CCP Maths 1 MP 2004

Thème de l'épreuve Convergence des séries de Fourier
Principaux outils utilisés séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2004 ' MPM 1005

CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa

copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

A propos de l'hypothèse « de classe C' par morceaux » du théorème
de convergence normale d'une série de Fourier...

Pour toute fonction f: R ----> @, continue par morceaux et de période 27t, on 
associe ses

1 21: .
coefficients de Fourier exponentiels définis, pour n eZ, par c ( f ) -- Îo f 
(t) e""' dt et ses
7r

coefficients de Fourier trigonométriques définis par :
a, (f) = 1 J:" f(t) cos(n :) dt (pour n & N) et b,, (f) = ' [:" f(t) sin(n :) 
dt (pour n e N * ).
7: TE

On pose, pour tout entier naturel p et tout réel x :

S ,.(f)sin(n ...

n=_p

On rappelle le théorème de convergence normale :
Si f: R --> (C est une fonction continue de période 27t et de classe C' par 
morceaux, la série de

Fourier de f converge normalement vers la fonction f sur lRl.
Ainsi, la fonction fest limite uniforme de la suite de polynômes 
trigonométriques (S p( f )) pe N.

Nous allons étudier ce qui peut se produire si on enlève à ce théorème 
l'hypothèse « de classe C'

par morceaux ».
Une première partie démontre des résultats préliminaires.

Une deuxième partie traite d'un exemple où, sans l'hypothèse << de classe C' 
par morceaux », la
série de Fourier peut diverger.

Une troisième partie recherche une condition plus faible pour que, sans 
l'hypothèse « de classe C1
par morceaux », on puisse quand même assurer que la série de Fourier de f 
converge uniformément

vers la fonction f sur R.

1. Résultats préliminaires

]. Si, dans le théorème de convergence normale ci-dessus, on suppose que la 
fonction f n'est pas

continue mais seulement continue par morceaux sur R :
a. Rappeler le théorème de Dirichlet en précisant de quel type de convergence 
il s'agit.

b. Cette convergence pourrait-elle être uniforme sur R ?

2. On considère la fonction continue (p :,R ---> R, de période 211 , paire et 
définie pour x e [O, n],

par  @ continue et de période 27: dont la somme de 
Fourier de rang n
est notée Sn (f). Pour n entier naturel non nul, on définit la somme de Fejér 
de f de rang n,

notée on (f) comme la moyenne de Cesàro des sommes de Fourier :

c,,).

On démontre, et nous l'admettrons, le théorème de Fejér :
«La suite de polynômes trigonométriques (on (f)) converge uniformément sur R 
vers la

fonction f ».
Une application :

Si f : R --> C est une fonction continue et de période 27: telle que la suite 
(Sn ( f )) converge

simplement sur R, montrer que la suite (Sn ( f)) converge vers la fonction f.

5. Si (un) est une suite de réels positifs qui converge vers 0, montrer qu'il 
existe une suite de
réels (dn) décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel 
n, 0 5 un S dn

(on pourra, par exemple, vérifier que la suite ( sup{ u k, k 2 n} ) convient).

n

II. Un exemple de Série de Fourier divergente (en un point)

On considère la suite de fonctions ( fn) définies sur l'intervalle [O, n] pour 
tout entier naturel non

nul n par : fn (x) : ---Ë-sin[(2"3 +1)--fl.
n

6. Montrer que la série de fonctions 2 fn converge normalement sur [O, TC].

n21

On définit alors la fonction f paire, continue, de période 271 sur R et telle 
que pour tout réel

xe[Oml f=Îflül

. ' n . 2 +1 .
7. On pose, pour p et k entiers naturels, Ip, k = L cos( p t) sm( k2 t) dt et, 
pour q ent1er naturel,
']
T... : ZIM .
p=0
3. Calculer, pOur p et k entiers naturels, l'intégrale Ip, k .
. k+q 1
b. Pour q et k entiers naturels, déterminer un réel positif ck tel que T q, k : 
ck + Z 2 _ 1 et en
j=k--q .] +
déduire que, pour tout couple (q, k) d'entiers naturels, T q, k 2 O .
N
c. Déterminer, pour N au voisinage de + oo , un équivalent simple de z 2k1 1 .
k=0 +
. . . 1

d. En déduire que, pour k au v01smage de + oo , T k, k ..., --2-- Ink .

8 Montrer ue our entier naturel non nul a (f ) -- âÎ--1-- ]
. q :p p 7 ,, "'Tc _1n2 p2n3--l.
. " ao(f) 2
9. Montrer que, pour p ent1er naturel non nul, S 3 (f )(0) _>_ + 2 T 3 3
2p " 2 TE p 21" "',2P "'

_

N N
a a
(on remarquera que : ÎO + E a, = 20 + E a, ).
l=1 l=0

Conclure que la suite (S n ( f )(O)) diverge.

