'ailleurs l'objet de la toute dernière question du problème.
Ce sujet d'une taille raisonnable est l'occasion de vérifier que certains 
résultats
de base du cours d'analyse sont acquis.

Indications
Exercices
a Remarquer que T est un domaine triangulaire du plan.
b Décomposer C pour appliquer le théorème du changement de variables et utiliser
la question précédente.
1 Remarquer que (En ) est une équation différentielle linéaire scalaire 
homogène du
premier ordre résolue en y  sur I comme sur J.
2 Raisonner graphiquement en 0, et utiliser la question précédente.
3 Utiliser la question 1 et examiner les conditions de raccordement en 0.
Problème
1 Chercher parmi les fonctions classiques dont le développement en série entière
en 0 a un rayon unité.

P
an pour x voisin de 1.
2 Majorer f (x) -
n=0

1
1
1
=- +
et utiliser la question précédente.
n (n - 1)
n n-1
4.b Utiliser le résultat de la question 4.a.
4.c Constater que rn tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

P
4.d Majorer f (x) -
an pour x voisin de 1, à l'aide d'un découpage astucieux de
3 On peut écrire

n=0

la somme permettant d'utiliser le résultat de la question 4.c.
P
5 Montrer que, si lim f (x) = +, alors la série an est divergente. On pourra
x1-

utiliser le théorème d'Abel.

6 Observer que lim- Arctan (x) = Arctan (1) = .
4
x1
7.a Montrer que le produit de Cauchy est grossièrement divergent.
7.b Utiliser un résultat du cours sur les séries entières pour obtenir une 
identité
P
P
P
un xn ,
vn xn et
wn xn sur l'inentre les sommes des séries entières
n>0

n>0

n>0

tervalle ] -1 ; 1 [. En déduire l'égalité demandée par passage à la limite à 
l'aide
du théorème d'Abel démontré à la question 4.

8 On peut réutiliser un exemple donné à la question 1.

P n n
x est
10 Une définition possible du rayon de convergence de la série entière
n

o
n>1 n
n
Sup  > 0
n
est bornée
n
nN
11 Utiliser le théorème d'Abel et le théorème de Littlewood.
12 Réordonner les sommes partielles d'indice Np (où N  N ) de la série entière
définissant g.
13 Utiliser le résultat de la question 12 pour calculer les fonctions g et f 
associées
à chacune des deux séries. Utiliser ensuite le résultat de la question 11 pour 
en
déduire le comportement des séries en question.
p
P n
P
14 Montrer que la série
est convergente si et seulement si
i = 0 en utilisant
i=1
n>1 n
les résultats des questions 11 et 12.
15 Déterminer la fraction rationnelle g à l'aide de la question 12, puis la 
fonction f
correspondante pour enfin conclure avec le résultat démontré à la question 4.

Premier exercice
a
La réponse que l'on apporte à cette question de calcul d'intégrale double
peut sembler excessivement technique, alors que le calcul par lui-même est
assez simple. En fait, on tient à suivre à la lettre la présentation de l'objet
mathématique « intégrale double » proposée par le programme officiel de
classe préparatoire MP. Ce dernier impose en particulier de travailler avec
des fonctions numériques continues sur des parties élémentaires (ou simples)
du plan. On prend donc le temps, pour répondre à la première question du
premier exercice de l'épreuve, de vérifier soigneusement toutes les hypothèses
qui permettent d'appliquer les résultats (définitions et propriétés) du cours.
Observons deux choses :
· T est une partie élémentaire du plan R2 . En effet, on peut écrire
T = {(x, y)  R2 | x  [ -1 ; 1 ] et 1 (x) 6 y 6 2 (x)}
T = {(x, y)  R2 | y  [ -1 ; 1 ] et 1 (y) 6 x 6 2 (y)}
où l'on a posé :
(
[ -1 ; 1 ] - R
1 :
x
7- -x

et

2 :

(

[ -1 ; 1 ] - R
x

7- 1

de sorte que 1 et 2 sont continues sur [ -1 ; 1 ] et l'on a
x  ] -1 ; 1 [

1 (x) = -x < 1 = 2 (x)

· Lorsque T est muni de la topologie induite par celle de R2 , l'application
(
T - R
f:
(x, y) 7- x + y
est continue.
En notant fb l'application de R2 dans R, égale à f sur T et à 0 sur R2 r T, on 
est
assuré que
Z Z
fb(x, y) dx dy
R R

a un sens et est par définition

ZZ

f (x, y) dx dy

T

Calculons donc, pour y  R fixé la quantité

Z

R

fb(x, y) dx :

· si y  [ -1 ; 1 ], alors
Z
Z
Z 1
b
f (x, y) dx = (x + y) 1[ -y ;1 ] (x) dx =
(x + y) dx
R
R
-y
 2 1
x
1
= y(1 + y) +
= (y + 1)2
2 -y
2

· si y  R r [ -1 ; 1 ], alors

Z

R

fb(x, y) dx = 0.

Lorsque I  R est un intervalle, on a noté 1I la fonction caractéristique de I
dans R définie par

 R - R

1I :
1 si x  I

 x 7-
0 si x  R r I
On constate qu'elle est continue par morceaux sur R.

Finalement,
calculons
 :
Z Z
Z
Z
1
1 1
2
b
f (x, y) dx dy =
(1 + y) 1[ -1 ;1 ] (y) dy =
(1 + y)2 dy
2 R
2 -1
R
R
1
1 1
8
4
= ×
(1 + y)3 -1 = =
2 3
6
3
ZZ
4
D'où
(x + y) dx dy =
3
T
b Notons D l'adhérence de C r T dans le plan R2 (muni de sa topologie usuelle).
On décompose ainsi C comme indiqué sur la figure ci-dessous :
1
T

1

La fonction g :

(

C

- R

(x, y) 7- |x + y|

D

est continue sur C.

C est muni de la topologie induite par celle de R2 .
La partie C est (élémentaire et) simple, car elle est réunion des parties 
élémentaires
d'intérieurs disjoints T et D. En conséquence,
ZZ
ZZ
ZZ
g(x, y) dx dy =
g(x, y) dx dy +
g(x, y) dx dy
C

T

D

1

En outre, si l'on note  le C -difféomorphisme de R2 défini par
( 2
R - R2
:
(x, y) 7- (-x, -y)