CCP Maths 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev
Principaux outils utilisés polynômes, séries numériques, espaces vectoriels normés, topologie élémentaire, projecteurs orthogonaux, calcul intégral
Mots clefs polynômes de Tchebychev, théorème des moments, approximation quadratique, equioscillation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2003 MPM 105

A

CONCOURS (OMMUNS POLYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE -- F ILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites.

***

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à
prendre.

UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE

Notations :

On note E l'espace vectoriel des applications continues de [--1,1] dans R.
On désigne par En l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans 
R de degré

inférieur ou égal à n où n est un entier naturel.
On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale.

Si f est un élément de E, on pose || f ll... sup | f(x)].

xe[--l,l]

Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la 
partie I.

I. Polynômes de Tchebychev

Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel.

, 1. Existence et unicité
' a) Déterminer un polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant la 
propriété (*):
(*): VH & R, T(cosa9) : cos(n9).
(on pourra remarquer que cos(n 9) est la partie réelle de (0059 + i sin 9)" ).
b) Montrer qu'un polynôme vérifiant (*) est unique.
On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice n, on le note T n .

On définit alors une fonction polynomiale sur [-1,1] par :
Vx & [--l, l], IL(x) : cos(n arcos x).

2. a) Montrer que Vx e[--1,l], T +2 (x) 2xT " (x)--Tn (x)
(on pourra calculerT ... (x) + T (x)).
b) Calculer 13,7},T2,T3.
e) Donner le coefficient du terme de plus haut degré de Tn .

3. Racines et extrema

n--l
a) Montrer que Vx & [-1,1], T,(x) : 2"'1 H(x --- cos &) où & = 
(--2Ë--Îl--)--fi-- .
...) 2n
k7r
b) On pose pour k dans {O, 1,. .n.,}, ck-- -- cos(--).
n

Calculer ||7;|Lo puis montrer que :
Vk EUR {O,l,...,n}, |T,(ck)l : ||ÎL||°0 et 'que : Vk EUR {O,l,...,n --1}, 
T,(c...) : --T,(ck).

Les n +1 réels co, (:1 ,..., cn sont appelés points de Tchebychev.
c) Dessiner le graphe de T, , préciser sur le graphe les réels co,c1 ,c2 ,c3.

Il. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité

Orthogonalité des T,

k t
4. Montrer que pour toute fonction il de E, l'application t l---> \/--(--)--2 
est intégrable sur ]--1,1[.
1 -- t

f (l') g(f) dt
\/1--t2

Pour f et g éléments de E, on pose <,f g>=f1

5. a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si J 11 \/î(tl2 dt : 0 
alors h est la fonction
' 1 -- t

nulle.
b) Montrer que ( , ) définit un produit scalaire sur E.

Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h 
de E, on pose

llhllz = (h, 11)-

6. Calculer  selon les valeurs des entiers naturels m et n. En déduire, 
pour tout entier

n'm

naturel n que la famille (T 0,T1 ,...,Tn) est une base orthogonale (pour { , >) 
de En .

Polynôme de meilleure approximation quadratique

Dans toute la suite de la partie II., f désignera un élément de E et n un 
entier naturel.

Onpose d,(f,E,) =inf{||f--le,Q EUREn}.

(fifi)

llTkllz
7. a) Enoncer un théorème justifiant l'existence et l'unicité d'un vecteur tn 
(f) dans En tel que

lV--MJÆ=dxflay
b) Exprimer tn (f) a l'aide des polynômes de Tchebychev.

Le but de la suite de la partie Il. est d'exprimer || f || 2 en fonction des

On dit que tn (f) est le polynôme de meilleure approximation quadratique de f 
sur E n .

8. Montrerque d2(f,En)= l|f||22--Î .

2
9. a) En déduire que la série Z +ao

f--a.(f)ll. =0-

+00 2
11. a) En déduire que ||f|l2 : z .

b) Application : un théorème des moments.
Que peut-on dire d'une fonction h de E telle que pour tout entier naturel n,

1 h(t)T(t)
" d = ?
L __1_ t2 t 0

III. Pol nôme de meilleure a roximation au sens de Tcheb chev

' Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel et f un élément de E.

Onnote doe(f,En) =inf{llf--Qlæ,Q eEn}.

On dit qu'un élément P de En , est un polynôme de meilleure approximation (on 
notera en abrégé
PMA) au sens de Tchebychev de f d'ordre n, s'il vérifie une des deux conditions 
équivalentes :

«) W--PL=dAflEJ
(ii) VQeEn, f--P||æ s||f--Ql|æ.