III. Fonctions à variation bornée, Théorème de Jordan

Pour deux réels a < b on note S[a' " l'ensemble des subdivisions de 
l'intervalle [a, b].

Si fest une fonction de [a, b] ---> C et o = (x... x,,..., x") & S[a,b], on 
note:

n--l
V(6, f) = Z|f(x... ) -- f(x.)\ .
i=O
On dira que la fonction f est à variation bomée s'il existe un réel positif M 
tel que pour toute
(: EUR S[a_b], l'on ait: V(o, f) SM.

On appelle alors variation totale de f sur [a, b] le réel positif noté :

V([a,b],f)= sup V(0,f)--

ceS[a, b]
10. Montrer que la fonction f: [O, 1] --+ R définie par f (0) = O et f(x) = x 
cos(£--) si x # O est
x
continue et n'est pas à variation bomée sur [O, 1].
(on pourra choisir 0 : (xk )0$k$n+1 subdivision de [O, 1] : x0 = 0, x... =l et
Vk & {l, ...,n}, xk : -------------1-------- ).
2(n +1 -- k)

11. Exemples généraux
a. Montrer qu'une fonction f : [a, b] ----> lR qui est monotone est à variation 
bomée sur [a, b] et

préciser V( [a, b] , f).
h. Montrer qu'une fonction f: [a, b] ---> R qui est somme de deux fonctions 
monotones est à
variation bomée sur [a, b].

c. Montrer qu'une fonction [a, b] ---->C qui est continue et de classe C1 par 
morceaux est à
variation bomée.

12. Soit une fonction f : [a, b] --> C à variation bomée sur [a, b] et soit a < 
c < b.
Montrer que chacune des restrictions de f aux intervalles [a, c] et [c, b] est 
à variation bomée et

que: V(laacl.f)+V(lc,bl,f)SV(la.bl.f)-

Remarque : on peut même montrer qu'il y a égalité mais ce ne sera pas utile 
pour ce problème.

13. Soit f: R ----) C une fonction continue et de période 27t telle que la 
restriction de f à
l'intervalle [O, 2 n] soit à variation bomée.
Pour n entier relatif et N entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la 
subdivision

, . . . 27tk
o : (xk )O @ continue et de 
période 2% telle que
la restriction de f à l'intervalle [O, 2 Tt] soit à variation bornée converge 
uniformément vers la

fonction f

16. Montrer que la série de Fourier de la fonction (p de la question 2. 
converge uniformément sur

R vers la fonction (p .

17. Application
Montrer que la série de Fourier d'une fonction f: R --> (C, de période 271: et 
lipschitzienne

converge uniformément sur R vers la fonction f.

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 MP 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Dudas (ENS Ulm) ; il a été relu par Hicham
Qasmi (ENS Lyon) et David Lecomte (Université de Stanford).

Le problème étudie certaines conditions suffisantes pour qu'une série de Fourier
converge uniformément. Il ne nécessite néanmoins aucune connaissance approfondie
sur ce sujet puisque la majorité des théorèmes sont rappelés. Il comporte trois
parties qui peuvent se traiter indépendamment, quitte à admettre les résultats
intermédiaires.
· La première partie fait état de plusieurs résultats sur la convergence des 
séries
de Fourier, qui sont utiles pour la suite du problème. On s'intéresse aussi aux
applications directes du théorème de Fejér.
· Dans la deuxième partie, on étudie un exemple précis de fonction dont la
série de Fourier est divergente en un point. Cette fonction est définie comme
la somme d'une série de fonctions, et son étude fait ainsi appel aux outils
classiques d'analyse.
· Enfin, dans la troisième partie, on introduit l'ensemble des fonctions à 
variation
bornée, qui englobe celui des fonctions C 1 par morceaux. On montre qu'une
fonction continue et à variation bornée est la limite uniforme de sa série
de Fourier. Quelques applications de cette nouvelle condition suffisante sont
alors envisagées.
Ce sujet est bien adapté à la durée de l'épreuve ; la dernière partie est un peu
plus difficile que les deux autres. Il ravira les candidats qui s'intéressent 
d'assez près
à la théorie des séries de Fourier.

Indications
Première partie
1.b Que dire de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues ?
2 S'intéresser au nombre dérivé de  à droite de 0.
n
P
3.b Remarquer que
 = (n + 1)  .
k=0

4 Appliquer le résultat de la question précédente à la suite (Sn (f )(x))nN .
Deuxième partie
P
6 Quelle est la nature de la série 1/n2 ?