Existence d'un PMA d'ordre n pour f
Onpose K= {Q EE", f--Qllæ sl|f|læ}

12. a) Montrer que K est une partie non vide fermée et bornée de E n .
b) En déduire que K est une partie compacte non vide de E n .

13. a) Montrer que a'oo (f,En) = doe(f,K) .
b) En déduire qu'il existe un élément P de E,, oe1 que || f -- Pl|æ = doe (f, 
E,) .
P est donc un PMA d'ordre n def.

Condition suffisante pour être un PMA

Soit h un élément de E. On dit que h équioscille sur k+1 points s'il existe k+1 
réels
x0  0 alors Q(x.) 
----P(x,) > 0 .
On a de même, que si f (xi) --- P(x,) < 0 alors Q(x,) ---- P(x,) < 0 .
b) En déduire que P = Q et conclure.

Détermination de PMA

16. Dans cette question, pour x & [-1,1], on prend f(x) : x"+1 et on pose :

qn (x) : x"+1 -- 2"" 71...(x) .
Montrer que qn est un PMA d'ordre n def.

17. En déduire que pour tout polynôme P unitaire de degré n + 1 , on a 2'" Tn+1 
00 S ||Pl|æ.

18. a) Dans cette question, f est un polynôme de degré n + 1 .
Déterminer un PMA d'ordre n def .

b) Application : déterminer un PMA d'ordre 2 de f(x) = 5x3 + 2x -- 3.

Remarque : On peut montrer l'unicité du PMA.
Il n'existe pas de formule générale qui donne l'expression du PMA d'une 
fonction quelconque. On

peut cependant utiliser un algorithme (de Remes) qui fournit une suite de 
polynômes qui converge
vers le PMA.

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Maths 1 MP 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Moez Ajmi (École Polytechnique) ; il a été relu par
Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Ce sujet étudie le polynôme de meilleure approximation au sens de Tchebychev.
Le but est de montrer l'existence d'un tel polynôme pour une fonction continue
donnée, sans s'intéresser à l'unicité.
· La première partie, très classique, traite des polynômes de Tchebychev, de 
leurs
propriétés les plus courantes (degré, coefficient dominant), ainsi que de leurs
propriétés numériques (racines, norme). On y utilise les formules de 
trigonométrie, ainsi que des raisonnements par récurrence.
· La deuxième étudie les propriétés algébriques des polynômes de Tchebychev
(base, projection orthogonale). Les outils utilisés sont élémentaires 
(intégrabilité d'une fonction, série convergente).
· La dernière partie est consacrée aux polynômes de meilleure approximation
au sens de Tchebychev (PMA). On utilise un peu de topologie élémentaire
(notion de compact) ainsi que des résultats de la première partie. Il s'agit
de déterminer une méthode permettant de calculer le PMA d'ordre n d'une
fonction polynomiale de degré n + 1.
Dans l'ensemble, ce sujet est assez classique et d'une difficulté moyenne.

Indications
I.

Polynômes de Tchebychev

2.a Utiliser l'égalité
p, q  R

cos(p) + cos(q) = 2 cos

p+q
2

cos

p-q
2

2.c Raisonner par récurrence.
3.a Déterminer les racines de Tn et utiliser la décomposition en facteurs 
premiers
d'un polynôme (remarquer que Tn est scindé).
3.b Utiliser la définition de Tn .
II.

Polynômes de Tchebychev et orthogonalité

h(t)
4 Majorer l'application t 7 
par une application intégrable sur ] -1 ; 1 [.
1 - t2
5.a Ne pas oublier de démontrer que h(1) = h(-1) = 0.
6 Faire le changement de variable t = cos .
7.a Remarquer que tn (f ) n'est autre que la projection orthogonale de f sur En 
.
8 Utiliser le théorème de Pythagore.
9.b Le terme général d'une série convergente tend vers 0 quand n tend vers +.
khk2
h2 (t)
6   et passer à l'intégrale.
10.a Utiliser le fait que t  ] -1 ; 1 [ 
1 - t2
1 - t2
11.b Utiliser la question 11.a.
III.

PMA au sens de Tchebychev

13.a Raisonner par l'absurde.
13.b Utiliser la continuité de l'application  :

(

En - R

Q 7- kf - Qk
15.b Considérer le polynôme R = P - Q, de degré n, et montrer qu'il admet n + 1
racines en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires.
16 Utiliser les questions 14.b et 15.
17 Remarquer qu'un polynôme P unitaire et de degré n + 1 s'écrit sous la forme
P(X) = Xn+1 - Q(X), où Q est un polynôme de degré n.

18.a S'inspirer de la question 16.

I.

Polynômes de Tchebychev

1.a La formule de Moivre donne
  R

cos(n) = Re (exp(in)) = Re [(cos  + i sin )n ]

n
k
n-k
k
= Re
cos
()i sin ()
k=0 k
 
P
n
cos(n) =
cosn-2k ()(-1)k (1 - cos2 ())k
062k6n 2k
On pose

P

Tn (x) =

062k6n

n
P

k

(-1)

n
xn-2k (1 - x2 )k
2k

Tn est bien un polynôme à coefficients réels, et vérifiant la propriété
  R

Tn (cos ) = cos(n)

Il reste à montrer que le polynôme Tn est de degré n :
 
P
n
k
Tn (x) =
(-1)
xn-2k (1 - x2 )k
2k
062k6n
 
 k
  
X
P
n
k
=
(-1)k
xn-2k
(-1)l
x2l
2k
l
l=0
062k6n
  
X P
k
n
k
k+l
Tn (x) =
(-1)
xn-2k+2l
2k
l
l=0
062k6n

Le terme de plus haut degré de Tn est obtenu pour k = l :

P
P
n
k n
n
2k
(-1)
x =
xn
2k
k
2k
062k6n
062k6n

Comme le coefficient du terme de plus haut degré de Tn est non nul (c'est une 
somme
d'entiers strictement positifs), on en déduit que Tn est de degré n.
Un polynôme de la forme an Xn + an-1 Xn-1 + · · · + a0 n'est pas forcément
de degré n ; il faut vérifier que le terme de plus haut degré, an , est non nul.
1.b Supposons qu'il existe un autre polynôme Rn vérifiant
  Rn

Rn (cos ) = cos(n) = Tn (cos )

Comme x = cos  décrit [ -1 ; 1 ] lorsque  décrit R, on a
x  [ -1 ; 1 ]

Rn (x) = Tn (x)

soit (Rn - Tn )(x) = 0

Le polynôme Rn - Tn admettant une infinité de racines, il s'agit du polynôme 
nul,
d'où Rn = Tn . Conclusion :
Il y a un unique polynôme vérifiant la relation ().

2.a Utilisons l'égalité suivante, qui découle directement de la définition du 
polynôme Tn :
x  [ -1 ; 1 ]

Tn (x) = cos(n Arccos x)

(1)

et appliquons la formule d'addition des cosinus :
p, q  R

cos p + cos q = 2 cos

p+q
2

cos

p-q
2

Pour x  [ -1 ; 1 ],
Tn+2 (x) + Tn (x) = cos((n + 2) Arccos x) + cos(n Arccos (x))
= 2 cos((n + 1) Arccos x) cos(Arccos x)
= 2x cos((n + 1) Arccos x)
Tn+2 (x) + Tn (x) = 2x Tn+1 (x)
d'où

x  [ -1 ; 1 ]

Tn+2 (x) = 2xTn+1 (x) - Tn (x)

Arccos est l'application réciproque de la restriction de cos sur [ 0 ;  ] ; 
elle est
définie sur [ -1 ; 1 ].
x  [ -1 ; 1 ]

cos [Arccos (x)] = x

2.b D'après (1) on a, pour tout x  [ -1 ; 1 ],
T0 (x) = cos(0) = 1

et

T1 (x) = cos(Arccos x) = x

Grâce à la relation établie à la question précédente, il vient, pour tout x  [ 
-1 ; 1 ],
T2 (x) = 2xT1 (x) - T0 (x) = 2x2 - 1
et

T3 (x) = 2xT2 (x) - T1 (x) = 4x3 - 3x

2.c T0 a pour coefficient dominant 1. Montrons par récurrence sur n > 1 la 
propriété
P(n) : Tn a pour coefficient dominant 2n-1 .
· P(1) et P(2) sont vraies, au vu des expressions de T1 et T2 .

· P(n) et P(n + 1) = P(n + 2) : supposons vérifiées P(n) et P(n + 1) pour
n > 1 fixé.
2x Tn+1 est de degré n + 2 et Tn de degré n, donc Tn+2 est de degré n + 2.
Le coefficient dominant de Tn+2 est fourni par celui de 2x Tn+1 , soit le double
de celui de Tn+1 , c'est-à-dire 2n+1 .

· Conclusion : P(n) est vraie pour tout n > 1.
On a donc montré que
Tn a pour coefficient dominant 2n-1 , pour tout n  N .