7.a Afin de simplifier l'intégrande, on utilisera la formule
cos a sin b =

1
(sin(a + b) + sin(b - a))
2

7.b Pour prouver la positivité, montrer que dans tous les cas Tq,k est une somme
de termes positifs.
7.c Utiliser l'équivalent suivant :
1+

1
1
+ ···+
2
n

n

ln n

9 Calculer d'abord explicitement Sn (f )(0), puis minorer l'expression obtenue
à l'aide du résultat de la question 8.
Troisième partie
10 On pourra examiner le cas où n devient grand.
11.a Calculer V(, f ) pour une subdivision quelconque.
11.b Montrer plus généralement, à l'aide de l'inégalité triangulaire, qu'une 
somme
de fonctions à variations bornées est également à variation bornée.
11.c Pour une subdivision  donnée, considérer la subdivision formée de  et des
points de discontinuité de f  .
12 Considérer la concaténation d'une subdivision de [ a ; c ] et d'une 
subdivision
de [ c ; b ] .
13.a Montrer que |f (t) - f (xk )| 6 Vk (f ) pour tout réel t compris entre 
xk-1 et xk .
13.b Calculer explicitement le membre de gauche de l'inégalité.
13.c Utiliser les deux questions précédentes.
14.b Utiliser le calcul de la question précédente et la majoration de |uk | .
14.c Ne pas oublier d'utiliser le résultat de la question 5.

15 Considérer la suite un = cn (f ) ei n x + c-n (f ) e-i n x et montrer que 
l'on peut
supposer un = 0. Utiliser ensuite une suite (dn ) indépendante de x et utiliser
le résultat de la question précédente.
16 Remarquer que  est la somme de deux fonctions monotones sur [ 0 ; 2 ].
17 Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue et à variation bornée sur
tout segment.

I.

Résultats préliminaires

1.a Le théorème de Dirichlet affirme que la série de Fourier d'une fonction
2-périodique de classe C 1 par morceaux converge simplement vers la quantité
1
(f (x + 0) + f (x - 0))
2
où f (x + 0) (respectivement f (x - 0)) désigne la limite à droite 
(respectivement
à gauche) de f au point x. Autrement dit,
x  R

Sp (f )(x) ----
p+

1
(f (x + 0) + f (x - 0))
2

En particulier, la série de Fourier converge simplement vers f en tout point de 
continuité de f .
1.b Pour tout entier naturel p, Sp (f ) est une fonction polynomiale 
trigonométrique donc continue sur R. Ainsi, si f est limite uniforme de la 
suite (Sp (f ))pN ,
elle est automatiquement continue sur R, ce qui contredit l'hypothèse de 
l'énoncé.
Finalement,
Si f n'est pas continue, la série de Fourier
de f ne converge pas uniformément sur R.

Rappelons la preuve de la transmission de continuité par limite uniforme.
Si (gn ) est une suite de fonctions réelles continues sur R tendant 
uniformément vers g, alors par définition
Sup |gn (x) - g(x)| ---- 0
n

xR

ce que l'on traduit par : pour tout  > 0 fixé,
N  N

n > N

Sup |gn (x) - g(x)| 6
xR

3

L'entier N étant lui aussi fixé, exprimons maintenant la continuité de gN
au point x0 :

  > 0 x  ]x0 - , x0 + [
|gN (x) - gN (x0 )| 6
3
Grâce à l'inégalité triangulaire, on en déduit que, pour tout réel x dans
l'intervalle ] x0 -  ; x0 +  [,
|g(x) - g(x0 )| 6 |g(x) - gN (x)| + |gN (x) - gN (x0 )| + |gN (x0 ) - g(x0 )|

|g(x) - g(x0 )| 6 

ce qui prouve bien que g est continue au point x0 .

2 Voici l'allure du graphe de  :

-2

0

-

-

2

La fonction  est de classe C 1 sur R r Z, étant donné que la fonction x 7-
de classe C 1 sur l'intervalle ] 0 ;  [ . Cependant,

x est

1
 (x) = 
2 x

x  ] 0 ;  [

 (x) ---- +

donc

x0+

1

Ceci montre que  n'est pas de classe C par morceaux sur [ 0 ; 1 ]. Or, par 
définition,
une fonction est de classe C 1 par morceaux sur R si et seulement si elle l'est 
sur tout
segment de R. Par conséquent,
 n'est pas de classe C 1 par morceaux sur R.
3.a Dire que la suite (un )nN converge vers  revient à écrire qu'au voisinage 
de +,
un -  = o(1)
La série de terme général constant égal à 1 est une série divergente et à 
termes positifs,
si bien que la relation de négligeabilité précédente se transmet aux sommes 
partielles
et on obtient
P
n
n 
P
(uk - ) = o
1 = o(n + 1)
k=0

k=0

3.b L'égalité précédente est équivalente à
n
1 P
(uk - ) ---- 0
n
n + 1 k=0

Or,

n
n
n
n
1 P
1 P
1 P
1 P
(uk - ) =
uk -
 =
uk - 
n + 1 k=0
n + 1 k=0
n + 1 k=0
n + 1 k=0

par conséquent

u0 + u1 + · · · + un
---- 
n
n+1

4 Supposons que la suite (Sn (f ))nN converge simplement vers une fonction g 
sur R,
c'est-à-dire
x  R

Sn (f )(x) ---- g(x)
n